Clases 4 5 y 6

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4. Ecuaciones de Lagrange
Clase 5: martes 22 de marzo
Lagrange logró (...) una especie de
poema cient́ıfico
William Rowan Hamilton
En la clase anterior introdujimos la idea de desplazamiento virtual, un ex-
perimento matemático consistente en desplazar infinitesimalmente las posi-
ciones de las part́ıculas de manera compatible con las ligaduras y a tiempo
fijo. A partir de los desplazamientos virtuales y el trabajo virtual correspon-
diente, presentamos el principio de los trabajos virtuales, postulado que
nos dice que las fuerzas de v́ınculo no realizan trabajo virtual neto. Como
primera aplicación del PTV vimos que nos permit́ıa calcular la posición de
equilibrio estático de un sistema sin tener en cuenta las fuerzas de v́ınculo.
Históricamente, fue para el estudio de la estática que se planteó inicialmente
el PTV.
En 1743 D’Alembert aplica la idea de trabajo virtual al problema de la
dinámica de un sistema mecánico, estableciendo su principio de D’Alembert
que veremos en esta clase. Este principio, al igual que la segunda ley de
Newton, involucra vectores y fuerzas, estamos todav́ıa con una mecánica
vectorial donde el concepto de fuerza es el importante. A partir del princi-
pio de D’Alembert, y haciendo unas cuantas manipulaciones matemáticas,
deduciremos hoy las ecuaciones de movimiento de un sistema bajo la forma
conocida como ecuaciones de Lagrange. Esta ecuaciones están obtenidas a
partir de una función escalar, la función lagrangeana L, y en este formalismo
el concepto central ya no es el de fuerza sino el de potencial.
4.1. Principio de D’Alembert
Consideremos un sistema de part́ıculas moviéndose bajo la acción de
determinadas fuerzas. En un momento dado ’congelamos’ el tiempo, hace-
mos un desplazamiento virtual del sistema y calculamos el trabajo virtual
correspondiente
δW =
N∑
i=1
Fi · δri. (4.1)
Ahora usamos la segunda ley de Newton para cada part́ıcula, Fi = ṗi, y
tenemos una expresión alternativa del trabajo virtual,
δW =
N∑
i=1
Fi · δri =
N∑
i=1
ṗi · δri. (4.2)
24
Cada fuerza es la suma de fuerzas de v́ınculo y fuerzas que no son de v́ınculo.
Por el principio de trabajos virtuales, al trabajo virtual δW sólo contribuyen
las fuerzas que no son de v́ınculo, la expresión anterior entonces es
δW =
N∑
i=1
Fnvi · δri =
N∑
i=1
ṗi · δri. (4.3)
Juntando las dos sumatorias llegamos al principio de D’Alembert (1743)
N∑
i=1
(
F
(nv)
i − ṗi
)
· δri = 0. (4.4)
Notemos que en esta ecuación solamente aparecen las fuerzas que no son de
v́ınculo y además es válida para cualquier sistema mecánico, independien-
temente del tipo de v́ınculos. Del principio de D’Alembert se deducen los
formalismos de Lagrange, Hamilton y Hamilton-Jacobi que veremos en la
materia.
Comentario histórico: La idea de D’Alembert para tratar la dinámica con el
principio de los trabajos virtuales fue muy simple. La segunda ley de Newton dice
que para cada part́ıcula vale Fi = ṗi. Esta ecuación dinámica D’Alembert la pensó
como si fuese una condición de equilibrio, simplemente haciendo Fi− ṗi = 0, donde
ṗi juega el rol de una fuerza inercial como las que aparecen en mecánica relativa.
Lo que estaba haciendo de hecho era usar un sistema de referencia cuyo origen
coincide instante a instante con la posición de la part́ıcula. A este problema de
estática D’Alembert le aplicó el principio de los trabajos virtuales.
Ejemplo 4.1 (Péndulo simple)
En el péndulo simple el peso P es la única fuerza que no es de v́ınculo y el
desplazamiento virtual compatible con el v́ınculo es
δr = l(cos θ,− sin θ)δθ = lδθêθ.
El principio de D’Alembert (4.4) nos dice que la ecuación de movimiento es
(P−ma) · δr = 0. (4.5)
Dada la simetŕıa del problema, descomponemos peso y aceleración en partes
radial y tangencial:
P = mg cos θ êr −mg sin θ êθ,
a = −lθ̇2 êr + lθ̈ êθ.
Sólo contribuye la parte tangencial al principio de D’Alembert, haciendo el
producto escalar anterior tenemos(
−mg sin θ −mlθ̈
)
δθ = 0. (4.6)
25
Como δθ es un desplazamiento arbitrario, llegamos a la ecuación de movimien-
to del péndulo simple
mlθ̈ +mg sin θ = 0.
4.2. Deducción de las ecuaciones de Lagrange
En el ejemplo anterior del péndulo simple podemos notar dos cosas: por
un lado, nos desprendimos de las fuerzas de v́ınculo y, por otro lado, seguimos
teniendo una teoŕıa vectorial, en la cual la fuerza ocupa un lugar central.
Ahora vamos a trabajar con el principio de D’Alembert para arribar a una
teoŕıa escalar y que no esté centrada en el concepto de fuerza, sino en el de
potencial.
En la clase anterior encontramos que el trabajo virtual puede reescribirse
en término de las fuerzas generalizadas:
δW =
n∑
j=1
Qjδqj , (4.7)
donde la fuerza generalizada correspondiente a la coordenada qj es
Qj =
N∑
i=1
Fnvi ·
∂ri
∂qj
.
Por otro lado, el trabajo virtual pod́ıamos escribirlo como δW =
∑
i ṗi · δri
(4.2). En esta expresión vamos a considerar masas constantes, ṗi = mir̈i,
a escribir los desplazamientos virtuales de los vectores posición en término
de los desplazamientos de las coordenadas generalizadas δri =
∑
j
∂ri
∂qj
δqj e
intercambiar las sumatorias:
N∑
i=1
ṗi · δri =
n∑
j=1
(
N∑
i=1
ṗi ·
∂ri
∂qj
)
δqj . (4.8)
Las ecuaciones (4.7) y (4.8) nos permiten entonces pasar del principio de
D’Alembert escrito en desplazamientos δr’s (4.4) a una expresión en función
de los desplazamientos δqj ’s.
n∑
j=1
[
Qj −
N∑
i=1
mir̈i ·
∂ri
∂qj
]
δqj = 0. (4.9)
Ahora el objetivo es quitarnos de encima los vectores que aparecen en la
ecuación anterior. Para ello debemos jugar con derivadas.
Vamos a aclarar desde ya algo que puede llevar a confusión: En las ex-
presiones que siguen aparecerán derivadas de dos tipos; derivadas totales
respecto al tiempo d/dt y derivadas parciales respecto a las coordenadas
26
∂/∂qj , velocidades generalizadas ∂/∂q̇j y el tiempo ∂/∂t. Las primeras tienen
que ver con variaciones de una función en el tiempo debido a la dinámica
del sistema: las leyes de movimiento nos dicen como es la configuración del
sistema a cada instante, caracterizada mediante los vectores posición ri(t)
o las coordenadas generalizadas qj(t) en función del tiempo, si una función
depende de los vectores posición o de las coordenadas q y/o velocidades
generalizadas q̇, tendrá entonces una dependencia temporal en virtud de la
dinámica del sistema. Las derivadas parciales por otro lado tienen que ver
con la dependencia expĺıcita de esas funciones con las coordenadas, veloci-
dades generalizadas y eventualmente el tiempo. Por ejemplo, en el caso de
las relaciones constitutivas que nos dan los vectores posición en función de
las coordenadas generalizadas,
ri = ri(q1, q2, · · · , qn; t),
podemos derivar parcialmente respecto a coordenadas y tiempo, derivadas
que dependerán de la dependencia expĺıcita en esas variables y tienen un
significa ’geométrico’ y no dinámico. Por otro lado, si conocemos la depen-
dencia de las coordenadas generalizadas con el tiempo, qj(t), tenemos la
dependencia de los vectores posición con el tiempo
ri(t) = ri(q1(t), q2(t), · · · , qn(t); t),
y derivando totalmente respecto al tiempo, mediante la regla de la cadena,
tenemos las velocidades de las part́ıculas
ṙi =
n∑
j=1
∂ri
∂qj
q̇j +
∂ri
∂t
= ṙi(q̇1, q̇2, · · · , q̇n, q1, q2, · · · , qn; t)
Vemos que al derivar las relaciones constitutivas totalmente respecto al tiem-
po, la velocidad de cada part́ıcula resulta función de las coordenadas gen-
eralizadas y también de las velocidades generalizadas q̇. Es decir, mientras
la derivación parcial no genera dependencia en nuevas variables, la derivada
total śı 2.
