Clase 9

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9. Multiplicadores de Lagrange
Clase 9: martes 14 de abril
Multiplicar es la tarea, es la
tarea
Juan Carlos Baglietto
Sabemos que las ligaduras se pueden clasificar en dos grandes grupos:
las ligaduras holónomas, aquellas que pueden expresarse matemáticamente
como funciones de las posiciones de las part́ıculas y del tiempo igualadas
a cero f(r1, r2, · · · , rN ; t) = 0, y las ligaduras no holónomas. Al derivar
las ecuaciones de Lagrange desde el principio de D’Alembert tuvimos que
restringirnos a los sistemas holónomos, lo que nos aseguraba que las coorde-
nadas generalizadas eran independientes entre ellas. Por otro lado, no existe
una teoŕıa única que permita estudiar a los sistemas no holónomos. Den-
tro de este grupo tenemos distintas situaciones: por ejemplo, ligaduras que
son desigualdades y ligaduras que se escriben como funciones igualadas a
cero, pero ahora funciones que dependen de las velocidades de las part́ıculas
además de sus posiciones.
En esta clase abordaremos un tipo particular de sistemas no holónomos,
aquellos que tienen ligaduras diferenciales no integrables. Introduciendo fun-
ciones llamadas multiplicadores de Lagrange veremos como modificar el for-
malismo de Lagrange para incluir estos sistemas. De yapa encontraremos
que los multiplicadores de Lagrange nos permiten obtener las fuerzas de
v́ınculo para sistemas holónomos.
9.1. Multiplicadores de Lagrange
Consideremos que tenemos un sistema no holónomo, con k ligaduras
diferenciales no integrables del tipo
n∑
j=1
aij(q, t)dqj + ait(q, t)dt = 0, i = 1, · · · , k, (9.1)
donde aij y ait son coeficientes que dependen de las coordenadas general-
izadas, y del tiempo para el caso de v́ınculos reónomos. Dividiendo por el
diferencial de tiempo, estas ligaduras pueden escribirse también como poli-
nomios de grado uno en las velocidades generalizadas, igualados a cero:
n∑
j=1
aij q̇j + ait = 0, i = 1, · · · , k. (9.2)
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Notemos que si la expresión diferencial (9.1) fuese integrable (o existiese un
factor integrante), entonces podŕıamos escribir las ligaduras como holóno-
mas. Eso ocurre en el caso de la rodadura perfecta en una dimensión. Por
otro lado, sabemos que la rodadura perfecta en un plano es un ejemplo de
sistema con ligaduras no integrables de la forma (9.1):
ligadura 1 → dX +R cos θ dϕ = 0 (9.3)
ligadura 2 → dY +R sin θ dϕ = 0, (9.4)
con coeficientes a1X = 1, a1Y = a1θ = 0, a1ϕ = R cos θ, a2X = a2θ = 0,
a2Y = 1, y a2ϕ = R sin θ.
Cuando las ligaduras no son integrables no podemos utilizarlas para
despejar ciertas coordenadas en término de otras, pero por otro lado las lig-
aduras implican relaciones entre las velocidades, restringen los movimientos
posibles del sistema (sus grados de libertad). Es decir la cantidad de coor-
denadas generalizadas será mayor a la cantidad de grados de libertad. Śı o
śı hay que trabajar con coordenadas generalizadas que no son independientes
entre ellas, estando sus variaciones ligadas por los v́ınculos (9.1).
En un desplazamiento virtual, las variaciones virtuales de las coorde-
nadas generalizadas deben satisfacer los v́ınculos a tiempo fijo, deberán
cumplir entonces las condiciones
n∑
j=1
aijδqj = 0, i = 1, · · · , k. (9.5)
Notemos que debido al carácter virtual del desplazamiento no aparece el
término ait
23.
Si suponemos que las fuerzas generalizadas Qj derivan de un potencial,
el principio de D’Alembert en su forma (4.19) puede reescribirse como
n∑
i=1
[
∂L
∂qj
− d
dt
∂L
∂q̇j
]
δqj = 0. (9.6)
Si el sistema es holónomo, cada variación δqj es independiente de las otras,
y entonces se anulan los términos entre corchetes por separado y llegamos a
las n ecuaciones de Lagrange. Si los desplazamientos no son independientes
(9.5), como en los sistemas no holónomos que nos ocupan ahora, no podemos
obtener las ecuaciones de Lagrange como las conocemos. Pero podemos usar
el truco de multiplicadores de Lagrange y obtener ecuaciones del tipo de las
de Lagrange.
