Guía fisica electrcia

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F́ısica 3
(Problemas de Selección - Parte 1)
Prof. Cayetano Di Bartolo Andara
Ultima actualización: Julio de 2004
Julio de 2004
F́ısica-3 (Problemas de Selección - Parte 1)
Prof. Cayetano Di Bartolo Andara
Departamento de F́ısica
Universidad Simón Boĺıvar
Esta gúıa compuesta de dos partes contiene una serie de problemas de selección adecuados
para un curso de un trimestre de electrostática y magnetostática; al final de cada parte el
lector encontrará las respuestas a los problemas propuestos. Muchos de los problemas aqúı
presentados han aparecido a lo largo de los años en los exámenes de F́ısica-3 en la Universidad
Simón Boĺıvar o son modificaciones de estos últimos. La gúıa se mantiene en construcción y
si el lector tiene observaciones que hacer o desea contribuir a la misma, por favor, no dude
en escribirme a mi dirección dibarto@usb.ve
AGRADECIMIENTOS
La gúıa se realiza con la inestimable colaboración de mi esposa Jacqueline Geille Sarthou,
quien me ayuda en muchas etapas de su elaboración.
Instrucciones para las preguntas de selección
� Cuando lo necesite use para la permitividad en el vaćıo el valor numérico
�0 ≈ 9 × 10−12 C2/Nm2
y para la constante eléctrica
ke ≡ 1/4π�0 ≈ 9 × 10+9 Nm2/C2
� Luego de cada pregunta se dan 5 opciones de respuesta identificadas con las letras A, B, C,
D y E pero sólo una de ellas es la correcta. Seleccione aquélla que Usted considere acertada
y luego compare con las respuestas ”supuestas correctas” que se encuentran al final de la
gúıa.
� Si Usted lo desea puede elaborar un autoexamen escogiendo varias preguntas al azar. Para
la puntuación lo tradicional es que una respuesta incorrecta elimina 1/4 de una correcta y
si una pregunta no se contesta su valor es cero (no hay penalidad). De acuerdo a esto, si
Usted escoge N preguntas y de ellas responde correctamente C, incorrectamente I y deja de
contestar D entonces su puntuación en base 100 seŕıa (C − I /4) 100 /N .
Contenido
1 Fuerza y campo eléctricos 4
2 Ley de Gauss 11
3 Potencial eléctrico y enerǵıa 19
4 Condensadores 26
5 Respuestas 29
Fuerza y campo eléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Potencial eléctrico y enerǵıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
C. Di Bartolo iii
1
Fuerza y campo eléctricos
1. Dos part́ıculas fijas de cargas q1 y q2 tienen vectores posición r1 y r2 respectivamente.
La fuerza eléctrica sobre q2 debida a q1 es
A) F2,1 =
q1q2 (r1 − r2)
4π�0|r1 − r2|3
B) F2,1 =
q1q2 (r2 − r1)
4π�0|r2 − r1|3
C) F2,1 =
q1q2 (r2 + r1)
4π�0|r2 + r1|3
D) F2,1 =
q1q2 r2
4π�0|r2|3
E) Ninguna de las otras 4 opciones es correcta
2. Para medir el campo eléctrico producido por una carga estacionaria en un punto dado un
experimentador A usa una carga de prueba q0 y un experimentador B una carga de prueba
2q0. A encuentra un campo que es:
A) el mismo que el campo encontrado por B
B) mayor que el campo encontrado por B
C) menor que el campo encontrado por B
D) mayor o menor que el campo encontrado por B, dependiendo de las masas de las
part́ıculas de prueba
E) mayor o menor que el campo encontrado por B, dependiendo de las aceleraciones de las
part́ıculas de prueba
C. Di Bartolo 4
C. Di Bartolo Fuerza y campo eléctricos 5
3. Una gota de aceite cargada y con masa de 2× 10−4 Kg se mantiene suspendida en el aire
por causa de la gravedad (g = 9.8 m/s2) y de un campo eléctrico de 98 N/C dirigido hacia
abajo. La carga de la gota es:
A) −2 × 10−5 C
B) +5 × 104 C
C) −5 × 104 C
D) +2 × 10−5 C
E) 0
4. La part́ıcula de la figura tiene masa M , carga Q negativa y está en reposo suspendida del
techo por medio de un hilo tenso en una región donde existe un campo eléctrico constante
horizontal. Se cumple que el campo eléctrico tiene dirección y módulo dados por
A) E dirigido a la derecha con |E| = Mg/|Q|
B) E dirigido a la derecha con |E| = Mg tgθ/|Q|
C) E dirigido a la izquierda con |E| = Mg tgθ/|Q|
D) E dirigido a la derecha con |E| = Mg/(|Q| tgθ)
E) E dirigido a la izquierda con |E| = Mg/(|Q| tgθ)
θ
Q
5. Un hilo circular de radio R y carga q uniformemente distribuida está fijo en el plano xy
con su centro en el origen. Su campo eléctrico en un punto r = zk es E = keqzk/(R
2+z2)3/2.
Si en el punto (0, 0, z), con 0 < |z| � R, se coloca en reposo una part́ıcula de masa m y
carga −q entonces la part́ıcula
A) oscilará alrededor del origen con un peŕıodo τ =
√
mR3/(keq2)
B) oscilará alrededor del origen con un peŕıodo τ = 2π
√
mR3/(keq2)
C) oscilará alrededor del origen con un peŕıodo τ = 2π
√
mz3/(keq2)
D) oscilará alrededor del origen con un peŕıodo τ =
√
keq2/(mR3)
E) tendrá un movimiento que no cumple con ninguna de las otras 4 opciones.
Julio de 2004
C. Di Bartolo Fuerza y campo eléctricos 6
6. Un electrón que viaja hacia el norte entra en una región donde el campo eléctrico es
uniforme y apunta hacia el oeste. El electrón:
A) acelera hacia el norte
B) desacelera hacia el norte
C) tuerce su ruta hacia el este
D) tuerce su ruta hacia el oeste
E) continúa con la misma rapidez hacia el norte
7. Una part́ıcula con carga positiva se suelta del reposo en una región donde la gravedad
es constante y además existe un campo eléctrico horizontal, constante y que, en las figuras,
apunta hacia la derecha. Suponga que el peso de la part́ıcula no es despreciable y apunta
hacia abajo. Diga cuál trayectoria describe mejor su movimiento.
A) B) C) D) E)
8. Las dos cargas de la figura se encuentran sobre el eje x y a la misma distancia a del origen.
Las componentes Ex y Ey del campo eléctrico neto del sistema en el punto P satisfacen
A) Ey < 0 y Ex < 0.
B) Ey > 0 y Ex > 0.
C) Ey > 0 y Ex < 0.
D) Ey = 0 y Ex > 0.
E) Ey < 0 y Ex > 0.
q > 0 −q < 0o
aa
P
y
x
Julio de 2004
C. Di Bartolo Fuerza y campo eléctricos 7
9. La figura muestra en gris un hilo cargado de longitud L y densidad longitudinal de carga
constante λ. El campo eléctrico E que produce el hilo en el punto P es
A) E =
∫ L
0
keλdx(xû1 + bû2)/(x
2 + b2)3/2.
B) E =
∫ h+L
h
keλdx(xû1 + bû2)/(x
2 + b2)3/2.
C) E =
∫ h+L
h
keλdx(û1 + û2)/(x
2 + b2).
D) E =
∫ L
0
keλdx(hû1 + bû2)/(x
2 + b2)3/2.
E) E =
∫ L
h
keλdx(xû1 + bû2)/(x
2 + b2).
h
b
L
dq
x
P
û2
û1 r
10. Un hilo semicircular de radio R posee densidad longitudinal de carga no constante
λ = aeθ, siendo a una constante y θ el ángulo mostrado en la figura. Si E = Ex i + Ey j es
el campo eléctrico que produce el hilo en o (el centro de la circunferencia) entonces
A) Ex = −
∫ 0
−πKe a e
θ sen θ dθ/R.
B) Ex =
∫ π/2
−π/2Ke a e
θ sen θ dθ/R.
C) Ex =
∫ 0
−πKe a e
θ sen θ dθ/R2.
D) Ex = 0.
E) Ex = −
∫ π/2
−π/2Ke a e
θ sen θ dθ/R.
dq
R
θ
o
j
i
11. La figura muestra en gris un hilo semicircular de radio R y densidad longitudinal de
carga constante λ. El campo eléctrico E que produce el hilo en el punto P es
A) E =
∫ π
0
λR [ (R cos θ + D) i − R sen θ j ]
4π�0 [ (R cos θ + D)2 + (R sen θ)2]3/2
dθ.
B) E =
∫ π
0
λR [ (R sen θ + D) i + R cos θ j ]
4π�0 [ (R sen θ + D)2 + (R cos θ)2]3/2
dθ.
C) E =
∫ π
0
λR [ (R cos θ + D) i + R sen θ j ]
4π�0 [ R2 + D2]3/2
dθ.
D) distinto al mostrado en las otras 4 opciones.
E) E =
∫ π
0
λR i
4π�0 D2
dθ.
D
R
θ o
dq
P
j
i
λ
Julio de 2004
C. Di Bartolo Fuerza y campo eléctricos 8
12. Las dos cargas de la figura se encuentran sobre el eje x y a la misma distancia a del
origen. La componente Ey del campo eléctrico neto del sistema en el punto P es
A) Ey = 2keQa/(a
2 + b2)3/2.
B) Ey = 2keQ/(a
2 + b2)1/2.
C) Ey = 2keQb/(a
2 + b2)3/2.
D) Ey = 0.
E) Ey = 2keQb/(a
2 + b2)1/2.
Q Qo
aa
P
y
x
b
13. La figura muestra las ĺıneas de campo eléctrico en una región donde existe un campo
eléctrico no uniforme. Si colocamos un dipoloeléctrico en reposo en la posición mostrada
A) el dipolo se moverá hacia arriba
B) el dipolo se moverá hacia abajo
C) el dipolo se moverá hacia la izquierda
D) el dipolo se moverá hacia la derecha
E) el dipolo no se moverá
14. Un campo eléctrico uniforme de 100 N/C hace un ángulo de 30◦ con el momento dipolar
de un dipolo eléctrico. Si el momento dipolar tiene una magnitud de 6× 10−9 Cm, el torque
ejercido por el campo tiene una magnitud de:
A) 3
√
3 × 10−7 Nm
B) 3 × 10−7 Nm
C) 3
√
2 × 10−7 Nm
D) 6 × 10−7 Nm
E) Ninguna de las otras 4 opciones es correcta
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C. Di Bartolo Fuerza y campo eléctricos 9
15. Una part́ıcula de carga 5×10−3 C se encuentra en el origen. Un detector determina que su
campo eléctrico en un punto situado a una distancia r del origen es E = (4i+3j)×104 N/C.
Se cumple que la distancia r en metros es
A) r = 900
B) r = 30
C) r = 10−1/3
D) r = 3
√
900
E) r = 10
√
45/7
16. Tres cargas puntuales se colocan como se muestra en la figura (las distancias están en
metros). Las cargas son Q1 = 6 µC, Q2 = 8 µC y Q3 = 2 µC (donde 1µ C = 10
−6 C). La
magnitud, en Newtons, de la fuerza electrostática neta sobre Q3 es
A) 4
√
7 × 10−3.
B) 4 × 10−3.
C) 28 × 10−3.
D) 6 × 10−2.
E) 2 × 10−2.
Q3 Q1
Q2
−1
−2
−3
1 2 3
x (m)
y (m)
17. Dos muy pequeñas esferas poseen igual masa m e igual carga q. Estas cargas están en
equilibrio suspendidas del techo por medio de hilos de igual longitud. Si la distancia entre
las cargas es d entonces se cumple que
A) mg = keq
2/[d2 Sen(α)].
B) mg = keq
2 Tg(α)/d2.
C) mg = keq
2/[d2 Tg(α)].
D) mg = keq
2/d2.