Luego de esta necesaria disquisición sobre derivadas totales y parciales,
volvamos a la tarea de quitarnos de encima los vectores. Veamos como ree-
scribir el segundo término que aparece dentro del corchete en (4.9), usando
la propiedad de la derivada de producto de funciones:
N∑
i=1
mir̈i ·
∂ri
∂qj
=
N∑
i=1
mi
dṙi
dt
· ∂ri
∂qj
=
2Recordemosque las velocidades q̇j son independientes de las coordenadas qj . Hay una
relación diferencial entre ellas, pero no funcional. Este es un resultado f́ısico debido a que
la segunda ley de Newton es una ecuación diferencial de segundo orden, por lo tanto es
necesario determinar por separado coordenadas y velocidades, y las últimas no pueden
deducirse de las primeras.
27
=
d
dt
(
N∑
i=1
miṙi ·
∂ri
∂qj
)
−
N∑
i=1
miṙi ·
d
dt
(
∂ri
∂qj
)
. (4.10)
Si nos animamos a agregar un puntito arriba de ri y otro arriba de qj (ya
que los puntitos se cancelan entre ellos!) en la derivada parcial del primer
término, ∂ri/∂qj , nos apareceŕıa el producto escalar de la velocidad por una
derivada parcial de la velocidad, lo cual es proporcional a la derivada parcial
del cuadrado de la velocidad. En f́ısica estamos acostumbrados a ciertos
manejos matemáticos ’desprolijos’ pero ¿nos podemos atrever a tanto? La
respuesta es śı.
Cancelación de los puntos
Recién vimos que la velocidad de la part́ıcula i es
ṙi =
n∑
j=1
∂ri
∂qj
q̇j +
∂ri
∂t
(4.11)
y que depende de las velocidades generalizadas q̇. Vemos
que esa dependencia está bien expĺıcita, ya que las derivadas
parciales ∂r/∂q y ∂r/∂t no dependen de las velocidades.
Al derivar respecto de las velocidades generalizadas ten-
emos entonces el resultado conocido, por razones obvias,
como cancelación de los puntos:
∂ṙi
∂q̇k
=
∂ri
∂qk
. (4.12)
Ahora usamos la cancelación de los puntos en el primer término de (4.10)
N∑
i=1
miṙi ·
∂ṙi
∂q̇j
=
N∑
i=1
mi
∂
∂q̇j
(
ṙ2i
2
)
=
∂
∂q̇j
(
1
2
N∑
i=1
miṙ
2
i
)
≡ ∂T
∂q̇j
, (4.13)
donde T no es otra cosa que la enerǵıa cinética total del sistema
T =
1
2
N∑
i=1
miṙi
2. (4.14)
Veamos que podemos hacer con el segundo término de (4.10): calculamos la
derivada total de la derivada parcial, teniendo en cuenta sus dependencias
en coordenadas generalizadas y tiempo,
d
dt
(
∂ri
∂qj
)
=
n∑
k=1
∂2ri
∂qk∂qj
q̇k +
∂2ri
∂t∂qj
. (4.15)
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Encontramos que podemos intercambiar la derivada parcial por la derivada
total ya que al derivar (4.11)
∂
∂qj
(
dri
dt
)
≡ ∂ṙi
∂qj
=
n∑
k=1
∂2ri
∂qj∂qk
q̇k +
∂2ri
∂qj∂t
, (4.16)
vale
d
dt
∂ri
∂qj
=
∂ṙi
∂qj
, (4.17)
bajo la condición que las derivadas cruzadas de las relaciones constitutivas
sean iguales. Reemplazamos en el segundo término de (4.10) y obtenemos
una expresión donde aparece otra vez la enerǵıa cinética
N∑
i=1
miṙi ·
∂ṙi
∂qj
=
N∑
i=1
mi
∂
∂qj
(
ṙ2i
2
)
=
∂T
∂qj
. (4.18)
Reemplazando (4.13) y (4.18) en (4.10), llegamos a que el principio de
D’Alembert (4.9) se escribe
n∑
j=1
[
Qj −
(
d
dt
∂T
∂q̇j
− ∂T
∂qj
)]
δqj = 0. (4.19)
4.3. Ecuaciones de Lagrange
Llegamos a la forma (4.19) del principio de D’Alembert sin imponer
ninguna restricción f́ısica, por lo tanto esa expresión es válida para cualquier
sistema mecánico. Veremos ahora cómo obtener ecuaciones de movimientos
más compactas y prácticas, pagando el precio de restringirnos en el tipo de
sistemas que podemos estudiar.
Sistemas holónomos
Primero nos limitaremos a los sistemas holónomos, éstos son los sistemas
en los cuales existe el mismo número de coordenadas generalizadas que de
grados de libertad. De hecho, cada coordenadas generalizada representa fiel-
mente a un grado de libertad. En los sistemas holónomos las coordenadas
generalizadas son linealmente independientes entre śı, por lo tanto tam-
bién serán linealmente independientes los desplazamientos virtuales {δqj}:
si podemos variar cada coordenada independientemte de las demás, con más
razón podemos desplazar infinitesimalmente una coordenada sin importar
los desplazamientos de las otras.
Bajo la condición de independencia lineal de los desplazamientos δq ve-
mos que la ecuación (4.19) sólo tiene solución cuando se anula, por separado,
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cada coeficiente de los que están entre corchetes. Pasamos de la ecuación
(4.19) al sistema de n ecuaciones 3
d
dt
∂T
∂q̇j
− ∂T
∂qj
= Qj j = 1, · · · , n. (4.20)
Notemos que hay tantas ecuaciones como grados de libertad tenga el sistema.
Teniendo en cuenta que T depende de las velocidades generalizadas q̇, la
derivada total respecto del tiempo hará que aparezcan derivadas segundas
de las coordenas generalizadas (aceleraciones generalizadas q̈). Por lo tanto,
las ecuaciones anteriores son un sistema de n ecuaciones diferenciales de
segundo orden que permiten determinar las n funciones incógnita qj . Por
supuesto, al ser ecuaciones diferenciales de segundo orden, debemos imponer
condiciones inicales a las coordenas y velocidades generalizadas para obtener
una única solución al problema.
Vemos que en estas ecuaciones de movimiento la enerǵıa cinética juega
un rol central. ¿Cómo se obtiene T?
1. Para un sistema de N part́ıculas la enerǵıa cinética es
T =
1
2
N∑
i=1
miṙ
2
i .
2. Escribimos las relaciones constitutivas que definen r en función de las
coordenadas generalizadas (y puede ser el tiempo también)
ri = ri(q, t).
3. Calculamos las velocidades de las part́ıculas en función de coordenadas
y velocidades generalizadas
ṙi(q̇, q, t) =
n∑
j=1
∂ri
∂qj
q̇j +
∂ri
∂t
.
4. Reemplazamos estas velocidades en la definición de la enerǵıa cinética
y obtenemos entonces una expresión para la enerǵıa cinética en término
de las coordenadas y velocidades generalizadas
T (q̇, q, t).
Esta función es la que se deriva parcialmente en las ecuaciones de
movimiento (4.20).
3En algunos libros llaman a éstas como las ecuaciones de Lagrange de primera especie.
Nosotros no usaremos ese nombre.
30
Ejemplo 4.2 (Péndulo simple)
Veamos la ecuación de movimiento (4.20) para el péndulo simple. El péndulo
tiene un único grado de libertad que representamos mediante el ángulo θ. La
ecuación de movimiento es
d
dt
∂T
∂θ̇
− ∂T
∂θ
= Qθ.
Para encontrar la enerǵıa cinética seguimos los pasos enunciados arriba. La
relación constitutiva es
r(θ, t) = (l sin θ, l cos θ),
derivando esta relación se obtiene la velocidad
ṙ(θ̇, θ, t) = lθ̇(cos θ,− sin θ)
y la enerǵıa cinética es
T (θ̇, θ, t) =
1
2
mṙ2 =
1
2
ml2θ̇2.
Calculamos las derivadas que aparecen en la ecuación de movimiento
∂T
∂θ̇
= ml2θ,
d
dt
∂T
∂θ̇
= ml2θ̈,
∂T
∂θ
= 0.
Por otro lado, la fuerza generalizada es
Qθ = P ·
∂r
∂θ
= −mgl sin θ.
Finalmente, llegamos a la ecuación de movimiento correspondiente al péndu-
lo simple
ml2θ̈ = −mgl sin θ
Sistemas conservativos
Hasta ahora tenemos las ecuaciones de movimiento
d
dt
∂T
∂q̇j
− ∂T
∂qj
= Qj j = 1, · · · , n.
En ellas existe una marcada asimetŕıa: por un lado tenemos una función
escalar, la enerǵıa cinética T , por otro lado seguimos teniendo las fuerzas y
vectores que aparecen expĺıcitamente en las fuerzas generalizadas Qj . Cuan-
do todas las fuerzas que no son de v́ınculo son conservativas podemos llegar
a ecuaciones de movimiento más compactas y deducidas a partir de una
única función escalar.
