relatividad

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Relatividad especial de Einstein
C. A. Ramírez (2013)
1 Postulados:
1) Todas las leyes de la mecánica y del electromagnetismo son invariantes para todos los sistemas
de referencia inerciales es decir para todos los sistemas de referencia con movimiento rectilíneo
uniforme.
2) En el vacío la permitividad y la permeabilidad no dependen del sistema de referencia y como
las ecuaciones e Maxwell son invariantes se deduce que el módulo de la velocidad de la luz es el
mismo para todos los sistemas de referencia inerciales.
2 Transformación de Lorentz
Un sistema S’ paralelo a S se mueve con velocidad constante V relativa a S, sobre una trayectoria
recta que pasa por O. Los centros O y O’ coinciden en t=0.
No se pierde generalidad si ambos sistemas orientan sus ejes de tal modo que los ejes x y x’
coincidan con la trayectoria del movimiento de O’.
La posición de un punto P en el espacio está dada por el vector r tomado desde O, y por r′
tomado desde O’.
Figure 1:
Cuando t = 0 se dispara, desde el punto P, un destello de luz en todas direcciones. Cuando el
frente de onda es detectado por un observador en O se cumple que
x2 + y2 + z2 = (ct)2 (1)
Y cuando el frente de onda es detectado por un observador en O’ se cumple que
x′2 + y′2 + z′2 = (ct′)
2
(2)
Como las distancias recorridas por los fotones emitidos en P medidas por ambos sistemas son
diferentes y la velocidad de la luz c es la misma (como lo impone el segundo postulado) los
tiempos medidos por ambos observadores deberán ser diferentes. Por esa razón hemos puesto t′
en la segunda ecuación en vez de t.
1
Definimos las nuevas variables:
u = ict (3)
u′ = ict′ (4)
Donde i es el número imaginario puro. Con ese cambio las ecuaciones (1) y (2) se pueden escribir
de la siguiente manera:
x2 + y2 + z2 + u2 = 0 (5)
x′2 + y′2 + z′2 + u′2 = 0 (6)
Ambas ecuaciones se pueden interpretar como módulos de vectores de un espacio cuadridimen-
sional de coordenadas (x, y, z, u), con una componente Imaginaria pura. Este espacio es conocido
como el espacio de Mincowski. Como los ejes x y x’ se ubicaron en la dirección de la velocidad V,
las componentes y y z para ambos sistemas serán iguales. Entonces
x2 + u2 = x′2 + u′2 (7)
Formalmente esta igualdad representa una transformación de coordenadas que conserva el
módulo de un vector de componentes (x, u). Esto es, una “rotación rígida” en un "ángulo finito
ϕ" alrededor del centro de coordenadas de un sistema de coordenadas plano. Se verá en los pasos
siguientes que no se trata de una rotación en el sentido habitual del espacio tridimensional, como
tampoco ϕ representa un ángulo geométrico espacial.
Las leyes de transformación se pueden escribir, entonces, de la siguiente manera:
�
x′ = x cos(ϕ) + u sin(ϕ)
u′ = −x sin(ϕ) + u cos(ϕ) (8)
Que en forma matricial puede ponerse dela siguiente manera
�
x′
u′
�
=
�
cos(ϕ) sin(ϕ)
− sin(ϕ) cos(ϕ)
��
x
u
�
(9)
Como x y x′ son números Reales y como u y u′ son números Imaginarios puros, el cos(ϕ) debe
ser un número Real y el sin(ϕ) debe ser un número Imaginario puro. Entonces ponemos
cos(ϕ) = γ ǫ Re (10)
sin(ϕ) =
�
1− γ2 ǫ Im puro (11)
La constante γ tendrá que ser, entonces, un número Real mayor que uno. Usando las relaciones
entre las funciones trigonométricas y las funciones hiperbólicas, tenemos:
ϕ = iα α ǫRe (12)
cos(ϕ) = cos(iα) = cosh(α) = γ (13)
sin(ϕ) = sin(iα) = i sinh(α) (14)
Como ya se anticipó ϕ es un número imaginario puro, no es un "ángulo geométrico".
Haciendo estos cambios las ecuaciones de Lorentz (8) quedan entonces,
�
x′
u′
�
=
�
cosh(α) i sinh(α)
−i sinh(α) cosh(α)
��
x
u
�
(15)
o �
x′ = x cosh(α)− ct sinh(α)
t′ = −x
c
sinh(α) + t cosh(α)
(16)
2
Para calcular las funciones hiperbólicas y después la cte. α consideremos la transformación de
las coordenadas del punto O’ . El cual tiene coordenadas x′ = 0 para S’, y x = V t para S.
0 = V t cosh(α)− ct sinh(α) (17)
Entonces
β cosh(α) = sinh(α) (18)
donde
β =
V
c
(19)
Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación (18) y usando la relación
sinh2(α) = cosh2(α)− 1 (20)
se obtienen:
cosh(α) =
1
�
1− β2
= γ |β| < 1 γ ≥ 1 (21)
sinh(α) = βγ (22)
La forma (15) queda �
x′
u′
�
=
�
γ iβγ
−iβγ γ
��
x
u
�
(23)
Reemplazando las coordenadas u y u′, y eliminando ic la transformación de Lorentz completa,
en forma matricial es: 


