Magnetostatica

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Licenciatura en Fı́sica - FCEIA-ECEN
ELECTROMAGNETISMO I
MAGNETOSTÁTICA
Año 2020
AUTORES – CLAUDIO GAZZA Y ESTEBAN GHIOLDI
Índice
1. Magnetostática 1
1.1. Corriente y Densidad de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Ley de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1. Campo magnético de un cable recto largo que transporta corriente . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2. Campo a lo largo del eje de un bucle circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Fuerza entre lazos de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4. Fuerza entre dos lineas de corriente paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. Potencial vector 7
2.1. Ejemplos del uso del ~A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1. Potencial vectorial para un cable largo y recto que lleva corriente . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2. Potencial vector de un solenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.3. Tiene el potencial vector algún significado fı́sico? Efecto Aharanov-Bohm . . . . . . . . . 10
2.1.4. Potencial vector de un campo magnético uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.5. Potencial vector de una corriente superficial sobre un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.6. Potencial vector de un circuito circular de transporte de corriente . . . . . . . . . . . . . . 12
3. Condiciones de contorno en la interfaz 14
4. Potencial escalar magnético 15
4.0.1. Ejemplo: potencial escalar para una corriente lı́neal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.0.2. Ejemplo: Potencial escalar de un dipolo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1. Magnetostática
Hasta ahora, hemos estado discutiendo la electrostática, que se ocupa de la fı́sica del campo eléctrico
creado por las cargas estáticas. Ahora veremos un fenómeno diferente, el de la producción y las propiedades
del campo magnético estático, cuya fuente es la corriente constante, es decir, las cargas en un movimiento es-
pecial. Una diferencia esencial entre la electrostática y la magnetostática es que las cargas eléctricas pueden
aislarse, es decir, existen cargas positivas y negativas que pueden existir por sı́ mismas. A diferencia de esta
situación, las cargas magnéticas (que se conocen como monopolos magnéticos) no pueden existir de forma
aislada, cada polo magnético norte siempre está asociado con un polo sur, por lo que la carga magnética
neta es siempre cero. Hacemos hincapié en que no hay una razón fı́sica de por qué esto debe ser ası́. Sin
embargo, a pesar del mejor intento de aislarlos, no se han encontrado monopolos magnéticos. Esto, como
veremos, trae cierta asimetrı́a a las leyes fı́sicas con respecto a la electricidad y el magnetismo.
Las fuentes de campo magnético estático son corrientes estacionarias. En dicho campo, una carga en
movimiento experimenta una fuerza lateral. Recuerde que un campo eléctrico ejerce una fuerza sobre una
carga, independientemente de si la carga está en movimiento o quieta. El campo magnético, por otro lado,
ejerce una fuerza solo sobre las cargas que se mueven. Bajo la acción combinada de campos eléctricos y
magnéticos, se experimenta una carga, lo que se conoce como fuerza de Lorentz,
~F = q( ~E + ~v × ~B)
1.1. Corriente y Densidad de corriente
Veamos la definición de corriente. La corriente es una cantidad escalar que es la cantidad de carga que
cruza el lı́mite de una superficie de un volumen por unidad de tiempo, la superficie está orientada de forma
normal a la dirección del flujo. En el estado estacionario no hay acumulación de carga dentro de un volumen
a través de cuya superficie fluyen las cargas. Esto da como resultado la ecuación de continuidad, donde el
campo se conoce por varios nombres, como campo magnético de inducción, densidad de flujo magnético, o
simplemente, como nos referiremos en este curso como el campo magnético. Tenga en cuenta que la fuerza
debida al campo magnético se expresa como un producto cruzado de dos vectores, la fuerza es cero cuando
las cargas también se mueven perpendicularmente a la dirección del campo magnético.
si ρ es la densidad de carga, la corriente estará dada por
I =
∮
(ρ~v) · d~S
1
dónde ~J es la densidad de corriente. Recordando que I = dQdt =
d
dt
∫
ρdv, obtenemos,
dQ
dt
= −
∮
~J · d~s
Aquı́, se toma el signo menos porque definimos que la corriente es positiva cuando fluye desde afuera
del volumen hacia adentro y la superficie normal, como en las conferencias anteriores, se toma hacia afuera.
Usando el teorema de divergencia, podemos reescribir esto como
d
dt
∫
ρdv =
∫
∂ρ
∂t
dv = −
∮
~J · d~s−
∫
∇ · ~Jdv =
Dado que la relación es verdadera para el volumen arbitrario, podemos equiparar los integrandos de ambos
lados, lo que resulta en la ecuación de continuidad:
∂ρ
∂t
+∇ · ~J = 0
El principio es una declaración de conservación de la carga eléctrica. Como dijimos anteriormente, la
magnetostática trata con corrientes constantes que implican ∂ρ∂t = 0, entonces para los fenómenos magne-
tostáticos, tenemos ∇ · ~J = 0. Aunque no hablaremos mucho al respecto, nos gustarı́a mencionar que esta
ecuación también es relativamente invariable.
1.2. Ley de Biot-Savart
Recordemos que el campo eléctrico en un punto debido a una distribución de carga se calculó por el
principio de superposición de campos debido a cargas dentro de elementos de volumen infinitesimal que
definen esta distribución de carga. El campo debido al elemento de carga infinitesimal está dado por la ley de
Coulomb, que es una ley del cuadrado inverso. Tomamos un enfoque similar para calcular el campo magnético
debido a una distribución de carga.
Consideramos que una distribución de corriente comprende elementos de corriente infinitesimales cuya
dirección se toma a lo largo de la dirección del flujo de corriente. Si Id~l es un elemento tan actual ubicado en
la posición ~r′, el campo debido a él en la posición está dado por la ley de Biot y Savart,
d ~B(~r) =
µ0
4π
I
d~l × (~r − ~r′)
|~r − ~r′|3
Tenga en cuenta que, al igual que la ley de Coulomb, esta también es una ley cuadrada inversa ya que
|~r − ~r′| es la distancia desde el elemento actual a la posición donde se calculará el campo. La constante
que aparece aquı́. se conoce como la permeabilidad del espacio libre, que tiene un valor 4π × 10−7N/A2.