31
Sea V la enerǵıa potencial o potencial 4 cuyo gradiente es la fuerza Fnv
F
(nv)
i = −∇iV (r1, r2, · · · , rN ) (4.21)
V depende únicamente de los N vectores posición de las part́ıculas pero no
de sus velocidades, como toda enerǵıa potencial. Reemplazamos el gradiente
en la fuerza generalizada Qj
Qj =
N∑
i=1
Fnvi ·
∂ri
∂qj
= −
N∑
i=1
∇iV ·
∂ri
∂qj
(4.22)
Usando las relaciones constitutivas podemos expresar el potencial en función
de las coordenadas generalizadas (y eventualmente el tiempo)
V = V (r1(q, t), r2(q, t), · · · , rN (q, t)).
Calculemos la derivada del potencial respecto a la coordenada qj :
∂V
∂qj
=
N∑
i=1
∇iV ·
∂ri
∂qj
. (4.23)
Comparando con (4.22) vemos que
Qj = −
∂V
∂qj
. (4.24)
Es como si las fuerzas generalizadas fuesen un gradiente (generalizado) de
la función potencial V . Las ecuaciones de movimiento generalizadas van
quedando
d
dt
∂T
∂qj
− ∂T
∂qj
= −∂V
∂qj
j = 1, · · · , n. (4.25)
Como el potencial no depende de las velocidades ṙ tampoco dependerá de
las velocidad generalizadas q̇. Por lo tantotrivialmente vale
∂V
∂q̇j
= 0 y
d
dt
∂V
∂q̇j
= 0,
y la fuerza generalizada se puede reescribir como
Qj =
d
dt
∂V
∂q̇j
− ∂V
∂qj
. (4.26)
Reemplazamos esta expresión en las ecuaciones de movimiento (4.20)
d
dt
∂T
∂q̇j
− ∂T
∂qj
=
d
dt
∂V
∂q̇j
− ∂V
∂qj
j = 1, · · · , n. (4.27)
4Si las fuerzas son conservativas, V puede considerársela como una enerǵıa potencial,
sin embargo, en la próximo clase veremos casos más generales y de alĺı que a V se lo
denomine como ’potencial’ a secas.
32
Definimos la función lagrangeana L como 5
L(q̇, q, t) ≡ T − V (4.28)
Con esta definición las ecuaciones de movimiento (4.27) resultan
d
dt
∂L
∂q̇j
− ∂L
∂qj
= 0 j = 1. · · · , n (4.29)
Estas son las famosas ecuaciones de Lagrange 6 y su obtención en 1788
constituye uno de los hitos de la historia de la f́ısica.
L es una función de las coordenadas, velocidades generalizadas y del
tiempo. Cuando se la deriva parcialmente no cambian esas dependencias,
pero al derivar totalmente respecto al tiempo, aparecen aceleraciones gener-
alizadas q̈. Por lo tanto, las ecuaciones de Lagrange constituyen un sistema
de n ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.
Notemos que una vez calculadas las enerǵıas cinética y potencial en fun-
ción de coordenadas y velocidades generalizadas, el proceso para encontrar
las ecuaciones de movimiento es directo y simple (aunque puede resultar
tedioso: armamos la lagrangeana y derivamos parcial y totalmente. Por lo
tanto, el esfuerzo real para encontrar las ecuaciones de movimiento se limita
a escribir T y V en función de q y q̇.
Repasemos las condiciones impuestas para la obtención de las ecuaciones
de Lagrange
Coordenadas generalizadas independientes: Necesitamos que los v́ıncu-
los sean holónomos para poder trabajar con n coordenadas general-
izadas independientes. Si hubiese v́ınculos no holónomos, las varia-
ciones de las coordenadas generalizadas no son independientes y no
pueden deducirse estas ecuaciones, ya que en (??) usamos desplaza-
mientos virtuales linealmente independientes.
Fuerzas conservativas: Consideramos únicamente el caso de fuerzas
conservativas, lo que no permitió escribir las fuerzas generalizadas co-
mo derivadas parciales del potencial respecto a las coordenadas gener-
alizadas, Qj = −∂V/∂qj . Si hay fuerzas no conservativas en un sistema
holónomo tenemos que usar las ecuaciones (4.20), las cuales impli-
can evaluar expĺıcitamente las fuerzas generalizadas en término de las
fuerzas actuantes.
5A L se la llama de manera indistinta como ’la función lagrangeana’, ’la función de La-
grange’, ’la lagrangeana’, arbitrariamente se suele cambiar ’lagrangeana’ por ’lagrangiana’
y también parece ser arbitrario el género, de hecho es más frecuente hablar de ’el la-
grangiano’. Elija la variante que más le guste!
6También se las denomina ecuaciones de Euler-Lagrange por razones que veremos en
otra clase.
33
m1
m2
θ1
θ2
l1
l2
y
x
Figura 4.1: Péndulo doble coplanar.
Ejemplo 4.3 ( Péndulo doble coplanar)
Calculemos las ecuaciones de Lagrange para el péndulo doble coplanar de
la figura 4.1. Debemos calcular las enerǵıas cinéticas y potencial en fun-
ción de las coordenadas y velocidades generalizadas, para formar la función
lagrangeana. El péndulo tiene dos grados de libertad, como coordenadas gen-
eralizadas tomamos los ángulos θ1 y θ2. Las relaciones constitutivas son
r1 = (l1 sin θ1, l2 cos θ1), r2 = (l1 sin θ1 + l2 sin θ2, l1 cos θ1 + l2 cos θ2),
las velocidades resultan entonces
ṙ1 = l1θ̇1(cos θ1,− sin θ1), ṙ2 = l1θ̇1(cos θ1,− sin θ1) + l2θ̇2(cos θ2,− sin θ2).
Llegamos a la enerǵıa cinética
T =
1
2
(m1 +m2)l
2
1θ̇
2
1 +
1
2
m2l
2
2θ̇
2
2 +m2l1l2 cos(θ1 − θ2)θ̇1θ̇2.
La enerǵıa potencial es gravitatoria y se escribe en término de las coorde-
nadas generalizadas como
V = −(m1 +m2)gl1 cos θ1 −m2gl2 cos θ2.
Obtenemos aśı la lagrangeana
L = T − V = 1
2
(m1 +m2)l
2
1θ̇
2
1 +
1
2
m2l
2
2θ̇
2
2 +m2l1l2 cos(θ1 − θ2)θ̇1θ̇2+
+(m1 +m2)gl1 cos θ1 +m2gl2 cos θ2.
Calculamos las derivadas parciales necesarias y llegamos a las dos ecua-
ciones de Lagrange
d
dt
∂L
∂θ̇1
− ∂L
∂θ1
= (m1 +m2)l
2
1θ̈1 +m2l1l2 cos(θ1 − θ2)θ̈2 +
+m2l1l2 sin(θ1 − θ2)θ̇22 + (m1 +m2)gl1 sin θ1 = 0,
d
dt
∂L
∂θ̇2
− ∂L
∂θ2
= m2l
2
2θ̈2 +m2l1l2 cos(θ1 − θ2)θ̈1 −
−m2l1l2 sin(θ1 − θ2)θ̇21 +m2gl2 sin θ2 = 0.
34
Estas ecuaciones son no lineales y no tienen solución de manera gener-
al. Anaĺıticamente pueden resolverse en el ĺımite de pequeñas oscilaciones,
cuando θ1, θ2 ≪ 1. En dicho ĺımite el movimiento general es la simple su-
perposición de dos movimientos armónicos simples conocidos como ’modos
normales’. Este sistema presenta además un régimen caótico cuando sus
condiciones se apartan lo suficiente del ĺımite anterior, para acceder a este
régimen es necesario recurrir a la resolución numérica de las ecuaciones.
En esta clase vimos que:
El principio de los trabajos virtuales nos permitió llegar al principio
de D’Alembert
N∑
i=1
(Fnvi − ṗi) δri = 0,
el cual permite resolver la dinámica de cualquier sistema mecánico.
Su ventaja es que no entran en juego las fuerzas de v́ınculo. Sus
desventajas son: i) la teoŕıa sigue siendo de carácter vectorial; ii)
en una simple ecuación están ’escondidas’ todas las ecuaciones de
movimiento. Es necesario en cada caso particular encontrar dichas
ecuaciones.
Si el sistema es holónomo llegamos a ecuaciones de movimiento de
la forma
d
dt
∂T
∂q̇j
− ∂T
∂qj
= Qj j = 1, · · · , n.
Ventaja: no hay fuerzas de v́ınculo, hay una ecuación de movimien-
to por cada grado de libertad. Desventaja; seguimos con una teoŕıa
vectorial (en parte) y se debe trabajar directamente con las fuerzas.
Si el sistema es holónomo y las fuerzas son conservativas llegamos
a las ecuaciones de Lagrange!
d
dt
∂L
∂q̇j
− ∂L
∂qj
= 0 j = 1, · · · , n.
Por cada grado de libertad tenemos una ecuación diferencial,
obtenible a partir de la función escalar lagrangeana
L(q̇, q, t) = T − V.