En primer lugar, multiplicamos cada condición (9.5) por una función
del tiempo λi(t), por ahora arbitraria y que llamaremos multiplicador de
23Esto significará que si dichos coeficientes no son nulos, los desplazamientos virtuales
no serán desplazamientos reales posibles del sistema
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Lagrange, y sumamos sobre todos los k v́ınculos no integrables:
k∑
i=1
n∑
j=1
λiaijδqj = 0 (9.7)
Sumamos (9.6) y (9.7)
n∑
j=1
[
∂L
∂qj
− d
dt
∂L
∂q̇j
+
k∑
i=1
λiaij
]
δqj = 0. (9.8)
Tenemos n desplazamientos virtuales δq, con k relaciones (9.5) entre ellos.
Podemos elegir n − k de los desplazamientos como los linealmente inde-
pendientes, y escribir los k desplazamientos restantes como funciones de
aquellos. Enumeramos las coordenadas generalizadas de forma tal que los
n − k primeros desplazamientos δqj son los que consideramos linealmente
independientes, mientras que los últimos k desplazamientos virtuales δqj son
los dependientes de los anteriores. Ahora hacemos uso de la arbitrariedad de
los multiplicadores de Lagrange, y los elegimos de forma tal que los últimos
k términos entre corchetes en (9.8) se anulen:
∂L
∂qj
− d
dt
∂L
∂q̇j
+
k∑
i=1
λiaij = 0 j = n− k + 1, · · · , n. (9.9)
Una vez que elegimos los multiplicadores, volvemos al principio de D’Alembert
(9.8) y vemos que la sumatoria ahora llega hasta n− k, porque los últimos
k términos se anulan:
n−k∑
j=1
[
∂L
∂qj
− d
dt
∂L
∂q̇j
+
k∑
i=1
λiaij
]
δqj = 0. (9.10)
Vemos que los desplazamientos virtuales que aparecen en esta expresión son
los que hab́ıamos elegido como linealmente independientes. Por lo tanto, para
que valga (9.10) debe anularse cada término entre corchetes por separado
∂L
∂qj
− d
dt
∂L
∂q̇j
+
k∑
i=1
λiaij = 0 j = 1, · · · , n− k. (9.11)
Las ecuaciones (9.10) y (9.11) son idénticas, aún cuando sus oŕıgenes no lo
son: algunas de ellas surgieron de elegir los λ apropiados, las otras derivan
de la independencia lineal de determinados desplazamientos virtuales. Ten-
emos entonces n ecuaciones de Lagrange modificadas por la presencia de los
multiplicadores de Lagrange, con n+k incógnitas: las n coordenadas y los k
multiplicadores λ. Nos están faltando ecuaciones, y ellas por supuesto son los
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k v́ınculos (9.2) que deben satisfacer las leyes de movimiento. Finalmente,
nuestro sistema de ecuaciones es
∂L
∂qj
− d
dt
∂L
∂q̇j
+
k∑
i=1
λiaij = 0 j = 1, · · · , n (9.12)
n∑
j=1
aij q̇j + ait = 0, i = 1, · · · , k. (9.13)
9.2. Significado f́ısico de los multiplicadores
Hemos modificado las ecuaciones de Lagrange para tratar el caso de
ligaduras diferenciales no integrables. En el proceso aparecieron los multi-
plicadores de Lagrange, los cuales consideramos como funciones auxiliares
hasta ahora. En lo que sigue, veremos que estos multiplicadores están rela-
cionados de manera directa con las fuerzas de v́ınculo.
Sabemos que uno de los grandes méritos del formalismo de Lagrange es la
no inclusión de las fuerzas de v́ınculo en el tratamiento de la dinámica de un
sistema. En lugar de las fuerzas de v́ınculo lo que aparece en la teoŕıa son los
propios v́ınculos: ’escondidos’ en la elección de las coordenadas generalizadas
para un sistema holónomo, expĺıcitamente en los sistemas no holónomos con
v́ınculos diferenciales.