x′
y′
z′
t′


 =



γ 0 0 −cβγ
0 1 0 0
0 0 1 0
−β
c
γ 0 0 γ






x
y
z
t


 (24)
que en forma explícita es 


x′ = γ (x− cβt)
y′ = y
z′ = z
t′ = γ
�
t− β
c
x
�
(25)
Para velocidades pequeñas (V << c) γ = 1, la transformación de Lorentz es la de Galileo



x′ = x− V t
y′ = y
z′ = z
t′ = t
(26)
2.0.1 Cálculo de α
2 sinh(α) = eα − e−α = q − 1
q
= 2βγ (27)
q = eα ≥ 0 (28)
q2 − 2βγq − 1 = 0 (29)
q± = βγ ±
�
β2γ2 + 1
= γ (β ± 1) (30)
3
q es un número positivo entonces queda
q = γ (β + 1) =
β + 1
�
1− β2
=
�
1 + β
1− β (31)
Entonces
α = ln q = ln
��
1 + β
1− β
�
= ln
��
c+ V
c− V
�
(32)
2.1 Contracción de las longitudes y dilatación del tiempo
Imaginemos que un astronauta mide un objeto ubicado dentro de su nave. Los extremos de dicho
objeto tienen, para él, las coordenadas x′
1
y x′
2
. Un observador en Tierra mide, en un dado instante
t, el mismo objeto y obtiene las coordenadas x1 y x2.
La transformación de Lorentz aplicada a la posición de cada punto es
x′2 = γ (x2 − V t) (33)
x′
1
= γ (x1 − V t) (34)
Restando ambas ecuaciones tenemos que
x′
2
− x′
1
= γ (x2 − x1) (35)
Entonces las longitudes del objeto medido por ambos observadores están relacionadas por la
ecuación
∆l′ = γ∆l (36)
Como γ ≥ 1 resulta que la distancia ∆l, medida por S, es menor o igual que la distancia ∆l′
medida por S.
Como el objeto medido se encuentra dentro de la nave, la longitud∆l′, medida por el astronauta,
es la "longitud propia" del objeto. Entonces el observador S, en tierra, ve una "contracción" de
la longitud del objeto respecto a la longitud medida por S’.
longitud propia = ∆l′ ≥ ∆l (37)
Imaginemos ahora que el astronauta registra con su reloj los tiempos correspondientes a dos
sucesos ocurridos en un mismo punto de coordenada x en tierra.
4
La transformación de Lorentz nos da las relaciones entre los tiempos medidos
t′
2
= γ(t2 −
x V
c2
) (38)
t′
1
= γ(t1 −
x V
c2
) (39)
Restando ambas ecuaciones tenemos que
t′
2
− t′
1
= γ (t2 − t1) (40)
Entonces los intervalos de tiempo medidos por ambos observadores estan relacionados por la
ecuación
∆t′ = γ∆t (41)
Como γ ≥ 1 resulta que el intervalo de tiempo ∆t, medido por S, es menor o igual que el intervalo
de tiempo ∆t′ medido por S.
Como hemos considerado que los dos eventos suceden en tierra, donde se encuentra el ob-
servador S, ∆t es el intervalo de "tiempo propio" . Entonces el observador en S’ encuentra una
"dilatación del tiempo" medido, respecto al intervalo de tiempo medido por S.
∆t′ ≥ ∆t = tiempo propio (42)
2.2 Relatividad de la simultaneidad
En la mecánica no relativista dos eventos que ocurren al mismo tiempo para un dado observador,
conservan la simultaneidad para cualquier otro observador que se mueve con una cierta velocidad
respecto al primero, siempre que ésta sea mucho menor que la velocidad de la luz.
Cuando la velocidad relativa es grande la simultaneidad ya nose cumple. Pra demostrarlo
imaginemos que dos eventos separados una cierta distancia ∆x′ �= 0 ocurren al mismo tiempo
dentro de una nave espacial.
Usando las T de L tenemos que
x′2 = γ (x2 − V t2) (43)
x′1 = γ (x1 − V t1) (44)
A priori hemos supuesto que t1 y t2 , para el observador externo a la nave, son diferentes.
∆x′ = γ (∆x− V∆t) (45)
Además, como ∆t′ = 0 (t′2 = t
′
1) , de las T de L para los tiempos tenemos que
γ(t2 −
x2 V
c2
) = γ(t1 −
x1 V
c2
) (46)
t2 − t1 = (x2 − x1)
V
c2
(47)
o
∆t = ∆x
V
c2
(48)
Despejamos ∆x de la ec. (45) y reemplazándola en la anterior obtenemos
∆t =
�
∆x′
γ
+ V∆t
�
V
c2
(49)
5
Despejando ∆t
∆t =
∆x′
γ
V
c2
+ β2∆t (50)
�
1− β2
�
∆t =
∆x′
γ
Vc2
(51)
∆t
γ
= ∆x′
V
c2
(52)
Obtenemos finalmente que
∆t = γ∆x′
V
c2
(53)
Esta ecuación expresa que los eventos, que para S’ eran simultáneos, para S ocurren en tiempos
diferentes y esa diferencia depende de la distancia que separa dichos eventos en S’ y de la velocidad
de S’ respecto a S. Se recupera la simultaneidad si los eventos ocurren en un mismo punto de S’
o si V<<c.
3 Efecto Doppler
Supongamos que una fuente de luz monocromática S’ (por ej. una estrella) se desplaza a una