Encontrar las ecuaciones de movimiento se vuelve un asunto sen-
cillo, se reduce a derivar la lagrangeana. Por supuesto, el esfuerzo
ahora debe concentrarse en calcular L en término de las coorde-
nadas, velocidades generalizadas y eventualmente el tiempo.
35
5. Potenciales generalizados
Clase 6: martes 29 de marzo
En la clase anterior obtuvimos las ecuaciones de Lagrange
d
dt
(
∂L
∂q̇j
)
− ∂L
∂qj
= 0 j = 1, · · · , n,
a partir del principio de D’Alembert,
N∑
i=1
(Fnvi − ṗi) δri = 0.
Mientras que el principio de D’Alembert es de aplicación general, tuvimos
que suponer un par de condiciones para obtener las ecuaciones de Lagrange:
Los v́ınculos del sistema tienen que ser holónomos, aśı usando la in-
dependencia lineal de los desplazamientos virtuales δqj pudimos tener
una ecuación de Lagrange asociada con cada grado de libertad o co-
ordenada generalizada.
Las fuerzas (que no son de v́ınculo) involucradas se obtienen a partir
de un potencial que depende de las posiciones V (r). En el sentido
usual, decimos que las fuerzas son conservativas y que el potencial es
la enerǵıa potencial del sistema, pero por otro lado lo que nos importa
aqúı no son propiedades de conservación de la enerǵıa, sino el hecho que
las fuerzas generalizadas puedan ser obtenidas mediante la derivación
de una función potencial. En los sistemas conservativos ello ocurre
naturalmente.
Ambas son condiciones suficientes para la obtención de las ecuaciones
de Lagrange, pero no estrictamente necesarias. Por un lado, veremos más
adelante que las ecuaciones de Lagrange pueden modificarse para tratar de-
terminado tipo de v́ınculo no holónomo (por ejemplo, rodadura perfecta en el
plano), mediante el método de multiplicadores de Lagrange. Por otra parte,
en esta clase veremos un ejemplo concreto de sistema en el cual la fuerza se
obtiene a partir de un potencial generalizado que depende de la posición y
de la velocidad. A este potencial generalizado se lo debe pensar comouna
cantidad auxiliar, sin significado f́ısico, que permite obtener la fuerza y no
está asociado a una enerǵıa potencial. El sistema del que hablamos es el caso
de una part́ıcula cargada en un campo electromagnético arbitrario; dada la
importancia de este sistema lo veremos en detalle. Para empezar recordare-
mos brevemente las ecuaciones de Maxwell, introduciremos potenciales elec-
tromagnéticos, para luego deducir el potencial generalizado dependiente de
36
posición y velocidad. Vale destacar que la función hamiltoniana correspon-
diente a este problema es el punto de partida para el estudio microscópico
de las propiedades electromagnéticas de la materia.
Un comentario sobre nomenclatura: Lanczos llama fuerzas monogénicas
a aquellas que derivan de un potencial, independientemente de la conser-
vación de enerǵıa y/o del significado f́ısico del potencial. A las fuerzas que
no son derivable de potencial alguno, como la fuerza de roce, las denomina
poligénicas.
Antes de ir a potenciales generalizados que dependen de las velocidades,
hacemos una leve generalización de la enerǵıa potencial, incorporando la
dependencia del tiempo.
5.1. Potenciales dependientes del tiempo
Para expresar la fuerza generalizada como Qj = −∂V /∂qj , supusimos
que las fuerzas que no son de v́ınculo eran conservativas. Este adjetivo ’con-
servativa’ viene del simple hecho que si las fuerzas son conservativas entonces
tenemos conservación de la enerǵıa, enerǵıa que es la suma de la cinética y
de la enerǵıa potencial. Es el gradiente de esa misma enerǵıa potencial, V ,
la que nos permite calcular la fuerza.
Esta condición que liga a las fuerzas conservativas con la conservación
de la enerǵıa puede no ser siempre cierta. Podemos imaginar sistemas en los
cuales la enerǵıa potencial depende expĺıcitamente del tiempo, V = V (q, t).
En estos sistemas decimos que la fuerza es ’instantáneamente’ conservativa,
significando que el trabajo que realiza la fuerza cuando la part́ıcula se mueve
del punto 1 al punto 2 es independiente del camino únicamente si consid-
eramos el tiempo fijo. Bajo esta condición puede verse que la fuerza sigue
siendo el gradiente de una enerǵıa potencial, pero que ahora dependerá del
tiempo, y que la enerǵıa del sistema es la suma de la enerǵıa cinética y de
esta enerǵıa potencial dependiente del tiempo.
Veamos algunos ejemplos de estos sistemas. En un péndulo de Ehrenfest,
en el cual el largo de la cuerda que une a la masa con el punto de suspensión
vaŕıa de una manera determinada por algún agente externo. En este caso la
enerǵıa potencial gravitatoria es V (θ, t) = −mgl(t) cos θ, depende expĺıcita-
mente del tiempo, y la fuerza generalizada es Qθ = −∂V /∂θ = mgl(t) sin θ.
La enerǵıa del péndulo no se conservará porque existe el mecanismo exter-
no que, al estirar o acortar la cuerda, entrega o retira enerǵıa del sistema.
Otro sistema donde la enerǵıa potencial depende del tiempo es el de un
sistema de dos estrellas que orbitan una alrededor de la otra. Un planeta
en dicho sistema binario sentirá la acción de un potencial gravitatorio que
depende expĺıcitamente del tiempo. Por supuesto, eso es aśı porque estamos
aproximando el problema de tres cuerpos (2 estrellas y 1 planeta): primero
resolvemos el sistema de dos estrellas y luego agregamos el planeta en el
potencial generado por el sistema binario, despreciando el efecto que pue-
37
da tener el planeta sobre el movimiento de las estrellas. De manera general,
cuando aparezca el tiempo expĺıcitamente en la enerǵıa potencial será porque
está actuando sobre nuestro sistema algún agente externo cuyas caracteŕısti-
cas dependen expĺıcitamente del tiempo, Si nuestro sistema está aislado, por
otro lado, no habrá dependencia expĺıcitamente de tiempo, porque para el
sistema aislado el tiempo debe ser homogéneo.
Como la fuerza continua siendo el gradiente de una función de la posición
(y ahora del tiempo), Fnvi = −∇iV (r, t), podemos repetir uno a uno los pasos
que nos llevó a las ecuaciones de Lagrange, sin que nada cambie.
5.2. Potencial dependiente de la velocidad: Part́ıcula carga-
da en un campo electromagnético
5.2.1. Ecuaciones de Maxwell
Dada una distribución arbitraria de cargas caracterizada por la densidad
de carga ρ(r, t) y la densidad de corriente j(r, t), las ecuaciones de Maxwell
dan el campo electromagnético E(r, t) y B(r, t) correspondiente7:
Gauss : div E =
ρ
ε0
, (5.1)
Faraday : rot E = −∂B
∂t
, (5.2)
no monopolo : div B = 0, (5.3)
Ampere : rot B = µ0ε0
∂E
∂t
+ µ0j. (5.4)
Además las densidades de carga y de corriente deben satisfacer la ecuación
de continuidad,
div j+
∂ρ
∂t
= 0. (5.5)
Para cerrar el sistema electromagnético debemos saber cómo actúa el campo
electromagnético sobre las cargas del sistema. Sabemos que la fuerza sobre
una carga q es la fuerza de Lorentz:
F(r, t) = qE(r, t) + qṙ ∧B(r, t). (5.6)
En lo que sigue calcularemos la función lagrangeana para una part́ıcula
cargada en presencia de un dado campo electromagnético.
5.2.2. Potenciales vector y escalar
Para calcular el potencial generalizado que nos permita escribir la fun-
ción lagrangeana de este sistema debemos trabajar con cantidades auxiliares,
7Usaremos el sistemas de unidades MKS
38
a las que llamaremos potenciales vector y escalar, en lugar de trabajar di-
rectamente con los campos E y B.
El caracter solenoidal (divergencia nula) del campo magnético (5.3) per-
mite escribirlo como rotor de otro campo vectorial, al que llamaremos po-
tencial vector A8:
B(r, t) = rot A(r, t). (5.7)
Por ejemplo, si tenemos un campo magnético uniforme en la dirección z,
B = Bêz, el potencial vector puede tomarse como A =
(
−yB2 ,
xB
2 , 0
)
9.