Ahora haremos alguna manipulación algebraica de esta ecuación. Escribiendo Id~l = ~Jdv1 y sumando sobre
la distribución actual, el campo en la posición ~r viene dado por
1generalizando una corriente filiforme
2
~B(~r) =
µ0
4π
∫ ~J(~r′)× (~r − ~r′)
|~r − ~r′|3
dv′
Usando la relación
∇
(
1
|~r − ~r′|
)
= − ~r − ~r
′
|~r − ~r′|3
y absorbiendo el signo menos intercambiando el orden del producto cruzado,
~B(~r) =
µ0
4π
∫
∇ 1
|~r − ~r′|
× ~J(~r′)dv′ = µ0
4π
∫ [
∇×
~J(~r′)
|~r − ~r′|
]
dv′
Al llegar al último paso, hemos utilizado el hecho de que el gradiente con respecto a r no tiene efecto en
~J(~r′), de modo que ∇ × ~J(~r′) = 0 y hemos usado la identidad de que para un campo escalar f y un campo
vectorial ~A,
∇× (f ~A) = f∇× ~A− ~A×∇f
Dado que el operador ∇× no depende de la variable de integración, podemos sacarlo del signo integral y
escribir,
~B(~r) =
µ0
4π
∇×
∫ ~J(~r′)
|~r − ~r′|
dv′ (1)
Como la divergencia de un rotor es cero, tenemos
∇ · ~B = 0
Esta es la ley magnetostática de Gauss. Comparando con la fórmula electrostática correspondiente ∇ ~E =
ρ/�o, vemos que esta ecuación implica la inexistencia de monopolos magnéticos. Somos conscientes de
que un campo vectorial se da de manera única al especificar su divergencia y su rotor. Ahora intentaremos
encontrar el rotor del campo magnético. Usando la forma de ~B dada en la ecuación (1) al aplicar elrotor,
∇× ~B(~r) = µ0
4π
∇×
(
∇×
∫ ~J(~r′)
|~r − ~r′|
dv′
)
Usando la identidad
∇×∇× ~A = ∇(∇ · ~A)−∇2( ~A)
∇× ~B = µ0
4π
∇
(
∇ ·
∫ ~J(~r′)
|~r − ~r′|
dv′
)
− µ0
4π
∇2
(∫ ~J(~r′)
|~r − ~r′|
dv′
)
(2)
Examinemos cada uno de los términos.
El primer término se puede simplifica de la siguiente manera. Primer tomamos el operador divergencia
dentro de la integral ya que la integración es con respecto a la variable primada,
∇ ·
∫ ~J(~r′)
|~r − ~r′|
dv′ =
∫
∇ ·
(
~J(~r′)
|~r − ~r′|
)
=
∫
~J(~r′) · ∇
(
1
|~r − ~r′|
)
= −
∫
~J(~r′) · ∇′
(
1
|~r − ~r′|
)
donde hemos escrito el gradiente con respecto a la variable primada al incorporar un signo menos ya que
actúa sobre sobre la diferencia |~r − ~r′|. Usando la identidad
∇ · (f ~A) = f∇ · ~A+ ~A · ∇f
∇ ·
∫ ~J(~r′)
|~r − ~r′|
dv′ = −
∫
∇′ ·
(
~J(~r′)
|~r − ~r′|
)
dv′ +
∫
1
|~r − ~r′|
∇′ · ~J(~r′)dv′
3
El primer término se puede convertir a una integral de superficie, utilizando el teorema de divergencia y
la superficie se puede llevar a distancias infinitas haciendo que la integral desaparezca. El segundo término
también desaparece debido a la ecuación de continuidad. Ası́, el primer término de la ecuación (1) desaparece,
dejándonos con el segundo término
∇× ~B = −µ0
4π
∇2
(∫ ~J(~r′)
|~r − ~r′|
dv′
)
El operador ∇2 puede ser ingresado en la integral, y como su derivada actúa sobre ~r, este opera solo
sobre |~r − ~r′|,
∇× ~B = −µ0
4π
∫
~J(~r′)∇2
(
1
|~r − ~r′|
)
dv′
= −µ0
4π
∫
~J(~r′)
(
−4πδ3(~r − ~r′)
)
dv′
= µ0 ~J(~r)
Esta es la comocida ley de Ampere. De este modo, el campo magnético está especificado por
∇ · ~B = 0 and ∇ · ~B = 0
Tenga en cuenta que para el caso del campo eléctrico, el rotor es cero, que es caracterı́stico de un campo
conservativo.
Ahora proporcionaremos una formulación integral de estas dos relaciones.
Considere un volumen cerrado V definido por una superficie S. La normal a la superficie se define de la
manera habitual. Podemos tomar la integral de volumen de la primera relación y convertirla en una integral de
superficie utilizando el teorema de divergencia.∫
∇ · ~Bdv =
∮
~B · d~s
Esta es la forma integral de la ley magnetostática de Gauss. Toma la segunda relación. Sea S una super-
ficie arbitraria a través de la cual pasa la corriente. La integral de superficie viene dada por∫
S
(
∇× ~B
)
· d~s = µ0
∫
~J · d~s = µ0I
La primer relación puede ser convertida en una integral de linea usando el teorema de Stoke,∮
B̃ · d̃l = µ0I
A continuación, ilustramos el uso de la ley de Biot-Savart y la ley de Ampere. Ası́ como el uso directo de
la ley de Coulomb para el cálculo del campo eléctrico para una distribución de carga no siempre fue fácil y
tuvimos que restringir nuestro cálculo a unos pocos casos en los que la simetrı́a del problema nos permitió
utilizar la ley de Gauss para nuestro beneficio, el uso directo de la ley de Biot-Savart solo se puede hacer en
unos pocos casos, aunque la ley es siempre aplicable la ley de Ampere ofrece una alternativa atractiva para
los casos en que la simetrı́a nos permite expresar el campo magnético de una forma que nos permite usar la
integral de lı́nea del campo magnético en términos de ~B en sı́ mismo.
