TP1 - Mecanica Clasica

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Mecánica Clásica I | Mecánica Clásica y Relatividad
Trabajo Práctico 1: Formalismo de Lagrange
Explicá cada paso y justificá los planteos de cada ejercicio. El trabajo práctico es una herramienta de
comunicación entre estudiantes y docentes, intentá entonces que tu mensaje se transmita lo más claro posible.
Nunca te olvides de indicar en las figuras el sistema de referencia y las coordenadas generalizadas que usás.
1. Masa enhebrada en una barra que rota
El sistema consiste en una pelotita enhebrada en una barra que rota con velocidad angular constante ω
alrededor de un eje que pasa por el punto O, como se muestra en la figura 1. El movimiento del sistema
ocurre en el plano perpendicular al eje de rotación, la masa m puede pasar libremente por el punto O, no
hay roce en ningún lado y se desprecia la masa de la barra.
Primero consideremos que el plano del sistema es horizontal, no actúa por lo tanto la gravedad:
a) ¿Cuáles son las ecuaciones de v́ınculo, de qué tipo son y cuáles son las fuerzas de v́ınculo? ¿Cuántos
grados de libertad tiene el sistema? ¿Cuál o cuáles coordenadas generalizadas proponés usar?
b) Calculá la función lagrangeana del sistema y resolvé las ecuaciones de movimiento.
Consideremos ahora que el plano del sistema es vertical, actúa por lo tanto la gravedad:
c) Las respuestas a las preguntas del apartado a) ¿cambian?
d) Calculá la función lagrangeana y resolvé las ecuaciones de movimiento.
Supongamos que la barra ahora gira libremente alrededor del mismo eje, es decir, ya no existe algún
mecanismo que la haga rotar con una velocidad angular constante.
e) ¿Se modifican los grados de libertad? ¿Podés usar las mismas ecuaciones de movimiento que obtuviste
antes?
m
ω
O
Figura 1: Masa enhebrada en una barra que rota con velocidad angular constante
ω, alrededor de un eje perpendicular a la hoja que pasa por el punto O.
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2. Part́ıcula en la superficie de un cilindro
Una part́ıcula de masa m está restringida a moverse sobre la superficie de un cilindro definida por la ecuación
x2 + y2 = R2, como se muestra en la Fig. 2. Sobre la part́ıcula actúa una fuerza dirigida hacia el origen
y proporcional a la distancia de la part́ıcula al origen (es decir, una fuerza central), de la forma F = −kr,
donde k es una constante positiva. No hay gravedad.
a) Encontrá los v́ınculos y clasificalos. ¿Cuáles son las fuerzas de v́ınculo?
b) Escrib́ı la función lagrangiana del sistema en coordenadas ciĺındricas.
c) Encontrá las ecuaciones de Lagrange del sistema y describ́ı cómo se mueve la part́ıcula.
Figura 2: Part́ıcula sobre la superficie de un cilindro.
3. Tres masas y tres resortes en un anillo
Tres masas m1, m2 y m3 están enhebradas en un aro circular fijo de radio a, como se ilustra en la figura 3.
Las masas interactúan a través de resortes de constante elástica k y longitud natural l0. No hay rozamiento
y el aro está fijo en un plano horizontal.
a) ¿Cuáles son los v́ınculos y cuáles las fuerzas de v́ınculo? ¿Son v́ınculo holónomos o no? ¿Son
esclerónomos o reónomos?
b) ¿Cuál es el número de grados de libertad con v́ınculos del sistema y que coordenadas generalizadas te
parecen las más apropiadas?
c) Encontrá la condición de equilibrio estático del sistema usando el principio de los trabajos virtuales.
d) Calculá la función de Lagrange del sistema y escrib́ı las ecuaciones de movimiento.