Si reemplazamos el campo magnético por su expresión en término del
potencial vector en la ecuación de inducción,
rot E(r, t) = −∂ rotA(r, t)
∂t
,
intercambiamos la derivada parcial temporal y las derivadas espaciales del
rotor,
rot E(r, t) = −rot
(
∂A(r, t)
∂t
)
,
y juntamos los dos rotores, llegamos a que la ecuación de inducción de Fara-
day (5.2) es
rot
(
E(r, t) +
∂A(r, t)
∂t
)
= 0. (5.8)
El campo vectorial encerrado entre paréntesis es irrotacional, por lo tanto
puede escribirse como gradiente de un campo escalar ϕ(r, t), el denominado
potencial eléctrico o escalar:
E(r, t) +
∂A(r, t)
∂t
= −∇ϕ(r, t). (5.9)
Logramos entonces escribir los campos electromagnéticos de manera general
en término de dos potenciales, uno vector y otro escalar:
B(r, t) = rot A(r, t), (5.10)
E(r, t) = −∇ϕ(r, t)− ∂A(r, t)
∂t
. (5.11)
5.2.3. Fuerza de Lorentz y potencial generalizado
Vamos a considerar una part́ıcula cargada que no está sujeta a ninguna
ligadura, y tomamos las tres coordenadas cartesianas como coordenadas
8En la f́ısica clásica A es una cantidad auxiliar, que no puede medirse directamente,
mientras que en la f́ısica cuántica la presencia de A tiene consecuencias observables. Ver
por ejemplo, el efecto Aharanov-Bohm.
9En la sección 5.2.4 veremos que para cada campo B existen infinitos potenciales vector
A posibles, que no difieren entre ellos simplemente en una constante.
39
generalizadas, es decir, q1 = x, q2 = y y q3 = z. Recordemos que pudimos
armarnos la función lagrangeana gracias a sumar a la fuerza generalizada
un cero escrito de manera complicada como ddt
∂V
∂q̇j
Encontraremos que para el caso de la part́ıcula cargada en un campo
electromagnético, la fuerza generalizada Qj
10 se obtiene de un potencial
’generalizado’ U mediante la expresión
Qj =
d
dt
∂U
∂q̇j
− ∂U
∂qj
, (5.12)
ahora, a diferencia de lo que hicimos al obtener las ecuaciones de Lagrange,
el primer término que involucra derivada respecto a q̇j , no será trivialmente
cero, porque el potencial generalizado dependerá expĺıcitamente de la veloci-
dad (de otra forma no podŕıamos obtener la fuerza de Lorentz que depende
de la velocidad de la part́ıcula).
En concreto, necesitamos encontrar una función U(ṙ, r, t) tal quelas
componentes de la fuerza se escriban
Fx ≡ qEx + q (ṙ ∧B)x =
d
dt
∂U
∂ẋ
− ∂U
∂x
,
Fy ≡ qEy + q (ṙ ∧B)y =
d
dt
∂U
∂ẏ
− ∂U
∂y
, (5.13)
Fz ≡ qEz + q (ṙ ∧B)z =
d
dt
∂U
∂ż
− ∂U
∂z
.
Para lograr esto debemos trabajar con cantidades auxiliares, los potenciales,
y no directamente con los campos electromagnéticos E y B.
La fuerza sobre la part́ıcula cargada en término de potenciales es entonces
F = −q∇ϕ− q∂A
∂t
+ qṙ ∧ rot A (5.14)
Como el rotor de A es el producto vectorial del operador diferencial ∇ y el
vector A, el tercer término de la expresión anterior es un doble producto
vectorial. Lo podemos reescribir usando la siguiente identidad vectorial:
a ∧ (b ∧ c) =
3∑
j=1
aj b cj − (a · b)c. (5.15)
a, b, y c son tres vectores, la fórmula es válida aún cuando uno de esos
vectores es un operador, como en el caso del rotor. En dicho caso, cuando
aparezcan operadores diferenciales, se debe tener el cuidado de no cambiar
10Como elegimos coordenadas cartesianas como las generalizadas, las fuerzas general-
izadas coinciden con las componentes cartesianas de la fuerza, por ejemplo, Q1 = Fx.
40
el orden en el que aparecen a, b y c en la identidad anterior. Identificamos
a → ṙ, b → ∇ y c → A y obtenemos entonces
ṙ ∧ rot A =
3∑
j=1
ṙj∇Aj − (ṙ · ∇)A. (5.16)
Por ejemplo, la componente x es
(ṙ ∧ rot A)x =
3∑
j=1
ṙj
∂Aj
∂x
− (ṙ · ∇)Ax =
= ẋ
∂Ax
∂x
+ ẏ
∂Ay
∂x
+ ż
∂Az
∂x
− ẋ∂Ax
∂x
− ẏ ∂Ax
∂y
− ż ∂Ax
∂z
.
En el primer término en (5.16) podemos meter la velocidad dentro del op-
erador gradiente, ya que el gradiente deriva parcialmente respecto a las co-
ordenadas y no respecto a las velocidades. Nos queda entonces
ṙ ∧ rot A = ∇ (ṙ ·A)− (ṙ · ∇)A. (5.17)
Ahora, veamos como vaŕıa en el tiempo el potencial vector que actúa sobre
la part́ıcula. Como nos interesa entonces el cambio del campo A que ’ve’ la
part́ıcula al moverse, debemos calcular su derivada total respecto del tiempo:
dA
dt
=
∂A
∂x
ẋ+
∂A
∂y
ẏ +
∂A
∂z
ż +
∂A
∂t
(5.18)
Otra vez, las velocidades pueden incluirse dentro de las derivadas parciales
respecto a las coordenadas, y nos queda
dA
dt
= (ṙ · ∇)A+ ∂A
∂t
(5.19)
Notemos que el primer término en (5.19) es igual al segundo término en
(5.17), por lo tanto reemplazando en (5.17) llegamos a
ṙ ∧ rot A = ∇ (ṙ ·A)− dA
dt
+
∂A
∂t
(5.20)
La fuerza resulta
F = −q∇ϕ− q∂A
∂t
+ q∇ (ṙ ·A)− q dA
dt
+ q
∂A
∂t
= (5.21)
= −q∇ϕ+ q∇ (ṙ ·A)− qdA
dt
= −∇ (qϕ− qṙ ·A)− q dA
dt
.
Miremos una componente, por ejemplo la x,
Fx = −
∂
∂x
(qϕ− qṙ ·A)− qdAx
dt
41
La parte de la derivada respecto a las coordenadas tiene la forma buscada
en (5.13) si identificamos al potencial U con
U = qϕ− qṙ ·A (5.22)
Nos preguntamos si la otra parte, dAx/dt corresponderá al otro término.
Veamos. Cuando calculamos la derivada parcial de U respecto a las veloci-
dades, la única contribución viene de la dependencia expĺıcita en ṙ, porque
ninguno de los dos potenciales depende de la velocidad, por lo tanto
∂U
∂ẋ
= −qAx
y llegamos a
d
dt
∂U
∂ẋ
= −q dAx
dt
. (5.23)
Por lo tanto, vale efectivamente que
Fx = −
∂U
∂x
+
d
dt
∂U
∂ẋ
, (5.24)
de manera análoga para las componentes y y z de la fuerza electromagnética.
Por lo tanto hemos encontrado un potencial generalizado U
U(ṙ, r, t) = qϕ(r, t)− qṙ ·A(r, t) (5.25)
el cual nos da la fuerza generalizada escrita en la forma buscada (5.13).
La función lagrangeana de una part́ıcula cargada en un campo electro-
magnético entonces es
L(ṙ, r, t) =
1
2
mṙ2 − qϕ(r, t) + qṙ ·A(r, t)− V (r, t) (5.26)
donde V es algún otro potencial que podŕıa existir actuando sobre la part́ıcu-
la (gravitatorio, elástico, por ejemplo).
Un comentario sobre el uso de coordenadas generalizadas. Para obtener el
potencial generalizado por simplicidad usamos las coordenadas cartesianas
de la part́ıcula. Una vez obtenida la forma del potencial (5.25), podemos
hacer una transformación de coordenadas a cualquier otro conjunto de co-
ordenadas generalizadas y las ecuaciones de Lagrange que obtendremos son
equivalentes a las originales en coordenadas cartesianas. En la próxima clase
veremos con detalle estas transformaciones de coordenadas.
5.2.4. Transformación de gauge 11 de los potenciales
Dećıamos que los potenciales vector A y escalar ϕ son cantidades auxil-
iares. En lo que sigue encontraremos que dado un campo electromagnético,
11El término gauge –se pronuncia geish– significa medida o calibración, por lo tanto
también se conoce a esta transformación como ’de medida’, aunque ’transformación de
gauge’ es de uso much́ısimo más frecuente.
42
existen infinitos potenciales equivalentes que dan el mismo campo, donde
la diferencia entre los potenciales equivalentes no es una simple constante
como ocurre con la enerǵıa potencial.
El campo magnético está relacionado con el potencial vector mediante
la operación rotor,
B = rot A,
por lo tanto al potencial vector le podemos sumar el gradiente de una función
de la posición y del tiempo χ(r, t) arbitraria,
A → A′ = A+∇χ, (5.27)
sin cambiar el valor del campo B. Es decir,
B′ = rot A′ = rot A = B.
Sin embargo, śı cambia el campo eléctrico:
E′ = −∇ϕ− ∂A
′
∂t
̸= −∇ϕ− ∂A
∂t
= E.