1.2.1. Campo magnético de un cable recto largo que transporta corriente
Tomemos el cable a lo largo de la dirección z. Primero calcularemos el campo magnético usando la forma
integral de la ley de Ampere. Por simetrı́a, el campo no puede depender de la coordenada z y su magnitud
solo puede depender de la distancia desde el cable. Por lo tanto, si tomamos un cı́rculo de radio r, la inten-
sidad del campo magnético deberı́a ser la misma en todas partes. Además, la dirección del campo debe ser
circunferencial, es decir, dada por la regla de la mano derecha. Si tuviéramos que sujetar el cable con nuestra
palma derecha, apuntando con el dedo en la dirección de la corriente, la dirección en la que el dedo se curva
es la dirección del campo magnético. (Esto es dictado por la simetrı́a y lo veremos más explı́citamente cuando
veamos el problema de desde la ley de Biot-Savart).
Tomando un loop Amperiano en la forma de un circulo de radio R,
4
La integral de linea es
∮
~B · d~l = |B|
∮
dl = B2πR = µ0I. Ası́,
~B =
µ0I
2πR
φ̂
donde φ̂ es el versor a lo largo de la dirección azimutal.
Rehagamos el problema usando la ley de Biot-Savart. Tomemos ~r′ a lo largo de el eje x, que también es
la dirección de la corriente. Calcularemos el campo magnético a una distancia r del cable a lo largo del eje y.
Tengamos en cuenta que esto es bastante general, ya que desde cualquier punto en el que queramos calcular
el campo magnético, podemos colocar una perpendicular en el eje x y llamar a esto el eje y. Por lo tanto, el
vector ~r − ~r′ está en el plano xy. Tenemos, Id~l = Idxî
d~l × (~r − ~r′) = k̂|~r − ~r′| sin θ
Dirigida a lo largo de k̂ ya que los vectores î y ~r − ~r′ están en el plano xy. También tenemos,
r′ = x = r tan(θ − π
2
)
lo cual da dx = r cosec2 θdθ. Ası́ el campo magnético esta dado por
~B = k̂
µ0I
4π
∫
sin θ
|~r − ~r′|2
dx = k̂
µ0I
4π
∫ π
0
sin θ
r2 cosec2 θ
r cosec θdθ
= k̂
µ0I
4πr
∫ π
0
sin θdθ = k̂
µ0I
2πr
1.2.2. Campo a lo largo del eje de un bucle circular
Tomemos el bucle en el plano xy. Deseamos calcular el campo a lo largo del eje z. Un elemento de longitud
a lo largo del cı́rculo viene dado por d~l = −adθ sin θî+ adθ cos θĵ y tiene el vector de posición
~r′ = a cos θî+ a sin θĵ
Tomamos el punto P a lo largo del eje z de modo que |~r − ~r′| =
√
a2 + z2. Con estas relaciones tenemos,
d~l × (~r − ~r′) = îza cos θdθ + ĵza sin θdθ + k̂a2
5
Entonces, el campo magnético a lo largo del eje esta dado por
donde hemos usado el vector de momento magnético ~m = IAk̂ = Iπa2k̂, dado por el producto de la
corriente con el área del bucle dirigida a lo largo de la normal al bucle de acuerdo con la regla de la mano
derecha. Se observa que a grandes distancias del bucle, el campo magnético varı́a como el cubo inverso de
la distancia del bucle,
~B ∼ µ0
2π
~m
z3
1.3. Fuerza entre lazos de corriente
Hemos visto que un campo magnético ejerce una fuerza sobre una carga en movimiento. Como un lazo
de corriente contiene carga en movimiento, se deduce que dicho lazo experimentarı́a una fuerza en un campo
magnético. Además, dado que el campo magnético en el que un circuito experimenta una fuerza debe tener
su origen en otra fuente de corriente, dos circuitos portadores de corriente ejercerı́an fuerza entre sı́.
Considere dos de estos circuitos, numerados 1 y 2.
Considere el campo debido a la ley del elemento actual Id~l1 en el circuito 1. En una posición ~r2 − ~r1, el
campo está dado por la ley de Biot Savart,
d ~B1 =
µ0
4π
I1
~dl1 × (~r2 − ~r1)
|~r2 − ~r1|3
6
El campo magnético neto en este punto se obtiene sumando la contribución debida a toda la corriente ele-
mental que comprende el circuito. Como el circuito 2 contiene cargas móviles, el elemento I ~dl2 experimenta
una fuerza debida a este campo que es dada por
∮
I2 ~dl2 × ~dB1. Al sumar todos los elementos actuales en el
circuito 2, obtenemos que la fuerza ejercida por el circuito 1 en el circuito 2 viene dada por
~F12 =
µ0
4π
I1I2
∮ ∮ ~dl2 × ( ~dl1 × (~r2 − ~r1))
|~r2 − ~r1|3
Esta es una expresión muy torpe y solo se puede evaluar en casos de geometrı́a simple.
Por simetrı́a se deduce que la fuerza en el circuito 1 debido a la corriente en el circuito 2 está dada por
~F21 =
µ0
4π
I1I2
∮ ∮ ~dl1 × ( ~dl2 × (~r1 − ~r2))
|~r2 − ~r1|3
No es obvio a partir de estas dos expresiones que F21 = −F12, como deberı́a ser de la tercera ley de New-
ton. Mostraremos que la tercera ley sigue siendo válida. Esto requiere un poco de manipulación algebraica.