4. Part́ıcula en un aro que gira alrededor de un eje excéntrico
Una part́ıcula de masa m es libre de moverse a lo largo de un alambre circular de radio R y masa despreciable
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m
1 m
3
m
2
Figura 3: Tres masas en un aro sobre un plano horizontal.
sobre un plano horizontal. El alambre es forzado a rotar con una velocidad angular constante Ω alrededor
de un eje perpendicular al plano, separado una distancia l del eje del ćırculo (ver figura 4).
a) Escrib́ı y clasificá los v́ınculos, determiná cuáles son las fuerzas de v́ınculo.
b) Determiná los grados de libertad del sistema y las coordenadas generalizadas apropiadas.
c) Calculá la función lagrangiana del sistema.
d) Calculá la ecuación de Lagrange del sistema y resolvela. Demostrá que esta ecuación describe el
movimiento de un péndulo plano con una velocidad angular que depende de l, R y Ω.
R
l
m
Ω
Figura 4: Part́ıcula m sobre un aro que gira alrededor de un eje excéntrico.
5. Péndulo con punto de suspensión sobre una rueda que gira
Considerá un péndulo formado por una part́ıcula de masa m y una barra ligera de longitud l cuyo punto
de apoyo se encuentra sobre la circunferencia exterior de una rueda de masa M y radio a, que puede girar
alrededor de un eje que pasa por su centro, perpendicular a la hoja (ver figura 5).
Considerá en primer lugar que la rueda rota con velocidad angular ω constante:
a) Escrib́ı y clasificá los v́ınculos. Determiná las fuerzas de v́ınculo.
b) Calculá la función lagrangeana del sistema.
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c) Encontrá la o las ecuaciones de movimiento y resolvelas para algún caso particular simple.
Ahora repet́ı el problema suponiendo que la rueda gira libremente, es decir, su velocidad angular ω no tiene
porqué ser constante.
Figura 5: Péndulo de masa m suspendido de una barra ligera cuyo otro extremo se
apoya en una rueda.
6. Movimiento a lo largo de una cicloide
Una part́ıcula de masa m se mueve bajo la acción de la gravedad a lo largo de una curva llamada cicloide
cuya ecuación paramétrica es
x = a(u− cosu), y = −a(1− sinu), u ≥ 0. (1)
El eje y tiene el sentido positivo hacia arriba. No hay rozamiento. Obtené la función lagrangeana de esta
part́ıcula, la ecuación de movimiento y la ley de movimiento de la part́ıcula (considerá que la part́ıcula en
el instante inicial estaba en reposo en el origen).
Sugerencia: Utilizá como coordenada generalizada la longitud de arco s.
7. Cilindros que ruedan
Un cilindro sólido de radio r y masa m rueda sin deslizar dentro de un cilindro hueco de radio R. Los ejes de
los cilindros son horizontales y paralelos. El movimiento tiene lugar en el campo gravitatorio de la Tierra.
El cilindro de radio mayor es obligado a rotar alrededor de un eje fijo (que pasa por su centro) con una
aceleración angular α constante (ver figura 6).
a) Escrib́ı los v́ınculos (por simplicidad podés pensar que vivimos en un mundo bidimensional).
b) Definiendo el ángulo θ como en la figura 6, expresá la enerǵıa cinética del cilindro de radio menor en
término de θ̇.
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Figura 6: Péndulo de masa m suspendido de una barra ligera cuyo otro extremo se
apoya en una rueda.
c) Encontrá la ecuación de movimiento para θ.
d) Encontrá una condición que debe satisfacer α para que sea posible que exista un valor de equilibrio
para θ. Suponiendo válida dicha condición, calculá el valor de equilibrio de θ.
8. Péndulo simple con punto de suspensión acelerado
El punto de suspensión de un péndulo simple de longitud l se eleva con una aceleración constante a, habiendo
partido del reposo en el instante inicial t = 0.
a) Encontrá la ecuación de Lagrange del péndulo.
b) Demostrá que para pequeñas oscilaciones el peŕıodo del péndulo es
T = 2π
√
l
g + a
.
c) Analizá este resultado recordando conceptos de mecánica relativa.
d) Considerá ahora que el aire ejerce sobre la masa del péndulo una fuerza viscosa del tipo fv = −αv,
donde α es una constante positiva. ¿Cómo se generaliza la ecuación de Lagrange?¿Cuál es la ecuación
de movimiento para el péndulo en este caso?9. Varilla con resorte de relojeŕıa
Dos masas puntuales unidas por una varilla liviana de longitud l están suspendidas sobre el extremo de un
soporte vertical que puede rotar libremente. La varilla está sujeta a un resorte de relojeŕıa que la obliga a
oscilar alrededor de un ángulo de reposo θ0 respecto de la vertical.
a) Encontrá los v́ınculos del sistema y clasificalos. ¿Cuáles son las fuerzas de v́ınculo?
b) Determiná los grados de libertad y las coordenadas generalizadas más convenientes.
c) Calculá la función de Lagrange y las ecuaciones de movimiento.