Supongamos que volvemos atrás en nuestra teoŕıa e incluimos expĺıcita-
mente las desconocidas fuerzas de v́ınculos Fv’s correspondientes a los v́ıncu-
los diferenciales (9.1). Si incluimos las fuerzas de v́ınculo expĺıcitamente
las n coordenadas generalizadas pueden considerarse como independientes,
aunque sabemos que la dinámica, las fuerzas del sistema, obligan a que sus
variaciones satisfagan ciertas relaciones, los v́ınculos (9.1). Como las coor-
denadas ahora se consideran independientes, cuando vamos a la expresión
n∑
j=1
[
d
dt
∂L
∂q̇j
− ∂L
∂qj
−Qj
]
δqj = 0 (9.14)
del principio de D’Alembert, podemos considerar que se anula cada coefi-
ciente por separado. Las fuerzas de v́ınculo aparecerán ahora como fuerzas
generalizadasen las ecuaciones de movimiento de Lagrange
d
dt
∂L
∂q̇j
− ∂L
∂qj
= Qj j = 1, · · · , n. (9.15)
Resumiendo, ahora tenemos las fuerzas que no son de v́ınculo apareciendo en
la lagrangeana mediante un potencial, mientras que expĺıcitamente tenemos
las fuerzas de v́ınculo ligadas a los v́ınculos diferenciales apareciendo en las
fuerzas generalizadas
Qj =
N∑
i=1
Fvi ·
∂ri
∂qj
.
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Como sabemos las fuerzas de v́ınculo son desconocidas a priori, por lo tanto
el sistema de n ecuaciones (9.15) tiene n+k incógnitas: las coordenadas qj y
las fuerzas de v́ınculo Fv, una por cada v́ınculo diferencial. Debemos agregar
entonces los v́ınculos diferenciales al sistema de ecuaciones de Lagrange:
d
dt
∂L
∂q̇j
− ∂L
∂qj
= Qj j = 1, · · · , n (9.16)
n∑
j=1
aij q̇j + ait = 0, i = 1, · · · , k.
Ahora, cualquiera de los dos caminos que sigamos: a) tenemos en cuenta
los v́ınculos mediante multiplicadores de Lagrange (9.12) o b) incluimos
expĺıcitamente las fuerzas de v́ınculo (9.16), nos tiene que dar la misma
f́ısica. Una simple comparación de ambos sistemas de ecuaciones nos dice
que podemos identificar los términos
k∑
i=1
λiaij = Qj =
N∑
i=1
Fvi ·
∂ri
∂qj
. (9.17)
Vemos entonces que existe una relación entre fuerzas de v́ınculo y multi-
plicadores de Lagrange. Aunque parece a simple vista una relación no tan
directa, por la presencia de los factores geométricos aij y ∂r/∂qj , en los
problemas simples se encuentra que λi es la fuerza o torque que obliga a
que exista el v́ınculo i. Por ejemplo, en el caso de la rodadura perfecta en
el plano, λ1 es la componente x de la fuerza de roce, mientras que λ2 cor-
responde a la componente y. Observemos que el signo de λ es irrelevante,
podŕıamos haber multiplicado los v́ınculos por −λ en (9.7) sin que hubiese
ningun cambio respecto a lo que hicimos.
Ejemplo 9.1 (Rodadura perfecta en el plano)
Un disco vertical que rueda sin deslizar sobre un plano es el ejemplo por ex-
celencia de sistema no holónomo (ver figura 9.1). Las ecuaciones de v́ınculo
de rodadura perfecta son diferenciales no integrables:
dX +R cos θ dϕ = 0
dY +R sin θ dϕ = 0.
X e Y corresponden a las coordenadas del punto de contacto del disco con
el plano (que coincide con la proyección del centro de masa del disco en el
plano por la condición de vertical del disco), ϕ es el ángulo de giro del disco
sobre su propio eje y θ el ángulo que nos da la orientación del disco respecto
al eje x.
Ahora vamos a resolver este sistema usando los multiplicadores de La-
grange. La lagrangeana del disco coincide con su enerǵıa cinética, ya que
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x
z
y
(X,Y,0)
θ
φ
Figura 9.1: Disco vertical rodando sin deslizar en un plano.
consideramos que el centro de masa del disco siempre está a la misma altura
respecto del plano xy, no hay por lo tanto variación de la enerǵıa potencial
gravitatoria:
L = T =
1
2
M
(
Ẋ2 + Ẏ 2
)
+
1
2
I1ϕ̇
2 +
1
2
I2θ̇
2, (9.18)
I1 es el momento de inercia del disco respecto a su eje de simetŕıa, mientras
que I2 es el momento de inercia del disco respecto a uno de sus diámetros.
