01 Propiedades elasticas de las rocas

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Universidad Nacional de Salta – SRT 1 
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Prof. Adj. M. Laura Gigena 
JTP Pamela R. Murillo 
Propiedades Elásticas de las Rocas 
Las ondas sísmicas son ondas elásticas y para poder abordar su estudio se dan a continuación 
algunos conceptos generales que, si bien se descuenta son de conocimiento de todos, se estima 
necesario repetir para continuidad del planteamiento del problema. 
Cuerpos Elásticos. Tomemos un cubo metálico y tratemos de producir en sus partículas un 
movimiento laminar del tipo mostrado en el dibujo, mediante la aplicación de oportunos 
esfuerzos tangenciales; el movimiento efectivamente se produce durante un intervalo de 
tiempo muy breve, pero constatamos luego que si no aumentamos el esfuerzo, al cabo de un 
rato el cuerpo vuelve al reposo, 
habiéndose deformado hasta 
asumir el aspecto de un 
paralelepípedo oblicuo, y 
quedando en la configuración 
deformada mientras no 
quitemos el esfuerzo. Pero al 
quitarlo, el cuerpo vuelve a su 
forma cúbica primitiva. De ahí 
se infiere que, estando el 
cuerpo en reposo en una 
configuración deformada, eran 
latentes en él esfuerzos 
tangenciales capaces de 
equilibrar el esfuerzo tangencial aplicado desde el exterior y de engendrar el movimiento de 
retorno al desaparecer aquél. En este caso, los esfuerzos no dependen del movimiento (o sea 
de un desplazamiento en el tiempo, para el cual se hablaría de velocidades), sino de 
desplazamientos en sí, y volvemos a repetirlo, puede haber esfuerzos tangenciales en 
condiciones de reposo. Este es el caso de los cuerpos elásticos. 
Hagamos ahora una experiencia parecida con un líquido; para hacer cómodamente la prueba, 
vertamos el líquido en un recipiente 
limitado por dos cilindros coaxiales 
y, manteniendo en reposo uno de 
ellos, apliquemos un movimiento al 
otro como para imprimirle una 
rotación. Por pequeño que sea dicho 
momento vemos que la rotación se 
produce y el líquido también se pone 
en movimiento (se trata de un 
movimiento laminar, en el cual 
ahora son láminas cilíndricas las que 
se deslizan una sobre otra). Pero en 
este caso el movimiento sigue 
mientras no se quite el momento; y si lo quitamos, el líquido se pone en reposo, pero no alcanza 
ni tiende a alcanzar la configuración original. En este caso, los esfuerzos están relacionados con 
el movimiento y no existen esfuerzos tangenciales en condiciones de reposo. Este es el caso de 
los fluidos en general. 
Figura 1. Deformación en cuerpos elásticos. 
Figura 2.Deformación en los líquidos. 
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Tensiones. Si sobre una barra de hierro aplicamos a ambos extremos una fuerza F; siempre que 
ésta sea menor que la necesaria 
para romperla, generará en el 
interior del cuerpo un estado 
que contrarresta la acción de la 
fuerza externa en base a la 
cohesión de sus moléculas. La 
relación entre la fuerza externa 
y la sección de la barra de 
hierro, normal a la dirección de la fuerza, se denomina fuerza específica o tensión, con unidades 
expresadas en Kg/cm2, si la fuerza se da en kilogramos y la superficie en centímetros cuadrados. 
Tipos de tensiones. Si consideramos un cubo de un material cualquiera, observamos que sobre 
cada una de sus caras pueden existir fuerzas cuyas 
rectas de acción pueden ser normales a las caras del 
cubo o estar contenidas en dichas caras. Así la cara 
ABCD del cubo de la figura soporta la acción de una 
fuerza zz que actúa normalmente a esa cara, vale 
decir, es una fuerza que actúa en la dirección del eje 
z y en la cara normal al eje z. Pero como se ve en la 
figura, también actúan las fuerzas xz y yz las que 
tienen rectas de acción contenidas en la cara normal 
al eje z. La primera, que llamaremos zz, recibe el 
nombre de tensión normal, en tanto xz y yz, 
reciben el nombre de tensiones tangenciales por 
actuar tangencialmente a las caras del cuerpo. Como 
se observa en la figura, cada cuerpo puede estar 
sometido a tres tensiones normales y seis 
tangenciales que son denominadas xx, yy, zz; y xy, xz, yx, yz, zx, y zy 
respectivamente. Las tensiones normales pueden ser de tracción o compresión; a las primeras 
se las considera positivas y negativas a las segundas. 
Deformaciones. Un cuerpo elástico sometido a la acción de una fuerza se deforma de modo tal 
que, si la fuerza es de tracción, se alarga en el sentido de acción de la fuerza y se estrecha en el 
sentido normal a la acción. En cambio, si la fuerza fuese de compresión las deformaciones serán 
al revés de lo dicho. En otras palabras, si las longitudes iniciales de las aristas fueran lx, ly, lz, y 
la fuerza F actúa en la 
dirección del eje x, por 
acción de ésta el 
cuerpo se alargará en 
lx, en la dirección 
de F, o sea en la 
dirección del eje x, y 
se acortará ly y lz 
en las direcciones 
normales al eje x. 
Figura 3. Barra de hierro con una tensión F aplicada sobre una sección A, 
en un lado de la misma. 
Figura 4. Tipos de tensiones. 
Figura 5. Deformación de un cuerpo elástico sometido a una fuerza F. 
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Deformación específica. Se llama así a la relación entre la deformación que sufre una arista y 
longitud primitiva de dicha arista, se la designa normalmente con la letra =, recibiendo el nombre 
de longitudinal o transversal según sea en el sentido o normalmente a la dirección de la fuerza. 
Así: 
 