velocidad V en dirección a un observador S en la Tierra. La distancia recorrida por la luz, medida
por S’, desde S’a la Tierra es
c∆t′ = nλ′ (54)
donde n es el número de longitudes de onda λ de la luz monocromática.
Figure 2:
La luz es una onda electromagnética, transversal a la dirección de desplazamiento. Entre un
máximo de la onda y el siguiente, con el mismo signo, hay una distancia llamada longitud de onda.
Como lo exige el segundo postulado los dos sistemas miden la misma velocidad de la onda. Pero
como la fuente de luz S’ se desplaza en dirección a S, este mide una distancia, entre dos máximos
positivos, igual a (c∆t
n
−V ∆t
n
).La distancia medida para las n longitudes de onda, por el observador
en S, es entonces:
(c− V )∆t = nλ (55)
Dividiendo (54) y (55) y usando la relación relativista para los intervalos de tiempo ∆t′ = ∆t
γ
obtenemos:
1
γ(1− V
c
)
=
λ′
λ
(56)
6
Usando β = V
c
, la relación entre longitudes de onda queda:
√
1 + β√
1− β =
λ′
λ
(57)
Como las frecuencias y las longitudes de onda están relacionadas por c = λf = λ′f ′, (c igual
para ambos) tenemos finalmente, que las frecuencias de la luz emitida por la fuente móvil S’ y la
frecuencia de la luz recepcionada por S no son iguales.
f = f ′
�
1 + β
1− β (58)
Como la raiz es mayor que uno, esta ecuación expresa que, cuando la fuente se "acerca" al
observador S, la frecuencia de la luz vista por S es mayor que la frecuencia vista por S’ (f>f′).
Y si la fuente S’ se "aleja" de S la frecuencia de la luz vista por S es menor a la frecuencia
vista por S’ (f<f′). En este caso β < 0 y la relación de frecuencias se escribe:
f = f ′
�
1− β
1 + β
(59)
Este es un efecto observado en estrellas muy lejanas y se llama efecto Doppler en honor a su
descubridor. Se supone que el universo está en contínua expansión debido a que las estrellas más
alejadas a la tierra tienen un espectro de frecuencias desplazado hacia las frecuencias menores. A
esta observación cosmológica se la llama corrimiento hacia el rojo.
3.0.1 Otra forma de demostrar las ecs. (58) y (59):
La luz es una onda transversal, y puede describirse, en general, mediante una función de las
coordenadas x y t.Para una onda que se desplaza hacia el centro de coordenadas de S por el eje
x, es:
Φ(x, t) = Φ(kx+ wt) (60)
donde w = 2πf, es la frecuencia angular y f es el número de ciclos por segundo o frecuencia, a
secas. k = 2π
λ
es el vector de onda, donde λ es la longitud de onda. Φ puede ser una función seno
o coseno con una amplitud dependiente de la intensidad de la luz.
Como es una onda transversal la perturbación medida por ambos sistemas es idéntica.
Φ(x, t) = Φ′(x′, t′) = Φ′(k′x′ + w′t′) (61)
Ahora alicando las transformaciones de Lorentz para las coordenadas x y t, y para una velocidad
del emisor S’ también hacia el centro de coordenadas de S,
�
x′ = γ (x+ V t)
t′ = γ
�
t+ x V
c2
� (62)
tenemos:
Φ(wt+ kx) = Φ′
�
2πf ′(γt+
x V
c2
) +
2π
λ′
γ (x+ V t)
�
(63)
Como además, como exige el 2o postulado, λf = c = λ′f ′ .
Φ(wt+ kx) = Φ′
�
2πf ′(γt+
x V
c2
) +
2π
c
f ′γ (x+ V t)
�
(64)
Φ(2πft+
2π
c
f x) = Φ′
�
2πf ′γ(t+
x V
c2
) +
2π
c
f ′γ (x+ V t)
�
(65)
7
Φ
�
2πf(t+
x
c
)
�
= Φ′
�
2πf ′γ(1 +
V
c
)(t+
x
c
)
�
(66)
Comparando, tenemos finalmente, para un emisor que se acerca al receptor.
f = f ′
�
1 + β
1− β
Donde f es la frecuencia del receptor y f ’ es la frecuencia del emisor (f>f′)
Si el emisor se aleja la relación es
f = f ′
�
1− β
1 + β
y (f<f′)
3.0.2 Comparación con un Doppler no relativista (V<<c): Doppler del sonido
Para diferenciarlo del efecto Doppler de la luz veamos cuál es la relación de frecuencias en el caso del
sonido. El sonido es una perturbación longitudinal (en relación a su velocidad de desplazamiento)
del medio dentro del cual se propaga. Su velocidad en el aire es aproximadamente de 340 Km/h.
Los desplazamiento oscilatorios de las moléculas de aire pueden describirse también mediante
funciones del tipo
Φ(wt+ kx) = Φ′(w′t′ + k′x′) (67)
En este caso, no relativista, las transformaciones de coordenadas son las de Galileo



