Ecuaciones de Primer Orden

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ECUACIONES DIFERENCIALES 
 
Ing. DAEN. Rosio J. Carrasco Mendoza Página 1 
 
Capítulo I 
ECUACIONES DE PRIMER GRADO PRIMER ORDEN 
CONCEPTOS PRELIMINARES: 
Introducción: Las ecuaciones en general son modelos matemáticos que representan 
fenómenos de la vida real; entre estas tenemos las ecuaciones algebraicas, las funcionales, 
las diferenciales, integro-diferenciales, etc. 
En resumen, podemos decir que una ecuación diferencial es un modelo matemático que 
representa un fenómeno dinámico (es decir que varía respecto de una variable o varias 
variables); mientras que las ecuaciones algebraicas y funcionales representan solo a 
fenómenos estáticos. (Esquema) 
Definición: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas de una función 
desconocida de una o más variables. 
Clasificación: Una ecuación diferencial puede clasificarse de acuerdo a su tipo, orden y 
grado. 
Por su Tipo: Si la función desconocida depende solo de una variable (de tal modo que las 
derivadas son ordinarias) la ecuación se denomina ecuación diferencial ordinaria; pero si la 
función desconocida depende de más de una variable (de tal modo que las derivadas son 
parciales) la ecuación se llama ecuación diferencial parcial. 
Por su Orden: Una ecuación diferencial puede ser de primer orden o de orden superior o de 
orden n. 
Orden de una Ecuación Diferencial: Es el orden de la derivada más alta que aparece en la 
ecuación. 
Una ecuación diferencial ordinaria de orden n puede expresarse como: 
𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒚′, 𝒚′′, 𝒚′′′, … , 𝒚(𝒏)) = 𝟎 
Si podemos resolver esta ecuación por la derivada más alta, obtenemos una o más ecuaciones 
de orden n de la siguiente forma: 
𝒚(𝒏) = 𝑭(𝒙 𝒚, 𝒚′, 𝒚′′, … , 𝒚(𝒏−𝟏), 𝑪) 
Ejem: Resolver la siguiente ecuación diferencial a través de su derivada más alta: 
𝑺𝒆𝒏 𝒚′ = 𝒙 
Solución: 
𝑺𝒆𝒏 𝒚′ = 𝒙 → 𝒚′ = 𝑨𝒓𝒄𝑺𝒆𝒏 𝒙 → 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝑨𝒓𝒄𝑺𝒆𝒏 𝒙 
𝒅𝒚 = 𝑨𝒓𝒄 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 → ∫ 𝒅𝒚 = ∫ 𝑨𝒓𝒄 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 
Por partes: ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣. 𝑑𝑢 para el ejercicio tenemos: 
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𝒖 = 𝑨𝒓𝒄 𝑺𝒆𝒏 𝒙 → 𝒅𝒖 = 
𝒅𝒙
√𝟏 − 𝒙𝟐
 ; 𝒅𝒗 = 𝒅𝒙 → ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒅𝒙 ⇒ 𝒗 = 𝒙 
Reemplazando: 
𝒚 = 𝒙 𝑨𝒓𝒄 𝑺𝒆𝒏 𝒙 − ∫
𝒙 𝒅𝒙
√𝟏 − 𝒙𝟐
 ; 𝑪. 𝑽. : 𝒖 = √𝟏 − 𝒙𝟐 → 𝒅𝒖 =
−𝒙 𝒅𝒙
√𝟏 − 𝒙𝟐
 
