Magnetostatica en presencia de materia

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MAGNETOSTÁTICA EN PRESENCIA DE MATERIA 
rteutle 
67
26. Magnetismo en presencia de materia 
Sabemos que la materia esta constituida por átomos y que cada átomo contiene electrones en movimiento que dan 
origen a corrientes microscópicas denominadas Amperianas. Por esta razón un átomo o molécula puede representarse 
como un dipolo magnético y los medios magnéticos pueden modelarse como una distribución de dipolos magnéticos. 
Basados en esta hipótesis, generalizaremos los resultados obtenidos anteriormente para incluir la presencia de materia. 
 
 
26.1 Magnetización 
La magnetización 
→
M es una cantidad vectorial macroscópica que se define como el momento dipolar magnético por 
unidad de volumen. Si 
→
im es el momento magnético del i-ésimo átomo perteneciente a un pequeño volumen v∆ , 
entonces: 
dv
md
m
v
lim
M
i
iv
→
→→
=∑
∆
=
→∆
1
0
 (44) 
En estado desmagnetizado, la suma ∑
→
i
m dará cero como resultado de la orientación aleatoria de los dipolos, pero 
cuando exista un campo magnético externo, la magnetización dependerá de este. 
 
 
26.2 Densidades de corriente de magnetización 
Cuando un material esta magnetizado, el potencial vectorial y la inducción magnética producidos por la magnetización 
→
M del material son respectivamente: 
 
∫∫ →→
→→
→→
→→
→→
−
+
−
=
'
0
'
0 '
|'|
)''(
4
'
|'|
)'(
4
)(
S
M
V
M da
rr
rK
dv
rr
rJ
rA
π
µ
π
µ
 (45a) 
 
0 0
3 3' '
' '
( ) ( ') ' ( ') '
4 4| ' | | ' |
M M
V S
r r r r
B r J r dv K r da
r r r r
µ µ
π π
→ → → →
→ → → → → →
→ → → →
− −= × + ×
− −
∫ ∫� (45b) 
 
donde 
 
)'(')'(
→→→→
×∇= rMrJM , (45c) 
y 
∧→→→→
×= ')'()'( nrMrK M (45d) 
 
se denominan densidades de corriente de magnetización; S’ es la frontera de V’ y 
∧
'n el vector normal. 
 
Observación. Un material magnetizado es equivalente a una distribución de corrientes volumétrica y superficial cuyas 
densidades se relacionan con la magnetización por medio de (45c) y (45d). 
 
 
Demostración ecuación (45a). 
A continuación supondremos que la magnetización de un material es conocida y calcularemos la contribución del 
material magnetizado al campo magnético. 
Cada elemento de volumen 'dv de materia magnetizada posee un momento magnético ')'( dvrMmd
→→→
= y contribuye 
al potencial vectorial con: 
MAGNETOSTÁTICA EN PRESENCIA DE MATERIA 
rteutle 
68
'
|'|
)'()'(
4|'|
)'('
4
)(
3
0
3
0
dv
rr
rrrM
rr
rrmd
rAd →→
→→→→
→→
→→→
→→
−
−×=
−
−×=
π
µ
π
µ
 
 
Por medio de las identidades 
 
3|'|
'
|'|
1
' →→
→→
→→
−
−=








−
∇
rr
rr
rr
, 








−
∇×−×∇
−
=








−
×∇ →→
→→→→
→→→→
→→
|'|
1
')'()'('
|'|
1
|'|
)'(
'
rr
rMrM
rrrr
rM
, ∫∫
→→→
×−=×∇
SV
adFdvF 
 
se obtiene: 
 
∫∫∫∫ →→
→→→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
−
×+
−
×∇=








−
×∇−
−
×∇=
'
0
'
0
'
0
'
0
|'|
')'(
4
'
|'|
)'('
4
'
|'|
)'(
'
4
'
|'|
)'('
4
)(
SVVV rr
adrM
dv
rr
rM
dv
rr
rM
dv
rr
rM
rA
π
µ
π
µ
π
µ
π
µ
 