Relación De Poisson. Experimentalmente se ha comprobado que el alargamiento axial viene 
acompañado de una contracción lateral de la barra, y que la siguiente relación es constante 
para una barra dada, entre los límites elásticos: 
contracción lateral unitaria 
alargamiento axial unitario 
Esta constante se representa por la letra (algunos autores por ω, letra que reservaremos 
para designar a la velocidad angular) y se denomina coeficiente o relación de Poissón, en 
honor al matemático francés que determinó 
 
esta relación de modo analítico usando la teoría molecular como hipótesis de constitución de 
los materiales. 
 
Módulo De Young. Sea el caso común de la barra de hierro, o de cualquier otro material, que 
es sometida a una fuerza de 
tracción F, siendo S la sección 
de la barra medida sobre el 
plano normal a la dirección de 
aplicación de la fuerza. 
La barra, de longitud primitiva l, 
se alarga en una cantidad Δl. 
Aquí la fuerza específica o 
tensión será: 
 
La deformación específica será: 
 
Si sometemos a la barra a distintas tensiones, sufrirá deformaciones distintas. Si representamos 
este hecho físico sobre un sistema de ejes ortogonales se verá que al aumentar la tensión 
aumenta correlativamente la deformación específica hasta llegar a una tensión límite, para esematerial, bajo la cual se rompe. La curva que relaciona con es continua y distinta para cada 
material y en algunos casos presenta, para las tensiones menores, una relación lineal entre 
con de modo que: 
 
 
E es conocida como módulo de proporcionalidad o módulo de Young. La ley de 
proporcionalidad es conocida cono la ley de Hooke y es válida para una parte de la curva de 
deformación. La tensión máxima se denomina tensión máxima de proporcionalidad o límite de 
elasticidad. Dicho límite es la tensión máxima que un cuerpo soportará para comportarse como 
Figura 61. Deformación e una barra de hierro sometido a una fuerza de 
tensión F. 
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perfectamente elástico, significando que, en esta región, una vez desaparecida la fuerza, la 
deformación se hará cero. 
Si la tensión específica supera el 
valor de la tensión máxima de 
elasticidad, el cuerpo no se 
recobrará totalmente de su 
deformación específica y al 
desaparecer la tensión, se registrará 
una deformación residual como lo 
indica la figura de la derecha. Si se 
invierte el sentido de la tensión, se 
necesitaría una nueva tensión para 
alcanzar un valor = 0 o sea volver 
el cuerpo a sus dimensiones 
primitivas, pasada la cual el cuerpo 
volverá a deformarse, pero ahora en 
sentido contrario. Si se aumenta esa 
tensión entraremos nuevamente en 
la región de las deformaciones 
permanentes, repitiéndose una deformación residual de signo contrario, al desaparecer la 
tensión. 
Siguiendo cíclicamente este 
proceso de inversión de 
tensiones obtendremos una 
curva denominada curva de 
histéresis elástica, curva que 
es distinta para cada material 
en cuestión debido a que la 
tensión máxima elástica, 
generalmente es muy distinta para el caso de 
esfuerzos de tracción o de comprensión, sobre todo 
en el caso de rocas o sedimentos. Por ello, la curva 
de histéresis elástica dependerá de las tensiones y de 
las tensiones máximas que se hubieren aplicado al 
material encerrando en función de ello un área tanto 
mayor cuanto mayor hubiera sido la tensión máxima 
aplicada. 
 
 
 
Trabajo De Deformación. Si observamos nuevamente la curva de relación tensiones-
deformaciones, y considerando un estado de tensión, corresponderá a él una deformación. Si 
se varía ligeramente la tensión la deformación variará en un valor d y la superficie determinada 
bajo la curva expresa el trabajo realizado. Si la tensión no supera la tensión máxima de 
proporcionalidad, estaremos en el dominio de la ley de Hooke ( = E . ), por lo tanto la 
expresión del trabajo elástico será: 
Figura 7. Curva de relación tensión versus deformación. 
Figura 8. Deformación residual. 
Figura 9. Curva de histéresis elástica 
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El trabajo total de deformación elástica, hasta una tensión menor o igual a la tensión máxima 
de proporcionalidad, a la que corresponde un valor , será: 
 
También: 
 
ya que y son proporcionales. 
Este trabajo es almacenado por el cuerpo en forma de 
energía potencial, de modo que al retirarse la tensión 
restablece las dimensiones primitivas del cuerpo y el 
balance final entre el trabajo de la fuerza externa, que 
produce la deformación, y la interna que lo hace recobrarse, 
es nulo. 
Si la fuerza externa provoca tensiones superiores al del valor 
máximo elástico, dijimos que al desaparecer la fuerza 
externa solo se recobra en parte y la curva de deformación 
de la fuerza externa no coincide con la que recobró del 
cuerpo, quedando entre ambas una superficie que es la 
expresión del trabajo absorbido por el cuerpo en forma de 
trabajo de deformación permanente. 
 
