Ecuaciones de Euler

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Mecánica Clásica
Lic. en Física - FCEIA
Ecuaciones de Euler
Autor: Dr. César A. Ramírez
(última corrección: 09-2013)
1 Ecuaciones de Euler
El torque externo aplicado a un cuerpo, calculado respecto al centro de un sistema �jo en el
espacio, es la derivada respecto a tiempo del momento angular calculado en el mismo punto del
espacio:
M =
�
dL
dt
�
f
(1)
Esta derivada está relacionada con la derivada temporal respecto a un sistema móvil (con el
mismo centro que el sistema �jo) y con una velocidad angular de rotación 
 del sistema rotante
de la siguiente manera:
M =
�
dL
dt
�
m
+
 ^ L (2)
Si ahora el cuerpo en consideración es un cuerpo rígido con un punto �jo en el espacio,
el momento angular respecto a ese punto, con sus componentes proyectadas sobre los ejes
principales de inercia se escribe:
L =
3X
i=1
Ii!iei (3)
Donde Ii es el momento de inercia principal i-ésimo y !i es la proyección de la velocidad angular
del cuerpo respecto al eje principal i-ésimo del cuerpo con centro en el punto �jo.
Teniendo en cuenta la ecuación (2) y expresando el producto vectorial en función del tensor
de Levi-Civita �ijk; el torque externo se expresa de la siguiente manera
M =
3X
i=1
 
Ii
�
!j +
3X
j;k=1
�ijk 
j Lk
!
ei (4)
con
�ijk =
8<:
1 orden c�{clico 123
�1 orden antic�{clico
0 al menos 2 �{ndices iguales
(5)
Las tres componentes deM son entonces:
Mi=Ii
�
!i +
3X
j;k=1
�ijk 
j Lk i = 1; 2; 3 (6)
En forma explícita es:
M1=I1
�
!1 + I3
2!3 � I2!2
3
M2=I2
�
!2 + I1
3!1 � I3!3
1
M3=I3
�
!3 + I2
1!2 � I1!1
2
(7)
1
Si ahora consideramos que el sistema rotante rota con la misma velocidad angular que el sistema
de ejes principales solidarios al cuerpo, 
 = ! . En forma explícita es en este caso:
M1=I1
�
!1 + (I3 � I2)!2!3
M2=I2
�
!2 + (I1 � I3)!3!1
M3=I3
�
!3 + (I2 � I1)!1!2
(8)
Reemplazando los valores correspondientes al tensor de L-C, encontramos �nalmente las
ecuaciones de Euler para un cuerpo rígido con un punto �jo en el espacio.
M1=I1
�
!1 � (I2 � I3)!2!3
M2=I2
�
!2 � (I3 � I1)!3!1
M3=I3
�
!3 � (I1 � I2)!1!2
(9)
En el caso particular de un sólido rígido con un torque externo nulo las ecuaciones de Euler,
se reducen a
I1
�
!1 = (I2 � I3)!2!3
I2
�
!2 = (I3 � I1)!3!1
I3
�
!3 = (I1 � I2)!1!2
(10)
Si además el cuerpo tiene simetría axial, respecto a un eje que pasa por el punto �jo, dos
momentos de inercia son iguales. Por ejemplo si I1 = I2
�
!1 =
(I1�I3)!3
I1
!2
�
!2 = � (I1�I3)!3I1 !1
!3 = cte
(11)
Derivando la segunda ecuación y remplazándola en la primera, se obtiene
��
!1 + 
0!1 = 0 (12)
con
0 =
�
I1 � I3
I1
�2
!3 (13)
Cuya solución es
!1(t) = A cos (
0t) (14)
De la segunda ecuación (11) se obtiene
!2(t) = A sin (
0t) (15)
De la constancia de la componente !3 y las ecuaciones (14) y (15) se deduce que el vector
velocidad angular ! efectúa una rotación, alredededor del eje 3 del cuerpo, con velocidad
angular 
0: La dirección de la rotación dependerá del signo de !3:
Como es un cuerpo libre, el vector momento angular será un vector constante en el tiempo.
Si ubicamos ese vector en la dirección del eje z, la velocidad angular w dibuja un cono alrededor
de L y como la componente !3 es constante en el sistema de ejes principales del cuerpo, el vector
w también describe un cono alrededor del eje 3 efectuando una rotación alrededor de ese eje;
como puede observarse en el siguiente grá�co.
Esto último implica que el cono del cuerpo rueda sobre el cono �jo con eje en z. Los vectores
L, w y el eje x3 pertenecen a un mismo plano vertical que gira con velocidad angular 
: Cuando
I3 es mayor que I1 el momento L se encuentra entre el vector w y el eje x3: En el caso en que
I3 es menor que I1 el vector w se encuentra entre el momento L y el eje x3. En ambos casos el
eje instantáneo de rodadura del cono del cuerpo sobre el cono espacial coincide con la velocidad
angular.
2
2 Ejemplo resuelto:
Calcular: a) el vector velocidad angular de un cono que rueda sin resbalar sobre una super�cie
horizontal, b) la energía cinética y las constantes de movimiento, c) el momento angular y d)
obtener el torque de las fuerzas externas en el centro de coordenadas para varios sistemas de
referencia.
Solución:
a) !1 =
�
'ez, !2 = 0; !3 =
�
 e3
El ángulo � es constante, por lo tanto
�
� = 0;y entonces la velocidad angular proyectada
3
sobre los ejes del sistema solidario al cono es
!0 = !1e1 + !2e2 + !3e3 (16)
que escrita en forma de vector columna es
!0 =
0B@
�
' sin � sin 
�
' sin � cos 
�
' cos � +
�
 