x′ = x+ V t
t′ = t
v′ = vs + V
(68)
w = 2πf (69)
λf = vs (70)
k =
2π
λ
=
2π
vs
f (71)
Reemplazando, tenemos
Φ(2πft+
2π
vs
f x) = Φ′
�
2πf ′t+
2π
v′s
f ′ x′
�
(72)
Agrupando, tenemos
Φ
�
2πf(t+
x
vs
)
�
= Φ′
�
2πf ′
vs
vs + V
(t+
x
vs
)
�
(73)
Y comparando, tenemos que
f = f ′
vs
vs + V
(74)
o
f = f ′
1
1 + V
vs
(75)
Si llamamos βs =
V
vs
> 0, tenemos
f = f ′
1
1 + βs
(76)
Resulta que cuando la fuente emisora se desplaza hacia el receptor este recibe un sonido de
frecuencia mayor a la emitida (más agudo) y si la fuente se aleja del receptor este recibe un
sonido de menor frecuencia (mas grave).
Como puede verse la relación entre las frecuencias para el sonido no es la misma que la encon-
trada para las ondas electromagnéticas.
8
4 Transformación de Lorentz para V arbitraria
Como vimos en el caso lineal las coordenadas que cambian son el tiempo y la coordenada paralela
a la dirección de la velocidad de desplazamiento del sistema "móvil". Si ahora consideramos una
velocidad de desplazamiento de O’ con una dirección arbitraria, y sobre una trayectoria recta que
pasa por el centro O, los cambios los tendrá la proyección de r paralela a V. Esa proyección es:
rpar =
�
r.V
V
�
V
V
= (r.V)
V
V 2
(77)
La componente perpendicular es
rper = r− rpar
= r− (r.V) V
V 2
(78)
Entonces aplicando la transformacón de Lorentz a la componente paralela del vector r, tenemos
que
r′ = rper + γ (rpar −Vt) (79)
y el tiempo t′ (para t = 0 cuando O ≡ O′) es
t′ = γ
�
t− r.V
c2
�
(80)
Con
γ =
1
�
1− (V
C
)2
(81)
Reemplazando la (77) y la (78) en (79), queda:
r′ = r− (r.V) V
V 2
+ γ
�
(r.V)
V
V 2
−Vt
�
(82)
Escribiendo esta por componentes, la transformación de Lorentz para una velocidad arbitraria
de O’ queda: 


