Clase-4-11

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0.1 Ejercicio 1
En cuanto al ítem a, la geometría interior a una cascar esférica no puede tener singularidades en r = 0 y por lo tanto la
constante de integración M debe ser nula. Haciendo eso, la métrica es la de Minkowski en esféricas. Además, como la métrica de
Schwarzschild no depende del tiempo y es la más general de todas con simetría esférica, no hay radiación monopolar (al igual
que en electromagnetismo).
En el ítem b, la trayectoria de un fotón que solo se mueve en dirección radial está dada por
0 = −
(
1− rs
r
)
c2 dt2 +
(
1− rs
r
)−1
dr2,
o bien,
|d (c t)| = |dr|∣∣1− rsr ∣∣ .
Si r > rs, t es temporal y el futuro se elije por supuesto en t > 0. Esto implica que los conos apuntan hacia arriba (en el
plano (r, c t)). Además, la pendiente |d(c t)||dr| tiende a 1 cuando r →∞ (son conos de 45°), aumenta a medida que disminuye r, y
tiende a infinito cuando r → rs.
Si r < rs, r es temporal. Elijiendo el futuro de forma tal de que un rayo de luz no pueda traspasar el horizonte de eventos,
los conos deben apuntar hacia la izquierda. La pendiente que ahora es |dr||d(c t)| tiende a cero cuando r → rs, aumenta a medida
que disminuye r, y tiende a infinito cuando r → 0.
En cuanto al ítem c, como la fuente y el observador están quietos y r > rs, el tiempo propio de ambos está dado por
dτ =
√
1− rs
r
dt.
Como la diferencia de tiempo coordenado entre los dos pulsos de luz es la misma, se tiene entonces que
∆τf
∆τobs
=
√
1− rsrf√
1− rsrobs
,
o bien,
νobs
νf
=
√
1− rsrf√
1− rsrobs
.
Como robs > rf , νobs < νf y por lo tanto el observador ve la frecuencia corrida al rojo.
Finalmente, en el d, si se le aplica una cuadrifuerza Kµ a un objeto, sus ecuaciones de movimiento están dadas por
m
(
dUµ
dτ
+ Γµαβ U
α Uβ
)
= Kµ.
Se quiere entonces que esta cuadrifuerza sea tal que el cuerpo esté en reposo, es decir,
Uµ =

d(c t)
dτ
0
0
0
 ,
donde
dτ =
(√
1− rs
r0
)
dt
y r0 es la posición del cuerpo. Por ende,
Kµ =
m c2
1− rsr0
Γµ00 (r0) .
Como
Γµ00 =
1
2
gµγ (gγ0,0 + gγ0,0 − g00,γ) = −
1
2
gµγ g00,γ = −
1
2
gµr g00,r =
1
2
gµr
rs
r2
,
entonces
Kµ =

0
G m M
r20
0
0
 .
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0.2 Ejercicio 3
En cuanto al ítem a, en primer lugar notar que
r = r̄
(
1 +
rs
4 r̄
)2
.
Por un lado, se tiene que
dr
dr̄
=
(
1 +
rs
4 r̄
)2
−
(
1 +
rs
4 r̄
) rs
2 r̄
=
(
1 +
rs
4 r̄
) (
1− rs
4 r̄
)
.
Por el otro,
1− rs
r
=
r − rs
r
=
r̄
(
1 + rs4 r̄
)2 − rs
r̄
(
1 + rs4 r̄
)2 =
(
1 + rs4 r̄
)2 − rsr̄(
1 + rs4 r̄
)2 =
(
1− rs4 r̄
)2(
1 + rs4 r̄
)2 .
Luego,
ds2 = −c2
(
1− rs
r
)
dt2 +
(
1− rs
r
)−1
dr2 + r2 dΩ2 = −
(
1− rs4 r̄
1 + rs4 r̄
)2
c2 dt2 +
(
1 +
rs
4 r̄
)4 (
dr̄2 + r̄2 dΩ2
)
.
En cuanto al b, si r̄ →∞ se tiene que
ds2 ' −
(
1− rs
r̄
)
c2 dt2 +
(
1 +
rs
r̄
) (
dr̄2 + r̄2 dΩ2
)
,
que coincide con la geometría correspondiente a la región de campo débil.
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