26.3 Ley circuital de Ampere generalizada 
Si consideramos que la densidad de corriente que aparece en la forma puntual de la ley circuital de Ampere es la suma 
de las densidades de corriente 
→
fJ y 
→
MJ , se obtiene la ley circuital de Ampere generalizada: 
 
→→
=×∇ fJH , (46a) 
 
donde 
→
→
→
−= MBH
0µ
, [ ]mA/ (46b) 
 
se denomina vector intensidad magnética; 
 
 
Al considerar que H
→
 es una función continua, por medio del teorema de Stokes, se obtiene 
 
f
C
IldH =•∫
→→
 (46c) 
 
 
26.4 Condiciones de frontera en una superficie de discontinuidad 
Haciendo uso de las ecuaciones (39b) y (46c) se obtienen las siguientes condiciones de frontera: 
 
0)( 12 =•−
∧→→
nBB , (47a) 
 
→→→∧
=−× fKHHn )( 12 (47b) 
 
donde 
∧
n es el vector unitario normal a la interface y 
→
fK la densidad de corriente libre sobre esta. 
 
Dem. ecuaciones (47a,b) 
Supongamos que existen densidades de carga y de corriente libre sobre la superficie que separa 2 medios. 
 
MAGNETOSTÁTICA EN PRESENCIA DE MATERIA 
rteutle 
69
� Para hallar la ecuación que satisfacen las componentes normales de los vectores inducción magnética en un punto 
arbitrario P de la interfase, consideremos un pequeño cilindro de radio R y longitud L centrado en P , siendo las 
tapas perpendiculares al vector normal del elemento de superficie interfacial (Fig. 20a). Considerando R muy 
pequeño y 0→L , se tiene: 
 
0)( 1212 =•−•=−•+•=•+•+•=• ∫∫∫∫∫∫∫∫
∧→∧→∧→∧→∧→∧→∧→∧→
IIIIIIIIIIIIII SSSSS
III
S
II
S
I
S
danBdanBdanBdanBdanBdanBdanBdanB 
0)( 1212 =−=•−∴
∧→→
nn BBnBB 
 
 
� Para hallar la relación que satisfacen las componentes tangenciales del campo eléctrico y de la intensidad 
magnética, consideremos ahora una trayectoria cerrada como la que se indica en la figura 20b; si 
∧
'n es la normal a 
la superficie limitada por la trayectoria, en el límite en que 0→L y b es muy pequeño, se obtiene: 
 
∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫∫
∧→∧→→
→
∧→
∧→∧→∧→∧→→→→→→→→→→→
•=•=•
∂
∂+•=+=
•+•−=•+−•=•+•+•+•=•
→
IICC
IIIIIIIIIVIIIIII
C
f
C
f
SS
fDf
CCCCCCCCC
dlnKdlnLJad
t
D
danJII
dltHdltHdltHdltHldHldHldHldHldH
L
''
lim
'
)(
0
2121
 
∧→∧∧→→∧→→
•=ו−=•−∴ '')()( 1212 nKnnHHtHH f , 
 
 Como 
∧∧∧
×= nnt ' y 
→→→→→→
•• ×=× CBACBA )()( , 
 
∧→∧→→∧∧→→∧∧∧→→
•=•−×=×−•=ו− '')(')(')( 121212 nKnHHnnHHnnnHH f 
→→→∧
=−×∴ fKHHn )( 12 
 
 
 
→
2D 
 
 
→
2B 
∧
n 
→
2E 
→
2H 
 
∧∧
= nnI 
∧
t , CIII 
 SI b CII 
 SII L/2 L/2 
 SIII CIV CI 
→
1D 
→
1B 
∧∧
−= nnIII 
→
1E 
→
1H 
 
 Figura 20a. Figura 20b. 
 