Podemos solucionar esta falta de invariancia del campo eléctrico si al mismo
tiempo que cambiamos el potencial vector hacemos lo mismo con el potencial
escalar, ϕ → ϕ′. Vemos que si
ϕ′ = ϕ− ∂χ
∂t
entonces tampoco cambia el campo eléctrico.
E′ = ∇ϕ′ − ∂A
′
∂t
= −∇ϕ− ∂A
∂t
+∇∂χ
∂t
− ∂∇χ
∂t
= E,
para llegar a esta igualdad de campos pedimos que χ(r, t) se comporte
matemáticamente bien para poder intercambiar derivadas parciales tem-
poral y espacial en la expresión anterior.
La transformación
A → A′ = A+∇χ, (5.28)
ϕ → ϕ′ = ϕ− ∂χ
∂t
, (5.29)
se llama transformación de gauge de los potenciales electromagnéticos.
El campo electromagnético es el que tiene significado f́ısico al ser medible
y no cambia con la transformación de gauge; es decir, los pares (ϕ,A)
y (ϕ′,A′) dan los mismos campos eléctrico y magnético. Decimos que el
campo electromagnético es invariante de gauge. La idea de transforma-
ción e invariancia de gauge es central en la teoŕıa de campos cuánticos,
podemos decir sin exagerar que juega un rol tan importante como la
isotroṕıa y la homogeneidad del espacio y la homogeneidad del tiempo.
43
Remarcamos que la función χ depende de la posición y del tiempo (no
de la velocidad) y es arbitraria excepto por la condición de que sus derivadas
parciales cruzadas sean iguales.
5.2.5. Transformaciones de gauge de la función lagrangeana
Encontramos antes que la función lagrangeana generalizada para de-
scribir la dinámica de una part́ıcula cargada es
L =
1
2
mṙ2 − qϕ+ qṙ ·A.
Se ve de manera directa que L no es invariante de gauge. Veamos como
cambia L cuando pasamos del par de potenciales (ϕ,A) al par (ϕ′,A′):
L′ =
1
2
mṙ2 − qϕ′ + qṙ ·A′ = 1
2
mṙ2 − qϕ+ qṙ ·A︸ ︷︷ ︸
L
+q
∂χ
∂t
+ qṙ · ∇χ (5.30)
Teniendo en cuenta que la función de gauge χ depende únicamente de la
posición y del tiempo, los dos últimos términos de la ecuación anterior se
escriben como
q
[
∂χ
∂t
+ ṙ · ∇χ
]
=
d(qχ)
dt
, (5.31)
por lo cual la relación entre ambas funciones lagrangeanas es
L′ = L+
d(qχ)
dt
. (5.32)
Podemos comentar dos cosas:
a) Notamos que la lagrangeana cambia con la transformación de gauge
mientras los campos eléctrico y magnético, que son los ’observables’, los que
pueden medirse, no lo hacen. Si los campos ’f́ısicos’ no cambian esperamos
que las ecuaciones de movimiento tampoco lo hagan, sin embargo L cambia
de manera no trivial y no es obvio que el término agregado a L, d(qχ)dt , no
modifique las ecuaciones de Lagrange. Veremos en la próxima sección que
efectivamente el término agregado no modifica para nada las ecuaciones de
Lagrange, es un caso particular de lo que llamaremos transformación de
gauge de la función lagrangeana.
b) La diferencia entre L y L′ no es una simple funciónconstante, como χ
es arbitraria podemos decir que esa diferencia también lo es, y además por
lo dicho en el apartado anterior, esa diferencia no modificará las ecuaciones
de Lagrange. Deducimos entonces que la función lagrangeana no es una
magnitud f́ısica observable, porque su valor puede modificarse de manera
arbitraria sin modificar la f́ısica del sistema (sin cambiar las ecuaciones de
movimiento).
44
Ejemplo 5.1 (Carga en un campo magnético uniforme)
Consideremos el movimiento de una part́ıcula cargada en un campo magnético
uniforme B = Bêz y campo eléctrico nulo. Una posible elección de poten-
ciales (se dice ’un gauge posible) es: ϕ1 = 0 y
A1 =
1
2
B ∧ r =
(
−yB
2
,
xB
2
, 0
)
. (5.33)
Otra posible elección (otro gauge) es ϕ2 = 0,
A2 = (0, xB, 0) , (5.34)
fácilmente se ve que la relación entre ambos potenciales vector es
A1 = A2 +∇χ, χ = −
xyB
2
. (5.35)
Tomemos el segundo gauge, A2, el potencial generalizado es
U = qϕ− qṙ ·A2 = −qẏxB, (5.36)
en consecuencia la lagrangeana
L =
1
2
m
(
ẋ2 + ẏ2 + ż2
)
+ qẏxB, (5.37)
Las ecuaciones de Lagrange que resultan son
d
dt
∂L
∂ẋ
− ∂L
∂x
= mẍ− qBẏ = 0, (5.38)
d
dt
∂L
∂ẏ
− ∂L
∂y
= mÿ + qBẋ = 0, (5.39)
d
dt
∂L
∂ż
− ∂L
∂z
= mz̈ = 0. (5.40)
Definiendo la frecuencia de Larmor
ωo =
qB
m
, (5.41)
el sistemas de ecuaciones de movimiento resulta
ẍ− ωoẏ = 0, (5.42)
ÿ + ωoẋ = 0, (5.43)
z̈ = 0, (5.44)
(5.45)
La ecuación para z tiene la solución simple,
z(t) = z0 + ż0t, (5.46)
45
mientras que para x e y reemplazamos la derivada de la ecuación (5.42) en
(5.43) y viceversa,
x
′′′
+ ω2o ẋ = 0 ⇒ ẋ(t) = a1 cos(ωot+ b1), (5.47)
y
′′′
+ ω2o ẏ = 0 ⇒ ẏ(t) = a2 cos(ωot+ b2). (5.48)
En estas ecuaciones aparecen dos constantes extras por haber derivado las
ecuaciones originales y por lo tanto haber aumentado el orden de las ecua-
ciones diferenciales en uno. Para encontar esas dos constantes extras, debe-
mos poner estas soluciones dentro de aquellas ecuaciones (5.42, 5.43). Re-
sultan a2 = a1 y b2 = b1 + π/2. La solución es
x(t) =
a1
ωo
sin (ωot+ b1) + c1, (5.49)
y(t) =
a1
ωo
cos (ωot+ b1) + c2. (5.50)
Esta solución corresponde a una órbita circular (’órbita ciclotrónica’) en el
plano xy (que es el plano perpendicular al campo magnético), cuya frecuencia
es la de Larmor ωo, tiene radio R = a1/ωo y centro (c1, c2). Teniendo en
cuenta que en z la velocidad es constante, la trayectoria de la part́ıcula es una
hélice en la dirección del campo magnético B. En función de las condiciones
iniciales el radio, el centro y la hélice de la trayectoria son
R =
√
ẋ20 + ẏ
2
0
ωo
=
v0⊥
ωo
, (5.51)
c1 = x0 +
ẏ0
ωo
, c2 = y0 −
ẋ0
ωo
, (5.52)
h =
2πż0
ωo
. (5.53)
Notemos que el peŕıodo de la órbita en el plano xy
T =
2π
ωo
=
2πm
qB
, (5.54)
no depende de la velocidad de la part́ıcula. Este hecho permite la existencia
del ciclotrón.
46
En esta clase vimos que:
Existen potenciales generalizados que permiten deducir las fuerzas
a partir de ellos, y que no tienen el significado de una enerǵıa
potencial.
En particular, encontramos el potencial generalizado de una
part́ıcula cargada en un campo electromagnético. Este potencial
depende de la posición y de la velocidad de la part́ıcula. Este po-
tencial es el punto de partida para el estudio de las propiedades
electromagnéticas de la materia a nivel microscópico.
Introdujimos los potenciales escalar y vector, derivándolos se ob-
tiene el campo electromagnético.
Existe la libertad de modificar dichos potenciales auxiliares medi-
ante las denominadas transformaciones de gauge, de manera gen-
eral éstas son transformaciones locales de algún grado de libertad
interno del sistema (en este caso, los potenciales) que no cambian
el valor de ningún observable f́ısico. Decimos que la f́ısica es invari-
ante de gauge.
Comentario al pasar: El concepto de transformación de gauge es
central en la teoŕıa de campos cuánticos. El electromagnetismo,
por ejemplo, ’emerge’ de la condición de invariancia de gauge de
determinada teoŕıa de campos!
47
6. Transformaciones de gauge y puntuales
Clase 7: jueves 31 de marzo
En la clase anterior vimos como tratar el problema de una part́ıcula
cargada en un campo electromagnético arbitrario dentro del formalismo de
Lagrange. Para ello definimos un potencial generalizado
U = qϕ− qṙ ·A
en función de los potenciales escalar y vectorial, del cual se obtiene la fuerza
de Lorentz que actúa sobre la part́ıcula. También vimos que los potenciales
no están definidos de manera única, que existen transformaciones de gauge
–caracterizadas por una función arbitraria χ– que permite cambiarlos de
manera no trivial sin alterar el campo electromagnético. Como L depende
de los potenciales a través del potencial generalizado U , al hacer una trans-
formación de gauge L śı cambia de forma, en contraste con lo que ocurre
con el campo electromagnético. Dećıamos que ésto es prueba que L no es
un ’observable’, no es una magnitud f́ısica medible.