 
 
Ondas: Representación Gráfica Y Ecuación De Onda 
Propagación De Perturbaciones. Si provocamos una perturbación (golpe, frotamiento, 
vibración, etc.) en un extremo de un sólido, estamos agitando las moléculas de lo que está 
constituido. Como cada molécula está íntimamente ligada a las vecinas, esa perturbación se 
propaga llegando al otro extremo del sólido. Llamamos onda progresiva a esa propagación de 
una perturbación. No consideramos en nuestro análisis las ondas estacionarias por lo que 
adelante cuando digamos ondas estaremos refiriéndonos a ondas progresivas exclusivamente. 
Aquí debemos puntualizar que no es la materia la que se propaga, sino que es la perturbación 
que se encuentra en la materia: estamos ante el movimiento de un movimiento. A esta idea 
Leonardo da Vinci, en el siglo XVI, la expreso diciendo que “los ímpetus son más rápidos que el 
agua, pues a menudo sucede que las ondas escapan de donde han sido creadas mientras que el 
agua permanece allí. Sucede igual que las ondas generadas por el viento en un campo sembrado 
de lino, vemos a las ondas viajando a través del campo, en tanto las plantas de lino quedan en 
su lugar”. 
Antes que preguntar que son las ondas, lo que nos llevaría a un callejón sin salida ya que no son 
ni el agua, ni el lino, ni el aire, debemos preguntar que podemos decir acerca de ellas. 
Reconocemos en las ondas una suerte de comportamiento que puede ser descrito 
matemáticamente en términos sencillos y, además, pueden ser muchos los sistemas físicos en 
los que esta descripción puede ser realizada. Una vez que nos damos cuenta en un cierto 
fenómeno que estamos tratando con ondas podemos afirmar y predecir mucho más acerca de 
Figura 20. Trabajo de deformación. 
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dicho fenómeno, aunque no entendamos claramente el mecanismo por el cual las ondas fueran 
generadas y transmitidas. 
Con dos ejemplos introduciremos las nociones de onda longitudinal y onda transversal: 
a. Tomamos una barra de acero y la golpeamos en el sentido de su eje. Un péndulo en contacto 
con la barra en el otro extremo nos dirá al moverse que la perturbación ha llegado hasta allí. 
Aquí los desplazamientos provocados por la perturbación en la barra tienen la misma dirección 
que la de propagación: se la llama onda longitudinal. 
b. A una cuerda tensa suficientemente larga, la pellizcamos en un punto, esto es la apartamos 
de su posición de equilibrio en forma transversal a la dirección en que se encuentra. Hallamos 
que la perturbación provoca desplazamientos perpendiculares a la dirección de propagación: 
estamos ante una onda transversal. 
Representación Gráfica De Ondas. Dada una fuente de perturbación en un medio elástico, 
debemos hallar el desplazamiento respecto a su posición de equilibrio, en un cierto tiempo t de 
un punto situado a la distancia x de la fuente. 
Ante la presencia de tres variables: 
 x = distancia y = desplazamiento t =tiempo 
Podemos hacer dos gráficos para representar este movimiento: 
a. y como función de x con t como parámetro fijo. 
b. y como función de t con x como parámetro fijo 
y en función de x. Este caso implica tomar una instantánea, es decir obtener la posición de todos 
los puntos alcanzados por la onda en un cierto momento t = t0. Si suponemos que cada partícula 
efectúa un movimiento armónico simple, entonces en el instante t la partícula P, situada a la 
distancia x de la fuente, tendrá un desplazamiento y respecto a la posición de equilibrio (eje x). 
En ondas longitudinales se suele 
adoptar la convención de 
representar positivos para las 
compresiones y negativos para 
las dilataciones; en tanto en 
ondas transversales la elección 
de una convención es arbitraria. 
Una fotografía en un instante 
inmediato posterior nos daría 
una sinusoide corrida respecto a 
la anterior. La distancia entre 
dos puntos consecutivos en fase 
(igual posición según y, por 
ejemplo, dos crestas o dos valles, e igual sentido de recorrido del movimiento) se denomina 
longitud de onda F. 
La inversa a la longitud de onda se la denomina frecuencia espacial K, la cual representa la 
cantidad de longitudes de onda que entran en una unidad de distancia (metro). 
Figura 31. Representación de y en función de x con t como parámetro fijo. 
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Se utiliza también número de onda k que está relacionado con F y con K de la siguiente manera: 
 
El valor de k es el número de longitudes de onda que hay en 2π radianes por unidad de tiempo 
o distancia. 
y en función de t. Consiste en hacer la gráfica de la variación en el tiempo del movimiento 
generado por la perturbación en un punto fijo x0. De este modo obtenemos el siguiente gráfico: 
 
Figura 12. Representación de y en función de t, con x como parámetro fijo. 
Definimos al valor de t entre dos instantes consecutivos en fase como el periodo T de la 
perturbación. La frecuencia temporal f viene dada por: 
 
La frecuencia angular ω se define: 
 