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Figura 7: Varilla con resorte de relojeŕıa
10. Masa unida a dos barras
Una masa m está unida a dos barras ŕıgidas de igual longitud y sin masa. La barra superior está conectada
a un punto fijo de un eje vertical y la barra inferior está unida a otra masa m que desliza libremente y
sin fricción sobre el eje vertical, como se muestra en la figura 8. El sistema está en un campo gravitatorio
uniforme y puede rotar libremente alrededor del eje vertical.
a) Escrib́ı y clasificá los v́ınculos del sistema. Determiná las fuerzas de v́ınculo.
b) Determiná el número de grados de libertad y eleǵı coordenadas generalizadas.
c) Escrib́ı la función lagrangiana del sistema y obtené las ecuaciones de Lagrange.
d) ¿Es posible el movimiento en el cual la masa indicada por P2 permanece en reposo mientras la masa
P1 rota?
e) Ahora considerá que existe roce entre la masa P2 y el eje vertical, ¿cómo cambian las ecuaciones de
movimiento?
11. Dos masas en un aro unidas por una varilla
Dos part́ıculas de masa m están restringidas a moverse sobre un aro fijo, vertical y de radio R, sin rozamiento.
Las part́ıculas se mantienen unidas por medio de una barra sin masa y de longitud L (L < 2R) como se
muestra en la figura 9.
a) Determiná y clasificá los v́ınculos, indicá cuáles son las fuerzas de v́ınculo.
b) Calculá el número de grados de libertad del sistema y eleǵı las coordenadas generalizadas que consideres
más apropiadas.
c) Determiná la configuración de equibrio usando el principio de los trabajos virtuales.
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Figura 8: Una masa m unida a dos barras: la barra superior con su otro extremo
fijo, la barra inferior puede deslizar por el eje vertical.
d) Calculá el lagrangiano del sistema y obtené las ecuaciones de Lagrange.
e) Calculá la frecuencia de las pequeñas oscilaciones en torno a la posición de equilibrio.
L
m
m
R
Figura 9: Dos part́ıculas en un aro vertical unidas por una varilla.
12. Masa con resorte en una T
Una T ŕıgida consiste en una varilla larga unida perpendicularmente a otra varilla de longitud l que está
sujeta en el origen. La T gira en un plano horizontal con frecuencia angular constante ω. Una part́ıcula de
masa m es libre de deslizar a lo largo de la varilla larga, y está conectada a la intersección de las varillas
por un resorte de constante elástica k y con longitud natural nula.
a) ¿Cuáles y de qué tipo son los v́ınculos del sistema?¿Cuáles son las fuerzas de v́ınculo?
b) ¿Cuántos grados de libertad tiene la part́ıcula y cuáles son las coordenadas generalizadas que te parecen
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más apropiadas?
c) Calculá la lagrangeana, las ecuaciones de movimiento y resolvelas.
d) Existe un valor especial de ω, ¿cúal es y qué tiene de especial?
e) ¿Cómo resolveŕıas este problema usando mecánica relativa?
l 
ω
m
k
Figura 10: Masa con resorte en una T giratoria
13. Péndulo suspendido de masa sujeta a un resorte
El sistema de la figura 11 consiste en una masa M unida a un resorte de constante elástica k y de la cual
está suspendido un péndulo de longitud l y masa m. No hay rozamiento.
a) Encontrá y clasificá los v́ınculos, determiná las fuerzas de v́ınculo.
b) Determiná los grados de libertad y las coordenadas generalizadas del sistema.
c) Calculá la función de Lagrange y las ecuaciones de movimiento.
d) Resolvé las ecuaciones de movimiento en el regimen de pequeñas oscilaciones del péndulo.