 
 
26.5 Materiales magnéticos isotrópicos, homogéneos y lineales 
Existen dos clases de materiales magnéticos: los de magnetización permanente y los de magnetización inducida. 
Dentro de los últimos, los más sencillos de estudiar son los materiales magnéticos isotrópicos, homogéneos y lineales; 
en estos la magnetización es proporcional a la intensidad magnética: 
 
MAGNETOSTÁTICA EN PRESENCIA DE MATERIA 
rteutle 
70
→→
= HM mχ(48a) 
 
donde mχ recibe el nombre de susceptibilidad magnética. En general 1|| <<mχ . Si 0>mχ el material es 
paramagnético y si 0<mχ es diamagnético. 
 
La inducción magnética en materiales magnéticos ihl es dada por 
 
0 0(1 )m rB H H Hµ χ µ µ µ
→ → → →
= + = = (48 b, c, d) 
 
donde 1r mµ χ= + y r oµ µ µ= son la permeabilidad relativa y la permeabilidad magnética del material, 
respectivamente. 
 
 
Tarea. “Tipos de magnetismo” y “materiales ferromagnéticos” 
 
 
 
Ejemplos: 
1. Un cilindro de radio R y longitud 2L está magnetizado uniformemente en la dirección de su eje. Obtenga (a) 
las densidades de corriente de magnetización, (b) el momento dipolar total de la esfera (c) el campo magnético y la 
intensidad magnética sobre su eje. 
Sol. 
Consideremos el cilindro centrado en el origen con su eje paralelo al eje z. De un análisis cualitativo es inmediata la 
siguiente figura: 
 
 z z 
 
 
M
→
 mK
→
 (0,0, )B z
→
 (0,0, )H z
→
 
 
 
 
 
a) Como 
0 | | | |
| | ,
si z L R
M
M z si z L R
ρ
ρ
→
→
∧
 > >= 
 < <
, entonces: 
 
• 0=×∇=
→→
MJM 
 
• ( )' cos ',sen ',0 ( sen ',cos ',0)MK M n M z Mϕ ϕ ϕ ϕ
→ → ∧ ∧
= × = × = − , 
 
b) 
∧∧→→→
=== ∫∫ zLMRdvzMdvrMm
VV
total 2'')'( 2π 
c) )','sen,'cos(' zRRr ϕϕ=
→
, ),0,0( zr =
→
, )','sen,'cos(' zzRRrr −−−=−
→→
ϕϕ , 
 
MAGNETOSTÁTICA EN PRESENCIA DE MATERIA 
rteutle 
71
22 )'(|'| zzRrr −+=−
→→
, ),'sen)'(,'cos)'((
''sen'cos
0'cos'sen)'( RzzzzM
zzRR
MM
zyx
rrK M ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ −−=
−−−
−=−×
∧∧∧
→→→
 
 
{ }
{ } { } { }
∧
−
−
→→
→→→
→→








+−
−−
++
+=








+−
−−=
=
+−
−−=
−
−×= ∫ ∫∫
z
RLz
Lz
RLz
LzM
Rzz
zz
R
MR
Rzz
dzRdRzzzzM
da
rr
rrK
rB
L
L
L
LS
M
2/1222/122
0
2/1222
2
0
2
0
2/322
0
3
0
)()(2)'(
'1
2
)'(
''),'sen)'(,'cos)'((
4
'
|'|
)'(
4
)(
µµ
ϕϕϕ
π
µ
π
µ π
 
{ } { }
{ } { }








<−








+−
−−
++
+
>








+−
−−
++
+
=−=∴
∧∧
∧
→
→
→
LzsizMz
RLz
Lz
RLz
LzM
Lzsiz
RLz
Lz
RLz
LzM
M
B
H
||,
)()(2
||,
)()(2
2/1222/122
2/1222/122
0µ
 
 
 
2. Considere una esfera de radio R con una magnetización constante 
∧→
= zMM . Hallar (a) las densidades de corriente 
de magnetización, (b) el momento dipolar total 
→
M de la esfera (c) el potencial vectorial, el campo magnético y la 
intensidad magnética sobre el eje z 
 z z 
→
oB 
→
0H 
 