Comencemos con la expresión para F12. El integrando se puede escribir de la siguiente manera:
~dl2 × ( ~dl1 × ~dl2)
|~r2 − ~r1|3
= ~dl1
(
~dl2 ·
~r2 − ~r1
|~r2 − ~r1|3
)
− ~r2 − ~r1
|~r2 − ~r1|3
( ~dl1 · ~dl1)
donde hemos usado la identidad,~a× (~b× ~c) = ~b · (~a · ~c)− ~c · (~a ·~b)
Como ~r2−~r1|~r2−~r1|3 es el gradiente negativo de
1
|~r2−~r1| con respecto a ~r2, podemos escribir la integral del primer
término como ∮ ∮
~dl1
(
~dl2 ·
~r2 − ~r1
|~r2 − ~r1|3
)
= −
∮ ∮
~dl1
(
~dl2 · ∇
1
|~r2 − ~r1|
)
Si ahora realizamos la integral de la segunda lı́nea, puede reescribirse como una integral de superficie del
rotor de un gradiente que es idénticamente cero,∮
~dl2 · ∇
1
|~r2 − ~r1|
=
∮
∇×∇ 1
|~r2 − ~r1|
dS2 = 0
Por lo tanto, solo nos queda la integral del segundo término de la forma simplificada de integral, que muestra
claramente la simetrı́a que estamos buscando.
1.4. Fuerza entre dos lineas de corriente paralelas
Considere dos cables paralelos que transportan corriente en la misma dirección. Tomamos ambos cables
en el plano (xy) del papel. El primer cable (a la izquierda) crea un campo magnético que está atravesando el
plano (a lo largo de −k̂) en la ubicación del segundo cable y está dada por ~B1 = −µ0I12πa k̂. La fuerza ejercida
sobre una unidad de longitud del segundo cable está dada por
~F12 = I2ĵ × ~B1
=
µ0I1I2
2πd
ĵ × (−k̂)
= −µ0I1I2
2πd
î
Ası́, los dos cables se atraen entre sı́.
2. Potencial vector
Habı́amos visto que el campo electrostático es irrotacional (conservativo), es decir, ∇ × ~E = 0. Esto nos
permitió introducir un potencial escalar correspondiente al campo eléctrico en términos del cual el campo
se expresa como ~E = −∇. Esto simplificó mucho nuestros esfuerzos porque un campo escalar sujeto al
principio de superposición puede ser más fácil de manejar. ¿Qué pasa con el campo magnético?. Hemos
visto que la ley de Ampere da ∇× ~E = µ0 ~J , es decir, el campo no es irrotacional. En cambio, tenemos la ley
7
magnetostatica de Gauss que define al campo como solenoidal,∇· ~B = 0. Esto nos permite expresar el campo
magnético como un rotor de un campo vectorial debido a que la divergencia de un rotor es idénticamente cero.
Ası́ definimos el potencial vector correspondiente a un campo magnético por la relación
~B = ∇× ~A
Somos conscientes de que según el teorema de Helmholtz, un potencial vectorial se da de manera única
al especificar su rotor y su divergencia. El rotor del potencial vectorial, que es el campo magnético, tiene
un significado fı́sico definido. Tenemos la libertad de elegir la divergencia del potencial del vector a nuestra
voluntad y, por lo general, esto se hace para facilitar los cálculos. Por ejemplo, si consideramos la ley de
Ampere y la expresamos en términos del potencial vectorial, obtendrı́amos
∇× ~B = ∇× (∇× ~A) = ∇(∇ · ~A)−∇2 ~A = µ0 ~J
Ahora usamos nuestra libertad en la elección de la divergencia del potencial vectorial. Como la divergencia no
tiene importancia fı́sica, elijamos que sea cero. La ley del amperio toma la forma
∇2 ~A = −µ0 ~J
Encontramos que cada componente del potencial vectorial satisface la ecuación de Poisson (o de Laplace).
Esta libertad para elegir la divergencia del potencial vectorial se conoce como .elección de Gauge” y La
elección particular de ∇ · ~A = 0 se conoce como el ”Gauge de Coulomb”.
~A′ = ~A+∇ψ
donde ψ es algún campo escalar. Tenemos entonces,
∇ · ~A′ = ∇ · ~A+∇2ψ
Claramente, el nuevo potencial vectorial satisfará la condición del Gauge de Coulomb ∇ · ~A′ = 0, si elegimos
ψ tal que
∇2ψ = −∇ · ~A
Siendo esta una ecuación de Poisson, siempre se puede encontrar una solución. Por lo tanto, incluso si
comenzamos con un potencial vectorial arbitrario, podemos, mediante una transformación adecuada, llegar a
un nuevo potencial vectorial que satisfaga la Condición del Gauge de Coulomb.
Expresemos la ley de Biot-Savart en términos del potencial vectorial.
~B(~r) =
µ0
4π
∫ ~J(~r′)× (~r − ~r′)
|~r − ~r′|3
dv′
= −µ0
4π
∫
~J(~r′)×∇ 1
|~r − ~r′|
dv′
=
µ0
4π
∇×
∫ ~J(~r′)
|~r − ~r′|
dv′
Al llegar a la última expresión, hemos utilizado
∇× (ψ ~A) = ψ∇× ~A+∇ψ × ~A
En este caso, el campo vectorial ~J(~r′) es constante en lo que respecta a las derivadas con respecto a r,
de modo que el primer término da cero. El signo menos relativo viene porque el orden del producto cruzado
es reverso de lo que tenemos en la identidad del vector anterior. Ası́ tenemos,
~A(~r) =
µ0
4π
∫ ~J(~r′)
|~r − ~r′|
dv′
Tenga en cuenta la similitud de esta expresión con la de la expresión para el potencial de la electrostática
ϕ(~r) =
µ0
4π
∫
ϕ(~r′)
|~r − ~r′|
dv′
El papel de la densidad de carga es asumido aquı́ por la densidad de corriente. Notar que, a diferencia del
campo magnético, no sirve a ningún propósito útil calcular el potencial vector en un solo punto, uno necesita
calcularlo en una región del espacio para obtener una expresión para el campo magnético. Lo haremos en la
próxima clase.