E) ninguna de las otras respuestas es correcta.
qq
d
αα
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C. Di Bartolo Fuerza y campo eléctricos 10
18. Una molécula neutra y polarizada puede considerarse como un dipolo ya que la distancia
entre sus centros de carga positiva (+) y negativa (−) es muy pequeña. Inicialmente una
molécula polarizada está en reposo en presencia de un campo electrostático E uniforme como
se muestra en la figura. La molécula tiende inicialmente a
A) rotar en sentido horario sin desplazarse su centro.
B) desplazarse hacia la derecha sin rotar.
C) desplazarse hacia la izquierda sin rotar.
D) rotar en sentido antihorario sin desplazarse su centro.
E) rotar y al mismo tiempo desplazarse su centro.
E
(centro de la molécula
≡ su centro de masa)
Julio de 2004
2
Ley de Gauss
1. Un profesor de f́ısica carga una esfera conductora con 25 µC y luego la lleva al salón de
clases. El flujo neto, en N m2/C, del campo eléctrico de la esfera a través de las paredes del
salón es:
A) No puede determinarse sin conocer las dimensiones del salón
B) 25 × 10−6
C) 2.2 × 105
D) 2.8 × 106
E) 0
2. Una Gaussiana semiesférica de radio 3 cm rodea una carga de 1.8 × 10−7 C. El flujo del
campo eléctrico producido por esta carga, a través de la porción redondeada (no plana) de
la semiesfera es 8 × 104 Nm2/C. El flujo a través de la base plana es:
A) 0
B) +6 × 104 Nm2/C
C) −6 × 104 Nm2/C
D) −8 × 104 Nm2/C
E) +8 × 104 Nm2/C
C. Di Bartolo 11
C. Di Bartolo Ley de Gauss 12
3. Un cascarón esférico aislante tiene carga Q (distinta de cero) uniformemente distribuida
en su superficie. En algún punto de la región encerrada por Q se encuentra una carga puntual
q. El módulo de la fuerza eléctrica que la carga puntual ejerce sobre el cascarón
A) es mayor si q está más cerca de la superficie del cascarón.
B) es mayor si q está en el centro del cascarón.
C) es mayor a mitad de camino entre el centro y la superficie del cascarón.
D) es distinta de cero y con el mismo valor para cualquier lugar del interior donde se en-
cuentre q.
E) es cero sin importar el lugar en el interior del cascarón donde se encuentre q.
4. Una esfera aislante de radio R tiene carga Q distribuida uniformemente en su volumen.
La magnitud del campo eléctrico en un punto a una distancia R/2 del centro de la esfera es
A) Q/8π�0R
2
B) Q/4π�0R
2
C) Q/π�0R
2
D) 3Q/4π�0R
2
E) diferente del que aparece en las otras 4 opciones
5. Una carga puntual se coloca en el centro de una superficie Gaussiana esférica. El flujo
eléctrico ΦE cambia:
A) si la esfera es reemplazada por un cubo del mismo volumen
B) si la carga puntual es movida al exterior de la esfera
C) si la esfera es reemplazada por un cubo de un décimo del volumen de la esfera
D) si la carga puntual se mueve a otro punto en el interior de la esfera
E) si una segunda carga puntual se coloca en el exterior de la esfera
Julio de 2004
C. Di Bartolo Ley de Gauss 13
6. Un hilo recto de longitud infinita tiene densidad longitudinal de carga constante λ.
Considere una superficie Gaussiana cúbica, de arista L y tal que el hilo pasa por los centros
de dos de sus caras opuestas. El flujo eléctrico a través de una de las caras que no está en
contacto con el hilo es
A) Lλ/4�0
B) Lλ/6�0
C) Lλ/�0
D) 0
E) 2Lλ/�0
7. Un hilo recto de longitud infinita tiene densidad longitudinal de carga constante λ.
Considere una superficie Gaussiana cúbica, de arista L y tal que el hilo la atraviesa por la
diagonal principal. El flujo eléctrico a través de una de las caras del cubo es
A) 0
B)
√
3Lλ/6�0
C)
√
2Lλ/6�0
D)
√
3Lλ/�0
E) diferente al indicado en las otras 4 opciones
8. Una esfera sólida aislante de radio R contiene carga positiva distribuida uniformemente
en su volumen. ¿Cuál de los gráficos describe mejor la magnitud del campo eléctrico como
una función de r?
A)
rR
E
B)
rR
E
C)
rR
E
D)
rR
E
E)
rR
E
Julio de 2004
C. Di Bartolo Ley de Gauss 14
9. El tubo Gaussiano de la figura corta dos planos infinitos con densidades superficiales de
carga constantes σ1 y σ2. Las dos tapas de la gaussiana y los planos son todos paralelos
entre śı. El área de cada tapa y de la superficie intersecada de cada plano es S. Si φpared es
el flujo neto a través de la pared curva del tubo (superficie del tubo sin tapas) se cumple que
A) φpared = (σ1 + σ2) S/ε0.
B) |φpared| = |σ1 − σ2|S/ε0.
C) |φpared| = (|σ1| + |σ2|) S/ε0.
D) φpared = (σ1 + σ2) S/(2ε0).
E) φpared = 0.
σ1
σ2
Tapa
Tapa
10. La figura muestra dos placas infinitas, delgadas, planas y paralelas. Las placas tienen
cargas de la misma magnitud, pero de signos opuestos, distribuidas uniformemente en las
superficies internas. Ordene de menor a mayor la magnitud del campo eléctrico en los 5
puntos mostrados.
A) E5 < E4 < E3 < E2 < E1
B) E2 = E3 < E1 = E4 < E5
C) E1 < E2 < E3 < E4 < E5
D) E1 = E4 = E5 < E2 = E3
E) E2 = E3 < E1 = E4 = E5
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
1 2 3 4 5
11. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones, relacionadas con la ley de Gauss, es correcta?
A) Si se tiene una Gaussiana en una región sin cargas entonces se cumple que el campo
eléctrico es nulo en cualquier punto de la superficie Gaussiana.
B) Si el flujo a través de una superficie Gaussiana es cero entonces el campo eléctrico es cero
en la región encerrada por ella.
C) Dadas dos Gaussianas que encierran la misma carga puntual se cumple que el flujo
eléctrico es menor a través de la Gaussiana de menor volumen.
D) La expresión integral de la ley de Gauss es cierta sólo si se consideran como Gaussianas
superficies equipotenciales.
E) Todas las otras 4 afirmaciones son incorrectas.
Julio de 2004
C. Di Bartolo Ley de Gauss 15
12. Cierto libro de f́ısica muestra una región del espacio en la cual se cruzan dos ĺıneas de
campo eléctrico en un punto donde no hay materia. Nosotros podemos concluir que:
A) por lo menos hay dos cargas puntuales presentes
B) un conductor eléctrico produce el campo eléctrico
C) el campo eléctrico es producido por ambos, un aislante y un conductor eléctrico
D) se trata de un error del libro
E) el campo apunta en dos direcciones distintas en el mismo punto
13. La Gaussiana ciĺındrica de la figura encierra una carga q > 0 y deja fuera una carga
−q. El diferencial de superficie en la tapa-1 apunta en dirección û. Sean φq y φneto los flujos
sobre la tapa-1del campo producido por q y del campo neto respectivamente. Se cumple
que
A) |φq| = |φneto|.
B) φq > φneto > 0.
C) |φq| < |φneto|.
D) 0 > φneto > φq.
E) |φq| �= 0 y |φneto| = 0.
q−q û
Tapa-1
14. Dos esferas, una de radio R y otra de radio 2R, rodean una carga puntual. Al dividir
el número de ĺıneas de campo que atraviesan la esfera grande entre el número de las que
atraviesan la esfera más pequeña se obtiene
A) 1
B) 2
C) 4
D) 1/2
E) 1/4
Julio de 2004
C. Di Bartolo Ley de Gauss 16
15. Los puntos de la figura son cortes de hilos homogéneos, cargados, paralelos y de longitud
infinita; las ĺıneas son ĺıneas de campo (no se muestra la dirección de las mismas). Los campos
eléctricos en los tres puntos marcados con equis satisfacen
A) |Ea| > |Eb| > |Ec|.
B) |Ea| > |Ec| > |Eb|.
C) |Ec| > |Eb| > |Ea|.
D) |Ec| > |Ea| > |Eb|.
E) |Eb| > |Ea| > |Ec|.
a
b
c
16. Los puntos numerados de la figura son cortes de hilos homogéneos, cargados, paralelos y
de longitud infinita; las ĺıneas son ĺıneas de campo (no se muestra la dirección de las mismas).
Si la densidad longitudinal de carga #1 es λ1 = 2 µC/m entonces
A) falta información para poder determinar λ5.
B) la #5 es λ5 = −3 µC/m.
C) la #5 es λ5 = −(4/3) µC/m.
D) la #5 es λ5 = (4/3) µC/m.
E) la #5 es λ5 = 3 µC/m.
1 2
3 4
5
17. Dos esferas conductoras idénticas A y B de igual carga están separadas una distancia
mucho mayor que sus diámetros. La fuerza electrostática entre ellas tiene módulo F . Se hace
que una tercera esfera conductora, idéntica a las anteriores pero descargada, toque primero
a la esfera A, luego a la B, y finalmente se desecha. Como resultado el nuevo módulo de la
fuerza electrostática entre A y B es:
A) F/2
B) F/4
C) 3F/8
D) F/16
E) 0
Julio de 2004
C. Di Bartolo Ley de Gauss 17
18. Una esfera conductora, sólida y de radio R tiene carga positiva. ¿Cuál de los gráficos
describe mejor la magnitud del campo eléctrico como una función de r?
A)
rR
E
B)
rR
E
C)
rR
E
D)
rR
E
E)
rR
E
19. Diga si son o no correctas las siguientes afirmaciones referidas al campo eléctrico total
producido por una carga puntual Q y un conductor con una cavidad y carga neta nula.
(I) Si Q está en la superficie S el campo es nulo en la cavidad y no nulo en el exterior.
(II) Si Q está en el exterior el campo es nulo en la cavidad.
(III) Si Q está en la cavidad el campo es nulo en el exterior.
A) Sólo I y III son correctas
B) Sólo I es correcta
C) Las tres son correctas
D) Sólo I y II son correctas
E) Sólo II y III son correctas
Exterior
Cavidad
Superficie S
Conductor
20. El sistema de la figura está formado por una carga puntual q= -3 µC en el interior
de una cavidad de una esfera conductora en equilibrio electrostático. Si la carga neta de la
esfera conductora es de 10 µC entonces la carga neta sobre la superficie más externa de la
esfera es
A) +7 µC
B) +3 µC
C) +10 µC
D) -3 µC
E) -7 µC
q
Julio de 2004
C. Di Bartolo Ley de Gauss 18
21. Considere la superficie S de un cubo de arista R contenido ı́ntegramente en el interior
de una esfera de radio R y carga Q uniformemente distribuida en su volumen. El flujo del
campo eléctrico de la esfera a través de la superficie S del cubo es
A) Φ = 4π Q/(3 �0).
B) Φ = Q/�0.
C) Φ = Q/(4π �0).
D) Φ = 3Q/(4π �0).
E) Φ = Q/(6 �0).
Julio de 2004
3
Potencial eléctrico y enerǵıa
1. Las dos cargas Q de la figura están fijas en los vértices de un triángulo equilátero con
lados de longitud a. Sea K = 1/4π�0. El trabajo que debe realizar un agente externo para
mover q, con velocidad constante, desde el otro vértice al punto medio de la ĺınea que une
las cargas fijas es:
A) cero
B) KQq/a
C) 4KQq/a
√
3
D) 2KQq/a
E) KQq
√
3/a
q
QQ
a
2. La separación inicial de tres cargas se muestra en la figura. Q3 tiene masa M y sólo
siente las fuerzas eléctricas de Q1 y Q2 quienes están fijas. Si Q3 parte del reposo, su rapidez
cuando llegue al punto medio de la ĺınea que une las cargas fijas será:
(donde K = 1/4πε0)A)
√
6Kq2/aM
B)
√
2Kq2/aM
C)
√
3Kq2/aM
D) cero, permanece en reposo.