Figura 11: Péndulo suspendido de una masa acoplada a un resorte.
14. Dos masas y una polea
Una part́ıcula de masa M cuelga de una polea (polea sin roce y de radio despreciable), conectada a otra
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part́ıcula de masa m mediante una cuerda inextensible de longitud L y masa despreciable (la cuerda siempre
está tensa). Todo el movimiento ocurre en un plano, la masa m no está apoyada sobre una superficie (ver
figura 12). M sólo puede moverse sobre la ĺınea vertical (no oscila).
a) Encontrá los v́ınculos, clasificalos y encontrá las fuerzas de v́ınculo.
b) Determiná los grados de libertad y las coordenadas generalizadas apropiadas.
c) Calculá la función lagrangeana y las ecuaciones de movimiento.
d) Analizá cualitativamente las ecuaciones de movimiento para determinar si es posible que en algún
instante la masa M suba.
m
M
r
Figura 12: Dos masas y una polea. m puede oscilar en el plano, M solo se mueve en
la dirección vertical.
15. Disco rodando en una gúıa que rota
Un disco de radio R y masa M rueda sin deslizar sobre una gúıa de masa despreciable que rota con velocidad
angular constante ω, como se ilustra en la figura 13. No actúa la fuerza de gravedad sobre el sistema. El
momento de inercia del disco respecto a un eje perpendicular al plano y que pasa por su centro de masas es
Icm =
MR2
2 .
a) Escrib́ı y clasificá los v́ınculos del sistema. ¿Cuáles son las fuerzas de v́ınculo?
b) Determiná los grados de libertad del sistema y sus coordenadas generalizadas.
c) Calculá la función lagrangeana y las ecuaciones de movimiento.
d) Calculá la distancia d(t) para condiciones iniciales d(0) = d0 y ḋ(0) = 0.
16. Carrito, viscosidad y resortes
Sobre un carrito de masa m1, como ilustra la figura 14, desliza un bloque de masa m2. Entre los bloques m1
y m2, y entre el carrito y la pared fija, hay sendos resortes de constante elástica k. Entre los cuerpos m1 y
m2 hay un llamado amortiguador viscoso (marcado con la letra c) que corresponde a una fuerza viscosa que
actúa sobre cada cuerpo, del tipo fv = −αv, donde α es una constante positiva. El movimiento es solamente
en la dirección horizontal y entre los bloques y las superficies no hay roce.
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ω t
M, R
d
Figura 13: Disco rodando en una gúıa que rota.
a) Encontrá los v́ınculos y clasificalos (por simplicidad suponé que estás en un mundo bidimensional).
b) Obtené las fuerzas generalizadas debidas al amortiguador viscoso.
c) Calculá la función de Lagrange y las ecuaciones de movimiento.
Figura 14: Carrito con resorte y viscosidad.
17. Péndulo esférico
El péndulo esférico consiste en una masa puntual m en el extremo libre de una barra ŕıgida, sin masa,
inextensible e incompresible, de longitud `. Este péndulo es uno simple al que se permite “salir del plano”.
Todo el sistema se encuentra bajo el efecto de la gravedad.
a) ¿Cuáles son los v́ınculos? ¿Son holónomos o no? ¿Son esclerónomos o reónomos? ¿Cuáles son las fuerzas
de v́ınculo?
b) ¿Cuál es el número de grados de libertad y que coordenadas generalizadas son las más apropiadas?
c) Calculá la posición de equilibrio mediante el principio de los trabajos virtuales.
d) Calculá las fuerzas generalizadas correspondientes a cada coordenada generalizada.
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e) Calculá la función lagrangeana del sistema y escrib́ı las ecuacionesde movimiento.
f ) Calculá las ecuaciones de Lagrange suponiendo que ahora el aire ejerce una fuerza viscosa sobre la
masa del péndulo, proporcional a la velocidad del mismo.