Para ejemplificar el significado de los parámetros de la ecuación consideremos una rueda que 
gira n veces en un segundo. Cada rotación de 360º (2π radianes) representa un ciclo, o sea un 
rayo de la rueda que tomemos como referencia tendrá una frecuencia temporal de n ciclos o 
revoluciones por segundo (que equivale en unidades a n Hertz). Similarmente tendrá una 
frecuencia angular de 2π n radianes por segundo. 
Ecuación De Onda. Al aplicar una fuerza externa sobre un cuerpo de manera que ésta no supere 
el límite elástico y, además, que dicha fuerza deje de actuar bruscamente, el cuerpo quedará 
sometido a la sola acción del trabajo acumulado como energía de deformación elástica, que 
toma así el carácter de una energía potencial que trata de llevarlo a su estado primitivo. Esta 
energía potencial se transforma en energía cinética cuando una partícula del cuerpo alcanzo su 
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primitiva posición de equilibrio esta energía provoca una 
nueva deformación haciéndolo pasar de la posición de 
equilibrio, y como un péndulo, la energía cinética se 
transforma en energía potencial de deformación elástica 
para luego revertir el proceso. Luego vemos, 
intuitivamente, que la aplicación brusca de una tensión 
provoca en los cuerpos elásticos vibraciones. Este 
fenómeno se puede establecer también analíticamente; 
consideremos un cuerpo y supongamos que en un punto 
material aplicamos una tensión que comienza y 
termina bruscamente, o sea un impulso. Dicha tensión 
provocará una deformación . Esto ocurrirá con todos los 
puntos equidistantes de O, sobre el que se aplicó el impulso. El punto B, alcanzado por la 
perturbación del cuerpo pasará a B’, distante de B en ; si la distancia OB es unitaria y la tensión 
 es menor que la tensión máxima de proporcionalidad, la tensión en B podrá expresarse como: 
 
La dinámica (segunda ley de Newton) dice que esa acción provocará una reacción igual y 
contraria dada por el producto de la masa por la aceleración que esa fuerza provoca a la partícula 
en B. Es decir que hay una reacción elástica que equilibra exactamente a la fuerza aplicada 
(recordemos que la aceleración es la derivada segunda del desplazamiento con respecto al 
tiempo). 
 
Si consideramos que el cuerpo tiene una densidad ρ y tomamos un volumen unitario se tiene 
m= ρ (se considera en consecuencia que ρ tiene unidades de masa) por lo tanto: 
 
Y si dividimos ambos miembros por ρ: 
 
Si tenemos que ω2= E/ρ, será entonces: 
 
Resolver esta ecuación diferencial homogénea “es encontrar qué relación hay entre la 
deformación de la partícula y el tiempo t (o sea conocer el movimiento de la partícula). A esto 
se denomina ecuación del movimiento de un oscilador armónico simple. Para ser solución de 
esta ecuación diferencial “una función y su derivada deben tener la misma forma”, como son las 
Figura 43. Impulso aplicado sobre el 
punto O. 
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funciones senos y cosenos o una combinación lineal de ambas. Por lo tanto, el desplazamiento 
puede ser representado como: 
 
Entonces 
 
Si atendemos a las condiciones de nuestro problema, que la tensión sacó a la partícula del 
punto B y la llevó al B' provocando una elongación = A; y contamos los tiempos desde que la 
partícula está en B', vale decir para ese instante se considera t = 0, la velocidad de la partícula 
es cero ya que alcanzó el desplazamiento máximo. 
En suma, para t = 0: 
 
La velocidad 
 
Como para t = 0 es v = 0, se tiene: 
 
En consecuencia, C1 = 0. La solución se reduce, para las condiciones iniciales señaladas, a: 
 
Esta expresión no representa la solución para un sistema físico real pues no se amortigua con el 
tiempo. 
La velocidad angular ω recordemos que es la relación entre el arco 2π y el tiempo T que tarda 
en describirlo (período de oscilación), por lo tanto, tendremos: 
 
Y como la frecuencia de oscilación f es igual a 1/T, obtenemos la primera ley general: 
 
“Las oscilaciones libres de un cuerpo elástico o su frecuencia de oscilación propia, son una 
función de su módulo elástico y de su densidad (no dependen ni de la velocidad, ni amplitud de 
propagación).” 
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Por ejemplo, las oscilaciones libres del acero son de mayor frecuencia que las de las rocas, y 
estas a su vez, mucho más altas que las de sedimentos sin consolidar, así: 
 
Aunque 
 
Tipos De Ondas 
Lord Rayleigh fue el primero que estudió analíticamente la propagación y naturaleza de las 
ondas generadas por una perturbación sobre un cuerpo sólido, a fines del siglo pasado. Si el 
sólido es semi-infinito, vale decir, tiene una superficie límite, demostró que se generan tres tipos 
de ondas elásticas: longitudinales, transversales y superficiales. 
Tanto las ondas longitudinales como las transversales pueden generarse y transmitirse en el 
interior de los materiales por eso también se las conoce como ondas de cuerpo; mientras que 
las superficiales solo se transmiten en la superficie o en límite entre dos cuerpos. 
Ondas Longitudinales (P). Se denominan así, aquellas que propagándose por el interior del 
cuerpo provocan la oscilación de las partículas del mismo con una dirección coincidente con la 
de propagación de la perturbación. Esta onda es la que se propaga con mayor velocidad en el 
cuerpo y obedece a las tensiones normales que la perturbación desarrolla en el mismo. Se las 
denomina P indicado que son las primeras en arribar por su velocidad. 
 
En la figura siguiente se ve la deformación de un bloque de material debido a una perturbación 
compresional. Se denomina cresta a la región de máxima compresión. A medida que la onda 
pasa a través del bloque, toda pequeña porción de material tal como la marcada en negro sufre 
sacudidas hacia atrás y hacia adelante, experimentando alternativas compresiones y 
expansiones. El volumen y la forma de la región marcada, van cambiando a medida que la onda 
pasa. 
 