E)
√
Kq2
√
15/2aM
a
2a2a
Q1 = +q Q2 = +q
Q3 = −q
C. Di Bartolo 19
C. Di Bartolo Potencial eléctrico y enerǵıa 20
3. Las dos cargas de la figura son positivas, se encuentran sobre el eje y y son equidistantes
del origen. La distancia Bo es el doble de la distancia Ao. Si se toma cero el potencial en
infinito, los potenciales en los puntos A, B y o (V (A), V (B) y V (o)) satisfacen
A) V (A) > V (o) > V (B).
B) V (o) = 0 y |V (A)| < |V (B)|.
C) V (o) = V (A) = V (B).
D) V (o) > V (A) > V (B).
E) V (o) = 0 y |V (A)| > |V (B)|.
Q
Q
h
h
AB o
y
x
4. La figura muestra un arreglo de part́ıculas cargadas en un cuadrado de arista 2d, siendo d
la distancia entre dos part́ıculas adyacentes. El centro del cuadrado es el punto P . ¿Cuánto
vale el potencial eléctrico en el punto P si el potencial eléctrico en infinito es cero?.
A) 18q/4π�0d
B) −q/π�0d
C) 7q/4π�0d
D) 0
E) Ninguno de los anteriores
d
d
P
−4q
+4q−q
+q
−2q
−2q
−5q+5q
5. En la figura se señalan las cargas y las posiciones cartesianas (en metros) de tres part́ıculas.
¿Cuánto vale, en voltios, el potencial eléctrico en el origen si se elige nulo el potencial en
infinito?
A) −27 × 103/4.
B) 27 × 103/32.
C) −27 × 103/32.
D) 27 × 103/2.
E) 0.
q1 = 1 µ C
q2 = 2 µ C
(0, 4)
(0,−4)
x
y
q3 = −6 µ C
(8, 0)
Julio de 2004
C. Di Bartolo Potencial eléctrico y enerǵıa 21
6. Una concha esférica no conductora y de radio 3 cm tiene una carga de 6 × 10−8 C
distribuida uniformemente en su superficie. El potencial en voltios en el centro de la esfera,
relativo al potencial en infinito es:
A) +1.8 × 104
B) 0
C) −1.8 × 104
D) +6 × 105
E) +6.7 × 103
7. El plano infinito de la figura coincide con el plano xy, es no conductor y tiene densidad
superficial de carga constante σ. Escogemos que este plano se encuentre a potencial V0.
¿Cuánto vale el potencial eléctrico en un punto a una altura z1 por encima del plano?
A) V (z1) = V0.
B) V (z1) = V0 + σ/(2�0).
C) V (z1) = V0 + σ z1/(2�0).
D) V (z1) = V0 − σ z1/(2�0).
E) V (z1) = V0 − σ z1/(�0).
x
y
z
z1
σ
8. La figura muestra las dimensiones de un rectángulo que se encuentra en una región donde
el campo eléctrico apunta hacia la derecha y tiene magnitud constante |E| = 2 N/C. Los
puntos A y B son vértices del rectángulo. La diferencia de potencial V (B) − V (A) es
A) V (B) − V (A) = +8 Voltios.
B) V (B) − V (A) = −6 Voltios.
C) V (B) − V (A) = −8 Voltios.
D) V (B) − V (A) = +6 Voltios.
E) |V (B) − V (A)| = 10 Voltios. A
B
|E| = 2 N/C
4 m
3 m
Julio de 2004
C. Di Bartolo Potencial eléctrico y enerǵıa 22
9. La figura muestra tres grandes planos paralelos y cargados, sus separaciones y también
la magnitud y dirección de los campos eléctricos constantes que hay en cada una de las dos
regiones entre los planos. El valor absoluto de la diferencia de potencial entre los planos A
y C en voltios es
A) 20
B) 4
C) 8
D) 5
E) 1
A B C
2 m 2 m
E1
|E1| = 6 NC
E2
|E2| = 4 NC
10. La figura muestra dos puntos A y B sobre el plano xy. En la región existe un campo
eléctrico uniforme de 5 Volt/m, perpendicular al eje z y a 45◦ de los ejes x e y. El valor
absoluto, en voltios, de la diferencia de potencial entre los puntos A y B es
A) 5
√
10
B) 5
C) 15
D) 5
√
2
E) 10
√
2
4
A
B
E
0
1
1
2
2
3
3 x(m)
y(m)
11. La figura muestra dos puntos A y B sobre el plano xy. En la región existe un campo
eléctrico uniforme de
√
2 Volt/m, perpendicular al eje z y a 45◦ del eje y. La diferencia de
potencial en voltios entre los dos puntos, VA − VB, es
A) +2
B) −2
C) +2
√
2
D) 0
E) −2√2
4
AB
E
0
1
1
2
2
3
3 x(m)
y(m)
Julio de 2004
C. Di Bartolo Potencial eléctrico y enerǵıa 23
12. Consideremos un conductor macizo, sin cavidades en su interior, cargado positivamente
y en equilibrio. Entonces
A) podemos asegurar que el potencial eléctrico en su interiores nulo.
B) podemos asegurar que la carga neta está uniformemente repartida en todo su volumen.
C) podemos asegurar que el campo eléctrico en su interior es nulo.
D) podemos asegurar que en los puntos exteriores próximos al conductor el potencial es
constante.
E) ninguna de las otras cuatro afirmaciones es verdadera.
13. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
A) Si el potencial es cero en un punto, entonces el campo eléctrico se anula en ese punto.
B) Todas las otras 4 afirmaciones son incorrectas.
C) Si colocamos en reposo un electrón en un campo eléctrico, se moverá hacia donde dis-
minuya el potencial eléctrico.
D) Si se conoce el potencial eléctrico en un punto, se puede determinar el campo eléctrico
en ese punto.
E) Si el campo eléctrico es uniforme en una región, el potencial debe ser constante en dicha
región.
14. Dos conchas metálicas delgadas esféricas y concéntricas tienen cargas netas positivas.
¿Qué sucede con las cargas de las esferas cuando éstas se conectan mediante un alambre
metálico?
A) La carga total se distribuye en partes iguales entre las dos esferas.
B) Las cargas se redistribuyen anulándose la carga neta de la esfera exterior.
C) Para determinar cómo se redistribuyen las cargas es necesario saber cuál de las dos esferas
estaba a mayor potencial.
D) Las cargas se redistribuyen anulándose la carga neta de la esfera interior.
E) No sucede nada.
Julio de 2004
C. Di Bartolo Potencial eléctrico y enerǵıa 24
15. Una part́ıcula de carga q y masa m se suelta del reposo sobre el eje perpendicular de
simetŕıa (eje z) de un aro con carga Q y a una distancia D de su centro, ver figura. Usando
los datos dados abajo se puede concluir que la rapidez máxima que alcanza luego la part́ıcula
A) es 3 m/s.
B) es
√
45/2 m/s.
C) es
√
15 m/s.
D) es 9 m/s.
E) tiende a infinito.
Datos:
Q = 5 × 10−6 C
q = 10−6 C
R = 4 m
D = 3 m
m = 2 × 10−3 Kg
R
D
z
q
Q
16. Una part́ıcula de masa m y carga negativa −q se suelta del reposo a una distancia b de
un hilo infinito con densidad longitudinal de carga positiva y constante λ. Si el potencial del
hilo a una distancia ρ del mismo es V (ρ) = −(λ/2π�0)ln(ρ/R0) (donde se tomó V (R0) = 0)
entonces la enerǵıa cinética de la part́ıcula cuando se encuentra a una distancia a del hilo es
A)
qλ
2π�0
ln
(a
b
)
.
B)
qλ
2π�0
ln
(
ab
R20
)
.
C)
qλ
2π�0
ln
(
b
a
)
.
D)
qλ
2π�0
ln
(
R20
ab
)
.
E) 0.
λ
q
b
a
17. Cuatro electrones van de una superficie equipotencial a otra a lo largo de las cuatro
curvas mostradas en la figura. Ordene, de menor a mayor, el trabajo realizado por el campo
eléctrico sobre cada electrón.
A) W4 < W3 < W2 < W1
B) W4 < W3 < W1 < W2
C) W1 < W2 < W3 < W4
D) W1 < W3 < W4 = W2
E) W2 = W4 < W3 < W1
12
3
4
90v 80v 70v 60v 50v
Julio de 2004
C. Di Bartolo Potencial eléctrico y enerǵıa 25
18. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones, relacionadas con las ĺıneas de campos electrostáti-
cos, es correcta?
A) El módulo del campo eléctrico no cambia a lo largo de una ĺınea de campo.
B) Todas las otras 4 afirmaciones son falsas.
C) Si la única fuerza que actúa sobre una carga puntual es eléctrica entonces la trayectoria
de la part́ıcula es una ĺınea de campo.
D) El módulo del campo eléctrico disminuye en la dirección que señalan las ĺıneas de campo
eléctrico.
E) Las ĺıneas de campo son tangentes a las superficies equipotenciales.
19. La figura representa ĺıneas de campo electrostático. En ella se han marcado tres puntos
a, b y c. Los potenciales Va, Vb y Vc en esos puntos satisfacen
A) Va = Vb > Vc.
B) Va > Vb > Vc.
C) |Vb| > |Va| y |Vb| > |Vc|.
D) Va = Vb < Vc.
E) Va < Vb < Vc.
a b
c
Julio de 2004
4
Condensadores
1. Considere un condensador aislado, cargado y de capacidad 6 µF. Si le agregamos carga
al condensador hasta triplicar la carga original entonces su nueva capacidad será:
A) 6 µF
B) 18 µF
C) 2 µF
D) 3 µF
E) 12 µF
2. Dado un condensador llamaremos �V a la diferencia de potencial entre sus placas, Q a
la carga en su placa positiva y C a su capacidad. Señale cuál afirmación es cierta.
A) Si aumentamos �V , C aumenta.
B) Si aumentamos �V , Q aumenta.
C) Si disminuimos �V , C aumenta.
D) Si disminuimos �V , Q aumenta.
E) Ninguna de las otras cuatro afirmaciones es cierta.
C. Di Bartolo 26
C. Di Bartolo Condensadores 27
3. Un condensador tiene placas paralelas separadas entre śı una distancia d. Entre las placas
el campo eléctrico es constante y de magnitud E. Si en el punto P (ver figura) se coloca una
part́ıcula de masa M y carga positiva q entonces la rapidez con la cual chocará contra una
de las placas es:
A) La part́ıcula no choca con ninguna placa
B)
√
2qEd/M
C)
√
2qEd/3M
D)
√
4qEd/3M
E) Ninguna de las otras 4 respuestas es correcta
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
d
d/3
P
4. Se define el voltaje máximo de un capacitor como el mayor voltaje que se le puede aplicar
sin dañarlo. Dos capacitores A y B tienen las siguientes especificaciones de capacidad y
voltaje máximo: CA = 1 µF, VA(Max)=18 Volt y CB = 2 µF, VB(Max)=12 Volt. ¿Cuál es
el máximo voltaje que podemos aplicar a su combinación en serie sin dañar ninguno?
A) 30 Volt
B) 36 Volt
C) 12 Volt
D) 18 Volt
E) 27 Volt
5. Cierto condensador aislado de placas paralelas se encuentra cargado de manera tal que su
enerǵıa eléctrica almacenada es U . Sin modificar la carga del condensador separamos sus dos
placas hasta que la nueva capacidad sea un cuarto de la original. El trabajo que realizamos
al separar las placas es:
A) 4U
B) U/4
C) 3U
D) 3U/4
E) 0
Julio de 2004
C. Di Bartolo Condensadores 28
6. Dos condensadores se cargan y conectan como se muestra en la figura A, nótese las
polaridades de los condensadores. El interruptor S se cierra y se espera que el circuito
alcance el equilibrio mostrado en la figura B. Se cumple que la nueva carga q1 es
A) q1 = q.
B) q1 = 6q.
C) q1 = 2q.
D) q1 = 9q/2.
E) q1 = 3q/2.
9q −9q q1 −q1
q2 −q2
C1 = CC1 = C
C2 = 2CC2 = 2C
S
Figura A Figura B
−6q 6q
7. Tres condensadores se conectan como se muestra en la figura. El condensador C1 tiene
carga Q y los otros dos están descargados. El interruptor S se cierra y cuando el circuito
alcanza el equilibrio la nueva carga del condensador C1 es q1. Se cumple que
A) q1 = Q/2.