8
2.1. Ejemplos del uso del ~A
En esta clase calcularemos el potencial del vector en algunos casos. Hemos visto que el potencial del
vector no es único y tenemos una opción de calibre en la materia. El indicador más común en el que trabajamos
es el indicador de Coulomb en el que la divergencia del potencial del vector se elige como cero, es decir,
∇ · ~A = 0. Obtuvimos una expresión para el potencial vectorial a partir de la ley de Biot-Savart y vimos que
existe una relación mucho más fuerte entre el potencial vectorial que la que existe para el campo magnético
mismo. En muchos casos donde la dirección de la corriente es constante, el potencial del vector simplemente
apunta en la dirección de la corriente. Tenemos la siguiente expresión para el potencial vectorial,
~A(~r) =
µ0
4π
∫ ~J(~r′)
|~r − ~r′|
dv′
2.1.1. Potencial vectorial para un cable largo y recto que lleva corriente
Deje que la corriente esté en la dirección z. El potencial vectorial también apunta de la misma manera.
La corriente es lineal Ik̂, el potencial del vector se convierte en una integral unidimensional simple
~A(~r) =
µ0
4π
Ik̂
∫ ∞
−∞
dz√
r2 + z2
=
µ0
4π
Ik̂ ln (z +
√
r2 + z2)|∞−∞
La expresión diverge cuando se evalúan los lı́mites. Este no es un problema muy serio porque hemos visto
que el potencial del vector es arbitrario hasta una constante que en este caso es infinita. Por ejemplo, si en
lugar de integrar de −∞ a∞, nos damos cuenta de que el integrando es par, podrı́amos integrarlo de cero a
infinito y duplicar el resultado. En ese caso, la integral diverge solo en el lı́mite superior, dejándonos con una
expresión finita en el lı́mite inferior. Descartando la constante infinita, tendrı́amos,
~A(~r) = −µ0
2π
I ln rk̂
En este caso simple, podemos comenzar desde nuestro conocimiento del campo magnético y calcular
de nuevo. Sabemos que el campo magnético tiene simetrı́a cilı́ndrica y se dirige a lo largo de la dirección
circunferencial,
~B(~r) =
µ0
2πr
Iφ̂ = ∇× ~A
Entonces el rotor sólo tiene componente φ
Bφ = (∇× ~A)φ =
∂Ar
∂z
− ∂Az
∂r
=
µ0I
2πr
Por simetrı́a, dado que el cable es infinito, la derivada con respecto a z debe ser cero y tenemos
−∂Az
∂r
=
µ0I
2πr
lo cual da
~A(~r) = −µ0
2π
I ln rk̂ +∇ψ
donde hemos agregado explı́citamente el gradiente de un campo escalar arbitrario.
Hay otro truco que a menudo se usa para calcular el potencial vectorial que consiste en relacionar la
integral de la lı́nea del potencial del vector con el flujo. Si tomamos la integral de lı́nea del potencial vectorial a
lo largo de cualquier bucle cerrado, obtenemos, usando el teorema de Stoke,
∮
~A · d~l =
∫
S
(∇× ~A) · d~s
=
∫
~B · d~s = φB
Entonces podemos usar la simetrı́a del problema para encontrar el potencial del vector.
9
2.1.2. Potencial vector de un solenoide
Sabemos que el campo dentro de un solenoide está a lo largo de su eje (dirección z) y es cero afuera. Si
tomamos una trayectoria circular de radio s centrada a lo largo de su eje, el flujo a través del área circular es
ΦB = πs
2B = πµ0nIs
2. La integral de lı́nea del potencial vectorial es 2πrsAΦ. Esto se debe a que A está en
la dirección de la corriente que es circunferencial.
El potencial del vector está ası́dado por para s < R
~A = µ0nI
s
2
φ̂
Aunque el campo exterior es cero, el potencial vector no se desvanece fuera del solenoide. Esto se debe a que,
si tomamos un cı́rculo de radio s > R, el flujo a través del área circular es πR2B = πR2µ0nI, contribuyendo el
flujo solo desde el interior del solenoide. Ası́ para s > R
~A = µ0nI
R2
2s
φ̂
que cae como inversa de la distancia desde el eje.
2.1.3. Tiene el potencial vector algún significado fı́sico? Efecto Aharanov-Bohm
Se puede ver en el ejemplo anterior que el potencial del vector permanece fuera de cero fuera del solenoide
a pesar de que el campo magnético se ha convertido en cero. Resulta que el potencial vectorial no es solo un
artefacto matemático sino que tiene una realidad fı́sica. El experimento que se describe a continuación ilustra
esto, aunque el efecto del que estamos hablando es de origen mecánico cuántico. (La fuente de la imagen es
William O. Straub (2010))
Figura 1: Seteo experimental con el solenoide apagado
Usted está familiarizado con el experimento de doble rendija de Young realizado con un haz de luz cohe-
rente. El experimento no se limita realmente a ondas de luz, sino que se puede realizar con ondas de materia
como un haz de electrones. Aprendemos de la teorı́a cuántica que, al igual que la luz exhibe un comporta-
miento dual, el de las ondas y las partı́culas conocidas como fotones, también se asocia una longitud de onda
con las partı́culas materiales. Esto se conoce como la longitud de onda de De Broglie y está dada por la
relación de la constante de Planck con el impulso de la partı́cula.