 𝒚 = 𝒙 𝑨𝒓𝒄 𝑺𝒆𝒏 𝒙 + ∫ 𝒅𝒖 → 𝒚 = 𝒙 𝑨𝒓𝒄 𝑺𝒆𝒏 𝒙 + √𝟏 − 𝒙𝟐 + 𝑪 
Con: 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟏] 
Por su Grado: Por el grado las ecuaciones diferenciales podrán ser Lineales (primer grado) 
o de grado superior. 
Grado de una Ecuación Diferencial: 
Es el exponente (natural) que presenta la derivada más alta presente en la ecuación. 
Una ecuación diferencial ordinaria lineal es una ecuación que puede ser escrita de la 
forma: 
𝒂𝟎(𝒙)𝒚
(𝒏) + 𝒂𝟏(𝒙)𝒚
(𝒏−𝟏) + ⋯ +𝒂𝒏−𝟏(𝒙)𝒚
′ + 𝒂𝒏(𝒙)𝒚 = 𝑭(𝒙) 
Donde 𝑭(𝒙) y los coeficientes 𝒂𝟎(𝒙), 𝒂𝟏(𝒙), … , 𝒂𝒏(𝒙) son funciones dadas de 𝒙 y 𝒂𝟎(𝒙) 
no es idéntica a cero. Una ecuación diferencial que no puede escribirse en la forma anterior 
se denomina ecuación diferencial no lineal. 
Ejem. Clasificar las siguientes ecuaciones diferenciales e indicar cuales son las variables 
independientes y cual la dependiente: 
a) (𝒚′)𝟐 − 𝒚′′ = 𝒙 
b) 𝒚′′′ − (𝒚′)𝟑 = 𝟏 
c) 
𝝏𝑼
𝝏𝒙
−
𝝏𝑼
𝝏𝒚
+
𝝏𝑼
𝝏𝒕
= 𝒕𝟐 
Solución de una Ecuación Diferencial: 
La solución de una ecuación diferencial es cualquier función que satisface 
completamente la ecuación, esto es, la reduce a una identidad. 
Ejem. 1 Determinar si las siguientes funciones son soluciones de las ecuaciones dadas 
Condiciones Iniciales: 
Un problema de valor inicial es aquel que busca determinar una solución a una ecuación 
diferencial sujeta a condiciones sobre la función desconocida y sus derivadas especificadas 
en un valor de la variable independiente, tales condiciones se denominan condiciones iniciales 
y se utilizan para determinar las constantes. 
Nota: En el caso de una ecuación diferencial ordinaria, la solución puede ser general (cuando 
está presente por lo menos una constante) o particular (cuando la constante está definida). 
Condiciones de Frontera: 
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Un problema de valor de frontera es aquel que busca determinar una solución a una 
ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función desconocida y sus derivadas 
especificadas en dos o más valores de la variable independiente, tales condiciones se llaman 
condiciones de frontera. 
Interpretación Científica de la Solución: Con el uso de las soluciones conocidas (familia de 
curvas) el científico puede ser capaz de interpretar lo que está sucediendo desde el punto 
de vista aplicado. Puede hacer gráficas o tablas y comparar la teoría con los experimentos. 
Puede incluso basar investigaciones posteriores en tales interpretaciones. 
Teorema de Existencia y Unicidad de la Solución: Dada la ecuación diferencial de primer 
orden 𝒚′ = 𝑭(𝒙, 𝒚), si la función F satisface las siguientes condiciones: 
1. 𝑭(𝒙, 𝒚) es real, finita, simple valorada y continua en todos los puntos de una región R 
del plano xy (que puede contener todos los puntos). 
 
2. 
𝝏𝑭(𝒙,𝒚)
𝝏𝒚
 es real, finita, simple valorada y continua en R. 
Entonces existe una y solo una solución 𝒚 = 𝒈(𝒙) en R, tal que 𝒚 = 𝒚𝟎 cuando 𝒙 = 𝒙𝟎, esto es: 
𝒚(𝒙𝟎) = 𝒚𝟎 
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN: 
Introducción: Este tipo de ecuaciones se denominan así, debido a que solo contienen 
derivadas de primer orden las mismas que no tienen ningún exponente, es decir, que están 
elevadas a la unidad. Para resolver estas ecuaciones se disponen de una variedad de métodos 
de los cuales los más usuales son los siguientes: 
 Variables separables 
 Ecuaciones homogéneas 
 Ecuaciones de M y N Lineal 
 Ecuaciones Exactas 
 Factor Integrante 
 Ecuación General de Primer Grado Primer Orden 
 Ecuación Especiales: Bernoulli y Riccati 
Ecuaciones de Primer Grado Primer Orden: En una ecuación diferencial no necesariamente 
se ve objetivamente la o las derivadas sino más bien en su generalidad las mismas se 
encuentran en términos de sus diferenciales; en el caso de una ecuación de primer grado, 
primer orden su forma general es la siguiente: 
 
 
La anterior ecuación se deriva de: 
𝑴(𝒙, 𝒚) + 𝒚′𝑵(𝒙, 𝒚) = 𝟎 ó 𝒙′𝑴(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙 + 𝑵(𝒙, 𝒚) = 𝟎 
Es decir que si se tiene una ecuación diferencial en términos de sus derivadas esta siempre 
podrá ser escrita en su forma general. 
 