∧
'n 
 
→
M y MK
→
 
 
 
 
 
→
oB 
→
0H 
a) 0=×∇=
→→
MJM 
)'cos,'sen'sen,'sen'(cos' θθϕθϕ=
∧
n 
∧∧∧→→
=−=×=×= ''sen)0,'cos'sen,'sen'sen()'cos,'sen'sen,'sen'(cos' ϕθϕθϕθθθϕθϕ MMzMnMK M , 
donde 'θ es el ángulo entre el eje z y la normal unitaria '
∧
n . 
 
 
b) 
∧∧→→→
=== ∫∫ zMRdvzMdvrMm
VV
total
3
3
4
'')'( π 
 
c) )'cos,'sen'sen,'sen'cos(' θθϕθϕ RRRr =
→
 , ),0,0( zr =
→
 , 
 )'cos,'sen'sen,'sen'cos(' θθϕθϕ RzRRrr −−−=−
→→
, 'cos2|'| 22 θzRRzrr −+=−
→→
 
MAGNETOSTÁTICA EN PRESENCIA DE MATERIA 
rteutle 
72
 
{ } { } 0'cos2
'''sen)0,cos,sen(
4'cos2
'''sen'sen
4|'|
'
4
)(
2
0 0
2/122
22
0
2
0 0
2/122
2
00 =
−+
−=
−+
=
−
= ∫ ∫∫ ∫∫
∧
→→
→
→ π ππ π
θ
ϕθθϕϕ
π
µ
θ
ϕθθϕθ
π
µ
π
µ
zRRz
ddMR
zRRz
ddRM
rr
daK
zA
S
M 
 
 
)'sen,'sen'sen)'cos(,'cos'sen)'cos((
'cos'sen'sen'sen'cos
0'cos'sen'sen'sen)'(
2 θϕθθϕθθ
θθϕθϕ
ϕθϕθ
RRzRzM
RzRR
MM
zyx
rrK M
−−=
=
−−−
−=−×
∧∧∧
→→→
 
Al utilizar las integrales 
 
,0''cos''sen
2
0
2
0
== ∫∫
ππ
ϕϕϕϕ dd { } { }
{ }
*
3
2
2
2
)1(
'cos2
''sen
33
2/1221
1
2/322
2
0
2/322
3
Rz
zRRz
zRRz
d
zRRz
d µ
µ
µµ
θ
θθπ −+−=
−+
−=
−+ ∫∫ −
 
{ } { }[ ]||||||||)(
3
2
)2(2
)1(3 22
33
1
1
22
222
22 RzRzzRRzRzRz
RzzRRz
Rz
zRRz −++−−−++=





−+
−+++
−µ
µµ 
 
se obtiene 
 
{ } { } { }[ ]||||||||)(3'cos2
''sen
2
'''sen
|'|
)'(
4
'
|'|
)'(
4
),0,0(
22
3
0
0
2/322
33
0
0
2
0
2
3
0
3
0
RzRzzRRzRzRzz
z
M
zRRz
d
z
MR
ddR
rr
rrK
da
rr
rrK
zB M
S
M
−++−−−++=
−+
=
=
−
−×=
−
−×=
∧∧
→→
→→→
→→
→→→
→
∫
∫ ∫∫
µ
θ
θθµ
θϕθ
π
µ
π
µ
π
π π
 
 
 
{ } { }[ ]
{ } { }[ ]





<=−++−−+++
>=±±±−±±±+
=∴
∧
∧
→
Rzsiz
M
zRRzzRRzRzRz
z
M
Rzsiz
z
MR
RzRzzRRzRzRz
z
M
zB
||,
3
2
)(
3
||,
3
2
|)(
3
),0,0(
022
3
0
3
3
022
3
0
µµ
µµ
∓∓
 