El experimento se realiza con un haz de electrones en lugar de luz. Lo que se hace es colocar un pequeño
solenoide justo más allá de las ranuras entre las ranuras y la pantalla. Inicialmente el solenoide no lleva
10
ningún corriente y sus dimensiones son lo suficientemente pequeñas como para no perturbar el patrón de
interferencia producido en la pantalla debido a la diferencia de fase entre las ondas de electrones que llegan
a la pantalla desde las rendijas.
La corriente en el solenoide está activada. El solenoide es de dimensiones muy pequeñas, de modo que
la mayor parte del haz de electrones pasa fuera del solenoide. Dado que el campo magnético exterior es cero,
los haces de electrones no experimentan ninguna fuerza debido al campo magnético y deben alcanzar la
pantalla sin desviarse. Esto no deberı́a afectar el patrón de interferencia. Sin embargo, lo que se encuentra es
que el patrón sobre la pantalla esta corrido sugiriendo un cambio en la relación de fase. En mecánica cuántica
se puede demostrar que el agente responsable de este cambio de fase es el potencial vectorial que no es
cero fuera del solenoide aunque si lo es el campo magnético es cero.
2.1.4. Potencial vector de un campo magnético uniforme
Un campo magnético uniforme es de importancia práctica. Consideremos que el campo está en una direc-
ción arbitraria que tiene una magnitud B. Una de las posibilidades para el potencial vectorial es
~A =
~B × ~r
2
Puede observarse que
∇× ~A = 1
2
∇× ( ~B × ~r)
=
1
2
[
~B(∇ · ~r)− ~r(∇ · ~B) + (~r · ∇) ~B)− ( ~B · ∇)~r)
]
El primer término da 3 ~B ya que ∇ · ~r = 3. El segundo término es cero porqué ∇ · ~B = 0. El tercero y el
cuarto se calculan como sigue,
(~r · ∇) ~B =
(
x
∂
∂x
+ y
∂
∂y
+ z
∂
∂z
)
(̂iBx + ĵBy + k̂Bz) = 0
ya que el campo es uniforme.
( ~B · ∇)~r =
(
Bx
∂
∂x
+By
∂
∂y
+Bz
∂
∂z
)
(̂ix+ ĵy + k̂z)
= îBx + ĵBy + k̂Bz = ~B
Sumando los cuatro términos, el resultado sigue. Se puede ver que se cumple la condición del Gauge de
Coulomb. La divergencia del potencial vectorial está dada por
∇ · ~A = 1
2
∇ · ( ~B × ~r) = 1
2
[~r · (∇× ~B)− ~B · (∇× ~r)] = 0
porque el primer término se desvanece ya que el campo es uniforme, mientras que el segundo término se
desvanece porque el rotor del vector posición es cero. Por lo tanto, la expresión satisface la condición del
Gauge de Coulomb. Si el campo magnético está en la dirección z, podemos tomar cualquiera de las siguientes
expresiones para las componentes del vector potencial,
~A = (−By
2
,
By
2
, 0)
~A = (−By, 0, 0)
Ambas expresiones son expresiones válidas para el potencial vectorial y difieren según el gradiente de
un campo escalar. Se puede verificar que si agregamos un término ∇ψ al primer término donde ψ = −Bxy2 ,
obtenemos la segunda expresión.
2.1.5. Potencial vector de una corriente superficial sobre un plano
Permitamos que la corriente superficial esté en el plano xy con la corriente que fluye a lo largo de la
dirección x con una densidad de corriente lineal K,
~K = Kî
11
Hemos visto que la magnitud del campo magnético es constante tanto por encima de la plataforma como por
debajo del plano con una discontinuidad en el borde.
~B =
{
−µ0K2 ĵ z > 0
+µ0K2 ĵ z < 0
Como el campo es constante, podemos usar la expresión para el potencial vectorial de la última sección,
para z > 0
~A =
~B × ~r
2
= −µ0K
4
(ĵ × ~r)
= −µ0K
4
(̂iz − k̂x)
El potencial vectorial debajo del plano se obtiene cambiando el signo menos al comienzo de la expresión a un
signo más. Tenga en cuenta que los componentes del potencial vectorial (tanto tangencial como normal) son
continuos a través del lı́mite, aunque el campo magnético en sı́ mismo es discontinuo.
2.1.6. Potencial vector de un circuito circular de transporte de corriente
La corriente está en la dirección azimutal, el vector de densidad de corriente en este caso se puede escribir
como
~J =
I
a
δ(cos θ)δ(r − a)φ̂
(Recuerde que φ̂ no es un vector constante, su dirección en el punto de observación no es la misma que
su dirección en el elemento actual. Como resultado, esta expresión no puede sustituirse directamente en la
expresión general para el potencial vector).
La contribución de un elemento de corriente Id~r′ al potencial vectorial está dada por
d ~A =
µ0I
4π
d~r′
|~r − ~r′|
El potencial del vector debido al bucle viene dado por
~A =
µ0I
4π
∮
d~r′
|~r − ~r′|
Para evaluarlo, expandimos 1|~r−~r′| en polinomios de Legendre, al igual que hicimos en los problemas de elec-
trostática
~A =
µ0I
4π
∞∑
l=0
1
rl+1
∮
r′lPl(cos θ)d~r
′
Para valores grandes de r, necesitamos mantener solo los términos principales. El término de orden más bajo
l = 0 para el cual Pl(cos θ) = 1 desaparece porque
∮
d~r′ = 0. Mantengamos el siguiente término de orden
l = 1 que da,
12
µ0I
4π
∮
1
r2
r′ cos θd~r′
=
µ0I
4πr3
∮
(r̂ · r̂′)d~r′
El producto escalar dentro de la integral se puede simplificar y expresar como una suma de dos cantidades,
una de las cuales es una integral perfecta, que en la integración darı́a cero.