𝑴(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙 + 𝑵(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎 
 
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Antes de iniciar con los métodos de resolución se debe señalar que el último paso en 
una ecuación diferencial es el proceso de integración, es decir que cuando se procede a 
integrar prácticamente ya está resuelta la ecuación pues este proceso es de cálculo I. 
Variables Separables: Conocido también como separación de variables, como su nombre lo 
indica el método consiste en colocar las variables una en cada miembro, teniendo el cuidado 
de que la diferencial siempre quede al numerador, una vez hecho esto se procederá a 
integrar. 
Este método se puede aplicar siempre y cuando las funciones M y N tengan producto 
de funciones donde cada una de ellas dependa de una sola variable, es decir que las variables 
ya están separadas por un producto; muchas veces esto no es así, pero efectuando 
operaciones algebraicas o realizando un cambio de variable adecuado se puede transformar 
la ecuación a otra resoluble por variables separables. 
El proceso de este método es el siguiente: 
Sea 𝑴(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙 + 𝑵(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎 una ecuación de primer grado primer orden con las funciones 
M y N de la forma: 
𝑴(𝒙, 𝒚) = 𝒇𝟏(𝒙) ∙ 𝒈𝟏(𝒚) 𝑦 𝑵(𝒙, 𝒚) = 𝒇𝟐(𝒙)∙ 𝒈𝟐(𝒚) 
Entonces la ecuación diferencial se puede escribir como: 
𝒇𝟏(𝒙) ∙ 𝒈𝟏(𝒚)𝒅𝒙 + 𝒇𝟐(𝒙) ∙ 𝒈𝟐(𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎 ⇒ 𝒇𝟏(𝒙) ∙ 𝒈𝟏(𝒚)𝒅𝒙 = −𝒇𝟐(𝒙) ∙ 𝒈𝟐(𝒚)𝒅𝒚 
𝒇𝟏(𝒙)
𝒇𝟐(𝒙)
𝒅𝒙 = −
𝒈𝟐(𝒚)
𝒈𝟏(𝒚)
𝒅𝒚 ⇒ ∫
𝒇𝟏(𝒙)
𝒇𝟐(𝒙)
𝒅𝒙 = − ∫
𝒈𝟐(𝒚)
𝒈𝟏(𝒚)
𝒅𝒚 
𝑭(𝒙) + 𝑪 = −𝑮(𝒚) ⇒ 𝑪 = 𝑭(𝒙) + 𝑮(𝒚) 
Como se puede observar se aconseja sumar la constante de integración a la variable 
independiente y si la ecuación presenta condiciones iniciales, es mejor que la constante se 
encuentre despejada. 
Ecuaciones Reducibles a Variables Separables: En Algunas ecuaciones diferenciales que 
no pueden ser resueltas por variables separables a simple vista se puede efectuar algún 
cambio de variable adecuado que permita transformar la ecuación a otra resoluble por 
variables separables, este cambio de variable es arbitrario y depende de cada ejercicio, pero 
una pauta para el mismo es efectuar el cambio a expresiones que se repiten en la ecuación. 
Ejem. 2 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por variables separables 
Ecuaciones Homogéneas: Se denominan así aquellas ecuaciones en las cuales las funciones M 
y N son homogéneas ambas del mismo grado, en caso de que las funciones sean del tipo 
algebraico para determinar que son homogéneas, bastará con encontrar el grado absoluto de 
cada término, si este valor es el mismo en todos los términos se dice que la función es 
homogénea de grado el mismo grado absoluto; pero en caso de que las funciones no sean 
algebraicas y las mismas presenten funciones trascendentes se deberá verificar primero el 
teorema de Euler para determinar si son o no homogéneas. 
Teorema de Euler: Establece lo siguiente, sea 𝒇(𝒙, 𝒚) una función cualquiera y 𝝀 un escalar 
si se verifica que 𝒇(𝝀𝒙, 𝝀𝒚) = 𝝀𝒏𝒇(𝒙, 𝒚) se dice que la función es homogénea de grado n. 
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Una vez que se ha verificado que la ecuación es homogénea se efectúa un cambio de 
variable tal que transformará la ecuación en otra resoluble por variables separables, es decir: 
Sea 𝑴(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙 + 𝑵(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎 una ecuación de primer grado primer orden con las funciones 
M y N homogéneas ambas del mismo grado, entonces el Cambio de Variable a realizar es: 
𝐶. 𝑉. : 𝒚 = 𝒗𝒙 ⇒ 𝒚′ = 𝒗′𝒙 + 𝒗 ó 𝒅𝒚 = 𝒙𝒅𝒗 + 𝒗𝒅𝒙 
𝑴(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙 + 𝑵(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎 
𝑴(𝒙, 𝒗𝒙)𝒅𝒙 + 𝑵(𝒙, 𝒗𝒙)(𝒙𝒅𝒗 + 𝒗𝒅𝒙) = 𝟎 
𝒙𝒏[𝑴𝟏(𝟏, 𝒗)𝒅𝒙 + 𝑵𝟏(𝟏, 𝒗)(𝒙𝒅𝒗 + 𝒗𝒅𝒙)] = 𝟎 
𝑴𝟏(𝟏, 𝒗)𝒅𝒙 + 𝑵𝟏(𝟏, 𝒗)𝒙𝒅𝒗 + 𝑵𝟏(𝟏, 𝒗)𝒗𝒅𝒙 = 𝟎 
[𝑴𝟏(𝟏, 𝒗) + 𝒗𝑵𝟏(𝟏, 𝒗)]𝒅𝒙 + 𝒙𝑵𝟏(𝟏, 𝒗)𝒅𝒗 = 𝟎 
[𝑴𝟏(𝟏, 𝒗) + 𝒗𝑵𝟏(𝟏, 𝒗)]𝒅𝒙 = −𝒙𝑵𝟏(𝟏, 𝒗)𝒅𝒗 
𝒅𝒙
𝒙
= −
𝑵𝟏(𝟏, 𝒗)𝒅𝒗
𝑴𝟏(𝟏, 𝒗) + 𝒗𝑵𝟏(𝟏, 𝒗)
 
