Practica_1(EDO) (1)

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Practica N°1
1. Verificar que la función indicada es una solución de la ED dada, donde c1 y c2 son constantes
a) x2dy + 2xydx = 0; y = − 1
x2
b) y = 2xy′ + y (y′)2; y2 = c
(
x+ 1
4
c
)
c) y′ − 1
x
y = 1; y = xlnx para x > 0 d) y′ = e−x2
∫ x
0
et
2
dt+ ce−x
2
e) y′′ + y′ − 12y = 0; y = c1e3x + c2e−4x
2. En los problemas siguientes resuelva la ecuación diferencial dada por separación de variable
a) dy
dx
= sen5x
b) dy
dx
= (x+ 1)2
c) ylnxdx
dy
=
(
y+1
x
)2
d) (ey + 1)2 e−ydx+ (ex + 1)3 e−xdy = 0
e) dy
dx
= xy+3x−y−3
xy−2x+4y−8
f) dy
dx
= y
2−1
x2−1 donde y(2) = 2
g) (1 + x4) dy + x (1 + 4y2) dx = 0 donde y (1) = 0
h) dx+ e3xdy = 0
i) dy − (y − 1)2 dx = 0
j) sen3xdx+ 2ycos33xdy = 0
k) x (1 + y2)
1
2 dx = y (1 + x2)
1
2 dy
l) dy
dx
= xy+2y−x−2
xy−3y+x−3
m)
√
1− y2dx−
√
1− x2dy = 0 donde y(0) =
√
3
2
n) dy
dx
= y2senx2 donde y(−2) = 1
3
3. Encuentre una solución de x dy
dx
= y2 − y que pase por los puntos (0, 1), (0, 0),
(
1
2
, 1
2
)
y
(
2, 1
4
)
4. Demuestre que una solución implicita de 2xsen2ydx − (x2 + 10) cosydy = 0 está dada por
ln (x2 + 10) + cscy = c Determine las soluciones constantes.
5. a) Si a > 0 analice las diferencias, si existen, entre las soluciones de los problemas con valor
inicial que consiste en la ecuación diferencial dy
dx
= x
y
y de cada una de las condiciones iniciales
y(a) = −a, y(−a) = a y y(−a) = −a
b) ¿Tiene una solución el problema con valores iniciales dy
dx
= x
y
, y(0) = 0?
c) Resuelva dy
dx
= x
y
, y(1) = 2 e indique el intervalo de definición exacta de esta solución.
6. Determine una función cuyo cuadrado más el cuadrado de su derivada es igual a uno
7. Determine una solución implicita del problema del valor inicial
(2y + 2) dy −
(
4x3 + 6x
)
dx = 0
donde y(0) = −3 y encuentre una solución explicita y = Φ(x) del problrma del valor inicial.
8. En los problemas siguientes determine la solución general de la ecuación diferencial dada.
Indique el intervalo I más largo en el que está definido la solución general. Determine si hay
algunos términos transitorios en la solución general.
a) dy
dx
+ 2y = 0 b) dy
dx
+ y = e3x
c) y′ + 3x2y = x2 d) x2y′ + xy = 1
e) x dy
dx
+ 4y = x3 − x f) x2y′ + x(x+ 2)y = ex
g) ydx = (yey − 2x) dy h) cosx dy
dx
+ (senx) y = 1
i) cos2xsenx dy
dx
+ (cos3x) y = 1 j) (x+ 2)2 dy
dx
= 5− 8y − 4xy
k) x dy
dx
+ (3x+ 1) y = e−3x l) (x2 − 1) dy
dx
+ 2y = (x+ 1)2
9. En los siguientes ejercicios resuelva el problema del valor inicial. Indique el intervalo I más largo
en el que esta definida la solución.
a) Ldi
dt
+Ri = E donde i(0) = i0 y L, R, E, i0 son constantes
b) dT
dt
= k(T − Tm) donde T (0) = T0 y k, Tm, T0 son constantes
c) (x+ 1) dy
dx
+ y = lnx donde y(1) = 10
d) y′ + (tgx) y = cos2x donde y(0) = −1
e) dy
dx
+ 2y = f(x) donde y(0) = 0 y f(x) =
1, 0 ≤ x ≤ 30, x > 3
f) dy
dx
+ y = f(x) donde y(0) = 1 y f(x) =
1, 0 ≤ x ≤ 11−, x > 1
10. a) Construya una ecuación diferencial lineal de primer orden de la forma xy′ + a0(x)y = g(x)
para la cual yc = cx3 y yp = x
3. De un intervalo en el que y = x3 + c
x3
es la solución general de la
ecuación diferencial.