B) q1 = Q/4.
C) q1 = Q/3.
D) q1 = 4Q/3.
E) ninguna de las otras 4 opciones es correcta.
Q −Q
C1 = C
C3 = 3C
C2 = 2C
S
Julio de 2004
5
Respuestas
Fuerza y campo eléctricos
3 6 9 12 15 18
A C B C B D
1 4 7 10 13 16
B C A E D E
2 5 8 11 14 17
A B E A B C
C. Di Bartolo 29
C. Di Bartolo Respuestas 30
Ley de Gauss
3 6 9 12 15 18 21
E A E D A E D
1 4 7 10 13 16 19
D A B D B E D
2 5 8 11 14 17 20
C B C E A C A
Julio de 2004
C. Di Bartolo Respuestas 31
Potencial eléctrico y enerǵıa
3 6 9 12 15 18
D A B C A B
1 4 7 10 13 16 19
D B D E B C E
2 5 8 11 14 17
A E C A D E
Julio de 2004
C. Di Bartolo Respuestas 32
Condensadores
3 6
D A
1 4 7
A E B
2 5
B C
Julio de 2004
F́ısica 3
(Problemas - Parte 1)
Prof. Cayetano Di Bartolo Andara
Ultima actualización: Julio de 2004
Julio de 2004
F́ısica-3 (Problemas - Parte 1)
Prof. Cayetano Di Bartolo Andara
Departamento de F́ısica
Universidad Simón Boĺıvar
Esta gúıa compuesta de dos partes contiene una serie de problemas adecuados para un curso
de un trimestre de electrostática y magnetostática; al final de cada parte el lector encontrará
las respuestas a los problemas propuestos. Muchos de los problemas aqúı presentados han
aparecido a lo largo de los años en los exámenes de F́ısica-3 en la Universidad Simón Boĺıvar
o son modificaciones de estos últimos. La gúıa se mantiene en construcción y si el lector tiene
observaciones que hacer o desea contribuir a la misma, por favor, no dude en escribirme a
mi dirección dibarto@usb.ve
AGRADECIMIENTOS
La gúıa se realiza con la inestimable colaboración de mi esposa Jacqueline Geille Sarthou,quien me ayuda en muchas etapas de su elaboración.
Instrucciones para las preguntas de selección
� Cuando lo necesite use para la permitividad en el vaćıo el valor numérico
�0 ≈ 9 × 10−12 C2/Nm2
y para la constante eléctrica
ke ≡ 1/4π�0 ≈ 9 × 10+9 Nm2/C2
Contenido
1 Fuerza y campo eléctricos 4
2 Ley de Gauss 12
3 Potencial eléctrico y enerǵıa. 15
4 Condensadores. 21
5 Respuestas 23
5.1 Fuerza y campo eléctricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.2 Ley de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.3 Potencial eléctrico y enerǵıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.4 Condensadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
C. Di Bartolo iii
—Tema 1—
Fuerza y campo eléctricos
1. La figura muestra tres cargas que se mantienen fijas en el plano xy.
a. Halle, en cartesianas, la fuerza eléctrica neta sobre q3 debida a las
otras dos cargas.
b. Evalúe el resultado anterior para el caso q1 = 25 mC, q2 = −16
mC, q3 = 5 mC, a = 3 m y b = 4 m.
q1 q2
q3
i
j
a
b
2. El sistema de la figura se encuentra en reposo. Las
dos part́ıculas tienen la misma carga q1 = q2 = q y se
encuentran a la misma altura. La #1 tiene masa m y cuelga
de un hilo tenso que forma un ángulo θ con la vertical. La
carga #2 se mantiene fija en su lugar por medio de un
soporte unido a una mesa.
Halle la longitud L del hilo.
q1 q2
θ
L
3. La figura muestra un sistema de tres part́ıculas cargadas
en un plano xy horizontal. Las part́ıculas #1 y #2 se
mantienen fijas y la #3, de masa m, se está moviendo a lo
largo del eje x bajo la influencia de las fuerzas eléctricas
que le aplican las otras dos. Llame x(t) a la posición de q3
respecto al origen.
a. Halle la fuerza neta sobre q3 y su ecuación de
movimiento.
q1 = q
q2 = q
q3 = −q0
a
a
ûx
ûy
b. ¿Es el punto x = 0 un punto de equilibrio? ¿Por qué?
c. Halle el peŕıodo del movimiento de q3 si inicialmente se suelta desde el reposo en un punto
|x(0)| � a.
C. Di Bartolo 4
C. Di Bartolo Fuerza y campo eléctricos 5
4. Una carga puntual de 5 µC se coloca en el origen, otra carga puntual de 8 µC se coloca a
3 m del origen sobre el eje x, y una tercera carga de 12 µC se coloca a 3 m del origen sobre
el eje y. Aproxime Ke = 1/4π�0 ≈ 9 ∗ 109Nm2/C2 y halle la magnitud de la fuerza sobre la
carga en el origen.
5. Un electrón y dos protones se colocan en
los tres diferentes arreglos mostrados en la figura.
Llamemos F al módulo de la fuerza eléctrica total
que los protones ejercen sobre el electrón. Com-
pare F en los tres casos y ordene de mayor a menor.
+
_
+
2d d
(A)
_
+ +
dd
(B)
_
+
+
2d
d
(C)
F en caso > F en caso > F en caso
(Escriba en cada casilla la letra A, B o C adecuada)
6. En el sistema de la figura las tres part́ıculas poseen la
misma carga, q1 = q2 = q3 = q. Las part́ıculas #1 y #2
se mantienen fijas y la #3, de masa m, se está moviendo a
lo largo del eje x bajo la influencia de las fuerzas eléctricas
que le aplican las otras dos. Llamaremos x(t) a la posición
de q3 respecto al origen 0.
q1 q2q3
LL
0
x(t)
i
a. Halle la fuerza neta sobre q3 y su ecuación de movimiento.
b. ¿Es el punto x = 0 un punto de equilibrio? ¿Por qué?
c. Suponga que |x(t)| � L y halle el peŕıodo de las pequeñas oscilaciones de la part́ıcula #3
en torno al origen.
7. Dos pequeños cuerpos con cargas q1 y q2 del mismo signo
están en reposo suspendidos mediante hilos de longitud L.
Los hilos, como se muestra en la figura, forman un ángulo
θ con la vertical y sus puntos de sujeción al techo están
separados una distancia d.
a. Dibuje el diagrama de fuerzas de cada cuerpo. q1 q2
θθ
d
LL
b. Escriba en componentes (vertical y horizontal) la segunda ley de Newton para cada carga.
c. Determine las masas de los dos pequeños cuerpos.
Julio de 2004 Problemas de F́ısica 3
C. Di Bartolo Fuerza y campo eléctricos 6
8. Dos part́ıculas, fijas y de carga q cada una se encuen-
tran separadas una distancia 2a. Una tercera part́ıcula de
masa M y carga Q está sometida solamente a la fuerza
electrostática de las part́ıculas fijas, ella gira en una órbita
circular de radio R; la órbita es perpendicular a la ĺınea
que une las dos part́ıculas fijas y tiene su centro en el punto
medio entre ellas. Ver figura.
a. Calcule la fuerza electrostática sobre Q. Indique qué
signo debe tener Q.
qq
aa
o
Q
R
b. Halle la rapidez de Q.
c. Determine para qué valor de R es máximo el módulo de la fuerza sobre Q.
9. Un haz constituido por neutrones, electrones y
protones, todos con igual velocidad, penetra en un
campo vertical uniforme y se divide en otros tres
haces A, B y C como indica la figura. Desprecie
el efecto de la gravedad e indique a cuál tipo de
part́ıculas corresponde cada haz. Indique también
qué se puede decir acerca del sentido del vector
campo eléctrico.
B
C
A
Los neutrones forman el haz , los electrones el haz y los protones el haz .
(Escriba en cada casilla la letra A, B o C adecuada)
El sentido del campo eléctrico es
(Complete con el texto adecuado: hacia arriba, hacia abajo o indeterminable)
Julio de 2004 Problemas de F́ısica 3
C. Di Bartolo Fuerza y campo eléctricos 7
10. En los vértices de un cuadrado de lado 2L se fijan 4
part́ıculas cuyas cargas se señalan en el dibujo.
a. Calcule el campo eléctrico del sistema en un punto z
sobre el eje perpendicular al cuadrado y que pasa por su
centro. Ayuda: Calcule por separado la contribución de
cada par de cargas conectadas por una diagonal.
q
q
−3q
−3q
z
0
L L
L
L
b. En el punto z se coloca una part́ıcula de masa m y carga 2q, inicialmente en reposo.
Suponga que la gravedad no es relevante en este problema.
b1. Halle la ecuación de movimiento de la part́ıcula de masa m.
b2. Suponga que z � L y calcule el peŕıodo de las pequeñas oscilaciones que describe la
part́ıcula.
11. La figura a la derecha muestra una barra delgada de
longitud L y carga Q uniformemente distribuida. El punto
P está en la misma ĺınea de la barra y a una distancia h
del extremo de la misma.
Q,L
h
P
û
a. Halle el campo eléctrico producido por la barra en el punto P y la fuerza eléctrica que le
aplicaŕıa a una carga puntual q que se colocara alĺı.
b. La figura a la derecha muestra dos barras delgadas, co-
lineales, separadas una distancia D y de longitudes L1 y
L2. Sus cargas Q1 y Q2 están uniformemente distribuidas.
Aproveche el resultado de la parte a y halle la fuerza
eléctrica entre las dos barras.
Q1, L1
D
Q2, L2
û
12. El hilo recto de la figura tiene longitud L = L1+L2 y carga Q uniformemente distribuida.
a. Halle el campo eléctrico que produce el hilo en el
punto P .
b1. Halle el valor del campo eléctrico para puntos P
tales que L1 = L2 = L/2.
b2. Reescriba el resultado de b1 de forma tal que no
aparezca Q y aparezca λ (la densidad longitudinal de
carga del hilo).
L1
L2
µ̂z
µ̂ρ
ρ
P
Julio de 2004 Problemas de F́ısica 3
C. Di Bartolo Fuerza y campo eléctricos 8
c. Para hallar el campo eléctrico producido por un hilo recto de longitud infinita tomemos
el ĺımite L → ∞ en b1 y en b2. Explique por qué son distintos los dos ĺımites. ¿Cuál se
debe tomar?
13. Un hilo circular de radio R y carga Q uniformemente distribuida está en el plano xy y
su centro coincide con el origen.
a. Halle el campo eléctrico que produce en el punto de coordenadas cartesianas (0, 0, z).
b. Estudie el comportamiento del campo encontrado en la parte a cuando z � R.
14. La figura muestra un hilo cargado abc con densi-
dad longitudinal de carga λ. El tramo bc es un cuarto
de una circunferencia de radio R y centro en o. El
tramo ab es recto, de longitud L = 4R/3 y perpen-
dicular a la ĺınea ob. a b
co
ŷ
x̂
a. Calcule el campo eléctrico que producen en el punto o cada uno de los dos tramos ab y
bc.
b. Halle el campo eléctrico neto que produce todo el hilo en el punto o.
15. La figura muestra un hilo cargado abc con densi-
dadlongitudinal de carga λ. El tramo bc es la mitad
de una circunferencia de radio R y centro en o. El
tramo ab es recto, de longitud L = 2R y paralelo a la
ĺınea bo.
a b co
ûy
ûx
a. Calcule el campo eléctrico que producen en el punto o cada uno de los dos tramos ab y
bc.
b. Halle la magnitud del campo eléctrico neto que produce todo el hilo en el punto o y el
ángulo que forma con la dirección ûx.
16. Un hilo recto de longitud infinita y densidad longitudinal de carga λ = 10−3 C/m
coincide con el eje z. En el punto de coordenadas cartesianas r=(3 m, 4 m, 7 m) se encuentra
una part́ıcula de carga q = 10
−3
4
C. Halle las componentes cartesianas del vector fuerza
electrostática que el hilo le aplica a la part́ıcula. Aproxime K = 1/4π�0 ≈ 9 ∗ 109 Nm2/C2.