Ejem. 3 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas 
Ecuaciones Reducibles a homogéneas (de M y N Lineal): Se denominan así aquellas 
ecuaciones en las cuales las funciones M y N son funciones lineales de dos variables, es decir: 
 𝑴(𝒙, 𝒚) = 𝒂𝟏𝒙 + 𝒃𝟏𝒚 + 𝒄𝟏 𝑦 𝑵(𝒙, 𝒚) = 𝒂𝟐𝒙 + 𝒃𝟐𝒚 + 𝒄𝟐 
Si se igualan las funciones M y N a cero se tendrán las ecuaciones de dos rectas en 
el plano, si esto es así podemos decir que se tienen dos casos en este método, el primero se 
da cuando las rectas son paralelas y el segundo cuando las rectas se cortan en un punto; en 
ambos casos se tiene cambios de variable pre establecidos que transformarán las ecuaciones 
diferenciales en otras resolubles por variables separables en el primer caso y en homogénea 
en el segundo caso. Para determinar si las rectas son paralelas o se cortan se debe analizar 
el siguiente determinante: 
∆= |
𝒂𝟏 𝒃𝟏
𝒂𝟐 𝒃𝟐
| 
Caso # 1: Si el determinante es cero (∆= 𝟎) las rectas son paralelas, entonces el cambio 
de variable será: 
 𝐶. 𝑉. : 𝒕 = 𝒂𝟏𝒙 + 𝒃𝟏𝒚 ⇒ 𝒚 =
𝟏
𝒃𝟏
(𝒕 − 𝒂𝟏𝒙) ⇒ 𝒅𝒚 =
𝟏
𝒃𝟏
(𝒅𝒕 − 𝒂𝟏𝒅𝒙) 
Con este cambio de variable la ecuación se reducirá a otra resoluble por variables separables, 
de la siguiente forma: 
Reemplazando en la ecuación 
 