~r × (~r′ × d~r′) = ~r′(~r · d~r′)− d~r′(~r · ~r′)
Recuerde que en esta expresión, ~r es un vector fijo (que es el punto de observación) y d~r′ es el cambio en el
valor del vector ~r′.
Usando la regla de la cadena, podemos escribir,
d [~r′(~r′ · ~r′)] = d~r′(~r · ~r′) + ~r′(~r · d~r′)
Sustituyendo esto en la relación anterior, obtenemos
d~r′(~r′ · ~r′) = 1
2
d [~r′(~r · ~r′)]− 1
2
~r × (~r′ × d~r′)
La integral de bucle del primer término desaparece, ya que es una integral exacta. El segundo término da,
~A(~r = − µ0I
4πr3
[
1
2
~r ×
∮
~r′ × d~r′
]
Tenga en cuenta que la integral del bucle, junto con el factor de 12, es solo el vector de área del bucle, que,
cuando se multiplica por la corriente I, da el momento magnético m del bucle. Ası́, tenemos, intercambiando
el orden del producto cruzado para cuidar el signo menos,
~A(~r) =
µ0
4π
~r × ~m
r3
Esta forma tiene la ventaja de que puede usarse para calcular el campo magnético a grandes distancias,
incluso lejos del eje. Si escribimos esto en coordenadas esféricas, el potencial del vector claramente tiene
solo el componente azimutal, y podemos escribir
Aφ =
µ0
4πr2
πR2 sin θ
Esto da para los componentes del campo magnético,
Br =
1
r2 sin θ
(
∂(r sin θAφ)
∂θ
− ∂(rAθ)
∂φ
)
=
µ0
2πr3
πR2I cos θ
Bθ = −
1r sin θ
(
∂(r sin θAφ)
∂θ
− ∂Ar
∂φ
)
=
µ0
2πr3
πR2I sin θ
También podemos obtener de forma independiente para el campo magnético a partir de la expresión para
el potencial vectorial,
~B =
µ0
4π
[
3
(~m · ~r)~r
r5
− ~m
r3
]
La demostración la dejamos como ejercicio.
13
3. Condiciones de contorno en la interfaz
Hemos visto que el componente normal del campo eléctrico (y, por lo tanto, el campo eléctrico en sı́) es
una superficie cargada discontinua. De manera similar, el campo magnético es coscontinuo a través de una
superficie que tiene corriente superficial.
Considere la interfaz de dos regiones, marcadas con 1 y 2. Una corriente de superficie fluye saliendo del
plano del papel. Considere un pastillero delgado de altura h y área s, perpendicular a los medios con la mitad
debajo de la superficie y la otra mitad encima de ella. Según el teorema magnetostático de Gauss ∇ · ~B = 0
puede expresarse como una integral de superficie,∮
~B · d~S = 0
Defina la dirección normal como la dirección hacia afuera desde la superficie hacia la región 1. Como h → 0,
las contribuciones a la integral de la superficie solo provienen de las tapas superior e inferior, de modo que
(B1n −B2n)∆S = 0
lo que muestra que la componente normal de la inducción magnética es continua
A1n = A2n
La componente tangencial, es decir, la componente del campo magnético paralelo a la interfaz tiene una
discontinuidad que puede calcularse tomando un bucle rectangular de Amper de longitud L y una altura
insignificante h con su longitud paralela a la interfaz. La densidad de corriente, como en el primer caso, sale
del plano del papel.
Definamos nuestro sistema de coordenadas. En la figura que se muestra, la interfaz es perpendicular a la
página y la normal a la superficie n̂ está hacia afuera en la región 1. Los vectores unitarios ŝ y t̂ están ambos
en el plano de la interfaz, con ŝ saliendo de la página y t̂ también en la superficie perpendicular a ŝ para que
ŝ, t̂ y n̂ formen un sistema diestro. Calculemos la integral de lı́nea alrededor del bucle. Tomando el lado largo
del bucle como paralelo a la dirección −t̂, la integral de lı́nea del campo magnético es (cuando h→ 0)
( ~B1 − ~B2) · (−t̂)L = ( ~B1 − ~B2) · (ŝ× n̂)L
Según la ley de Ampere, esto deberı́a ser igual a µ0Iencerrada. Dado que la corriente fluye en la superficie y lo
normal al bucle está a lo largo de ŝ, tenemos.
I =
∫
~J · ŝdS =
∫
~J · ŝdl h =
∫
~K · ŝdl = ~K · ŝL
donde hemos usado ~Jh = ~K cuando h → 0. Igualando µ0I a la integral de lı́nea obtenida anteriormente,
tenemos,
( ~B1 − ~B2) · (ŝ× n̂)L = ~K · ŝ
14
Usando la propiedad cı́clica del producto triple escalar para la expresión a la izquierda e invirtiendo el orden
del producto punto a la derecha, podemos reescribir el lado izquierdo y obtener,
ŝ · (n̂× ( ~B1 − ~B2)) = µ0ŝ · ~K
lo cual da
( ~B1 − ~B2) = µ0 ~K × n̂
Esto se puede ver al sustituir ~K × n̂ por ~B1 − ~B2 en la expresión anterior y darse cuenta de que dado que ~K
se encuentra en la interfaz, ~K · n̂ = 0. Esta expresión también incluye la condición de borde en la componente
normal porque la componente normal del lado derecho es idénticamente cero.
¿Qué pasa con la condición de borde en el potencial vectorial? Hemos visto que la componente normal
del potencial vectorial es continuo debido a nuestra elección del Gauge. La componente tangencial también
es continua porque
∮
~A · d~l es igual al flujo magnético a través del plano del bucle es cero. Ası́, tanto la
componente tangencial como la componente normal del potencial vectorial son continuos.