Julio de 2004 Problemas de F́ısica 3
C. Di Bartolo Fuerza y campo eléctricos 9
Ayuda: En el recuadro de la derecha aparece, en coor-
denadas ciĺındricas, el campo eléctrico que produce un
hilo infinito en un punto a una distancia ρ.
E =
λûρ
2πε0ρ
17. En la figura se muestra un hilo cargado con densidad
longitudinal de carga λ constante. El hilo se encuentra en
el plano yz y es un arco (de abertura 2α) de una circun-
ferencia de radio R y centro en el origen. El punto P tiene
coordenadas cartesianas (x, 0, 0).
Determine el campo eléctrico que el hilo produce en el
punto P . x
y
z
α α
0 R−R
P
18. El disco hueco de la figura se encuentra en el plano
xy, su centro coincide con el origen o y su carga Q está
uniformemente distribuida.
a. Calcule el campo eléctrico que el disco produce en el
punto P de coordenadas cartesianas (0, 0, z). Para hacerlo
parta del campo eléctrico que produce un aro cargado sobre
su eje perpendicular de simetŕıa,
E =
q z k
4π�0(R2 + z2)3/2
, y use superposición.
R1R2
P
o
k
Q
b. Verifique que para grandes distancias (z � R2) el campo obtenido en a se aproxima al de
una carga puntual. Nota: puede usar la aproximación (1 + ε)a ≈ 1 + aε, válida para � � 1.
c. A partir del resultado en la parte a determine el campo eléctrico que produce un plano
infinito con densidad superficial de carga σ.
19. La figura a la derecha muestra un cascarón
ciĺındrico sin tapas, no conductor y de carga Q uni-
formemente distribuida en su superficie. Halle el
campo eléctrico en el punto P que está sobre el eje
central del cilindro a una distancia D de su extremo.
P
L
R
D
Ayuda: Puede partir del campo eléctrico que produce un hilo circular. Un hilo circular de
radio R, en el plano xy, carga q uniformemente distribuida
y centro en el origen produce en los puntos del eje z un
campo dado por la expresión a la derecha.
E(z) =
z q ûz
4πε0(z2 + R2)3/2
Julio de 2004 Problemas de F́ısica 3
C. Di Bartolo Fuerza y campo eléctricos 10
20. La figura abajo a la izquierda representa un semiaro de radio r y carga q uniforme-
mente distribuida. El campo eléctrico que produce en el punto o es E = qû/(2π2ε0 r
2).
Aprovechando este resultado calcule el campo que la semiarandela de la figura abajo a la
derecha produce en el punto o. La semiarandela tiene carga Q distribuida uniformemente
en su superficie.
r
q
o
û
R1
R2
o
û
Q
21. La figura muestra una cinta plana de longitud in-
finita, ancho 2a y densidad superficial constante σ. El
punto P se encuentra en un eje perpendicular a la cinta
y que pasa por el eje cental de la misma, la distancia de
P a la cinta es z.
a. Calcule el campo eléctrico en el punto P .
b. Estudie el comportamiento del campo para z � a (z
pequeño). Use que cuando s → ∞ entonces arctg(s) →
π/2. aa
a
a
i
j
P
P
z
z
i
c. Estudie el comportamiento del campo para z � a (z grande). Use que cuando s � 1
entonces arctg(s) ≈ s.
22. El cilindro de la figura tiene un agujero ciĺındrico
coaxial de radio R1, su longitud es L y su carga Q se
encuentra uniformemente distribuida en su volumen.
El punto P se encuentra sobre el eje del cilindro a
una distancia D del extremo del cilindro.
Halle el campo eléctrico que el cilindro produce en el
punto P .
û
PR1
R2
L
D
Ayuda: Parta de la expresión para el campo eléctrico que una arandela (disco hueco) de carga
Julio de 2004 Problemas de F́ısica 3
C. Di Bartolo Fuerza y campo eléctricos 11
q uniformemente distribuida produce en un punto a una distancia z sobre su eje central,
E =
q z k
2π�0(R22 − R21)
(
1√
R21 + z
2
− 1√
R22 + z
2
)
.
R2 y R1 son los radios externo e interno respectivamente.
23. Los hilos recto y circular de la figura tienen cargas
uniformemente distribuidas. El hilo circular tiene carga Q1,
radio R, se encuentra en el plano xz y su centro coincide
con el origen de coordenadas. El hilo recto posee carga Q2,
longitud L, se encuentra sobre el eje y y dista del origen
una distancia D.
Halle el vector fuerza eléctrica sobre el hilo recto que le
aplica el hilo circular.
R
D L
j
k
i
Ayuda: Puede partir del hecho de que E =
Q1 y j
4π�0(R2 + y2)3/2
es el campo eléctrico
producido por el hilo circular en un punto de coordenadas cartesianas (0, y, 0).
Julio de 2004 Problemas de F́ısica 3
—Tema 2—
Ley de Gauss
1. La carga mostrada en la figura se encuentra en el centro de
un cubo mayor de arista 2L y en un vértice de un cubo menor de
arista L. Llamaremos E al campo eléctrico producido por esta
carga.
a. Utilizando argumentos de simetŕıa determine el flujo de E a
través de cada cara del cubo mayor.
b. Ahora determine el flujo eléctrico que atraviesa cada cara del
cubo menor.
q
2. Una esfera de 2 cm de radio y con centro en el origen tiene carga de 8 µC uniforme-
mente distribuida en su volumen. Halle el campo eléctrico que produce en los puntos con
coordenadas cartesianas P1 = (1, 0,−1) cm y P2 = (0, 2, 2) cm.
3. Un cilindro no conductor, de longitud infinita y radio R tiene carga distribuida uniforme-
mente en su interior, siendo λ su densidad longitudinal de carga.
a. Calcule la densidad volumétrica de carga D del cilindro.
b. Usando la ley de Gauss halle el campo eléctrico en cualquier punto del espacio.
4. La figura muestra una esfera cargada de radio R y centro
o con un hueco esférico en su interior de radio b. El centro
del agujero tiene vector posición a respecto al punto o. La
densidad volumétrica de carga de la esfera es constante y
vale D para todos los puntos en el interior de la misma
salvo en el agujero.
Halle el campo eléctrico que se produce en un punto que
se encuentre en el agujero y posea vector posición r (sim-
plifique la expresión obtenida).
R
br
ao
Ayuda: Use superposición y el hecho de que una esfera maciza, homogénea, de radio R,
C. Di Bartolo 12
C. Di Bartolo Ley de Gauss 13
carga Q y centro en el origen produce en cualquier punto de su interior, con vector posición
r, un campo eléctrico dado por E(r) = Q r/(4πε0R
3).
5. Una esfera maciza de radio R y centro en el origen tiene una distribución radial de
carga cuya densidad volumétrica es D(r) = a r, donde a es una constante conocida y r es la
distancia al centro de la esfera.
a. Diga qué dimensiones posee la constante a en el sistema S.I. Calcule la carga encerrada
por una esfera de radio r ≤ R y centro en el origen.
b. Usando la ley de Gauss halle el campo eléctrico en cualquier punto del espacio.
6. La figura muestra un corte de una distribución de carga
de alto y largo infinitos y espesor 2L. La carga está uni-
formemente distribuida con densidad volumétrica de carga
D. Tomaremos el eje i perpendicular a la distribución de
cargas y el origen de coordenadas en el centro de la misma.
a. Utilizando la ley de Gauss halle el campo eléctrico para
un punto P en el exterior (|x| ≥ L). P
xL
L
i
b. Encuentre el campo eléctrico para puntos en el interior de la distribución de carga
(|x| ≤ L).
7. El cascarón ciĺındrico de la figura tiene longitud infinita, radio
interno R1 = R, radio externo R2 = 3R y una densidad volumétrica
de carga dada por D(ρ) = −λ/(πRρ) , para R1 < ρ < R2, donde ρ es
la distancia al eje del cascarón. Este eje se encuentra ocupado por unhilo recto infinito con densidad longitudinal de carga λ constante.
a. Halle la carga encerrada por un cilindro coaxial al hilo, de radio ρ
(con R1 < ρ < R2) y longitud H. Nota: no se olvide del hilo cargado.
b. Encuentre el campo eléctrico en la región R1 < ρ < R2.
R2
R1
λ
Julio de 2004 Problemas de F́ısica 3
C. Di Bartolo Ley de Gauss 14
8. La figura es un corte de una corona esférica de radio
interno R1, radio externo R2 y centro en el origen o. La
corona tiene carga neta Q distribuida radialmente con una
densidad volumétrica de carga dada por D(r) = A/r si
R1 ≤ r ≤ R2, donde A es una constante desconocida.
a. Halle la constante A y la carga encerrada por una esfera
centrada en o y de radio r con R1 ≤ r ≤ R2.
b. Calcule el campo eléctrico en todos los puntos del espa-
cio.
R1
R2
o
Julio de 2004 Problemas de F́ısica 3
—Tema 3—
Potencial eléctrico y enerǵıa.
1. La figura muestra dos part́ıculas, de carga q positiva cada una, fijas
sobre el eje y y separadas una distancia a del origen.
a. Halle el potencial eléctrico que el sistema de las dos cargas produce
en un punto de posición (x, 0).
b. Otra part́ıcula de masa m y carga Q positiva se coloca sobre el
eje x a una distancia b del origen. Diga qué rapidez mı́nima debe
imprimı́rsele para que alcance el origen.
a
a
q
q
y
x
o
c. Evalúe numéricamente el resultado de la parte b para el caso en que se tenga q = 10 µC,
Q = 150 µC, m = 0, 2 Kg, a = 3 m y b = 4 m.
2. El aro de la figura tiene radio R y carga positiva Q
uniformemente distribuida, se encuentra fijo al plano xy y
su centro coincide con el origen de coordenadas.
a. A partir del potencial eléctrico de una carga puntual
determine el potencial del aro en un punto de coordenadas
cartesianas (0, 0, z).
b. Una part́ıcula de carga q positiva y masa m se coloca
en reposo en el punto de coordenadas (0, 0, H). Encuentre
la rapidez máxima que alcanza la part́ıcula.
R
ûy
ûz
ûx
Q
z
o
c. Evalúe numéricamente el resultado de la parte b para el caso en que se tenga q = 1 µC,
Q = 8 µC, m = 20 g, R = 3 m y H = 4 m.
3. La figura muestra un hilo uniforme de carga positiva Q
y longitud L fijado sobre el eje x.
a. A partir del potencial eléctrico de una carga puntual de-
termine el potencial del hilo en el punto P . Tome potencial
cero en infinito.
Q
L
x
x̂
P
C. Di Bartolo 15
C. Di Bartolo Potencial eléctrico y enerǵıa. 16
b. Use el resultado anterior y argumentos de simetŕıa para hallar el campo eléctrico del hilo
en el punto P .
c. Una part́ıcula de masa m y carga −Q se lanza hacia el hilo con una rapidez v0 desde
un punto situado sobre el eje x y a una distancia 5L del extremo derecho del hilo. Halle la
rapidez de la part́ıcula cuando ésta se encuentre a una distancia 2L del hilo.
4. La figura muestra 4 puntos (A, B, C y D) sobre el plano
xy. En la región existe un campo eléctrico uniforme dado
por E = 2(ûx + ûy) N/C. Dibuje las superficies (ĺıneas)
equipotenciales y ordene, de mayor a menor, el valor del
potencial en los puntos A, B, C y D.
µ̂x
µ̂y
A B
CD
0
1
1
2
2
3
3
(m)
(m)
5. En cierta región existe un campo eléctrico cuya expresión (en coordenadas esféricas) es
E = E(r)ûr con la función E(r) como se muestra en la gráfica abajo a la izquierda. Las
tres regiones (0 < r < 1 m), (1 m < r < 3 m) y (3 m < r < 5 m) pueden tener densidades
volumétricas de carga y las discontinuidades del campo indican densidades superficiales de
carga en las superficies esféricas r = 1 m y r = 3 m.
a. Halle la densidad superficial de carga en la superficie esférica r = 1 m. Aproxime �0 ≈
9 × 10−12 C2/Nm2.
b. Halle el potencial V (r) tomando nivel cero de potencial en el origen. Grafique V (r) en el
cuadriculado proporcionado abajo a la derecha.