Las ecuaciones de Lagrange modificadas que resultan son
∂L
∂X
− d
dt
∂L
∂Ẋ
+ λ1a1X + λ2a2X = −MẌ + λ1 = 0
∂L
∂Y
− d
dt
∂L
∂Ẏ
+ λ1a1Y + λ2a2Y = −MŸ + λ2 = 0
∂L
∂θ
− d
dt
∂L
∂θ̇
+ λ1a1θ + λ2a2θ = −I2θ̈ = 0
∂L
∂ϕ
− d
dt
∂L
∂ϕ̇
+ λ1a1ϕ + λ2a2ϕ = −I1ϕ̈+ λ1R cos θ + λ2R sin θ = 0,
además de las dos ligaduras no integrables
Ẋ +R cos θ ϕ̇ = 0
Ẏ +R sin θ ϕ̇ = 0.
De estas ecuaciones resulta θ̇ ≡ ω = cte y los multiplicadores de Lagrange
λ1 = MR ω sin θ ϕ̇−MR cos θ ϕ̈,
λ2 = −MR ω cos θ ϕ̇−MR sin θ ϕ̈.
Reemplazamos los λ’s en la ecuación de ϕ y obtenemos
(I1 +MR
2)ϕ̈ = 0 (9.19)
82
Por lo tanto, la velocidad angular ϕ̇ también es constante. La velocidad del
centro de masa resulta
Ẋ = −Rϕ̇ cos(ωt+ θ0),
Ẏ = −Rϕ̇ sin(ωt+ θ0).
Integrando estas ecuaciones conocemos el movimiento del centro de masa
para ω ̸= 0 (Si ω = 0 el disco se mueve en una ĺınea recta):
X(t) = −Rϕ̇
ω
sin(ωt+ θ0) +X0,
Y (t) =
Rϕ̇
ω
cos(ωt+ θ0) + Y0.
El centro de masa del disco se mueve entonces en una órbita circular de
centro (X0, Y0) y radio Rϕ̇/ω, con velocidad angular constante ω.
La fuerza de v́ınculo responsable de la rodadura perfecta es la fuerza de
roce. De las relaciones (9.17) obtenemos que λ1 es la componente x de dicha
fuerza, mientras λ2 es la componente y. Por lo tanto,
F rocex = MR ω ϕ̇ sin(ωt+ θ0),
F rocey = −MR ω ϕ̇ cos(ωt+ θ0).
Como corresponde esta fuerza apunta hacia el centro de la órbita circular
que describe el punto de contacto del disco,
Froce = −Mω2(X −X0, Y − Y0),
ya que el centro de masa está ejecutando un movimiento circular uniforme
con velocidad angular ω.
9.3. Fuerzas de v́ınculo y multiplicadores de Lagrange en
sistemas holónomos
En la última parte vimos que el método de los multiplicadores de La-
grange nos permite resolver cierto tipo de sistemas no holónomos y además
encontrar las fuerzas de v́ınculo asociadas a los v́ınculos no holónomos.
Puede ocurrir que nos interese conocer las fuerzas de v́ınculo para sistemas
holónomos: por ejemplo, quisiéramos conocer la tensión en una cuerda cuan-
do sabemos que a partir de cierto valor ĺımite de dicha tensión la cuerda se
corta. O nos puede interesar conocer bajo que condiciones un cuerpo se sep-
ara de una superficie, es decir, nos cuando se anula la normal que ejerce la
superficie sobre el cuerpo. Dentro del formalismo de Lagrange ésto parece
imposible porque la teoŕıa no tiene en cuenta las fuerzas de v́ınculo desde el
principio. Sin embargo, gracias a los multiplicadores de Lagrange podemos
obtener información de las fuerzas de v́ınculo, aún para sistemas holónomos.
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Consideremos el v́ınculo holónomo
f(r1, r2, · · · , rN , t) = 0.
Si calculamos el diferencial de esta función y pasamos a coordenadas gener-
alizadas, tenemos
df =
N∑
i=1
∂f
∂ri
· dri +
∂f
∂t
dt = (9.20)
=
N∑
i=1
n∑
j=1
∂f
∂ri
· ∂ri
∂qj
dqj +
[
N∑
i=1
∂f
∂ri
· ∂ri
∂t
+
∂f
∂t
]
dt = 0.