 
 
y como 




<
>= →∧
→
→
RrsizM
Rrsi
M
||
||0
 y 
→
→
→
−= MBH
0µ
, por último se obtiene: 






<−
>
=
∧
∧
→
Rzsiz
M
Rzsiz
z
MR
H
||
3
||
3
2
3
3
 
 
 
3. En un material magnético infinito de permeabilidad mH /102 6−×=µ existe una inducción magnética 
mTzyxB )753(
∧∧∧→
++= . Determine (a) la intensidad magnética, (b) la magnetización, (c) la densidad de corriente 
de magnetización volumétrica y (d ) la densidad de corriente de magnetización superficial. 
Sol. 
MAGNETOSTÁTICA EN PRESENCIA DE MATERIA 
rteutle 
73
(a) mAzyx
zyxB
H /)350025001500(
102
10)753(
6
3 ∧∧∧
−
−
∧∧∧→
→
++=
×
×++==
µ
 
 
(a) mAzyxzyxBH
B
M /)753(77.29510)753(
2
1
4
10
10
11 36
00
∧∧∧
−
∧∧∧→→
→
→
++=×++




 −=





−=−=
πµµµ
 
 
(b) 0=×∇=
→→
MJM , pues la magnetización es uniforme. 
 
(c) No tiene sentido hablar de una densidad de corriente de magnetización superficial, 
→
MK , pues el material no tiene 
fronteras. 
 
 
4. La región 1, donde 01 4µµ = , es el lado del plano y+z=1 que contiene al origen. En la región 2, dada por y+z>1, 
.6 02 µµ = Si TB )0,1,2(1 =
→
 , determine: 
→
1H , 
→
2H y 
→
2B . 
Sol. 
El vector unitario normal a la interfase, que apunta del medio 1 al 2, es 
2
)1,1,0(
|)(|
)( =
+∇
+∇=
∧
zy
zy
n 
 
Por lo tanto: 
Método 1 
 
TTnnBB n )5.0,5.0,0(),,0()1,1,0(
2
)1,1,0(
2
)1,1,0(
)0,1,2( 2
1
2
1
2
1
11 ===




 •=




 •=
∧∧→→
, 
 
TTBBB nt )5.0,5.0,2(),,2()5.0,5.0,0()0,1,2( 2
1
2
1
111 −=−=−=−=
→→→
, 
 
),,0(
1
)()4(
),,0(
8
1
8
1
00
2
1
2
1
1
1
1 µµµ
===
→
→
n
n
B
H , ),,(
1
)()4(
),,2(
8
1
8
1
2
1
00
2
1
2
1
1
1
1 −=
−
==
→
→
µµµ
t
t
B
H . 
 
De las condiciones de frontera: 0)( 12 =•−
∧→→
nBB y 
∧∧→∧∧→∧→→
•×=ו=•− tnKtnKtHH ff)( 12 , se tiene: 
 
TBB nn )5.0,5.0,0(),,0( 2
1
2
1
12 ===
→→
, ),,(
1
8
1
8
1
2
1
0
12 −==
→→
µtt
HH 
 
Además: ),,0(
1
)()6(
),,0(
12
1
12
1
00
2
1
2
1
2
2
2 µµµ
===
→
→
n
n
B
H , THB tt ),,3(),,()6( 4
3
4
3
8
1
8
1
2
1
222 −=−==
→→
µ 
 
Por lo tanto: 
 
)0,,(
1
4
1
2
1
0
111 µ
=+=
→→→
tn HHH , ),,(
1
24
1
24
5
2
1
0
222 −=+=
→→→
µtn
HHH , 5 12 2 2 4 4(3, , )n tB B B T
→ → →
= + = − . 
 