00
1
1
1
1
2
2
2
2 33 44 55
-1-1
-1-1
r (m)r (m)
E (N/C) V (Volt)
Julio de 2004 Problemas de F́ısica 3
C. Di Bartolo Potencial eléctrico y enerǵıa. 17
6. Se tienen dos conductores esféricos y concéntricos; uno
es un cascarón de radio interno R2 = 2R y radio externo
R3 = 3R y el otro es una esfera maciza de radio R1 = R,
ver figura. La región entre los dos conductores está ocu-
pada por una sustancia aislante con densidad volumétrica
de carga constante D. La carga Q1 del conductor de radio
R1 es desconocida. Suponga que la diferencia de potencial
entre los dos conductores es Va = V (R2) − V (R1).
a. Halle el campo eléctrico E(r) para R1 < |r| < R2,
exprese su resultado en función de cantidades conocidas y
de Q1. Halle también la carga Q del aislante.
R1
R2
R3
b. Calcule Q1. Ayuda: recuerde que conoce la diferencia de potencial entre los conductores.
c. Determine la carga del cascarón conductor en su “cara” interna (superficie r = R2).
d. A continuación se conectan los dos conductores por medio de un alambre conductor y se
espera a que se restablezca el equilibrio. Determine la nueva distribución de cargas en las
superficies de los conductores. Ayuda: aproveche el resultado de las partes b y c.
7. La esfera (r < R) y la corona (2R < r < 3R), som-
breadas en oscuro en el dibujo, son conductoras. La zona
(R < r < 2R) está ocupada por un material no conductor
de densidad constante y desconocida. Suponga que en la
zona (R < r < 2R) el campo eléctrico es:
E(r) =
(
4R2
r2
+
r
R
)
E1ûr si R < r < 2R ,
donde E1 es una constante conocida.
R
2R
3R
A) Halle el potencial V (r) en la región (R < r < 2R) tomando nivel cero sobre el conductor
de radio R.
B) Halle las densidades superficiales de carga de los conductores en las dos superficies
esféricas r = R y r = 2R. Halle también la densidad volumétrica de carga, D, del ma-
terial no conductor.
Julio de 2004 Problemas de F́ısica 3
C. Di Bartolo Potencial eléctrico y enerǵıa. 18
8. La figura muestra un hilo y un conductor ciĺındrico coaxiales y de
longitud infinita. El conductor ciĺındrico tiene radio interno R1, radio
externo R2 y carga neta nula. El hilo posee una densidad longitudinal
de carga λ constante.
a. Halle las densidades longitudinales y superficiales de carga en las
dos superficies del conductor.
b. Encuentre el campo eléctrico en todos los puntos del espacio.
c. Tome el conductor a potencial cero y determine el potencial eléc-
trico en todos los puntos del espacio.
R2
R1
λ
9. La figura muestra en gris oscuro dos conductores, uno de
radio externo R1 y el otro de radio interno R2. La región entre
ellos está ocupada completamente por un material no conduc-
tor de densidad volumétrica de carga constante y desconocida
D. Se sabe que en la región entre los conductores el potencial
eléctrico es
V (ρ) = −A
�0
(ρ2 − R21) si R1 ≤ ρ ≤ R2 ,
donde ρ es la distancia al eje central (eje z) y A es una cons-
tante conocida.
R2
R1
z
a. Determine el vector campo eléctrico en la región R1 < ρ < R2.
b. Tome una Gaussiana S que sea un cilindro cuyo eje coincida con el eje z, de altura H y
radio ρ = R con R1 < R < R2. Halle el flujo del campo eléctrico a través de esta Gaussiana
(exprese su resultado en términos de cantidades conocidas).
c. Halle la densidad superficial de carga del conductor interno (superficie ρ = R1) y la
densidad volumétrica de carga D.
Julio de 2004 Problemas de F́ısica 3
C. Di Bartolo Potencial eléctrico y enerǵıa. 19
10. La figura muestra tres regiones numeradas. Las
regiones #1 y #2 están ocupadas por conductores de
espesor h, largo y anchos infinitos. La región #3 está
ocupada por un material no conductor de espesor L,
ancho y largo infinitos y densidad de carga volumétrica
constante y desconocida D. Se sabe que en la región #3
el campo eléctrico es
E(z) =
1
�0
(A + B z) k si 0 < z < L .
hh
k
σa σb =? σc σd
#1 #2
z = 0 z = L
#3
donde A y B son constantes conocidas.
a. Determine el potencial V (z) en la región #3. Tome potencial cero en z = 0.
b. Tome una Gaussiana S que sea un cilindro paralelo al eje z y de radio R, con una tapa
en la región #1 y la otra tapa en el plano z = H con 0 < H < L. Halle el flujo del
campoeléctrico a través de esta Gaussiana (exprese su resultado en términos de cantidades
conocidas).
c. Las 4 densidades superficiales de carga σa, σb, σc y σd en las superficies de los conductores
son desconocidas. Halle σb y la densidad volumétrica D.
11. El disco hueco de la figura se encuentra en el plano
XY , su centro coincide con el origen o y posee una densidad
superficial de carga σ constante y positiva.
a. Calcule el potencial eléctrico del disco en un punto arbi-
trario P de coordenadas cartesianas (0, 0, z). Para hacerlo
parta del potencial eléctrico que produce un aro de radio r
y carga q sobre su eje perpendicular de simetŕıa,
V (z) =
q
4π�0(r2 + z2)1/2
, y use superposición.
R1R2
P
o
k
σ
b. Una part́ıcula de carga negativa −q se suelta del reposo, sobre el eje z y a una distancia
H del origen. Determine la enerǵıa cinética que posee cuando pasa por el origen. Suponga
que el disco está fijo y la gravedad es despreciable.
12. Sea una esfera de radio R, centro en el origen y
carga Q uniformemente distribuida en su volumen. El
campo eléctrico que produce la esfera viene dada por la
expresión a la derecha.
E(r) =


keQ r
R3
si r ≤ R ,
keQ r
r3
si r ≥ R .
Julio de 2004 Problemas de F́ısica 3
C. Di Bartolo Potencial eléctrico y enerǵıa. 20
Halle la enerǵıa almacenada en el campo eléctrico de la esfera (el trabajo realizado por
un agente externo para formar la esfera trayendo cada elemento de carga puntual desde
infinito).
Julio de 2004 Problemas de F́ısica 3
—Tema 4—
Condensadores.
1. La figura muestra un condensador formado por dos con-
ductores esféricos y concéntricos; uno es un cascarón de
radio interno R2 y radio externo R3 y el otro es una esfera
maciza de radio R1, ver figura. La carga del conductor de
radio R1 es Q1 = Q, mientras que el cascarón posee carga
neta nula.
a. Determine la carga de la superficie interna (r = R2) y
de la superficie externa (r = R3) del cascarón.
R1
R2
R3
b. Halle la diferencia de potencial entre los dos conductores y luego determine la capacidad
del condensador.
c. Suponga que Q es positiva y que una pequeña carga negativa q (|q| � Q) se desprende
de la superficie r = R2 partiendo del reposo. Determine su enerǵıa cinética al chocar con la
esfera.
2. La figura muestra un condensador formado por dos con-
ductores ciĺındricos coaxiales de longitud L; uno es un cas-
carón de radio interno R2 y radio externo R3 y el otro es
macizo de radio R1, ver figura. La carga del conductor de
radio R1 es Q1 = Q, mientras que el cascarón posee carga
neta nula. Supondremos que L � R3 (el dibujo no está a
escala) de tal forma que podemos hacer la aproximación de
que el campo eléctrico posee la simetŕıa radial usual para
cilindros infinitos.
R1
R2
R3
L
a. Halle la carga de la superficie interna (ρ = R2) y de la superficie externa (ρ = R3) del
cascarón.
b. Determine el campo eléctrico y el potencial en la región R1 < ρ < R2, donde ρ es la
distancia al eje común de los dos cilindros. Tome potencial cero en el conductor de radio R1.
c. Encuentre la capacidad por unidad de longitud del condensador.
C. Di Bartolo 21
C. Di Bartolo Condensadores. 22
3. La figura muestra un circuito con tres condensadores y
dos interruptores unidos por hilos conductores. El conden-
sador C1 tiene carga Q y los otros dos están descargados.
En cierto momento se cierran los interruptores y se espera
hasta que el sistema alcance el equilibrio.
a. Encuentre la carga que se almacena en cada placa de
cada condensador.
C1 = C
C2 = 2C C3 = 3C
Q −Q
b. Halle la diferencia de potencial entre las placas de cada condensador.
4. El condensador C1 de la figura está cargado como se
muestra y los otros dos condensadores están descargados.
Se cierra el interruptor S y se espera hasta que el sistema
alcance el equilibrio.
a. Determine las cargas en las placas de los tres conden-
sadores que están conectadas al punto a.
C1
C2 C3
S+Q
−Q
a
b
b. Halle la diferencia de potencial Va − Vb.
5. La figura muestra un condensador aislado, de placas paralelas
separadas una distancia d y con carga Q. Llamaremos C, V y U
respectivamente a su capacidad, diferencia de potencial entre sus
placas y enerǵıa almacenada. Suponga que las placas se separan
hasta una distancia 5d sin alterar la carga de las mismas.
a. Encuentre los nuevos valores de la capacidad, diferencia de
potencial y enerǵıa almacenada en función de los iniciales.
d
Q
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
b. Halle el trabajo realizado por un agente externo al separar las placas.
Julio de 2004 Problemas de F́ısica 3
—Respuestas 5—
5.1 Fuerza y campo eléctricos.
1.
a. F3 =
q3
4π�0
{[
q1a
(a2 + b2)3/2
]
i +
[
q1b
(a2 + b2)3/2
+
q2
b2
]
j
}
b. F3 = 9(3i − j)103 N
2. L =
√
q2cosθ
4π�0 mg sen3θ
3.
a. F3 = − q
2 x ûx
2π�0(a2 + x2)3/2
, ẍ +
q2 x
2π�0 m(a2 + x2)3/2
= 0 .
b. Es un punto de equilibrio porque F3(x)|x=0 = 0 .
c. τ = 2π
√
2π�0 m a3
q2
.
4. |F | =
√(
1
4π�0r2
)
(q1q2 + q1q3) = 10
4 N
5. F en caso B > F en caso C > F en caso A
6.
a. F3 =
q2 i
4π�0
[
1
(L + x)2
− 1
(L − x)2
]
, ẍ +
q2
4π�0 m
[
1
(L − x)2 −
1
(L + x)2
]
= 0 .
C. Di Bartolo 23
C. Di Bartolo Respuestas: Fuerza y campo eléctricos. 24
b. Es un punto de equilibrio porque F3(x)|x=0 = 0 .
c. τ = 2π
√
π�0 m L3
q2
.
7.
b. T1 cosθ = m1g , T1 senθ =
q1 q2
4π�0(d + 2L senθ)2
para el #2 se cambia T1 → T2 y m1 → m2 .
c. m1 = m2 =
q1 q2
4π�0 g tgθ (d + 2L senθ)2
.
8. Tomaremos el vector unitario uR como aquél que apunta del centro o de la circunferencia
hacia Q.
a. F =
qQR uR
2π�0(R2 + a2)3/2
, Signo(Q) = −Signo(q) .
b. v =
√
|qQ|R2
2π�0 M (R2 + a2)3/2
.
c. R = a/
√
2 .
9. Los neutrones forman el haz B , los electrones el haz C y los protones el haz A .
El sentido del campo eléctrico es hacia arriba
10. Tomaremos el vector unitario k paralelo al eje z y apuntando hacia arriba.
a. E = − q z k
π�0(z2 + 2L2)3/2
.
b1. z̈ +
2q2 z
π�0 m (z2 + 2L2)3/2
.
Julio de 2004 Problemas de F́ısica 3
C. Di Bartolo Respuestas: Fuerza y campo eléctricos. 25
b2. τ = 2π
√
π
√
2 �0 m L3
q2
.