Hab́ıamos visto que la lagrangeana transforma bajo una transformación
de gauge de los potenciales como
L′ = L+
d(qχ)
dt
.
La lagrangeana cambia, pero la relación entre ambas funciones no es cual-
quiera, sino que difiere en la derivada total respecto del tiempo de la función
arbitraria qχ(r, t). En lo que sigue veremos que de manera general si dos
lagrangeanas difieren en la derivada total de una función de las coordenadas
y del tiempo, entonces las ecuaciones de Lagrange que se derivan de ambas
lagrangeanas son las mismas. Es decir, la lagrangeana NO en invariante de
gauge, pero las ecuaciones de movimiento SÍ lo son, como corresponde al
hecho que L no tiene significado f́ısico, no es medible, mientras que en las
ecuaciones de movimiento está contenida la f́ısica del problema. Hubiese sido
un grave problema si estas ecuaciones dependiesen de qué elección particular
hicimos de los potenciales!
6.1. Transformaciones de gauge de la función lagrangeana
Sean L y L′ dos lagrangeanas que difieren en la derivada total respecto
del tiempo de una función arbitraria12 M = M(q, t) de las coordenadas
generalizadas y del tiempo, pero no de las velocidades q̇’s. Es decir,
L′(q̇, q, t) = L(q̇, q.t) +
dM(q, t)
dt
. (6.1)
12Como siempre, el ’arbitrario’ es desde el punto de vista f́ısico, matemáticamente le
pedimos que las derivadas cruzadas sean iguales.
48
Teorema:
Si qi(t) son soluciones de las ecuaciones de Lagrange con lagrangeana
L(q̇, q, t), entonces son también solución de las ecuaciones de Lagrange con
lagrangeana L′(q̇, q, t). Es más, las ecuaciones de Lagrange son las mismas
con L o L′.
Demostración:
Primero escribimos la derivada total de M en función de sus derivadas
parciales y velocidades generalizadas:
dM(q, t)
dt
=
n∑
j=1
∂M
∂qj
q̇j +
∂M
∂t
. (6.2)
Supongamos que las funciones qi(t) satisfacen las ecuaciones de Lagrange
obtenidas con L
d
dt
∂L
∂q̇i
− ∂L
∂qi
= 0, i = 1, · · · , n. (6.3)
Veremos que también satisfacen las ecuaciones de Lagrange obtenidas con
L′:
d
dt
∂L′
∂q̇i
− ∂L
′
∂qi
= 0, i = 1, · · · , n. (6.4)
Usamos la definición de L′ en término de L:
∂L′
∂q̇i
=
∂L
∂q̇i
+
∂
∂q̇i
(
dM
dt
)
=
∂L
∂q̇i
+
∂M
∂qi
. (6.5)
Para arribar a la última igualdad usamos la expresión (6.2) de la derivada
total de M . Notemos que en (6.2) las velocidades generalidas sólo aparecen
linealmente porque M no depende de ellas (por esta razón M NO debe de-
pender de las velocidades). Completamos el primer término de las ecuaciones
de Lagrange
d
dt
∂L′
∂q̇i
=
d
dt
∂L
∂q̇i
+
d
dt
∂M
∂qi
. (6.6)
Por otro lado,
∂L′
∂qi
=
∂L
∂qi
+
∂
∂qi
dM
dt
. (6.7)
Juntando los dos términos (6.6) y (6.7) nos armamos la ecuación de Lagrange
respecto a L′
d
dt
∂L′
∂q̇i
− ∂L
′
∂qi
=
d
dt
∂L
∂q̇i
− ∂L
∂qi
+
d
dt
∂M
∂qi
− ∂
∂qi
dM
dt
, i = 1, · · · , n. (6.8)
Calculemos ahora los términos que involucra a la función M, teniendo en
cuenta que M sólo depende de coordenadasy tiempo, usando además la
49
expresión (6.2):
d
dt
∂M
∂qi
=
n∑
j=1
∂2M
∂qj∂qi
q̇j +
∂2M
∂t∂qi
, (6.9)
∂
∂qi
dM
dt
=
n∑
j=1
∂2M
∂qi∂qj
q̇j +
∂2M
∂qi∂t
(6.10)
Si las derivadas parciales cruzadas de M son iguales, entonces ambos térmi-
nos son idénticos y se cancelan entre ellos en (6.8), resultando entonces
d
dt
∂L′
∂q̇i
− ∂L
′
∂qi
=
d
dt
∂L
∂q̇i
− ∂L
∂qi
= 0, i = 1, · · · , n. (6.11)
Es decir, para cada j las ecuaciones de Lagrange respecto a L y a L′ son
idénticas, entonces trivialmente una solución qj(t) respecto de L será solu-
ción respecto de L′.
Transformación de gauge de la función lagrangeana
L → L′(q̇, q, t) = L(q̇, q, t) + dM(q, t)
dt
, M arbitraria.
Las ecuaciones de Lagrange son invariantes de gauge.
En el caso de la part́ıcula cargada, la transformación de gauge de los
potenciales produce una transformación de gauge de la lagrangeana, donde
M = qχ.
Ejemplo 6.1 (Péndulo con suspensión móvil)
El punto de suspensión del péndulo de la figura 6.1 se mueve de acuerdo a
la ley X = f(t) = A cos γt. Calculamos ahora la lagrangeana de la manera
usual, escribimos primero la relación constitutiva:
r = (A cos γt+ l sin θ, l cos θ) .
Luego derivamos esta relación
ṙ =
(
−γA sin γt+ lθ̇ cos θ,−lθ̇ sin θ
)
,
y la reemplazamos en la enerǵıa cinética.
T =
1
2
mṙ2 =
1
2
ml2θ̇2 +
1
2
mγ2A2 sin2 γt−mAlγθ̇ sin γt cos θ.
La lagrangeana es
L(θ̇, θ, t) = T−V = 1
2
ml2θ̇2+
1
2
mγ2A2 sin2 γt−mAlγθ̇ sin γt cos θ+mgl cos θ.
50
y
x
X = f(t)
θ
m
l
Figura 6.1: Péndulo con punto de suspensión moviéndose horizontalmente
según la ley X = f(t).
Otra lagrangeana equivalente, más simple, es
L′(θ̇, θ, t) =
1
2
ml2θ̇2 +mlAγ2 cos γt sin θ +mgl cos θ.
Demuestren que efectivamente L y L′ dan las misma ecuación de movimiento
para θ y verifiquen que la relación entre ambas lagrangeanas está dada por
una transformación de gauge
L′ = L+
dM(θ, t)
dt
con
M(θ, t) = mAlγ sin γt sin θ − 1
2
mA2γ2
(
t
2
− sin 2γt
4γ
)
.
En una transformación de gauge no cambia el espacio de configuración, es
decir, no cambian las coordenadas generalizadas q del sistema. Únicamente
cambia la función lagrangeana. Vamos a ver ahora otro tipo de transforma-
ciones en las cuales cambian las coordenadas generalizadas, transformaciones
análogas al cambio de variable del análisis matemático.
6.2. Transformaciones puntuales
Consideremos una transformación de las coordenadas generalizadas, pasamos
del conjunto {qj} a un nuevo conjunto {Qj}, con ’buenas’ propiedades
matemáticas: biyectiva (no cambia el número de grados de libertad), difer-
51
enciable y con transformación inversa diferenciable 13:
{q} → {Q} Qj = Qj(q1, q2, · · · , qn; t) (6.12)
{Q} → {q} qi = qi(Q1, Q2, · · · , Qn; t). (6.13)
Permitimos que la transformación pueda depender expĺıcitamente del tiem-
po. Lo que estamos haciendo con esta transformación es cambiar el espacio
de configuración del sistema. Cambian los valores numéricos de las coorde-
nadas de una dada configuración, como se muestra esquemáticamente en la
figura 6.2. Ejemplo t́ıpico de este tipo de transformaciones es el pasaje de las
coordenadas cartesianas de un punto en el plano a sus coordenadas polares.
q
1
q
2
P
P
Q
Q
2
1
q −−> Q
Figura 6.2: Transformación puntual de un espacio de configuración (q1, q2)
a otro espacio de configuración (Q1, Q2).