 
MAGNETOSTÁTICA EN PRESENCIA DE MATERIA 
rteutle 
74




=−∴−=−
=∴=
⇒
4
6
224
1
22
22
1
2
0
0
3
zyyz
xx
BBHH
BH
µ
µ
Método 2 
)0,,(
1
)()4(
)0,1,2(
4
1
2
1
001
1
1 µµµ
===
→
→ B
H 
 
De las condiciones de frontera: 0)( 12 =•−
∧→→
nBB y 
→→→∧
=−× fKHHn )( 12, se tiene: 
 
� 
2
)1,1,0(
)0,1,2(
2
)1,1,0(
),,( 222 •=•zyx BBB , 122 =+∴ zy BB 
 
� 
0
4
1
2
1
222
)0,,(
2
)1,1,0(
),,(
2
)1,1,0(
µ
×=× zyx HHH , ),,(
1
),,( 2
1
2
1
4
1
0
2222 −−=−− µxxyz
HHHH 
 
 
 
 
 
 
Al resolver el sistema de dos ecuaciones: 32 =xB , 122 =+ zy BB , 4622 =− zy BB ; se tiene: 452 =yB , 412 −=zB 
 
Por lo tanto: TBBB tn ),,3( 4
1
4
5
222 −=+=
→→→
, ),,(
1
)()6(
),,3(
24
1
24
5
2
1
00
4
1
4
5
2
2
2 −=
−
==
→
→
µµµ
B
H 
 
 
5. La región 0>z contiene un material magnético de permeabilidad mH /104 62
−×=µ y la región 0<z un 
material de permeabilidad mH /107 61
−×=µ . Además, mAxK f /80
∧→
= sobre la superficie z=0. Si 
mTzyxB
∧∧∧→
+−= 322 en la región z>0. Determine 
→
2H y 
→
2M para z>0 
→→
11, HB y 
→
1M para z<0. 
Sol. 
Como mTzyxB
∧∧∧→
+−= 322 , entonces 
 
mAzyx
zyxB
H /)1000750500(
104
10)32(
6
3
2
2
2
∧∧∧
−
−
∧∧∧→
→
+−=
×
×+−==
µ
 
 
mAzyxzyxBH
B
M /)32(77.54510)32(1
10
4
1011 3
6
2
20
2
0
2
2
∧∧∧
−
∧∧∧→→
→
→
+−=×+−




 −=





−=−=
πµµµ
 
 
Supongamos ),,( 1111 zyx BBBB =
→
 y ),,( 1111 zyx HHHH =
→
 
Como 
∧∧
= zn es la normal a la superficie de la interfase. De las condiciones de frontera: 0)( 12 =•−
∧→→
nBB y 
→→→∧
=−× fKHHn )( 12 se tiene: 
 
mTBBBBnBB zzzz 10)( 211212 ==∴=−=•−
∧→→
 
 
MAGNETOSTÁTICA EN PRESENCIA DE MATERIA 
rteutle 
75
67080
500
80)0,,(100)(
21
21
1221
121212
12
−=+=
==
∴
==−−=
−−−
=−×
∧→
∧∧∧
→→∧
yy
xx
fxxyy
zzyyxx
HH
HH
xKHHHH
HHHHHH
zyx
HHn
 
 
Como ),,(),,( 1111111111 zyxzyx HHHHBBBB µµ ===
→→
, entonces mTHB xx 5.3)500(107
6
111 =×==
−µ , 
mTHB yy 69.4)670(107
6
111 −=−×==
−µ , 86.142
107
101
6
3
1
1
1 =×
×== −
−
µ
z
z
B
H 
 
mTB )1,69.4,5.3(1 −=∴
→
 
 
mAH /)86.142,670,500(1 −=
→
 
 
mABH
B
M /)1,69.4,5.3(92.65210)1,69.4,5.3(
7
1
4
10
10
11 36
1
10
1
0
1
1 −=×−




 −=





−=−= −
→→
→
→
πµµµ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referencias. 
1. Fundamentos de la Teoría Electromagnética | Reitz, Milford, Christy |Addison Wesley. 
2. Campos Electromagnéticos | Wangsness | Limusa. 
3. Electromagnetismo | Krauss | Mc Graw Hill. 
4. Electromagnetismo | Edminister | Mc Graw Hill. 
5.