RELATIVIDAD UTN 2017

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RELATIVIDAD 
RELATIVIDAD CLASICA 
 
PRINCIPIO CLASICO DE RELATIVIDAD 
X1 
X1´ 
Y1 
Y1´ 
Z1 
Z1´ 
r1 
r1´ 
P 
u 
O′ 
O 
roo′ 
Podemos obtener las ecuaciones para describir eventos vistos 
desde dos observadores inerciales en movimiento relativo . 
Dando como resultado las conocidas Transformadas de Galileo 
Se pueden obtener las 
transformaciones para el 
observador en S2(S’) por 
manipulaciones algebraicas 
o prácticamente 
intercambiando subíndices 
y la velocidad relativa u por 
-u.(Porque sera??) 
(1) x1 = x2+u.t 
t1 = t2= t 
z1 = z2 
y1 = y2 
x2 = x1 - u.t 
Si consideramos una partícula de masa m que se mueve con una 
velocidad V1 (V) respecto de S1 (S)mientras que para un 
observador ubicado en S2 (S’) la velocidad de la partícula es V2 
(V’). Entonces podemos obtener las transformadas de las 
componentes de la velocidad de la partícula según los dos 
observadores. Teniendo en cuenta que: 
TRANSFORMADAS DE VELOCIDAD 
Por lo cual las transformadas de las componentes de la 
velocidad quedan como: 
OjO: Ecuaciones válidas cuando los sistemas se 
desplazan a lo largo del eje x. 
• Ahora vamos a considerar que la partícula 
experimenta una aceleración según el observador 
ubicado en S1 (S). Por lo tanto, las transformadas de 
las componentes de la aceleración serán: 
• Como puede observarse este resultado es muy 
interesante!!!. Todos los observadores que se 
mueven en sistemas inerciales (no acelerados!!) 
dirán que la aceleración medida es la misma. Esto 
se conoce como invariancia de la aceleración. 
X1 
X2´ 
Y1 
Y2´ 
u 
X2´ 
Y2´ 
u 
EJEMPLO. TRAYECTORIAS EN S1 Y S2 
EXPERIMENTO DE MICHELSON Y MORLEY 
EXPERIMENTO DE MICHELSON Y 
MORELEY 
•La Tierra gira alrededor 
del Sol viajando a una 
velocidad de 100.000 
km/h.!!!!!!!!!! 
ESQUEMA DEL INTERFEROMETRO DE MICHELSON 
EXPERIMENTO DE MICHELSON Y MORLEY 
• La velocidad de la luz con respecto al éter es c y gracias a las 
transformaciones Galileanas deducimos que la velocidad de la 
luz con respecto a la tierra, a lo largo del brazo del 
interferometro paralela a la la velocidad v de la tierra, son: 
• c – v 
LAS TRANSFORMACIONES DE LORENTZ 
X1 
X2´ 
Y1 
Y2´ 
Z1 
Z2´ 
r1 
r2´ 
P 
V 
• En el instante t1 = t2 = 0 se emite un pulso de luz desde el 
origen comun de S y S´. Sea P un punto hasta el que ha 
avanzado el haz de luz con coordenadas espacio temporales 
(x1,y1,z1,t1) y (x2,y2,z2,t2) respectivamente. 
• r1 = ct1 r2 = ct2 
• Aceptamos el hecho de que los tiempo de viaje t1 y t2 son 
diferentes (medidos por los observadores O y O´). 
(1) 
Suponemos que las ecuaciones que relacionan las coordenadas 
de un marco inercial con las del otro son ecuaciones lineales de 
la forma: 
En las que a, b y  son constantes a determinar. Sustituyendo 
en la ecuación (1) y omitiendo los detalles de los cálculos se 
obtiene finalmente que: 
Estas ecuaciones se pueden obtener ya sea por manipulaciones 
algebraicas o, prácticamente, intercambiando los subíndices y 
reemplazando por –v. 
Estas transformaciones se 
conocen como 
transformaciones de 
Lorentz en honor de H. A. 
Lorentz (1853-1928), el 
físico holandés que las 
enunció en 1890. 
(2) 
COMPOSICIÓN DE VELOCIDADES SEGÚN LAS 
TRANSFORMADAS DE LORENTZ. 
Diferenciando la ecuación (2) para el sistema S. 
siendo 
X1 
X2´ 
Y1 
Y2´ 
V 
CONSECUENCIAS DE LAS TRANSFORMACIONES DE LORENTZ. 
CONTRACCIÓN DE LA LONGITUD 
Para el sistema S2 la longitud de la regla en un dado instante es 
Para el observador S1 los números que determinan los 
extremos de la regla están cambiando en el tiempo. Si 
definimos la longitud de la barra como la diferencia entre sus 
extremos: 
Parece razonable requerir que L1 sea constante. Si la 
longitud de un objeto es constante en un marco(como en S2), 
pensamos que la longitud debe ser constante observada 
desde cualquier otro marco.La transformación de Lorentz 
provee la solución al problema. Sean las coordenadas de los 
extremos de la reglas desde S2. 
LLEGAMOS DE ESTE MODO A LA 
SORTPRENDENTE CONCLUSIÓN QUE LA 
BARRA OBSERVADA DESDE CUALQUIER 
SISTEMA EN MOVIMIENTO CON 
RESPECTO AL MARCO INERCIAL DE LA 
BARRA PARECE SER MAS CORTA. 
•CLASE 3. RELATIVIDAD. 
CONSECUENCIAS DE LAS 
TRANSFORMADAS DE 
LORENTZ Y MECÁNICA 
RELATIVISTA. 
•16/ABRIL/2014 
DILATACIÓN DE LOS INTERVALOS TEMPORALES 
• Consideremos un “evento” en la naturaleza como una clase 
de suceso que ocurre en el punto A en el espacio y en el 
instante tA2,. Consideremos otro evento que ocurre también 
en A pero en otro instante tB2. Ambos eventos son 
registrados en el sistema S2,en el cual A está en reposo(x 
ejemplo un reloj ) Por lo tanto el intervalo de tiempo entre los 
eventos es: 
T2 = tB2- tA2 
 