x′ =
�
x− (r.V) Vx
V 2
�
+ γ
�
(r.V) Vx
V 2
− Vxt
�
y′ =
�
y − (r.V) Vy
V 2
�
+ γ
�
(r.V) Vy
V 2
− Vyt
�
z′ =
�
z − (r.V) Vz
V 2
�
+ γ
�
(r.V) Vz
V 2
− Vzt
�
t′ = γ
�
t− r.V
c2
�
(83)
Vemos que si hacemos Vy = Vz = 0, el producto r.V =xV y V = Vx recuperamos (25)
5 Transformación de las velocidades
Volviendo a la T de L (25) y diferenciando tenemos



dx′ = γ (dx− V dt)
dy′ = dy
dz′ = dz
dt′ = γ
�
dt− V
c2
dx
�
(84)
9
Haciendo el cociente de los diferenciales de longitud por el de tiempo tenemos



dx′
dt′
= dx−V dt
dt− V
c2
dx
dy′
dt′
= dy
dt− V
c2
dx
dz′
dt′
= dz
dt− V
c2
dx
(85)
Ahora dividiendo por dt las fracciones de la derecha



v′x =
vx−V
1−
V
c2
vx
v′y =
vy
γ(1− V
c2
vx)
v′y =
vz
γ(1− V
c2
vx)
(86)
O escritas de otra forma: 


v′x =
vx−V
1−β2 vx
V
v′y = vy
√
1−β2
1−β2 vx
V
v′z = vz
√
1−β2
1−β2 vx
V
(87)
Veamos dos casos particulares
1) si V << c 


v′x = vx − V
v′y = vy
v′z = vz
(88)
2) Volviendo a (87) consideremos el caso: vx = V



v′x = 0
v′y = γ vy
v′z = γ vz
(89)
Este es el caso de un cuerpo que se desplaza con una velocidad v′ sobre el plano y’ z’