𝑴(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙 + 𝑵(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎 
(𝒂𝟏𝒙 + 𝒃𝟏𝒚 + 𝒄𝟏)𝒅𝒙 + (𝒂𝟐𝒙 + 𝒃𝟐𝒚 + 𝒄𝟐 )𝒅𝒚 = 𝟎 
(𝒂𝟏𝒙 + 𝒃𝟏𝒚 + 𝒄𝟏)𝒅𝒙 + 𝒌 (𝒂𝟏𝒙 + 𝒃𝟏𝒚 +
𝒄𝟏 
𝒌
)
𝟏
𝒃𝟏
(𝒅𝒕 − 𝒂𝟏𝒅𝒙) = 𝟎 
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(𝒕 + 𝒄𝟏)𝒅𝒙 + 𝒌
𝟏
𝒃𝟏
(𝒕 +
𝒄𝟏 
𝒌
) (𝒅𝒕 − 𝒂𝟏𝒅𝒙) = 𝟎 
𝒃𝟏(𝒕 + 𝒄𝟏)𝒅𝒙 + (𝒌𝒕 + 𝒄𝟏)(𝒅𝒕 − 𝒂𝟏𝒅𝒙) = 𝟎 
𝒃𝟏(𝒕 + 𝒄𝟏)𝒅𝒙 + (𝒌𝒕 + 𝒄𝟏)𝒅𝒕 − 𝒂𝟏(𝒌𝒕 + 𝒄𝟏)𝒅𝒙 = 𝟎 
[𝒃𝟏(𝒕 + 𝒄𝟏) − 𝒂𝟏(𝒌𝒕 + 𝒄𝟏)]𝒅𝒙 + (𝒌𝒕 + 𝒄𝟏)𝒅𝒕 = 𝟎 
[𝒃𝟏(𝒕 + 𝒄𝟏) − 𝒂𝟏(𝒌𝒕 + 𝒄𝟏)]𝒅𝒙 = −(𝒌𝒕 + 𝒄𝟏)𝒅𝒕 
𝒅𝒙 = −
𝒌𝒕 + 𝒄𝟏
[𝒃𝟏(𝒕 + 𝒄𝟏) − 𝒂𝟏(𝒌𝒕 + 𝒄𝟏)]
𝒅𝒕 ó 𝒅𝒙 =
𝒌𝒕 + 𝒄𝟏
[𝒂𝟏(𝒌𝒕 + 𝒄𝟏) − 𝒃𝟏(𝒕 + 𝒄𝟏)]
𝒅𝒕 
Caso # 2: Si el determinante es distinto de cero (∆≠ 𝟎) las rectas se cortan en un punto, 
para determinar el punto de intersección resolvemos el sistema de ecuaciones formado por 
las funciones M y N igualados a cero para luego efectuar dos cambios de variable de la 
siguiente manera: 
Sea (𝒉, 𝒌) la solución del sistema: {
𝒂𝟏𝒙 + 𝒃𝟏𝒚 + 𝒄𝟏 = 𝟎
𝒂𝟐𝒙 + 𝒃𝟐𝒚 + 𝒄𝟐 = 𝟎
 entonces: 
𝐶. 𝑉. : 𝒙 = 𝒓 + 𝒉 ⇒ 𝒓 = 𝒙 − 𝒉 ⇒ 𝒅𝒓 = 𝒅𝒙 
 𝒚 = 𝒔 + 𝒌 ⇒ 𝒔 = 𝒚 − 𝒌 ⇒ 𝒅𝒔 = 𝒅𝒚 
Con este cambio de variable la ecuación se reducirá a otra resoluble por homogénea de la 
siguiente forma: 
Reemplazando en la ecuación: 
 