Figura 5. Esquema de propagación de ondas longitudinales. 
Este tipo de ondas es la que comúnmente se usa en Sismología Prospectiva ya que los eventos 
por ellas producidos pueden ser marcados con más claridad en los registros sísmicos y además 
porque normalmente existe una mayor riqueza de este tipo de ondas (una mayor energía). 
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Ondas Transversales (S). Estas ondas se originan en los cuerpos sólidos debido a la aptitud de 
éstos de soportar tensiones de corte o de cizallamiento. Como los cuerpos líquidos o gaseosos 
son incapaces de soportar esfuerzos de corte, no podrán en ninguna circunstancia transmitir 
este tipo de ondas, siendo esta cualidad aprovechada para determinar el carácter físico del 
medio transmisor de ondas elásticas. 
 
La velocidad de propagación de la onda transversal es menor que la de la onda longitudinal y 
veremos que cuando la relación de Poissón es de ¼ resulta: 
 
Las ondas transversales provocan una oscilación de la partícula que es normal a la dirección de 
propagación; por lo tanto, la dirección de propagación y la de oscilación determinan un plano 
que se denomina plano de polarización de la onda transversal. En los casos reales dicho plano 
puede ser cualquiera de los infinitos planos que contienen a la dirección de propagación de la 
onda. 
En la figura siguiente se muestra sucesivas etapas de deformación de un bloque de material al 
paso de una onda de corte. Las crestas de la onda pasan a través del bloque a medida que los 
planos verticales del material se mueven hacia arriba y hacia abajo. En la configuración vemos 
que no se ha completado todo el paso de la deformación por el material, quedando a la derecha 
material sin deformarse. La deformación de cualquier área sobre la cara es simplemente una 
distorsión. Los “cubitos” solo cambian su forma, pero no su volumen. La distancia entre dos 
puntos consecutivos en fase (por ejemplo, entre dos crestas o entre dos valles o en la figura 
entre A y A’) se denomina longitud de onda y se la simboliza F. 
 
Figura 15. Esquema de propagación de ondas transversales. 
Ondas Superficiales. Como su nombre lo indica, son aquellas perturbaciones que se transmiten 
en la superficie libre de los cuerpos. Existen distintas ondas superficiales: 
a. Ondas de Rayleigh. 
b. Ondas de Love. 
c. Ondas de Stoneley. 
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Ondas de Rayleigh (L). Son ondas superficiales que viajan como ondulaciones similares a 
aquellas encontradas en la superficie del agua. La existencia de estas ondas fue predicha por 
John William Strutt. 
Si la perturbación se produce en la superficie libre del cuerpo sólido, esta onda nace desde el 
mismo punto; si en cambio la perturbación se produce en el interior del cuerpo sólido, la onda 
se origina a una cierta distancia del punto de proyección, sobre la superficie, correspondiente al 
punto de perturbación. 
La onda de Rayleigh impone a la partícula una oscilación elíptica y retrograda, en un plano 
determinado por la dirección de propagación y la normal a la superficie libre del sólido. Esta 
elipse, a medida que nos ubicamos mas profundamente, se va aplastando hasta que a una cierta 
profundidad degenera en un segmento y a partir de allí vuelve paulatinamente a tenerse un 
movimiento elíptico, pero de sentido directo. Todo esto con amplitudes decreciente hasta 
desaparecer (la amplitud decrece exponencialmente de allí la calificación de onda superficial). 
 
Figura 16. Esquema de propagación de las ondas superficiales Rayleigh. 
La velocidad de propagación de la onda de Rayleigh es menor que la velocidad de propagación 
de la onda transversal, generalmente: 
VL = 0,9 a 0,95 de VS 
Ondas de Love (G). Posteriores investigaciones sobre propagación de ondas superficiales, 
permitieron determinar que también en la superficie libre de los cuerpos sólidos se propaga una 
onda polarizada en el plano de la superficie y que implica una oscilación de la partícula en el 
sentido normal a la dirección de propagación con un movimiento elíptico. Por haber sido 
primeramente observada por Gutemberg, también se la conoce como onda G. 
 
Figura 17. Esquema de propagación de las ondas superficiales Love. 
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Aquí también la amplitud decae exponencialmente con la profundidad y puede decirse que 
afecta, lo mismo que la de Rayleigh, una capa superficial de espesor igual a una longitud de 
onda. 
Ondas de Stoneley. Este físico demostró que cuando dos cuerpos elásticos se superponen, por 
la superficie de contacto de ambos se propaga una onda como la de Rayleigh polarizada en un 
plano determinado por la normal a la superficie de contacto y la dirección de propagación de la 
perturbación. El movimiento de oscilación de la partícula es retrogrado. 
 
Principios Y Leyes De Transmisión De Ondas 
Velocidad De Las Ondas Elásticas.La relación de velocidades de las ondas se fundamenta por la 
teoría sobre la propagación de ondas elásticas en los cuerpos y allí quedan dadas las siguientes 
expresiones: 
 
donde α = vP = vl, que es la velocidad de la onda longitudinal; β = vS = vt es la velocidad de la 
onda transversal; ρ es la densidad del medio; λ y μ son las constantes de Lamé con las siguientes 
expresiones: 
 
En la que E es el módulo de Young y la relación de Poisson. Para la gran mayoría de los cuerpos 
resulta que la relación de Poisson es cercanamente igual a ¼ (0,25), en cuyo caso: 
 
y por lo tanto ambos coeficientes de Lamé resultan iguales. En vista a las expresiones de las 
velocidades de las ondas de cuerpo se tiene el caso que si λ = μ: 
 
Los valores para la onda de Rayleigh eran de: 
 
Principio De Huygens. El principio de Huygens es un método de análisis aplicado a los problemas 
de propagación de ondas. Establece que: 
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“Cualquier punto de un cuerpo que es alcanzado por una perturbación se convierte a su vez en 
un centro (secundario) de emisión de energía.” 
 