vx = V
vy =
v′y
γ
vz =
v′z
γ
(90)
El sistema S ve al cuerpo desplazarse con una componente perpendicular menor a v′⊥
6 Momento lineal y Fuerza
El momento lineal en mecánica no relativista.
p = m0v =m0
dr
dτ
(91)
con dτ el tiempo no relativista o "tiempo propio" del cuerpo en movimiento. El tiempo propio
está relacionado con el tiempo relativista dt, medido por un observador externo, por la relación:
dτ =
dt
γ
(92)
Entoncesp = γm0
dr
dt
= γm0v (93)
10
γ =
�
1− β2
�− 1
2 (94)
La fuerza aplicada a un cuerpo de masa m se relaciona con su momento lineal por la primera
ecuación cardinal
F =
dp
dt
=
d (γm0v)
dt
(95)
= m0
�
•
γv + γ
d (v)
dt
�
(96)
Donde
v =v eT (97)
Descomponiendo la aceleración en sus componentes Normal y Tangencial a la trayectoria, tenemos.
F = m0
�
•
γv eT + γ (aT + aN)
�
(98)
m0
�
•
γv eT + γ
�
•
veT + aN
��
(99)
Luego reemplazando
•
γ = γ3
v
•
v
c2
(100)
Y simplificando obtenemos
F = m0γ
�
γ2
•
veT + aN
�
(101)
6.1 Trabajo y energía cinética
Calculemos el trabajo de la fuerza relativista para llevar a un cuerpo de masa m desde el reposo
hasta una velocidad final v
W =
� v
0
F.dr (102)
=
� v
0
F.v dt (103)
A este trabajo sólo contribuye el primer término de la fuerza relativista (101)
W = m0
� v
0
γ3
•
vv dt (104)
= m0
� v
0
γ3 v dv (105)
= m0c
2
� v
0
d( v
2
2c2
)
�
1− β2
� 3
2
(106)
Haciendo el cambio de variable a β
W =
1
2
m0c
2
� β2
0
d(β2)
�
1− β2
� 3
2
(107)
=
1
2
m0c
2
� β2
0
d(x)
(1− x)
3
2
(108)
=
1
2
m0c
2
�
2
(1− x) 12
�β2
0
(109)
= m0c
2
1
�
1− β2
� 1
2
−m0c2 (110)
11
Finalmente el trabajo de la fuerza relativista, es igual a la energía cinética Ec de la partícula:
W = (γ − 1) m0 c2 = Ec (111)
Para valores de v<<c , desarrollamos en serie de potencias a la función γ(β), (β2 << 1),
tenemos
γ(x = −β2) = (1 + x)−
1
2 = 1− 1
2
x+
3
8
x2 +O (112)
γ = 1 +
1
2
β2 +
3
8
β4 +O (113)
γ = 1 +
1
2
�v
c
�2
+O (114)
Que reemplazada en (111) tenemos:
Ec = m0 c
2 +
1
2
m0v
2 −m0c2 (115)
=
1
2
m0v
2 (116)
Donde recuperamos la energía cinética clásica.
Volviendo a la ecuación general de la energía cinética
Ec = (γ − 1) m0 c2 = (m−m0) c2 = ∆m c2 (117)
m0 es la masa en reposo de la partícula y γm0 = m puede interpretarse como la masa final de la
partícula. A medida que crece la velocidad aumenta la masa m de la partícula haciéndose infinita
para velocidades cercanas a la velocidad de la luz. La variación de la masa es
∆m = (γ − 1) m0 =
Ec
c2
(118)
Este resultado se verifica en las desintegraciones radiactivas exoenergéticas, donde la suma de
las masas de los productos de la desintegración es menor que la masa original en reposo. Y esa
variación de masa multiplicada por c2 resulta igual a la energía cinética adquirida por dichos
productos.
La cantidad
E = γ m0 c
2 = m c2 (119)
se denomina energía total (sin la potencial).
Para v = 0 (γ = 1)
E = E0 = m0 c
2 (120)
E0 es la energía en reposo de la partícula.
Entonces m c2 es la energía cinética más la energía en reposo de la partícula de masa m0.
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