𝑴(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙 + 𝑵(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎 
(𝒂𝟏𝒙 + 𝒃𝟏𝒚 + 𝒄𝟏)𝒅𝒙 + (𝒂𝟐𝒙 + 𝒃𝟐𝒚 + 𝒄𝟐 )𝒅𝒚 = 𝟎 
[𝒂𝟏(𝒓 + 𝒉) + 𝒃𝟏(𝒔 + 𝒌) + 𝒄𝟏]𝒅𝒓 + [𝒂𝟐(𝒓 + 𝒉) + 𝒃𝟐(𝒔 + 𝒌) + 𝒄𝟐]𝒅𝒔 = 𝟎 
[𝒂𝟏𝒓 + 𝒂𝟏𝒉 + 𝒃𝟏𝒔 + 𝒃𝟏𝒌 + 𝒄𝟏]𝒅𝒓 + [𝒂𝟐𝒓 + 𝒂𝟐𝒉 + 𝒃𝟐𝒔 + 𝒃𝟐𝒌 + 𝒄𝟐]𝒅𝒔 = 𝟎 
Pero: 𝒂𝟏𝒉 + 𝒃𝟏𝒌 = −𝒄𝟏 𝑦 𝒂𝟐𝒉 + 𝒃𝟐𝒌 = −𝒄𝟐 de donde obtenemos: 
(𝒂𝟏𝒓 + 𝒃𝟏𝒔)𝒅𝒓 + (𝒂𝟐𝒓 + 𝒃𝟐𝒔)𝒅𝒔 = 𝟎 
Una ecuación homogénea de grado 1 para las variables r y s 
Ejem. 4 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de M y N lineal 
Ecuación Diferencial Exacta: Como su nombre lo indica se aplica este método cuando las 
funciones M y N verifican las condiciones de diferencial exacta, si esto es así se asume que 
la solución está dada por: 𝑪 = 𝝁(𝒙, 𝒚), siendo C una constante; la función 𝝁(𝒙, 𝒚), se 
determinará a través de una fórmula pre determinada, de la siguiente forma: 
Sea 𝑴(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙 + 𝑵(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎 una ecuación de primer grado primer orden con las funciones 
M y N que verifican las condiciones de diferencial exacta es decir que se verifica la siguiente 
igualdad: 
𝝏𝑴
𝝏𝒚
=
𝝏𝑵
𝝏𝒙
 
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 Una vez verificada la anterior igualdad se dice que la ecuación es exacta por lo cual 
su solución está dada por: 𝑪 = 𝝁(𝒙, 𝒚) 
Cálculo de 𝝁(𝒙, 𝒚): 
𝝁(𝒙, 𝒚) = ∫ 𝑴(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙 + 𝝋(𝒚) ó 𝝁(𝒙, 𝒚) = ∫ 𝑵(𝒙. 𝒚)𝒅𝒚 + 𝜽(𝒙) 
Cálculo de 𝝋(𝒚): 
𝑵(𝒙, 𝒚) =
𝝏
𝝏𝒚
𝝁(𝒙, 𝒚) 
𝑵(𝒙, 𝒚) =
𝝏
𝝏𝒚
 (∫ 𝑴(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙 + 𝝋(𝒚)) ⇒ 𝑵(𝒙, 𝒚) =
𝝏
𝝏𝒚
∫ 𝑴(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙 +
𝝏𝝋
𝝏𝒚
 
𝝏𝝋
𝝏𝒚
= 𝑵(𝒙, 𝒚) −
𝝏
𝝏𝒚
∫ 𝑴(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙 ⇒ 
𝝏𝝋
𝝏𝒚
= 𝒇(𝒚) 
𝒅𝝋 = 𝒇(𝒚)𝒅𝒚 ⇒ 𝝋(𝒚) = ∫ 𝒇(𝒚)𝒅𝒚 
Cálculo de 𝜽(𝒙): 
𝑴(𝒙, 𝒚) =
𝝏
𝝏𝒙
𝝁(𝒙, 𝒚) 
𝑴(𝒙, 𝒚) =
𝝏
𝝏𝒙
 (∫ 𝑵(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚 + 𝜽(𝒙)) ⇒ 𝑴(𝒙, 𝒚) =
𝝏
𝝏𝒙
∫ 𝑵(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚 +
𝝏𝜽
𝝏𝒙
 
𝝏𝜽
𝝏𝒙
= 𝑴(𝒙, 𝒚) −
𝝏
𝝏𝒙
∫ 𝑵(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚 ⇒ 
𝝏𝜽
𝝏𝒙
= 𝒈(𝒙) 
𝒅𝜽 = 𝒈(𝒙)𝒅𝒙 ⇒ 𝜽(𝒙) = ∫ 𝒈(𝒙)𝒅𝒙 
Ejem. 5 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales exactas 
Factor Integrante: Como su nombre lo indica en este método se debe encontrar un factor 
tal que al multiplicar el mismo a toda la ecuación esta se volverá exacta; por este motivo 
también se denominan reducibles a exactas;entre los casos más comunes tenemos: 
Caso # 1: 
Si: 
𝝏𝑴
𝝏𝒚
−
𝝏𝑵
𝝏𝒙
𝑵(𝒙,𝒚)
= 𝒇(𝒙) ⇒ 𝑭. 𝑰. = 𝒆∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 
 