CONSECUENCIAS DE LAS TRANSFORMACIONES DE 
LORENTZ. DILATACIÓN TEMPORAL 
RECORDAR QUE: PARA EL SISTEMA S2 EL INTERVALO DE TIEMPO ES: 
X1 
X2´ 
Y1 
Y2´ 
V 
P1;P2 P1;P2 
ti2 tf2 
T2 = tB2- tA2 
• Consideremos ahora el mismo par de eventos en el mismo 
punto, pero vistos desde S1, estando este punto para S1 en 
movimiento con velocidad –v. Por lo tanto el intervalo de 
tiempo visto desde S1 está dado por: 
CONSECUENCIAS DE LAS TRANSFORMACIONES DE LORENTZ. 
DILATACIÓN TEMPORAL 
Utilizando las transformadas de Lorentz para los eventos 
A y B respectivamente desde S1: 
CONSECUENCIAS DE LAS TRANSFORMACIONES DE LORENTZ. 
DILATACIÓN TEMPORAL 
MECÁNICA RELATIVISTA. MASA Y MOMENTO. 
• De acuerdo con la Mecánica Clásica, el momento lineal de 
un cuerpo con masa inercial m y velocidad v se define por 
la ecuación: p = m.v 
• Hemos visto que para un sistema de partículas “aíslado” la 
ley de conservación del momento lineal se presentó como la 
ley más fundamental de la Física. Esto se escribe como: 
X1 
X2´ 
Y1 
Y2´ 
V 
MASA Y MOMENTO RELATIVISTA 
Sean 2 esferas idénticas y elásticas de masa m 
X1 
X2´ 
Y1 
Y2´ 
V 
MASA Y MOMENTO RELATIVISTA 
Sean 2 esferas idénticas y elásticas de masa m 
X1 
X2´ 
Y1 
Y2´ 
V 
MASA Y MOMENTO RELATIVISTA 
=-u =+u 
MASA Y MOMENTO 
• APLICANDO LAS TRANSFORMADAS DE LORENTZ DE 
LAS VELOCIDADES PARA VISUALIZAR ESTAS DOS 
FORMAS DE VER ESTE MISMO “EVENTO” 
(COLISIÓN). ENTONCES PARA EL OBSERVADOR 
UBICADO EN S1 TENDREMOS QUE LAS 
VELOCIDADES SERÁN: 
MASA Y MOMENTO 
• SI LA SUMA DE LAS MASAS VISTA DESDE S1 ES M, 
ESTA MASA TOTAL PERMANECERÁ CONSTANTE EN 
LA COLISIÓN Y CUANDO CHOCAN TENDREMOS QUE: 
en la cual 
Usando las transformadas para las velocidades y 
combinando estas ecuaciones obtenemos luego de realizar 
cálculos algebraicos: 
siendo 
Usando las transformadas para las velocidades y 
combinando estas ecuaciones obtenemos luego de realizar 
cálculos algebraicos: 
OPERANDO ALGEBRAICAMENTE OBTENEMOS 
o simplemente 
• La masa de un cuerpo no es, en general, una constante ni la 
misma masa para todos los observadores, sino que es una 
cantidad que: 
• 1.- depende del marco de referencia desde el cual es 
observado el cuerpo, y 
• 2.- es menor que o igual a mo cuando el cuerpo está en 
reposo en el marco de referencia desde el cual el cuerpo es 
observado. 
• Ahora el momento lineal para un sistema de partículas toma 
la forma en el caso relativista: 
 
FUERZA Y ENERGIA RELATIVISTAS 
• Aunque las leyes de la mecánica clásica no son lo 
suficientemente universales para incluir efectos relativistas, 
la segunda ley de Newton en su forma: 
Es generalmente aplicable, incluso a la mecánica 
relativista. 
donde m = .mo 
Para una fuerza que actúa en la dirección x positiva tenemos: 
ENERGÍA RELATIVISTA 
• Vamos a considerar la forma que tomaría la expresión de la 
energía cinética cuando consideramos altas velocidades. De 
acuerdo al Teorema del Trabajo – Cambio de Energía 
Cinética: 
considerando 
INTEGRANDO NOS DA FINALMENTE: 
o finalmente 
Consideremos el caso a bajas velocidades y teniendopresente 
el término  = v/c y dado que v << c,  << 1. Usando el 
desarrollo en serie: 
Desarrollando en serie el corchete y despreciando el 
término cuadrático de la serie, obtenemos: 
Expresión de la energía 
de la mecánica clásica.