1CA (17)
La ecuación de rodadura es
�
'l = �
�
 R (18)
donde l es el segmento generatriz del cono y R el radio de la base. El signo menos se debe a que
cuando uno de los ángulos crece el otro decrece. Esta última ecuación también puede escribirse
como
�
' = �
�
 cos � (19)
y entonces la componente de la velocidad angular sobre el eje 3 del cono es
!3 = �
�
' sin � tan � (20)
Luego
!0 =
�
' sin �
0@ sin cos 
� tan �
1A (21)
Este resultado concuerda con el hecho que el cono rueda sobre un eje instantáneo que pasa por
la línea de contacto entre el cono y el plano horizontal.
Como cualquier par de ejes, perpendiculares entre sí y al eje 3, son ejes principales de
inercia del cono, podemos elegir la línea nodal como uno de los ejes instantáneos de referencia.
Los versores correspondientes a esas direcciones son entonces e3 , en = (ex cos'; ey sin') y
ep = (e1 sin ; e2 cos ): El versor en rota solidario con la línea nodal y ep es perpendicular a
ambos como se ve en las dos �guras anteriores.
4
En esos ejes la velocidad angular se escribe
!0 =
�
' tan � (ep cos � � e3 sin �) (22)
Y su módulo es
!0 = ! =
�
' tan � (23)
b) La energía cinética
Se puede considerar como una traslación del centro de masa sobre una circunferencia y una
rotación pura alrededor del centro de masa (CM). La misma energía cinética se obtiene con-
siderando el movimiento del cono como una rotación pura alrededor del centro de coordenadas.
TORotaci�on =
1
2
3X
i=1
IOii !
2
i
=
1
2
(
�
' tan �)2
�
IO2 + I
O
3 tan
2 �
�
(24)
c) El momento angular
Calculado en el centro de coordenadas O y proyectado sobre los tres ejes instantáneos que
giran con el cono, es:
LO =
3X
i=1
Ii!iei
= Ip!pep + In!nen + I3!3e3
=
�
' tan �(I1ep cos � � I3e3 sin �) (25)
cuyo módulo es
L =
�
' tan �
�
I21 cos
2 � + I23 sin
2 �
� 1
2 (26)
La proyección del momento angular sobre el eje z es
Lz = L:ez =
�
' tan �(I1ep cos � � I3e3 sin �):ez (27)
En el caso particular en que los tres momentos de inercia principales sean iguales L y !
serán paralelos y Lz = 0 puesto que ez y el vector (ep cos � � e3 sin �) son perpendiculares.
d) El torque producido por las fuerzas externas
Calculado en el sistema �jo, es:
MO =
�
dLO
dt
�
F
(28)
Hacemos la derivación directa de LO y se obtiene
MO =
�
' sin �(I1
�
ep � I3
�
e3 tan �) (29)
Las derivadas de los vectores son
�
ep = �en
�
' cos � (30)
�
e3 = en
�
' sin � (31)
Entonces
MO = �en
�
'
2
tan �(I1 cos
2 � + I3 sin
2 �) (32)
5
Usando la derivada respecto a un sistema móvil es
MO =
�
dLO
dt
�
M
+
 ^ LO (33)
Para terminar el cálculo debemos efectuar el producto vectorial de la euación anterior. Para
comprender bien el uso de esta última ecuación lo haremos para dos sistemas móviles diferentes:
d-I) Respecto al sistema de ejes propios instantáneos-móviles del cuerpo (ep; en; e3)
Este gira alrededor del eje z del sistema �jo con velocidad angular 
 =
�
'ez. El primer
término de la ecuación (33) se anula pues el vector LO no cambia para ese sistema de ejes.
Entonces
MO = 
 ^ LO
=
�
'
2
tan � [I1ez ^ ep cos � � I3ez ^ e3 sin �] (34)
como se puede ver en los grá�cos
ez ^ ep = �en cos � (35)
ez ^ e3 = en sin � (36)
MO = �en
�
'
2
tan �
�
I1 cos
2 � + I3 sin
2 �
�
(37)
d-II) Respecto a los 3 ejes del cuerpo (e1; e2; e3)
Este sistema acompaña el movimiento del cuerpo y gira con la misma velocidad angular que
lo hace el cuerpo
 =
�
' tan � (ep cos � � e3 sin �) (38)
En este caso debemos calcular los dos términosde MO , ec.(33). La derivada respecto a este
sistema representa una rotación del vector LO alrededor del eje 3 del cuerpo.
MO = �!3e3 ^ LO + !0 ^ LO
=
" �
'
cos �
e3 +
�
'
�
ep sin � � e3
1� cos2 �
cos �
�#
^ LO
=
�
'
2
tan �(�I3ep ^ e3 sin2 � + I1e3 ^ ep cos2 �) (39)
El resultado �nal es, igual al que se obtuvo por los otros dos caminos:
MO = �en
�
'
2
tan �(I3 sin
2 � + I1 cos
2 �) (40)
Si suponemos que el torque externo está producido por la fuerza peso y una reacción del
piso hacia arriba, a la misma distancia que el peso, tenemos que
MO = �(N � P )l en = �
�
'
2
tan �(I3 sin
2 � + I1 cos
2 �)en (41)
Despejando N tenemos que
N = P +
�
'
2
tan �
(I3 sin
2 � + I1 cos
2 �)
l
(42)
Es decir que la fuerza Normal supera al peso en una cantidad que crece con la velocidad
�
':
6
3 Problemas propuestos
1- Calcular la energía cinética, el vector momento angular y el torque externo del sistema de la
�gura.
2- Calcular la energía cinética, el vector momento angular y el torque externo del sistema
de la �gura y hacer un análisis de los movimientos posibles.
3-Expresar las ecuaciones fundamentales para el movimento plano de un sólido rígido.
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