Caso # 2: 
Si: 
𝝏𝑴
𝝏𝒚
−
𝝏𝑵
𝝏𝒙
𝑴(𝒙,𝒚)
= −𝒈(𝒚) ⇒ 𝑭. 𝑰. = 𝒆∫ 𝒈(𝒚)𝒅𝒚 
 
Caso # 3: Si la ecuación diferencial es homogénea y se puede escribir de la forma: 
 𝒙𝑴(𝒙, 𝒚) + 𝒚𝑵(𝒙, 𝒚) ≠ 𝟎 ⇒ 𝑭. 𝑰. =
𝟏
𝒙𝑴(𝒙,𝒚)+𝒚𝑵(𝒙,𝒚)
 
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Caso # 4: Si la ecuación diferencial se puede escribir de la forma: 
 𝒚𝒇(𝒙𝒚) + 𝒙𝒈(𝒙𝒚) = 𝟎 ; 𝒇(𝒙𝒚) ≠ 𝒈(𝒙𝒚) 
 ⇒ 𝑭. 𝑰. =
𝟏
𝒙𝒚[𝒇(𝒙𝒚) − 𝒈(𝒙𝒚)]
=
𝟏
𝒙𝑴(𝒙, 𝒚) − 𝒚𝑵(𝒙, 𝒚)
 
 
Caso # 5: Si la ecuación se puede escribir de la forma: 
(𝒎𝒅𝒙 + 𝒏𝒅𝒚) + (𝒖𝒅𝒙 + 𝒗𝒅𝒚) = 𝟎 
Dónde: m, n, u y v son funciones de x, y entonces el factor integrante es: 𝒙𝜶 ∙ 𝒚𝜷 los 
exponentes 𝜶 𝑦 𝜷 se encuentran por métodos algebraicos. 
Caso # 6: 
GRUPO DE 
TERMINOS 
FACTOR 
INTEGRANTE 
DIFERENCIAL EXACTA 
𝑥𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥 1
𝑥2
 
𝑥𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥
𝑥2
= 𝑑 (
𝑦
𝑥
) 
𝑥𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥 1
𝑦2
 −
𝑦𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑦
𝑦2
= 𝑑 (−
𝑥
𝑦
) 
𝑥𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥 1
𝑥𝑦
 
𝑑𝑦
𝑦
−
𝑑𝑥
𝑥
= 𝑑 [𝑙𝑛 (
𝑦
𝑥
)] 
𝑥𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥 1
𝑥2 + 𝑦2
 𝑥𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥
𝑥2 + 𝑦2
=
𝑥𝑑𝑦−𝑦𝑑𝑥
𝑥2+𝑦2
1 + (
𝑦
𝑥
)
2 = 𝑑 [𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝑦
𝑥
)] 
𝑥𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑥 1
(𝑥𝑦)𝑛
 
𝑥𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑥
(𝑥𝑦)𝑛
= 𝑑 [
−1
(𝑛 − 1)(𝑥𝑦)𝑛−1
] ; 𝑛 ≠ 1 
 
𝑥𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑥
(𝑥𝑦)𝑛
= 𝑑[𝑙𝑛 (𝑥𝑦)] ; 𝑛 = 1 
𝑥𝑑𝑥 + 𝑦𝑑𝑦 1
(𝑥2 + 𝑦2)2
 
𝑥𝑑𝑥 + 𝑦𝑑𝑦
(𝑥2 + 𝑦2)𝑛
= 𝑑 [
−1
2(𝑛 − 1)(𝑥2 + 𝑦2)𝑛−1
] ; 𝑛 ≠ 1 
 
𝑥𝑑𝑥 + 𝑦𝑑𝑦
𝑥2 + 𝑦2
= 𝑑[𝑙𝑛 (𝑥2 + 𝑦2)] ; 𝑛 = 1 
 
Ejem. 6 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales encontrando en FI adecuado 
Ecuación General de Primer Grado, Primer Orden: Llamado también Bellman, su forma 
general es la siguiente: 
 
Su solución: 
 