Figura 18. Esquema representativo del principio de Huygens. 
Hay dos aspectos interesantes para destacar en este caso 
1. Llamamos frente de onda de una perturbación al lugar geométrico determinado por todos los 
puntos del cuerpo que están afectados de la misma forma 
en el mismo instante. Por ejemplo, una perturbación 
generada en el seno de un cuerpo de velocidad de 
propagación constante, genera como frente de onda una 
superficie esférica de radio r= v. t, producto de la 
velocidad por el intervalo de tiempo desde el comienzo de 
la propagación hasta el instante en consideración. 
Si una perturbación recorre un cuerpo homogéneo e 
isótropo con un frente de onda f, cada uno de los puntos 
de f se convierte en un emisor de acuerdo al principio de 
Huygens. Al cabo de algún t, el frente de onda de la 
perturbación emitida en A, perteneciente a f, será la 
superficie de la esfera de radio r= v. t, siendo v la 
velocidad de propagación. 
Ocurrirán hechos similares en todos los puntos de 
f apareciendo en cada uno, para el instante 
considerado, un frente esférico de radio r=v. t, 
el nuevo frente total será la envolvente de todos 
los secundarios y éste es un nuevo frente f´ que 
ha avanzado la distancia r respecto al anterior en 
un tiempo t. 
En resumen, conocido el aspecto de un frente y la 
velocidad de propagación resulta sencillo 
construir el nuevo frente. 
2. Hemos considerado un punto A, en el frente F. 
Para un incremento de tiempo t, habrá un 
Figura 19. Frente de ondas. 
Figura 20. Dirección de frente de ondas. 
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punto excitado A', a una distancia v. t del anterior. 
Podemos notar que siguiendo el trazado A A' A", se describe una recta perpendicular a los 
frentes F, F1 y F2, donde A" fue perturbado por A', y este a su vez por A. 
Esta dirección del frente de ondas puede representar a las ondas sísmicas, como una especie de 
"rayos" sísmicos perpendiculares a los frentes correspondientes, y en esta representación el 
análisis de muchos fenómenos usa la geometría común. 
El acontecimiento real de la perturbación es el frente de onda, el rayo para los frentes sucesivos 
es una ficción que permite manejar los problemas con sencillez. 
Principio De Fermat. Este principio fue establecido primero por Pierre de Fermat, y se utiliza 
para describir las propiedades de los rayos de luz reflejados por los espejos, refractados en 
diversos medios, o experimentar la reflexión interna total. 
Establece que: 
“Si se considera la propagación en forma de rayos, cada proceso que se cumpla, dependiendo 
del modo y de los medios entre una fuente y detector, es de mínimo tiempo. 
Si el cuerpo presenta condiciones de constancia, 
de propiedades entre el emisor y receptor la 
velocidad de propagación v es constante en 
cualquier punto. El tiempo t que tarda la 
perturbación en recorrer la recta AB es mínimo. 
 
En medios anisótropos, la velocidad del medio varía 
de punto a punto, por lo que la trayectoria AB va a 
quedar determinada por: 
 
La suma de los tiempos parciales empleados en 
recorrer cada porción de camino será mínima. Así, 
las consecuencias de este principio son las leyes de Snell que estudiaremos particularmente para 
casos de reflexión y refracción, o transmisión. 
 
Ondas Reflejadas, Transmitidas Y Refractadas (Leyes De Snell). 
Caso De Reflexión. Implica la existencia de dos medios que consideramos homogéneos e 
isótropos con velocidades de propagación v1 y v2; α y β son los ángulos de incidencia con 
respecto a la normal n a la interfase por el punto de incidencia C; A y B son emisor y receptor 
respectivamente. 
Figura 6. Ejemplo en un medio isótropo. 
Figura 7. Ejemplo en un medio anisótropo. 
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Figura 23. Reflexión en un medio isótropo 
Colocamos un eje de coordenadas coincidente con la interfase (plana) x, otro y pasando por la 
fuente A 
 
Ahora calculando TAB reflejado en un punto C de abscisa: 
 
De la figura también: 
 
Entonces: 
 
Para que TAB sea mínimo, la primera derivada con respecto a x (variable) debe ser igual a cero 
(y la segunda positiva). 
 