Sin embargo, la discontinuidad en el componente tangencial del campo magnético se traduce en una
discontinuidad en la derivada normal del potencial vectorial. Prueba de esto se deja como un ejercicio.
4. Potencial escalar magnético
Hemos visto que dado que el rotor del campo magnético no es cero, el campo no es conservador como
resultado de lo cual, a diferencia del caso del campo electrostático, no podemos definir un potencial escalar.
Sin embargo, si nos limitamos a una región distinta de donde existe una fuente actual, el rotor serı́a cero. En
tal situación, podemos definir un potencial escalar Φm correspondiente al campo magnético en la región.
~J = 0⇒ ∇× ~B = 0
lo cual conduce a
~B = −µ0∇Φm
Junto con la divergencia para que el campo magnético sea cero, esto lleva a la ecuación de Laplace para el
potencial magnético escalar,
∇2Φm = 0
La ecuación es similar al caso del potencial electrostático. El factor multiplicativo µ0 se ha introducido debido
a razones dimensionales y se aclarará más adelante.
4.0.1. Ejemplo: potencial escalar para una corriente lı́neal
El problema tiene simetrı́a cilı́ndrica. Tomando la dirección de la corriente a lo largo de la dirección z, el
campo magnético viene dado por
~B =
µ0I
2πr
φ̂
donde r es la distancia del punto de observación desde el cable. Expresando la ecuación que define el poten-
cial escalar en coordenadas cilı́ndricas, tenemos,
−µ0
[
r̂
∂
∂r
+ φ̂
1
r
∂
∂φ
+ ẑ
∂
∂z
]
Φm =
µ0I
2πr
φ̂
Solo el segundo término de la expresión de la mano izquierda puede darnos el campo magnético deseado,
1
r
∂
∂φ
Φm = −
I
2πr
Esto da,
Φm = −
I
2πr
φ
El potencial escalar es, por lo tanto, proporcional al ángulo polar. El potencial es multi-valuado porque a medida
que el origen es rodeado más de una vez, el ángulo aumenta en 2π.
15
4.0.2. Ejemplo: Potencial escalar de un dipolo magnético
En la clase anterior, hemos obtenido expresiones para los componentes de un dipolo magnético dirigido a
lo largo de la dirección z. Hemos visto que el campo magnético se puede escribir como
~B =
µ0
4π
[
2m cos θ
r3
r̂ +
m sin θ
r3
θ̂
]
Escribiendo el gradiente en esféricas e igualando las componentes, tenemos,
−µ0
∂Φm
∂r
=
µ0
4π
2m cos θ
r3
−µ0
1
r
∂Φm
∂θ
=
µ0
4π
2m sin θ
r3
Ambas ecuaciones son satisfechas si elegimos,
Φm =
m cos θ
4πr2
=
~m · ~r
4πr3
Considere el momento magnético que generará un bucle de corriente circular que lleva una corriente I. To-
mando la dirección del momento magnético a lo largo de la dirección z, el punto de observación forma un
ángulo θ con la normal al plano del bucle. Podemos expresar esto en términos del ángulo sólido subtendido
por el bucle de corriente.
Φm =
m cos θ
4πr2
=
IdA cos θ
4πr2
=
I
4π
dΩ
El ángulo sólido puede ser tanto positivo como negativo dependiendo de la forma en que se ve el bucle desde
el punto de observación. Aquı́ es apropiado un comentario sobre el valor único del potencial escalar. Cuando
tomamos la lı́nea integral del campo magnético, no hay discontinuidad si el bucle no encierra ninguna corriente.
Por lo tanto, a medida que cambia el punto de observación, habrá una discontinuidad si se cierra a través del
ciclo. A continuación, el bucle de corriente está hecho de modo de ser el borde de una superficie abierta, la
forma de la superficie es irrelevante siempre que el borde sea el bucle de corriente. Si tomamos un bucle en
esta superficie, no hay discontinuidad si el bucle no rodea el borde. Si se toma la forma como un hemisferio,
el bucle no puede comenzar desde un punto en el hemisferio superior y pasar al hemisferio inferior. Si el ciclo
pasa a través de la corriente, tenemos,
∫
~B · d~l = −µ0
∫
∇Φm · d~l = −µ0∆Φm = µ0I
para que ∆Φm = −I. Esto es consistente con el hecho de que cada vez que se cierra el bucle, el ángulo
sólido cambia en 4π. ¿Qué pasa con un bucle arbitrario? Necesitamos encontrar el ángulo sólido que forma
en el punto de observación. Podemos dividir el bucle actual en una gran malla de bucles pequeños, cada
16
uno de los cuales se comporta como un momento magnético. Las direcciones de los bucles adyacentes se
cancelan dejando solo el contorno del bucle, como se muestra. Dado que la discontinuidad en el potencial
escalar cuando atravesamos un bucle de corriente una vez es –I, si atravesamos el bucle para que trace unángulo sólido Ω en el punto de observación, el potencial escalar cambiarı́a por
Φm =
IΩ
4π
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	Magnetostática
	Corriente y Densidad de corriente
	Ley de Biot-Savart
	Campo magnético de un cable recto largo que transporta corriente
	Campo a lo largo del eje de un bucle circular 
	Fuerza entre lazos de corriente
	Fuerza entre dos lineas de corriente paralelas
	Potencial vector
	Ejemplos del uso del 
	Potencial vectorial para un cable largo y recto que lleva corriente
	Potencial vector de un solenoide
	Tiene el potencial vector algún significado físico? Efecto Aharanov-Bohm
	Potencial vector de un campo magnético uniforme
	Potencial vector de una corriente superficial sobre un plano
	Potencial vector de un circuito circular de transporte de corriente
	Condiciones de contorno en la interfaz
	Potencial escalar magnético
	Ejemplo: potencial escalar para una corriente líneal
	Ejemplo: Potencial escalar de un dipolo magnético