Lista_TP1

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Universidad Nacional de Rosario-FCEIA
Escuela de Ciencias Exactas y Naturales
Departamento de F́ısica
Profesores: C. Gazza y E. Ghioldi
gazza.ifir@gmail.com, rojo6666@gmail.com
Disciplina: Electromagnetismo I
Lista de Ejercicios:Trabajo Práctico I.
1 Multipolares exteriores para potencial especificado en una esfera:
(a) Permitiendo que ϕ(R, θ, φ) sean los valores especificados del potencial electrostático en la
superficie de una esfera. Demuestre que la forma general de una expansión multipolar esférica
exterior implica que
ϕ(r) =
∞∑
l=0
l∑
m=−l
(
R
r
)l+1
Ylm(Ω)
∫
dΩ′ϕ(R,Ω)Y ∗l′m′(Ω
′), r > R
(b) Los ocho octantes de una capa esférica se mantienen a potenciales electrostáticos alternos
±V como se muestra a continuación en la vista en perspectiva (a), y mirando hacia abajo el
eje z desde arriba en (b).
Utilice el resultado de la parte (a) para encontrar el comportamiento asintótico (r →∞) del
potencial producido por la capa esférica.
2 (a) Demuestre el teorema de reciprocidad de Green: si Φ es el potencial debido a una densidad
de carga de volumen ρ dentro de un volumen V y una densidad de carga superficial σ que
limita el volumen V , mientras que Φ′ es el potencial debido a otra distribución de carga ρ′ y
σ′, luego ∫
V
ρφ′d3x+
∫
S
σφ′da =
∫
V
ρ′φd3x+
∫
S
σ′φda
(b) Dos planos conductores paralelos infinitos conectados a tierra están separados por una dis-
tancia d. Se coloca una carga puntual q entre los planos. Use el teorema de reciprocidad
de Green para demostrar que la carga inducida total en uno de los planos es igual a (−q x
d
),
siendo x la distancia de la carga puntual con el otro plano. (Sugerencia: compare con un
problema con las mismas superficies, eligiendo densidades de carga y un potencial que sean
simples y conocidos).
3 Resolver, por el método de las imágenes, el potencial eléctrico para r > R de un anillo cargado
uniformemente y concéntrico a una esfera conductora (ver figura).
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4 Un disco delgado, plano, circular y conductor de radio R se encuentra en el plano x − y con su
centro en el origen y se mantiene en un potencial fijo ϕ. Con la información de que la densidad
de carga del disco a potencial fijo es proporcional a (R2 − ρ2)− 12 , donde ρ es la distancia desde el
centro del disco.
(a) Encontrar el potencial para r > R.
(b) Encontrar el potencial para r < R.
5 Un cilindro circular hueco de radio b tiene su eje coincidente con el eje z y sus extremos en z = 0
y z = L. El potencial en las caras finales es cero, mientras que el potencial en la superficie del
cilindro viene dado por ϕ(φ, z). Usando la separación apropiada de variables en coordenadas
ciĺındricas, encuentre una solución en serie para el potencial en todas partes dentro del cilindro.
6 Encontrar la solución de la ecuación de Laplace bidimensional dentro de una región rectangular
confinada por x = 0, y = 0, x = a y y = b. El valor del potencial es cero en los primeros tres
bordes y toma el valor ϕ(x, y = b) = ϕ0x/a en el cuarto lado.
7 La región cuadrada definida por −a ≤ x ≤ a y −a ≤ y ≤ a en el plano z = 0 es un conductor
mantenido en potencial ϕ = V . El resto del plano z = 0 es un conductor mantenido en potencial
ϕ = 0, el plano z = d también es un conductor mantenido a potencial cero.
(a) Encuentre el potencial para 0 ≤ z ≤ d en la forma de una integral de Fourier.
(b) Encuentre la carga total inducida en la superficie superior de la placa inferior (z = 0). La
respuesta es muy simple. No lo deje en forma de integral o serie infinita sin evaluar.
(c) Dibuje las ĺıneas de campo de E(r) entre las placas.
8 Una capa esférica de radio R está dividida en tres segmentos conductores por dos espacios de
aire muy delgados ubicados en las latitudes θ0 y π − θ0. El segmento central está conectado a
tierra. Los segmentos superior e inferior se mantienen a los potenciales V y −V , respectivamente.
Encuentra el ángulo θ0 tal que el campo eléctrico dentro de la cáscara sea lo más constante posible
cerca del centro de la esfera.
9 Encuentre la densidad de carga de volumen ρ y la densidad de carga de superficie σ que deben
colocarse dentro y sobre una esfera de radio R para producir un campo dentro de la esfera de
E = −2V0
xy
R3
x̂ +
V0
R3
(y2 − x2)ŷ − V0
R
ẑ
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No hay otra carga en ningún lado. Exprese su respuesta en términos de funciones trigonométricas
de θ y ϕ.
10 La mitad x > 0 de un plano conductor en z = 0 se mantiene a potencial cero. La mitad x < 0
del plano se mantiene a un potencial V . Un pequeño espacio en x = 0 evita el contacto eléctrico
entre las dos mitades.
(a) Utilice un argumento de cambio de escala para concluir que el potencial ϕ(ρ, φ) para z > 0,
en coordenadas polares planas no puede depender de la variable radial ρ.
(b) Encuentre el potencial electrostático en esas mitad del espacio z > 0.
(c) Haga un bosquejo semi-cuantitativo de las ĺıneas de campo eléctrico y use palabras para
describir las caracteŕısticas más importantes.
11 La siguiente figura muestra una cáscara conductora ciĺındrica infinitamente larga de la que se ha
eliminado un rango angular finito. La cáscara está en un potencial correspondiente a una carga
por unidad de longitud λ. Encuentre la fracción de carga que reside en la superficie interna de la
cubierta en términos de λ y el parámetro angular p. Sugerencia: Calcular Qin −Qout.
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