El v́ınculo puede escribirse como uno diferencial tipo (9.5)
df =
n∑
j=1
ajdqj + atdt = 0, (9.21)
con coeficientes
aj =
N∑
i=1
∂f
∂ri
· ∂ri
∂qj
, at =
N∑
i=1
∂f
∂ri
· ∂ri
∂t
+
∂f
∂t
.
La diferencia con los v́ınculos no holónomos es que en este caso el diferencial
es integrable, porque no es más que el diferencial de la función f . Sin embar-
go, para la aplicación del método de multiplicadores de Lagrange no hace
ninguna diferencia la integrabilidad o no del v́ınculo. Tenemos entonces una
manera de conocer la fuerza de v́ınculo asociada a un v́ınculo holónomo. Los
pasos a seguir son:
No usamos el v́ınculo para despejar coordenadas, ésto implica trabajar
con más coordenadas generalizadas de las estrictamente necesarias,
Pasamos el v́ınculo f = 0 a una forma diferencial → df = 0, de donde
obtenemos los coeficientes a’s.
Incorporamos el v́ınculo mediante un multiplicador de Lagrange λ.
Aparecen dos ecuaciones extras respecto al mismo problema tratado
con el formalismo de Lagrange convencional: la ecuación de movimien-
to de la coordenada generalizada que no despejamos y la ecuación del
v́ınculo.
Resolvemos las ecuaciones, la función λ estará asociada directamente
con la fuerza de v́ınculo que queremos conocer. Muchas veces no es
posible resolver las ecuaciones de movimiento, sin embargo se puede
recurrir a argumentos de enerǵıa para encontrar la fuerza de v́ınculo en
término de las coordenadas generalizadas como veremos en el ejemplo
del péndulo simple que sigue.
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Ejemplo 9.2 (Péndulo simple)
Usamos coordenadas polares para tratar el péndulo simple. El v́ınculo es
r − l = 0, el cual no debemosusar para despejar r de la teoŕıa. Por lo
tanto, trabajamos con θ y r como coordenadas generalizadas. Pasamos el
v́ınculo a uno diferencial, ṙ = 0, los coeficientes son ar = 1, aθ = at = 0. La
lagrangeana es
L =
1
2
m
(
ṙ2 + r2θ̇2
)
+mgr cos θ.
Las ecuaciones de Lagrange modificadas son
∂L
∂r
− d
dt
∂L
∂ṙ
+ λar = mrθ̇
2 +mg cos θ −mr̈ + λ = 0
∂L
∂θ
− d
dt
∂L
∂θ̇
+ λaθ = −mgr sin θ −mr2θ̈ − 2mrṙθ̇ = 0
ṙ = 0.
De estas ecuaciones obtenemos la ecuación de movimiento del péndulo sim-
ple:
θ̈ +
g
l
sin θ = 0,
y el multiplicador de Lagrange
λ = −mlθ̇2 −mg cos θ.
De la relación (9.17)
Qr = λ = T ·
∂r
∂r
= −T
encontramos que λ es la tensión buscada (recordemos que el signo de λ
es irrelevante). Para conocer λ en función del tiempo debemos resolver el
problema, sin embargo mucho se puede hacer sin necesidad de resolver la
ecuación: λ depende de la velocidad angular θ̇ y esta velocidad puede obten-
erse en término del ángulo usando la conservación de la enerǵıa
1
2
ml2θ̇2 −mgl cos θ = E,
es decir,
θ̇2 =
2
ml2
(E +mgl cos θ) .
Por lo tanto,
T = −λ = 3mg cos θ + 2E
l
.
85
En esta clase vimos que:
Los v́ınculos del tipo ∑
j
aj q̇j + at = 0,
donde los coeficientes a’s son funciones de las coordenadas y del
tiempo, pueden resolverse en el formalismo de Lagrange mediante
el uso de multiplicadores de Lagrange. Este tipo de v́ınculos es no
holónomo propiamente dicho cuando la expresión anterior es no in-
tegrable, por otro lado cualquier v́ınculo holónomo puede escribirse
de esa forma diferencial.
Las fuerzas de v́ınculo pueden conocerse a través de los multipli-
cadores de Lagrange.
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