18. Part́ıcula en un aro que rota
Una part́ıcula es libre de moverse sin rozamiento sobre un aro de radio a. El plano del aro es horizontal, y
el centro del aro se mueve en un ćırculo horizontal de radio R, con velocidad angular ω constante.
a) Escrib́ı y clasificá los v́ınculos, determiná las fuerzas de v́ınculo.
b) Determiná los grados de libertad y coordenadas generalizadas del sistema.
c) Calculá la función lagrangeana y las ecuaciones de movimiento del sistema.
d) Resolvé la ecuación de movimiento en algún regimen de pequeñas oscilaciones (¿respecto de qué “punto
de equilibrio”?) y calculá la frecuencia de las mismas.
a
R
ω
m
Figura 15: Part́ıcula que se mueve en un aro que rota uniformemente
19. Dos masas unidas ŕıgidamente con restricciones en sus velocidades
Un sistema está formado por dos masas m iguales unidas por una varilla ŕıgida sin masa de longitud l, que
se puede moverse solamente sobre un plano horizontal. Cada masa está apoyada sobre el plano mediante
un mecanismo (denominado “cuchillo”, piensen, por ejemplo, que las masas representan un par de esqúıes)
que impide totalmente el desplazamiento en la dirección de la varilla, quedando libre el movimiento en la
dirección normal. En la figura 16 se ilustra el sistema.
a) Escrib́ı y clasificá los v́ınculos del sistema. ¿Cuáles son las fuerzas de v́ınculo?
b) Determiná los grados de libertad y las coordenadas generalizadas del sistema.
c) Calculá la función lagrangeana.
d) ¿Podés calcular las ecuaciones de Lagrange de la manera usual?
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Figura 16: Dos masas unidas ŕıgidamente, que solo pueden desplazarse en la dirección
normal a la varilla.
20. Part́ıcula y resorte sobre gúıa que rota
Una part́ıcula de masa m puede deslizar a lo largo de la gúıa AB como muestra la figura 17. La masa m
está conectada al extremo A mediante un resorte de constante elástica k. La posición de equilibrio de la
part́ıcula está a una distancia a del punto medio de la gúıa como muestra la figura. La gúıa está montada
de tal manera que puede rota alrededor de un eje vertical que pasa por su punto medio.
a) Suponiendo que con algún mecanismo se evita que la gúıa rote: determiná y clasificá los v́ınculos;
determiná los grados de libertad y calculá la frecuencia angular de las oscilaciones de la part́ıcula.
b) Suponiendo ahora que la gúıa rota con velocidad angular constante ω, volvé a responder el apartado
anterior. En particular, calculá la nueva posición de equilibrio y la nueva frecuencia de las oscilaciones
del resorte.
21. Péndulo suspendido de una barra que descansa sobre cilindros
Una barra homogénea de masa 2m descansa sobre dos cilindros idénticos, los cuales pueden rotar libremente
alrededor de ejes fijos que salen de la hoja. La barra se mueve sobre los cilindros sin deslizar. Todo el
movimiento ocurre en un plano. Los cilindros son homogéneos, de radio r y masa km donde k es una
constante positiva. Un péndulo simple de masa m y longitud l está suspendido del punto medio de la barra.
En la figura 18 se ilustra el sistema.
a) Suponiendo que el espacio es bidimensional determiná los v́ınculos del sistema y clasificalos.
b) Determiná los grados de libertad y coordenadas generalizadas.
c) Calculá la función lagrangeana del sistema y las ecuaciones de Lagrange.
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Figura 17: Part́ıcula y resorte en gúıa que va rotando.
d) En el regimen de pequeñas oscilaciones del péndulo calculá las leyes de movimiento del sistema.
Inicialmente el sistema está en reposo, el punto medio de la barra está en el punto medio entre los dos
cilindros (es decir, x(0) = 0) y el péndulo forma un ángulo α con la vertical (es decir, ϕ(0) = α).
Figura 18: Péndulo suspendido de una barra que descansa sobre cilindros.