b) De una condición inicial y(x0) = y0 para la ecuación diferencial que se determinó en el inciso
a) de modo que la solución del problema del valor inicial sea y = x3 − 1
x3
. Repita si la solución es
y = x3 + 2
x3
. De un intervalo de definición I de cada una de estas soluciones. Trace la gráfica de las
curvas solución. ¿Hay un problema con valores iniciales cuya solución esté definida en (−∞,∞)?
c) ¿Es único cada problema con valor inicial encontrado en el inciso b)? Es decir, puede haber más
de un solo problema con valor inicial para el cual, digamos, y = x3 − 1
x3
, x en algún intervalo I,
es la solución?
11. Suponga que P(x) es continua en algún intervalo I y a es un número es I. ¿Qué se puede decir
acerca de la solución del problema con valor inicial y′ + P(x)y = 0 donde y(a) = 0?
2
12. Serie de decaimiento radiactivo El siguiente sistema de ecuación diferencial se encuentra
en el estudio del decaimiento de un tipo especial de series de elementos radiactivos:
dx
dt
= −λ1x
dy
dt
= λ1x− λ2y
donde λ1 y λ2 son constantes, Analice como resolver este sistema sujeto a x(0) = x0, y(0) = y0.
Lleve a cabo sus ideas.
13. Marcapasos de corazón Un marcapaso de corazón consiste en un interruptor, una bateria
de voltaje constante E0, un capacitor con capacitancia constante C y un corazón como un resistor
con resistencia constante R. Cuando se cierra el interruptor, el capacitor se carga; cuando el
interruptor se abre, el capacitor se descarga enviando estímulo0s eléctricos al corazón. Todo el
tiempo el corazón se está estimulando, el voltaje E a través del corazón satisface la ecuación
diferencial
dE
dt
= − 1
RC
E
resuelva la ecuación diferencial sujeto a E(4) = E0
14. En los siguientes ejercicios determine si las ecuaciones diferenciales dada es exacta. Si lo es,
resuelva
a) (seny − ysenx) dx+ (cosx+ xcosy − y) dy = 0
b) (2xy2 − 3) dx+ (2x2y + 4) dy = 0
c)
(
2y − 1
x
+ cos3x
)
dy
dx
+ y
x2
− 4x3 + 3ysen3x = 0
d) (x2 − y2) dx+ (x2 − 2xy) dy = 0
e)
(
1 + lnx+ y
x
)
dx = (1− lnx) dy
f) (x− y3 + y2senx) dx = (3xy2 + 2ycosx) dy
g) (ylny − e−xy) dx+
(
1
y
+ xlny
)
dy = 0
h) (3x2y + ey) dx+ (x3 + xey − 2y) dy = 0
i)
(
2ysenxcosx− y + 2y2exy2
)
dx =
(
x− sen2x− 4xyexy2
)
dy
j)
(
1
t
+ 1
t2
− y
t2+y2
)
dt+
(
yey + t
t2+y2
)
dy = 0
15. En los siguientes ejercicios resuelva el problema con valor inicial
a) (x+ y)2 dx+ (2xy + x2 − 1) dy = 0 donde y(1) = 1
b) (ex + y) dx+ (2 + x+ yey) dy = 0 donde y(0) = 1
c) (4y + 2t− 5) dt+ (6y + 4t− 1) dy = 0 donde y(−1) = 2
d)
(
1
1+y2
+ cosx− 2xy
)
dy
dx
= y(y + senx) donde y(0) = 1
3
16. En los siguientes problemas determinar el valor de k para que la ecuación diferencial sea exacta
a) (y3 + kxy4 − 2x) dx+ (3xy2 + 20x2y3) dy = 0
b) (6xy3 + cosy) dx+ (2kx2y2 − xseny) dy = 0
17. En los siguientes ejercicios compruebe que la ecuación diferencial dada es no exacta. Multiplique
la ecuación diferencial dada por el factor integrante indicado µ(x, y) y compruebe que la nueva
ecuación es exacta. Rresuelva