 
𝒚′ + 𝒚𝑷(𝒙) = 𝑸(𝒙) 
𝒚 = 𝒆− ∫ 𝑷(𝒙)𝒅𝒙 (∫ 𝒆∫ 𝑷(𝒙)𝒅𝒙 ∙ 𝑸(𝒙)𝒅𝒙 + 𝑪) 
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Deducción de la Fórmula: Sea el factor integrante F.I. que resuelve la ecuación diferencial 
de Bellman, si se multiplica el factor integrante a toda la ecuación se tendrá una diferencial 
exacta de la siguiente forma: 
𝒚′ + 𝒚𝑷(𝒙) = 𝑸(𝒙) 
Con factor integrante: 𝑭. 𝑰. = 𝒆∫ 𝑷(𝒙)𝒅𝒙 
𝒆∫ 𝑷(𝒙)𝒅𝒙 ∙ (𝒚′ + 𝒚𝑷(𝒙)) = 𝑸(𝒙) ∙ 𝒆∫ 𝑷(𝒙)𝒅𝒙 
𝑦′ ∙ 𝒆∫ 𝑷(𝒙)𝒅𝒙 + 𝒚𝒆∫ 𝑷(𝒙)𝒅𝒙 ∙ 𝑷(𝒙) = 𝑸(𝒙) ∙ 𝒆∫ 𝑷(𝒙)𝒅𝒙 
𝑑
𝑑𝑥
(𝒚 ∙ 𝒆∫ 𝑷(𝒙)𝒅𝒙) = 𝑄(𝑥) ∙ 𝒆∫ 𝑷(𝒙)𝒅𝒙 ⇒ ∫ 𝑑(𝒚 ∙ 𝒆∫ 𝑷(𝒙)𝒅𝒙) = ∫ 𝑄(𝑥)(𝒆∫ 𝑷(𝒙)𝒅𝒙)𝑑𝑥 
(𝒚 ∙ 𝒆∫ 𝑷(𝒙)𝒅𝒙) = ∫ 𝑄(𝑥)(𝒆∫ 𝑷(𝒙)𝒅𝒙)𝑑𝑥 + 𝑐 
𝑦 = 𝒆− ∫ 𝑷(𝒙)𝒅𝒙 (∫ 𝑄(𝑥)(𝒆∫ 𝑷(𝒙)𝒅𝒙)𝑑𝑥 + 𝑐) 
Ejem. 7 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por la fórmula general 
Bernoulli: Es la forma mejorada de Bellman y a través de un cambio de variable 
predeterminado, la ecuación se transformará en Bellman para la nueva variable. 
Su forma general es la siguiente: 
 
 
𝑪. 𝑽. : 𝒛 = 𝒚𝟏−𝒏 ⇒ 𝒚 = 𝒛
𝟏
𝟏−𝒏 ⇒ 𝒚′ =
𝟏
𝟏 − 𝒏
𝒛
𝟏
𝟏−𝒏−𝟏𝒛′ =
𝟏
𝟏 − 𝒏
𝒛
𝒏
𝟏−𝒏𝒛′ 
Reemplazando en la ecuación tendremos: 
 
𝟏
𝟏−𝒏
𝒛
𝒏
𝟏−𝒏𝒛′ + 𝒛
𝟏
𝟏−𝒏 𝑷𝟏(𝒙) = (𝒛
𝟏
𝟏−𝒏)
𝒏
∙ 𝑸𝟏(𝒙) 
𝒛′ + (𝟏 − 𝒏)𝒛
− 
𝒏
𝟏−𝒏𝒛
𝟏
𝟏−𝒏 𝑷𝟏(𝒙) = (𝒛
𝟏
𝟏−𝒏)
𝒏
𝒛
− 
𝒏
𝟏−𝒏𝑸𝟏(𝒙) 
𝒛′ + (𝟏 − 𝒏)𝒛𝑷𝟏(𝒙) = (𝟏 − 𝒏)𝑸𝟏(𝒙) 
Si hacemos: 𝑷(𝒙) = (𝟏 − 𝒏)𝑷𝟏(𝒙) 𝑦 𝑸(𝒙) = (𝟏 − 𝒏)𝑸𝟏(𝒙) tendremos la forma 
general de Bellman para la nueva variable, como ya se estableció líneas arriba. 
𝒛′ + 𝒛𝑷(𝒙) = 𝑸(𝒙) 
Ejem. 8 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por Bernoulli 
Ejercicios: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por un método adecuado 
 
𝒚′ + 𝒚𝑷𝟏(𝒙) = 𝒚
𝒏𝑸𝟏(𝒙)