Una vez conocidas las leyes de transformación, podemos calcular cómo
se transforman las velocidades usando regla de la cadena:
Q̇j =
n∑
i=1
∂Qj
∂qi
q̇i +
∂Qj
∂t
(6.14)
Vemos que las velocidades generalizadas nuevas serán función de las coorde-
nadas y velocidades generalizadas viejas (como siempre, la derivación total
respecto del tiempo crea nuevas dependencias, en este caso respecto a las
velocidades)
Q̇j = Q̇j(q̇, q, t). (6.15)
Teorema:
El sistema de ecuaciones de Lagrange en las coordenadas generalizadas
{q}, con función lagrangeana L,
d
dt
∂L
∂q̇j
− ∂L
∂qj
= 0 j = 1, · · · , n (6.16)
13Técnicamente una transformación con estas propiedades se denomina difeomorfismo
52
es equivalente al sistema de ecuaciones de Lagrange en las coordenas gener-
alizadas {Q}
d
dt
∂L̄
∂Q̇j
− ∂L̄
∂Qj
= 0 j = 1, · · · , n (6.17)
donde la nueva lagrangeana es
L̄(Q̇,Q, t) = L(q̇(Q̇,Q, t), q(Q, t), t). (6.18)
Es decir, {Q(t)} es solución de las ecuaciones de Lagrange respecto de la
función lagrangeana transformada L̄ (6.18) śı y sólo si {q(t)} es solución de
las ecuaciones de Lagrange para L (6.17).
Usamos la notación L̄ para la nueva función lagrangeana para que quede
en claro que su dependencia funcional de Q̇, Q y t no tiene porque ser la
misma dependencia que la de la vieja lagrangeana L respecto a q̇, q, y t.
Demostración:
Calculemos las ecuaciones de Lagrange respecto a L̄ y nuevas variables
Q, Q̇, en función de L y de las viejas variables q, q̇ teniendo en cuenta (6.18)
∂L̄
∂Q̇j
=
n∑
i=1
∂L
∂q̇i
∂q̇i
∂Q̇j
=
n∑
i=1
∂L
∂q̇i
∂qi
∂Qj
. (6.19)
d
dt
∂L̄
∂Q̇j
=
n∑
i=1
d
dt
(
∂L
∂q̇i
)
∂qi
∂Q̇j
+
n∑
i=1
∂L
∂q̇i
d
dt
(
∂qi
∂Q̇j
)
(6.20)
d
dt
(
∂qi
∂Q̇j
)
=
n∑
k=1
∂2qi
∂Qk∂Qj
Q̇k +
∂2qi
∂t∂Qj
=
∂
∂Qj
dqi
dt
=
∂q̇i
∂Qj
. (6.21)
Por lo tanto,
d
dt
∂L̄
∂Q̇j
=
n∑
i=1
qi
∂Qj
d
dt
(
∂L
∂q̇i
)
+
n∑
i=1
∂L
∂q̇i
∂q̇i
∂Qj
(6.22)
El otro término de las ecuaciones de Lagrange respecto a L̄ es
∂L̄
∂Qj
=
n∑
i=1
∂L
∂qi
∂qi
∂Qj
+
n∑
i=1
∂L
∂q̇i
∂q̇i
∂Qj
(6.23)
Juntando los dos términos para la ecuación del Lagrange de la j-ésima co-
ordenada Q tenemos
d
dt
∂L̄
∂Q̇j
− ∂L̄
∂Qj
=
n∑
i=1
∂qi
∂Qj
[
d
dt
∂L
∂q̇i
− ∂L
∂qi
]
. (6.24)
53
Por lo tanto, si valen las ecuaciones de Lagrange respecto a L (6.17), valdrán
respecto a L̄ (6.18) y queda demostrado el teorema.
Resaltamos que las ecuaciones de Lagrange en cada caso fueron obtenidas
siguiendo el mismo procedimiento (’la forma de las ecuaciones de Lagrange
no cambia’), llegando a sistemas de ecuaciones equivalentes. Sin embargo,
como era de esperar, las ecuaciones de movimiento respecto a L y a L′ no
son idénticas una a una.
La forma de las ecuaciones de Lagrange es invariante respecto a las
transformaciones puntuales
Qj = Qj(q1, q2, · · · , qn; t) i = 1, · · · , n.
Cuando hablamos de la ’forma de las ecuaciones de Lagrange’ nos refe-
rimos a la estructura
d
dt
∂ (lagrangeana)
∂ (velocidad)
− ∂ (lagrangeana)
∂ (coordenada)
= 0.
Esta invariancia no es sorprendente desde el momento en que al deducir
las ecuaciones de Lagrange no elegimos un sistema de coordenadas general-
izadas en particular.
Existen infinitas elecciones posibles de coordenadas generalizadas {Q}.
Surge la pregunta ¿cuál elegir? ¿Cuál es la mejor? Esta elección depende
de las caracteŕısticas particulares de cada sistema. Una elección inteligente
es aquella donde haya más constantes de movimiento manifiestas, lo cual
veremos en la próxima clase.
Ejemplo 6.2 (Oscilador armónico bidimensional)
Consideremos la transformación puntual de coordenadas cartesianas a po-
lares en el ejemplo del oscilar armónico en dos dimensiones:
q1 = x, q2 = y → Q1 = r, Q2 = θ.
q = q(Q, t) →
{
x = r cos θ ≡ x(r, θ)
y = r sin θ ≡ y(r, θ) ,
Q = Q(q, t) →
{
r =
√
x2 + y2 ≡ r(x, y)
θ = arctan yx ≡ θ(x, y)
.
Notemos que en esta caso la transformación no depende del tiempo. La la-
grangeana en coordenadas cartesianas es
L(ẋ, ẏ, x, y, t) =
1
2
m(ẋ2 + ẏ2)− 1
2
k(x2 + y2)
54
Hacemos la transformación puntual a las coordenadas polares, para ello debe-
mos tener además la relación entre velocidades generalizadas q̇ y Q̇, que se
obtiene simplemente derivando la transformación de coordenadas:
q̇ = q̇(Q̇,Q, t) →
{
ẋ = ṙ cos θ − rθ̇ sin θ ≡ ẋ(ṙ, θ̇, r, θ)
ẏ = ṙ sin θ + rθ̇ cos θ ≡ ẏ(ṙ, θ̇, r, θ) ,
Cuando reemplazamos en L estas transformaciones obtenemos la nueva la-
grangeana en término de coordenas polares y sus velocidades
L̄(ṙ, θ̇, r, θ, t) ≡ L(ẋ(ṙ, θ̇, r, θ), ẏ(ṙ, θ̇, r, θ), x(r, θ), y(r, θ), t) =
=
12
m(ṙ2 + r2θ̇2)− 1
2
kr2.
En este ejemplo, vemos que al hacer el cambio de coordenadas la dependen-
cia funcional de la lagrangeana cambia, lo cual justifica el uso de distinta
notación, L y L̄. Sin embargo, lo que no cambia es el valor numérico de la
lagrangeana.
Calculamos ahora las ecuaciones de Lagrange respecto a L y a L̄ :
d
dt
∂L
∂ẋ −
∂L
∂x = mẍ+ kx = 0
d
dt
∂L
∂ẏ −
∂L
∂y = mÿ + ky = 0
,

d
dt
∂L̄
∂ṙ −
∂L̄
∂r = mr̈ −mrθ̇
2 + kr = 0
d
dt
∂L̄
∂θ̇
− ∂L̄∂θ = mr
2θ̈ + 2mrθ̇ṙ = 0
.
El procedimiento para deducir las ecuaciones de Lagrange a partir de la fun-
ción lagrangeana es el mismo para coordenadas cartersianas y polares. Los
dos sistemas de ecuaciones son equivalentes por el teorema que recién de-
mostramos, aunque a simple vista no pueda advertirse dicha equivalencia.
Notemos que en coordenadas cartesianas las ecuaciones son inmediatamente
resolubles, mientras que en polares tenemos ecuaciones diferenciales no lin-
eales. Ésto remarca la importancia de hacer uso de coordenadas general-
izadas apropiadas!
55
En esta clase vimos que:
Decimos que las lagrangeanas L y L′ están relacionadas por una
transformación de gauge cuando difieren en la derivada total re-
specto al tiempo de una función arbitraria de las coordenadas y el
tiempo,
L′(q̇, q, t) = L(q̇, q, t) +
dM(q, t)
dt
.
Demostramos que L y L′ generan idénticas ecuaciones de Lagrange,
es decir, la dinámica de un sistema es invariante de gauge.
Un ejemplo destacable de transformación de gauge es el cambio
de la lagrangeana de una part́ıcula cargada en un campo electro-
magnético frente a una transformación de gauge de los potenciales
electromagnéticos.
Una transformación puntual es un cambio del conjunto de coorde-
nadas generalizadas q → Q. Esta transformación cambia la forma
funcional de la lagrangeana
L → L̄ : L̄(Q̇,Q, t) ≡ L(q̇(Q̇,Q, t), q(Q, t), t).
Demostramos que los sistemas de ecuaciones de Lagrange
obtenidos respecto a cada conjunto de coordenadas generalizadas,{
d
dt
∂L
∂q̇
− ∂L
∂q
= 0 y
{
d
dt
∂L̄
∂Q̇
− ∂L̄
∂Q
= 0 ,
son equivalentes.
56