22. Dos masas unidas a un resorte enhebradas en un aro que rota
Consideremos dos masas iguales m que pueden deslizar sin rozamiento en un aro de radio R y cuyo centro está
fijo. Las part́ıculas están interactuando a través de un resorte de constante elástica k, cuya longitud natural
2r0 es menor al diámetro del aro, es decir, 2r0 < 2R. Además el resorte siempre permanece perpendicular
al eje z. El sistema está ilustrado en la figura 19. El aro gira alrededor del eje z con una velocidad angular
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constante ω. Despreciamos la gravedad.
a) Encontrá y clasificá los v́ınculos.
b) Usando coordenas ciĺındricas calculá la función lagrangeana y las ecuaciones de movimiento.
c) ¿Cuál son la o las posiciones de “equilibrio” (entre comillas, porque el sistema puede estar en equilibrio
respecto al aro, pero no al sistema de referencia del laboratorio) del sistema en función de la frecuencia
del aro?
d) ¿Cuál es la frecuencia de oscilación alrededor de dicha posición de equilibrio?
Figura 19: Dos masas unidas mediante un resorte en un aro que rota.
23. Rombo
Cuatro varillas sin masa y de longitud l están unidas en sus extremos formando un rombo, como se muestra
en la figura 20. Una part́ıcula de masa m está unida a cada vértice del rombo. Los vértices opuestos están
unidos por resortes de constante elástica k. En la configuración cuadrada los resortes no están estirados ni
comprimidos. El movimiento del sistema está limitado al plano y no actúa la gravedad.
a) Determiná los grados de libertad y coordenadas generalizadas del sistema.
b) Encontrá la función lagrangeana y dedućı las ecuaciones de movimiento.
c) Encontrá la frecuencia de pequeñas oscilaciones respecto del punto de equilibrio.
24. Disco rodando sobre plano inclinado móvil
Un plano inclinado de masa M y ángulo α (ver figura 21) puede deslizar sobre una superficie horizontal
suave. Sobre el plano un disco de masa m y radio R rueda sin deslizar. Todo el movimiento ocurre en un
plano vertical.
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Figura 20: Rombo de varillas y resortes.
a) Determiná los v́ınculos del sistema y sus fuerzas asociadas, y clasificalos.
b) Determiná los grados de libertad y coordenadas generalizadas.
c) Calculá la función lagrangeana.
d) Calculá las ecuaciones de movimiento y resolvelas.
α
M
m
Figura 21: Disco rodando sin deslizar sobre un plano inclinado móvil.
25. Masa en contacto con barra que cae
Dos barras homogéneas idénticas AB y BC de longitud l y masa M están conectadas por una juntura sin
roce en B. El extremo A puede rotar alrededor de un eje perpendicular a la hoja. Inicialmente las barras
están en reposo formando una ĺınea horizontal. Una part́ıcula ligera está ubicada en el punto P sobre la
varilla BC. En un instante al sistema se lo deja caer desde el reposo. ¿A qué distancia a desde B puede
ubicarse la part́ıcula para que no pierda contacto con la barra apenas se la suelta?
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Figura 22: Part́ıcula ligera sobre barras que se sueltan.
26. Part́ıcula deslizándose dentro de anillo unido a resortes
Una part́ıcula de masa m se desliza suavamente, bajo la influencia de la gravedad, a lo largo de un anillo
de radio R y masa M . El centro del anillo está fijo verticalmente. El anillo está conectado a dos resortes de
constante elástica k como muestra la figura 23. Todo el movimiento ocurre en el plano de la hoja.
a) Encontrá y clasificá los v́ınculos (por simplicidad, considerá que el mundo es bidimensional). ¿Cuáles
sonlas fuerzas de v́ınculo?
b) Determiná los grados de libertad y coordenadas generalizadas.
c) Calculá las fuerzas generalizadas correspondientes a las coordenadas generalizadas.
d) Calculá la función de Lagrange y las ecuaciones de movimiento.
Figura 23: Part́ıcula dentro de un anillo unido a resortes.
27. Part́ıcula en un potencial helicoidal
Una part́ıcula de masa m se mueve en el espacio tridimensional bajo un potencial helicoidal
V (ρ, φ, z) = V0ρ cos
(
φ− 2πz
b
)
(2)
donde b es el paso de la hélice.