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Reemplazando senα y senβ, tenemos, 
 
El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión si la perturbación incidente y reflejada son 
del mismo "modo". 
En el caso de que la naturaleza de la onda reflejada r sea diferente a la de la onda incidente i, 
vale la ley y se expresa como: 
 
Aquí vi y vr son diferentes, de igual manera que αi y βr, cumpliéndose la relación anterior, la que 
expresa que: 
 
El cociente de los senos de los ángulos es igual al cociente de las velocidades. 
Caso De Refracción O Transmisión. Este caso se cumple en general simultáneamente con el 
anterior, es decir que para una perturbación incidente hay en general perturbaciones reflejadas 
y transmitidas correspondientes, y en todos los casos se cumplen las leyes de Snell de reflexión 
y transmisión. 
Aquí la interfase que separa los medios está interpuesta entre el emisor y receptor. En tal caso 
el camino entre A y B se cumplirá en parte convelocidad v1 y en parte con v2. 
Con una nomenclatura similar a la anterior y de acuerdo a la gráfica tenemos para la coordenada 
x coincidencia con la interfase, e y pasando por el emisor: 
 
Figura 8. Refracción con puntos de emisión y recepción en distintos medios. 
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De la figura vemos que: 
 
Y, además: 
 
De igual manera que el caso anterior, derivando la expresión de TAB con respecto a x, e 
igualando a cero se obtiene: 
 
Para que el tiempo sea mínimo se debe entonces cumplir la relación antedicha o que 
 
Esto se expresa diciendo que: 
El cociente de los senos de los ángulos de incidencia y transmisión es igual al de las velocidades 
en los medios correspondientes. 
Como en el caso anterior podemos tener diferente naturaleza en las ondas incidente y 
transmitida y vale la ley expresada como: 
 
En este caso como la reflexión i incidente puede ser longitudinal o transversal, t transmitido 
puede ser también longitudinal o transversal, y r reflejado también longitudinal o transversal. 
Si v2 > v1 ó vt > vi, β será mayor que α. Si hacemos acercar el punto B por la normal a la interfase 
hasta alcanzar la misma hb → 0 y β → 90° y sen β → 1, entonces existirá un αc tal que: 
 
Este αc se denominará ángulo crítico. Toda perturbación incidente con αc se propaga rasante por 
la interfase con la velocidad del medio subyacente. Si la incidencia sobre la interfase se cumple 
con ángulos α > αc entonces hay reflexión total y en el sentido de rayos no hay transmisión ni 
propagación por la interfase. 
Inversión De Velocidad. Este caso ocurre cuando el medio que contiene la fuente (medio de 
incidencia i) tiene más velocidad que el medio subyacente t. 
Si v1 > v2, i siempre será mayor que t, entonces: 
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En este caso no se consigue ningún ic que provoque 
transmisión por la interfase. Por ejemplo, para i → 90°, t < 90°, 
es decir no hay propagación por la interfase para ningún i, tal 
que 0 < i < 90°. 
En resumen, analizamos tres casos: 1) αi < αc , 2) αi = αc , 3) 
αi > αc. 
 
 
 
Figura 25. 1)Reflexión y refracción (transmisión). 2)Reflexión con ángulo crítico. 3)Reflexión total. 
 
Caso De Varios Medios. En este caso, para simplificar el problema, suponemos varias capas 
planas paralelas a la superficie. Provocamos una perturbación en un punto A en superficie, la 
perturbación que arranca con un ángulo i que incide en la primera discontinuidad (interfase v1-
v2) con el mismo ángulo y se transmite con un ángulo t2, donde podemos escribir por ley de 
Snell: 
 
Figura 9. Caso de inversión de 
velocidad. 
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La incidencia con el ángulo t2 en la interface v2-v3 también cumple la ley de Snell: 
 
Y para n capas: 
 
Si hacemos el producto miembro a miembro de estas igualdades tenemos: 
 
O sea que, simplificando, 
 
Es decir que: 
La relación entre los senos del ángulo de arranque o incidencia (i) y el ángulo de transmisión en 
la capa n (tn) es la misma que la de las velocidades en los medios respectivos (superficial y 
profundo). 
No interesa para el cumplimiento de la formulación anterior que la sucesión de velocidades sea 
creciente como ocurre en general, puede haber capas que sean de velocidad menor que las 
suprayacentes sin afectar la validez de la expresión. 
Si la cantidad de capas fuera grande y la sucesión de velocidades en general creciente para algún 
cierto i de arranque la perturbación llegará a una capa para la cual la incidencia en ella se hará 
con un ángulo tal que no se produzca más penetración o transmisión hacia abajo y ocurra en esa 
interfase una reflexión total o transmisión rasante (sen tk = 1): 
 
Figura 26. Relaciones de Snell para varias interfases, con velocidades crecientes en profundidad. 
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Si ocurre reflexión total se cumplirá entonces en 
la interfase vk-1-vk, 
 
La perturbación regresa por un camino simétrico al de entrada con respecto a la vertical que 
pasa por el punto de incidencia en la interfase vk-1-vk. 
Si analizarnos la situación anterior para una i más grande podemos ver que la incidencia de 
reflexión total o transmisión rasante se trasladará hacia arriba a capas más superficiales y algo 
hacia la izquierda es decir que la emergencia en superficie se obtendrá a menor distancia que 
en el caso anterior. 
Si observamos la expresión: 
 
A medida que sen i aumenta, vn/v1 deberá disminuir para que el producto no exceda el valor 
máximo de 1 para el sen tn. Como en general las velocidades aumentan hacia abajo, los valores 
menores vn/v1 deben corresponder a las capas de más arriba. Esto nos permite asegurar que los 
rayos que salen de la fuente hacia abajo con ángulos cada vez menores con la hipótesis de las 
velocidades crecientes penetrarán más profundamente y su emergencia se encontrará a 
mayores distancias de la fuente. 
Emergencia De La Perturbación Incidente Con Ángulo Crítico. El principio de Huygens nos dice 
que cada punto material alcanzado por la perturbación se convierte en un emisor secundario 
creando su frente de onda que se compondrá con los frentes de los vecinos para formar el frente 
general. 
 