a) (−xysenx+ 2ycosx) dx+ 2xcosxdy = 0 donde µ(x, y) = xy
b) (x2 + 2xy − y2) dx+ (y2 + 2xy − x2) dy = 0 donde µ(x, y) = (x+ y)−2
18. En los ejercicios siguientes resuelva la ecuación diferencial dada determinando un factor inte-
grante adecuado
a) 6xydx+ (4y + 9x2) dy = 0
b) cosxdx+
(
1 + 2
y
)
senxdy = 0
c) (10− 6y + e−3x) dx− 2dy = 0
d) (y2 + xy3) dx+ (5y2 − xy + y3seny) dy = 0
19. Analice cómo se puede encontrar las funciones M(x, y) y N(x, y) tal que cada ecuación dife-
rencial sea exacta. Lleve a cabo sus ideas
a) M(x, y)dx+
(
xexy + 2xy + 1
x
)
dy = 0
b)
(
x−
1
2y
1
2 + x
x2+y
)
dx+N(x, y)dy = 0
20. Algunas veces las ecuaciones diferenciales se resuelven con una idea brillante. Este es un
pequeño ejercicio de inteligencia: aunque la ecuación
(
x−
√
x2 + y2
)
dx+ ydy = 0
no es exacta, demuestre cómo el reacomodo (xdx+ydy)√
x2+y2
= dx y la observación 1
2
d (x2 + y2) = xdx+
ydy puede conducir a una solución.
21. Verdadero o Falso: Toda ecuación diferencial de primer orden separable dy
dx
= g(x)h(y) es exacta
22. Cadena Cayendo. Una parte de una cadena de 8 pies de longitud está enrrollada sin apretar
al rededor de una clavija en el borde de una plataforma horizontal y la parte restante de la
cadena cuelga descansando sobre el borde de la plataforma. Suponga que la longitud de la cadena
que cuelga es de tres pies, que la cadena pesa 2 lb
pie
y que la dirección positiva es hacia abajo.
Comenzando en t = 0 segundo, el peso de la cadena que cuelga causa que la cadena sobre la
plataforma se desendesenrolle suavemente y caiga al piso. Si x(t) denota la longitud de la cadena
que cuelga de la mesa al tiempo t > 0, entonces v = dx
dt
es su velocidad. Cuando se desprecian
4
todas las fuerzas de resistencia se puede demostrar que un modelo matemático que relaciona a v
con x está dada por
xv
dv
dx
+ v2 = 32xa) Rescriba este modelo en forma diferencial. Proceda a resolver la ecuación diferencial para v en
términos de x determinando un factor integrante adecuado. Determine una solición explícita v(x)
b) Determine la velocidad con que la cadena abandona la plataforma.
23. Lineas de Flujo.
a) La solución de la ecuación diferencial
2xy
(x2 + y2)2
dx+
[
1 +
y2 − x2
(x2 + y2)
]
dy = 0
es una familia de curvas que se pueden interpretar como líneas de flujo de un fluido que discurre
alrededor de un objeto circular cuya frontera está descrita por la ecuación x2 + y2 = 1. Resuelva
está ecuación diferencial y observe que la solución f(x,y) = c para c = 0.
24. Resolver las ecuaciones diferenciales de Bernoulli usando una sustitución adecuada
a) x dy
dx
+ y = 1
y2
b) dy
dx
− y = exy2
c) dy
dx
= y (xy3 − 1) d) x dy
dx
− (1 + x) y = xy2
e) t2 dy
dt
+ y2 = ty f) 3 (1 + t2) dy
dt
= 2ty (y3 − 1)
g) x2 dy
dx
− 2xy = 3y4 donde y(1) = 1
2
h)y
1
2
dy
dx
+ y
3
2 = 1 donde y(0) = 4
25. Explique por qué es posible expresar cualquier ecuación diferencial homogénea M(x, y)dx +
N(x, y)dy = 0 en la forma
dy
dx
= F
(y
x
)
podría comenzar por demostrar que M(x, y) = xαM(1, y
x
) y N(x, y) = xαN(1, y
x
)
5