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a) Escrib́ı y clasificá los v́ınculos del sistema.
b) Determiná los grados de libertad y las coordenadas generalizadas más apropiadas.
c) Calculá la función de Lagrange y las ecuaciones de movimiento.
28. Cadena que cae
Una cadena uniforme de longitud total A tiene una porción B(0 < B < A) colgando del borde de una mesa
suave (sin rozamiento), como se muestra en la figura 24. Encontrá la función de Lagrange de la cadena y
calculá el tiempo que tardará en separarse completamente de la mesa si parte del reposo. Suponé que la
cadena cae en ĺınea recta, sin balancearse.
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
�� B
A−B
Figura 24: Cadena que cae.
Preguntas
Cuando respondas a estas preguntas justificá siempre tu respuesta, sin ahorrar palabras, y si podés introdućı
algún ejemplo que sirva para ilustrarla.
1. El principio de los trabajos virtuales nos dice que las fuerzas de v́ınculo no realizan trabajo virtual, ¿esto
quiere decir que los desplazamientos virtuales son siempre perpendiculares a las fuerzas de v́ınculo?
2. Definimos a los desplazamientos virtuales como aquellos desplazamientos infinitesimales compatibles con
los v́ınculos, que ocurren a un tiempo fijo. Por otro lado, tenemos los desplazamientos infinitesimales reales,
que son aquellos que ocurren en un intervalo de tiempo infinitesimal dt. ¿Todo desplazamiento virtual puede
ser también un desplazamiento real?
3. a) ¿La fuerza de roce es de v́ınculo o no? Analizá distintos escenarios donde aparece una fuerza de
rozamiento.
b) Sabemos que la fuerza que ejerce un resorte sobre un cuerpo no es de v́ınculo pero ¿existe algún caso
particular o ĺımite en el cuál la fuerza del resorte sea de v́ınculo?
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4. ¿Cómo podemos entender a las fuerzas generalizadas? ¿Se puede pensar que una dada fuerza generalizada
actúa sobre una dada part́ıcula del sistema?
5. a) ¿Qué es el espacio de configuraciones?
b) Un sistema mecánico describe una trayectoria en el espacio de configuraciones a medida que evoluciona
con el tiempo, ¿pueden cruzarse dos trayectorias en el espacio de configuraciones?
6. a) ¿Las coordenadas generalizadas son necesariamente independientes?
b) Si las coordenadas generalizadas son independientes entonces sus desplazamientos virtuales también
lo son, ¿por qué?
7. ¿Cuál es la diferencia entre las relaciones constitutivas, ri = ri(q1, · · · , qn; t) y las leyes horarias o de
movimiento, ri(t)?
8. Aśı como las relaciones constitutivas nos dan los vectores posición en término de las coordenadas generalizas,
¿cómo podemos calcular las relaciones análogas para las vectores velocidad de las part́ıculas? En ese contexto,
¿de qué variables dependen las velocidades de las part́ıculas?
9. La función potencial V que aparece en la definición de la función lagrangeana, L = T −V , ¿siempre se puede
asociar a la enerǵıa potencial?
10. Para un sistema holónomo de N part́ıculas, ¿cuántas ecuaciones (escalares) de Newton son necesarias y
cuántas de Lagrange?
11. Supongamos que tenemos un sistema holónomo de n grados de libertad, pero decidimos usar m coordenadas
generalizadas para escribir la función lagrangeana donde m > n. ¿Son válidas las ecuaciones de Lagrange
que derivaremos de la función lagrangeana?
12. ¿Bajo cuáles circunstancias las ecuaciones de Lagrange se pueden escribir de esta manera:
d
dt
∂L
∂q̇j
− ∂L
∂qj
= Qj , j = 1, · · · , n.? (3)
¿Cómo se interpreta a las cantidades Qj?
13. Para la derivación de las ecuaciones de Lagrange usuales
d
dt
∂L
∂q̇j
− ∂L
∂qj
= 0; j = 1, · · · , n (4)
tuvimos que restringirnos a sistemas holónomos. ¿Por qué?
14. ¿Serán válidas las ecuaciones de movimiento obtenidos usando una función de Lagrange que se calculó desde
un sistema de referencia no inercial?
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