Figura 28. Emergencia de la perturbación incidente con ángulo crítico en una interfase v1-v2. 
Supongamos la incidencia con el ángulo critico en la interfase v1-v2 tenemos propagación por el 
límite de los medios con velocidad v2. Tengamos un tiempo t para el recorrido ACB. A un tiempo 
(t - t) la señal habrá arribado a D con: 
Figura 27. Interfase de reflexión total. 
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D entonces como emisor secundario crea su frente que en el tiempo t habrá recorrido un 
radio DE en el medio superior con velocidad v1, 
 
Si trazamos la tangente a la esfera deradio DE que pasa por B, formamos un triángulo rectángulo 
DEB. De la expresión de los t sale que: 
 
Por ley de Snell tenemos que 
 
Del triángulo rectángulo observamos que 
 
Podemos tomar cualquier otro D, por ejemplo, D', y repetir el razonamiento, trazando la 
tangente a la esfera de radio D'E' que pasa por B'. Vemos que se cumplen las condiciones 
anteriores, entonces EB es la envolvente de los frentes de onda originados por la perturbación, 
radiados desde los puntos D de la interfase. Estos frentes originados por la propagación de la 
deformación incidente con el ángulo crítico van a emerger en la superficie. 
Al trazar la normal al frente emergente a través de B vemos que forma con la normal a la capa 
el ángulo de emergencia β = ic, es decir él o los rayos emergentes forman con la normal a la 
interfase el mismo ángulo que el crítico incidente. Si consideramos las emergencias en G y F 
existirá una diferencia de tiempos tF - tG = tFG para la distancia GF = DB. Las emergencias 
ocurren entonces si registramos en la zona GF con velocidad aparente v2 (igual a la velocidad 
real del medio subyacente) y puedo escribir (si DG = BF): 
 
La diferencia de recorrido de las emergencias es DB. Es decir, que desde el instante en que 
emerge el frente generado por los puntos D de la interfase aparecerán en el registro 
acontecimientos con velocidad aparente v2 (real para el caso de capas horizontales). 
Este análisis se puede hacer para interfaces más profundas. Supongamos una interfase vk-l - vk si 
la incidencia sobre esta interfase es tal que produce transmisión rasante, tenemos que: 
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Figura 10. Emergencia de la perturbación, incidencia critica en vk-1-vk 
Esto requiere un cierto ángulo de arranque de la fuente y se cumple que, 
 
Si alcanzamos la interfase con el ángulo crítico se origina una perturbación rasante que recorre 
la interfase con velocidad vk. 
Al cabo de un tiempo ta el avance por el límite de medios es de B a C con velocidad vk, será 
entonces BC = vk . ta. 
El punto B, por el principio de Huygens, origina un frente de radio r, y r = vk-1 . ta. 
Trazando la tangente al frente de onda al tiempo ta que pase por C se forma un triángulo 
rectángulo BDC y podemos escribir: 
 
Es decir, que el ángulo en el punto C es igual de la incidencia. Si consideramos otro punto H 
podemos repetir el procedimiento y escribir, 
 
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Entonces DC es la envolvente de los frentes de onda originados por los puntos de la interfase en 
el medio suprayacente. 
Como se ve en la figura y en lo expresado anteriormente, la incidencia y emergencia en la 
superficie se cumplen con ángulos i tales que: 
 
Entonces 
 
Las distancias E2-E1 y E3-E2 son iguales a B2-B1 y B3-B2; y los caminos B1E1, B2E2 y B3E3 son similares. 
Entonces, entre la emergencia en E2 y en E1 hay una diferencia de tiempos t = tE2 - tE1 
correspondiente a una diferencia de recorrido B1B2 con velocidad vk, y puedo escribir. 
 
Y la relación de las distancias y los tiempos proveen la velocidad aparente vk con que la 
perturbación arriba al tendido de receptores, real si las capas son horizontales. 
Valores Típicos De Magnitudes Elásticas De Rocas 
Algunos valores de mediciones en rocas y cálculos que ilustran acerca de las magnitudes en 
juego, proveen los valores siguientes: 
MATERIAL 
 
E 
[Kg/cm] 
Peso específico 
[g/cm3] 
Densidad 
[Kg . seg2/m4] 
Granito 4,3 x 105 2,6 265,035 
Basalto 10,15 x 105 3,0 305,81 
Calcita 9,9 x 105 2,4 244,65 
Arenisca 1,65 x 105 2,6 265,03 
Arena 0,25 x 105 2,2 224,26 
Depósitos fluviales 0,030 x 105 1,3 132,52 
 
Como 
 
En los materiales en que σ = 0,25, λ = μ, tenemos: 
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La expresión 104 pasa E a Kg/m2; y 103/9,81 pasa Pe a Kg.seg2/m4. 
La velocidad vp para depósitos fluviales es de 521,21 m/seg. 
Si consideramos a δ (deformación específica unitaria) podemos escribir: 
 
Con E . ε = ε (tensión específica), para la unidad de volumen 
 
Si llamamos a ω2 = E/ρ, es solución de la ecuación 
 
Con 
 
Para 
 Acero Arenisca Arena Fluviales 
E 2 x 106 1,65 x 105 2,5 x 104 3 x 103 
ρ 8 2,6 2,2 1,3 
ω 4952,27 2495,11 1155,82 475,79 
f 788,57 397,10 168,03 75,72 
 
Esto nos dice que las oscilaciones libres de un cuerpo elástico o su frecuencia de oscilación 
propia son función del módulo elástico y de la densidad.