11.
a. E =
Q û
4π�0L
(
1
h
− 1
h + L
)
, F =
qQ û
4π�0L
(
1
h
− 1
h + L
)
.
b. [Fuerza sobre Q2] = F2,1 =
Q1Q2 û
4π�0L1L2
ln
[
(D + L1)(D + L2)
D(D + L1 + L2)
]
.
12.
a. E =
(
Q
4πε0ρL
) [(
L1√
L21 + ρ
2
+
L2√
L22 + ρ
2
)
ûρ +
(
ρ√
L21 + ρ
2
− ρ√
L22 + ρ
2
)
ûz
]
b1. E1 =
(
Qûρ
2πε0ρ
) (
1√
L2 + 4ρ2
)
b2. E2 =
(
λûρ
2πε0ρ
)
L√
L2 + 4ρ2
c.
lim
L→∞
E1 = 0 (corresponde a una carga Q finita diluida en un hilo infinito)
lim
L→∞
E2 =
λûρ
2πε0ρ
(corresponde a un hilo infinito con densidad de carga finita)
13.
a. E =
Qz ûz
4π�0(R2 + z2)3/2
.
b. E ≈ Q ûz
4π�0z2
(desde lejos se ve como una carga puntual) .
14.
a. Eab =
λ
10π�0R
(x̂ + 2ŷ) , Ebc =
λ
4π�0R
(−x̂ + ŷ) .
Julio de 2004 Problemas de F́ısica 3
C. Di Bartolo Respuestas: Fuerza y campo eléctricos. 26
b. Eabc =
3λ
20π�0R
(−x̂ + 3ŷ) .
15.
a. Eab =
λ
6π�0R
ûx , Ebc =
λ
2π�0R
ûy .
b. |Eabc| = |λ|
√
10
6π�0R
, ángulo = arctg(3) .
16. El campo eléctrico que produce el hilo en el punto r = zûz + ρûρ es:
E(r) =
λûρ
2π�0ρ
= K
2λûρ
ρ
≈ (18 ∗ 106 Nm/C) ρ
ρ2
.
El vector posición de la part́ıcula es r = ρ + zûz=(3 m,4 m,7 m) con ρ = xûx + yûy =
(3ûx + 4ûy) m y ρ = |ρ|=5 m. En consecuencia la fuerza sobre la part́ıcula es:
F = qE(r) =
(
10−3
4
)
(18 ∗ 106) 1
25
(3ûx + 4ûy) N = 180(3ûx + 4ûy) N.
17. E =
λR
4π�0(x2 + R2)3/2
[2αx i − 2R sen(α) k] .
18.
a. E =
Qz k
2π�0(R22 − R21)
(
1√
R21 + z
2
− 1√
R22 + z
2
)
.
c. E(x, y, z) = signo(z)
σ k
2�0
(para un plano que coincida con el plano xy) .
19. Vector û apunta hacia la izquierda.
E =
Qû
4π�0L
(
1√
R2 + D2
− 1√
R2 + (D + L)2
)
20. E =
Q û
π2ε0(R22 − R21)
ln
(
R2
R1
)
Julio de 2004 Problemas de F́ısica 3
C. Di Bartolo Respuestas: Fuerza y campo eléctricos. 27
21.
a. E =
σ
π�0
arctg
(a
z
)
k .
b. E → σ
2�0
k , (es elcampo de un plano infinito) .
c. E ≈ σa
π�0z
k =
λ
2π�0z
k ,
(campo de un hilo infinito con densidad longitudinal λ = 2aσ).
22.
E =
Q û
2π�0L(R22 − R21)
×
(√
R21 + (D + L)
2 −
√
R21 + D
2 −
√
R22 + (D + L)
2 +
√
R22 + D
2
)
.
23. F =
Q1Q2 j
4πε0L
(
1√
D2 + R2
− 1√
(D + L)2 + R2
)
Julio de 2004 Problemas de F́ısica 3
C. Di Bartolo Respuestas: Ley de Gauss. 28
5.2 Ley de Gauss.
1.
a. A través de cada cara atraviesa el mismo flujo dado por φ =
q
6 �0
.
b. En las tres caras en contacto con la carga el flujo es nulo y en cada una de las otras tres
el flujo es φ =
q
24 �0
.
2. EP1 = 9 × 107(ûx − ûz) N/C , EP2 =
9 × 107√
2
(ûy + ûz) N/C .
3.
a. D = λ/(πR2) .
b. Tomaremos el eje z coincidiendo con el eje del cilindro y llamaremos ρ =
√
x2 + y2 y
ûρ = (xi + yj)/ρ.
E(r) =


λ ρ
2π�0R2
ûρ si ρ < R,
λ
2π�0ρ
ûρ si R ≤ ρ.
4. El campo eléctrico es constante en el agujero y vale E =
D a
3 ε0
.
5.
a. [a] = C/m4 , q(r) = πa r4 .
b. Llamaremos ûr = r/r.
E(r) =


ar2
4�0
ûr si r < R,
aR4
4�0r2
ûr si r ≥ R.
Julio de 2004 Problemas de F́ısica 3
C. Di Bartolo Respuestas: Ley de Gauss. 29
6. Definimos σ = 2LD para obtener una expresión más reconocible.
a.
E(r) =


D L
�0
i =
σ
2�0
i si x ≥ L,
−D L
�0
i = − σ
2�0
i si x ≤ −L.
b. E(r) =
D x
�0
i , si − L ≤ x ≤ L .
7. Tomaremos el eje z coincidiendo con el hilo y usaremos coordenadas ciĺındricas: ρ es la
distancia al eje z y ûρ es el vector “radial” de coordenadas polares perpendicular al eje z.
a. Q(ρ) = λH (3 − 2ρ/R) .
b. E(r) =
λ
2π�0
(
3
ρ
− 2
R
)
ûρ , si R < ρ < 3R .
8.
a. A =
Q
2π(R22 − R21)
, q(r) = Q
(
r22 − R21
R22 − R21
)
.
b. Definimos r̂ = r/r.
E(r) =


0 si r < R1,
Q
4π�0r2
(
r22 − R21
R22 − R21
)
r̂ si R1 ≤ r < R2,
Q
4π�0r2
r̂ si R2 ≤ r.
Julio de 2004 Problemas de F́ısica 3
C. Di Bartolo Respuestas: Potencial eléctrico y enerǵıa. 30
5.3 Potencial eléctrico y enerǵıa.
1.
a. V (x) =
2ke q√
a2 + x2
.
b. v =
√
4keq Q
m
(
1
a
− 1√
a2 + b2
)
.
c. v = 6 (m/s).
2.
a. V (0, 0, z) =
keQ√
R2 + z2
.
b. La rapidez máxima se alcanza en infinito y su valor es v =
√
2keQq
m
√
R2 + H2
.
c. v = 1, 2 (m/s).
3.
a. V (x) =
Q
4π�0L
ln
(
x + L
x
)
.
b. E(x) =
Qx̂
4π�0L
(
1
x
− 1
x + L
)
=
Qx̂
4π�0x(x + L)
.
c. v =
√
v20 +
Q2
2π�0Lm
ln
(
5
4
)
.
Julio de 2004 Problemas de F́ısica 3
C. Di Bartolo Respuestas: Potencial eléctrico y enerǵıa. 31
4. V (x, y) = −2(x + y) Volt/m
VA > VD = VB > VC
µ̂x
µ̂y
A B
CD
0
1
1
2
2
3
3
(m)
(m)
5.
a. Llamaremos R = 1 m.
Q
�0
=
∮
r=R−
E · dS = (2N/C)4πR2 → Q = 4π�0(2N m2/C) (Carga en r < 1 m)
0 =
∮
r=R+
E · dS = Q + σ4πR
2
�0
→
{
σ = −2�0 N/C = −18 × 10−12 C/m2
(Densidad en r = 1 m)
b.
V (r) =


−2r Volt/m si r ≤ 1 m,
−2 Volt si 1 m ≤ r ≤ 3 m
+r Volt/m − 5 Volt si 3 m ≤ r ≤ 5 m. 0 1 2 3 4 5
1
2
-1
-2
r (m)
V (Volt)
6.
a. E(r) =
ûr
4π�0
[
Q1
r2
+
4πD
3
(r − R3/r2)
]
, Q =
28π
3
R3D .
b. Q1 = −8π�0RVa − 8πR3D/3 .
c. Q2,interna = 8π�0RVa − 20πR3D/3 .
d. Q′1 = −8πR3D/3 , Q′2,interna = −20πR3D/3 , Q′2,externa = no cambia .
Julio de 2004 Problemas de F́ısica 3
C. Di Bartolo Respuestas: Potencial eléctrico y enerǵıa. 32
7.
V (r) =
(
4R2
r
− r
2
2R
− 7R
2
)
E1 Si R ≤ r ≤ 2R
E(R) = 5E1ûr =
σ1
�0
ûr ⇒ σ1 = 5�0E1 (superficie r = R)
E(2R) = 3E1ûr = −σ2
�0
ûr ⇒ σ2 = −3�0E1 (superficie r = 2R)
∮
E · dS = Q
�0
⇒ 4πr2
(
4R2
r2
+
r
R
)
E1 =
σ14πR
2
�0
+
D4π(r3 − R3)
3�0
⇒ D = 3�0E1
R
8. Tomaremos el eje z coincidiendo con el hilo y usaremos coordenadas ciĺındricas, ρ es la
distancia al eje z.
a. λR1 = −λ , σR1 = −
λ
2πR1
, λR2 = λ , σR2 =
λ
2πR1
.
b.
E(r) =


λûρ
2π�0ρ
si ρ ∈ (0, R1) ∪ (R2,∞),
0 si ρ ∈ (R1, R2).
c.
V (r) =


− λ
2π�0
ln
(
ρ
R1
)
si ρ ∈ (0, R1],
0 si ρ ∈ [R1, R2],
− λ
2π�0
ln
(
ρ
R2
)
si ρ ∈ [R2,∞).
9.
a. E =
2 Aρ
�0
ûρ .
b. Φ =
4π
�0
AR2 H .
c. σR1 = 2AR1 , D = 4A .
Julio de 2004 Problemas de F́ısica 3
C. Di Bartolo Respuestas: Potencial eléctrico y enerǵıa. 33
10.
a. V (z) = − 1
�0
(
Az +
B z2
2
)
.
b. Φ =
1
�0
(A + B H)π R2 .
c. σb = A , D = B .
11.
a) V (z) =
σ
2�0
(√
R22 + z
2 −
√
R21 + z
2
)
.
b) T =
q σ
2�0
(
R2 − R1 −
√
R22 + H
2 +
√
R21 + H
2
)
.
12. U =
�0
2
∫
R3
|E|2 d3r = �0
2
(ke Q)
24π
[∫ R
0
r4
R6
dr +
∫ ∞
R
1
r2
dr
]
=
3ke Q
2
5 R
.
Julio de 2004 Problemas de F́ısica 3
C. Di Bartolo Respuestas: Condensadores. 34
5.4 Condensadores.
1.
a. Q2,interna = −Q Q2,externa = Q .
b. VR1 − VR2 =
Q
4π�0
R2 − R1
R2R1
, C = 4π�0
R2R1
R2 − R1 .
c. Ecinética =
|q|Q
4π�0
R2 − R1
R2R1
.
2. Tomaremos el eje z coincidiendo con los ejes de los dos cilindros y usaremos coordenadas
ciĺındricas, ρ es la distancia a dicho eje.
a. QR2 = −Q , QR3 = Q .
b. E =
Q ûρ
2π�0Lρ
, V = − Q
2π�0L
ln
(
ρ
R1
)
.
c. C/L =
2π�0
ln(R2/R1)
.
3. Llamaremos q1, q2 y q3 a las cargas en las placas izquierdas de los condensadores C1, C2
y C3 respectivamente.
a. q1 = 5Q/11 , q2 = q3 = 6Q/11 .
b. V1 =
5Q
11C
, V2 =
3Q
11C
, V3 =
2Q
11C
.
4.
a. q1 =
C1 Q
C1 + C2 + C3
q2 =
C2 Q
C1 + C2 + C3
q3 =
C3 Q
C1 + C2 + C3
.
b. Va − Vb = Q
C1 + C2 + C3
.
Julio de 2004 Problemas de F́ısica 3
C. Di Bartolo Respuestas: Condensadores. 35
5. La capacidad de un condensador de placas paralelas de superficie S y searadas una
distancia d es C = �0S/d.
a) C ′ = C/5 , V ′ = 5V , U ′ = 5U .
b) W = U ′ − U = 4U .
Julio de 2004 Problemas de F́ısica 3
F́ısica 3
(Problemas de Selección - Parte 2)
Prof. Cayetano Di Bartolo Andara
Ultima actualización: Julio de 2004
Julio de 2004
F́ısica-3 (Problemas de Selección - Parte 2)
Prof. Cayetano Di Bartolo Andara
Departamento de F́ısica
Universidad Simón Boĺıvar
Esta gúıa compuesta de dos partes contiene una serie de problemas de selección adecuados
para un curso de un trimestre de electrostática y magnetostática; al final de cada parte el
lector encontrará las respuestas a los problemas propuestos. Muchos de los problemas aqúı
presentados han aparecido a lo largo de los años en los exámenes de F́ısica-3 en la Universidad
Simón Boĺıvar o son modificaciones de estos últimos. La gúıa se mantiene en construcción y
si el lector tiene observaciones que hacer o desea contribuir a la misma, por favor, no dude
en escribirme a mi dirección dibarto@usb.ve
AGRADECIMIENTOS
La gúıa se realiza con la inestimable colaboración de mi esposa Jacqueline Geille Sarthou,
quien me ayuda en muchas etapas de su elaboración.
Instrucciones para las preguntas de selección
� Cuando lo necesite use para la permitividad en el vaćıo el valor numérico
�0 ≈ 9 × 10−12 C2/Nm2
y para la constante eléctrica
ke ≡ 1/4π�0 ≈ 9 × 10+9 Nm2/C2
� Luego de cada pregunta se dan 5 opciones de respuesta identificadas con las letras A, B, C,
D y E pero sólo una de ellas es la correcta. Seleccione aquélla que Usted considere acertada
y luego compare con las respuestas ”supuestas correctas” que se encuentran al final de la
gúıa.
� Si Usted lo desea puede elaborar un autoexamen escogiendo varias preguntas al azar. Para
la puntuación lo tradicional es que una respuesta incorrecta elimina 1/4 de una correcta y
si una pregunta no se contesta su valor es cero (no hay penalidad). De acuerdo a esto, si
Usted escoge N preguntas y de ellas responde correctamente C, incorrectamente I y deja de
contestar D entonces su puntuación en base 100 seŕıa (C − I /4) 100 /N .
Contenido
1 Dieléctricos 4
2 Densidad de corriente y circuitos 7
3 Campo magnético 13
4 Respuestas 18
Dieléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Densidad de corriente y circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
C. Di Bartolo iii
1
Dieléctricos
1. En el centro de la figura hay una carga puntual positiva.La esfera sombreada es un
dieléctrico macizo de constante dieléctrica K y carga neta cero. Las ĺıneas punteadas repre-
sentan superficies esféricas Gaussianas y el flujo eléctrico que las atraviesa es φ1, φ2 y φ3 (de
menor a mayor radio). Se cumple que
A) φ1 > φ2 > φ3
B) φ1 = φ2 = φ3
C) φ1 = φ2/K = φ3
D) φ1 = Kφ2 = φ3
E) φ1 < φ2 < φ3
1 2 3
2. Considere el circuito de la figura. Si se rellena el interior del condensador con un material
de constante dieléctrica K = 3 la enerǵıa almacenada en el condensador
A) permanece igual
B) se duplica
C) se triplica
D) se reduce a la mitad
E) disminuye a 1/3 del valor inicial
ε C
C. Di Bartolo 4
C. Di Bartolo Dieléctricos 5
3. El condensador de la figura tiene placas paralelas separadas una distancia
d, la mitad de su volumen está vaćıa y la otra mitad la ocupa un dieléctrico.
Sea V (x) la función potencial dentro del condensador, con x la distancia a la
placa negativa. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa mejor a V (x)?.
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
k
A)
V
x
d0
B)
V
x
d0
C)
V
x
d0
D)
V
x
d0
E)
V
x
d0
4. Los condensadores de la figura son idénticos y la diferencia de potencial entre los puntos
a y b vale Vab y es no nula. Luego, un dieléctrico de constante K = 3 se introduce en uno de
los condensadores llenando el espacio entre sus placas y la diferencia de potencial cambia a
V ′ab. Se cumple que V
′
ab/Vab es
A) 1/2
B) 1
C) 1/3
D) 3/2
E) indeterminable a menos que se conozcan las cargas o ca-
pacidades de los condensadores.
a
b
5. Considere el circuito de la figura. Si se rellena el interior del condensador con un material
de constante dieléctrica K = 3 el trabajo que realiza la bateŕıa durante el proceso es
A) Cε2/2
B) 2Cε2
C) 0
D) 3Cε2/2
E) Cε2
ε C
Julio de 2004
C. Di Bartolo Dieléctricos 6
6. La región sombreada representa un dieléctrico de constante K = 3 y carga neta cero con
una cavidad en su interior. La cavidad contiene una carga puntual q y a su vez es contenida
por la Gaussiana S (ĺınea punteada) que está en el interior del dieléctrico. La carga neta
que encierra la Gaussiana S es
A) +q
B) −q
C) 0
D) +q/3
E) +2q/3
K
S
q
7. Considere el circuito de la figura, llamaremos Qc a la carga del condensador y Vc a la
diferencia de potencial entre sus placas. Si se rellena el interior del condensador con un
material de constante dieléctrica k ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
A) Qc aumenta y Vc disminuye.
B) Qc no cambia y Vc aumenta.
C) Qc aumenta y Vc no cambia.
D) Qc no cambia y Vc disminuye.
E) Qc disminuye y Vc no cambia.
ε C
k
8. Dos capacitores idénticos y con la misma carga se conectan en serie con las polaridades
como se indica en la figura. Llamaremos Q2 a la carga del condensador #2 y V2 a la diferencia
de potencial entre sus placas. Si se rellena el interior del condensador #2 con un material
de constante dieléctrica k, teniendo cuidado de no tocar las placas, ¿cuál de las siguientes
afirmaciones es correcta?
A) Q2 no cambia y V2 aumenta.
B) Q2 aumenta y V2 no cambia.
C) Q2 disminuye y V2 disminuye.
D) Q2 disminuye y V2 no cambia.
E) Q2 no cambia y V2 disminuye.
# 1
# 2
k +
+
−
−
Julio de 2004
2
Densidad de corriente y circuitos
1. La figura muestra un resistor ciĺındrico conectado a una bateŕıa. La corriente en el resistor
se duplica si, sin modificar los otros elementos,
A) la fuerza electromotriz de la bateŕıa se reduce a la mitad
B) el material resistor se cambia por otro con doble resistividad
C) se cambia el resistor por otro similar pero con doble radio
D) se cambia el resistor por otro similar pero con mitad de la lon-
gitud
E) se intercambian los bornes de la bateŕıa
2. La figura muestra una pila conectada a un resistor de resistividad constante. La carga
fluye en el resistor uniformemente distribuida en sus secciones. Sean I1 y J1 la corriente y el
módulo del vector densidad de corriente en la sección 1 e I2 y J2 en la sección 2. Entonces
A) I1 = I2 y J1 > J2
B) I1 > I2 y J1 = J2
C) I1 < I2 y J1 = J2
D) I1 = I2 y J1 < J2
E) I1 �= I2 y J1 �= J2 ε
1
2
C. Di Bartolo 7
C. Di Bartolo Densidad de corriente y circuitos 8
3. Dos resistores ciĺındricos de resistividades ρa = 3ρ y ρb = ρ y la misma sección S están
soldados entre śı por un extremo. Por su interior fluye una corriente estacionaria I de tal
forma que el vector densidad de corriente, en el interior de ambos, es J = Iûz/S. La carga
que se deposita en la superficie de la unión es
A) 0
B) +2ρI�0
C) −2I�0/3ρ
D) +2I�0/3ρ
E) −2ρI�0
II
ûz
ρa = 3ρ ρb = ρ
J J
4. El resistor ciĺındrico de la figura se comprime hasta la mitad de su longitud original pero
conservando su volumen y resistividad. Si P es la potencia disipada originalmente por el
resistor, entonces la nueva potencia disipada es
A) 4P
B) P/4
C) P/2
D) P
E) 2P
5. En el circuito de la figura la fuerza electromotriz de la pila es de 3 voltios y la corriente
que pasa por la resistencia de 1,5 ohmios es de 2 amperios. ¿Cuánta enerǵıa se disipa en la
resistencia en 2 segundos?
A) 6 joules.
B) 12 joules.
C) 4.5 joules.
D) 3 joules.
E) 2 joules.
3 V
1.5 Ω
2 A
Julio de 2004
C. Di Bartolo Densidad de corriente y circuitos 9
6. En el circuito de la figura las fuerzas electromotrices de las pilas son de 1 y 4 voltios.
La corriente que pasa por la resistencia de 1 ohmio es de 3 amperios. ¿Cuánta enerǵıa se
almacena en la pila de 1 voltio en 2 segundos?
A) 6 joules.
B) 9 joules.
C) 3 joules.
D) 18 joules.
E) 2 joules.
4 V
1 Ω
3 A
1 V
7. Cada resistencia en la figura es de 4 ohmios. La resistencia equivalente entre los puntos
a y b es
A) 2 ohmios.
B) diferente al de las otras 4 opciones.
C) 6 ohmios.
D) 12 ohmios.
E) 8 ohmios.
a
b
8. Cada resistencia en la figura es de 3 ohmios. La resistencia equivalente entre los puntos
a y b es
A) (15/2) ohmios.
B) 5 ohmios.
C) (9/5) ohmios.
D) (5/4) ohmios.
E) (9/2) ohmios.
a b
Julio de 2004
C. Di Bartolo Densidad de corriente y circuitos 10
9. En el circuito de la figura cada resistencia es de 2 Ω, cada pila tiene una fuerza electro-
motriz de 6 Voltios y en los puntos a y b el circuito está abierto. La diferencia de potencial
en voltios entre los puntos b y a, Vb − Va, es
A) -8
B) +2
C) +12
D) +8
E) +6
a b
10. En la porción de circuito eléctrico, mostrado en la figura, la corriente de entrada es
I = 1.6 Ampère y la corriente a través de la resistencia Ra es de 1 Ampère. La corriente a
través de la resistencia Rb es igual a
A) 1.1 A
B) 0.0 A
C) 0.1 A
D) 0.8 A
E) 0.2 A 10 Ω
10 Ω 20 Ω
Ra = 10Ω
Rb = 20Ω
1 A
I = 1.6 A
11. En el circuito de la figura cada resistencia es de 2 Ω, cada pila tiene una fuerza elec-
tromotriz de 6 Voltios y entre los puntos a y b el circuito está abierto. La diferencia de
potencial en voltios entre los puntos a y b tiene un valor absoluto de
A) 8
B) 2
C) 4
D) 0
E) 6
a
b
Julio de 2004
C. Di Bartolo Densidad de corriente y circuitos 11
12. Una pila ideal (sin resistencia interna) se conecta a los extremos de una resistencia
variable. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor la potencia suministrada por la
pila en función de la resistencia?.
A)
R
P B)
R
P C)
R
P D)
R
P E)
R
P
13. En el instante t = 0 se cierra el interruptor S. Después de un tiempo muy grande
(t → ∞) la carga del condensador será
A) ε C/3
B) ε C/2
C) 2ε C/3
D) ε C
E) 0
ε
R
R
R
C
S
14. El circuito de la figura ya lleva mucho tiempo funcionando con el interruptor S cerrado.
Suponga que en algún instante posterior se abre S. La corriente que circula por R1 justo
después de abrir el interruptor es
A) ε /2R dirigida hacia abajo
B) ε /2R dirigida hacia arriba
C) ε /R dirigida hacia abajo
D) ε /R dirigida hacia arriba
E) 0
ε R1 = R
R2 = R
C
S
Julio de 2004
C. Di Bartolo Densidad de corriente y circuitos 12
15. El condensador del circuito mostrado está descargado y
el interruptor S se cierra