Mecanica Clasica 2022-73-78

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Tomemos el segundo gauge, A2, el potencial generalizado es
U = qφ− qṙ ·A2 = −qẏxB, (5.39)
en consecuencia la lagrangeana
L =
1
2
m
(
ẋ2 + ẏ2 + ż2
)
+ qẏxB, (5.40)
Las ecuaciones de Lagrange que resultan son
d
dt
∂L
∂ẋ
− ∂L
∂x
= mẍ− qBẏ = 0, (5.41)
d
dt
∂L
∂ẏ
− ∂L
∂y
= mÿ + qBẋ = 0, (5.42)
d
dt
∂L
∂ż
− ∂L
∂z
= mz̈ = 0. (5.43)
Definiendo la frecuencia de Larmor
ω0 =
qB
m
, (5.44)
el sistemas de ecuaciones de movimiento resulta
ẍ− ω0ẏ = 0, (5.45)
ÿ + ω0ẋ = 0, (5.46)
z̈ = 0, (5.47)
(5.48)
La ecuación para z tiene la solución simple,
z(t) = z0 + ż0t, (5.49)
mientras que para x e y reemplazamos la derivada de la ecuación (5.45) en (5.46) y viceversa,
x
′′′
+ ω20ẋ = 0⇒ ẋ(t) = a1 cos(ω0t+ b1), (5.50)
y
′′′
+ ω20 ẏ = 0⇒ ẏ(t) = a2 cos(ω0t+ b2). (5.51)
En estas ecuaciones aparecen dos constantes extras por haber derivado las ecuaciones originales
y por lo tanto haber aumentado el orden de las ecuaciones diferenciales en uno. Para encontar
esas dos constantes extras, debemos poner estas soluciones dentro de aquellas ecuaciones (5.45,
5.46). Resultan a2 = a1 y b2 = b1 + π/2. La solución es
x(t) =
a1
ω0
sin (ω0t+ b1) + c1, (5.52)
y(t) =
a1
ω0
cos (ω0t+ b1) + c2. (5.53)
Esta solución corresponde a una órbita circular (’órbita ciclotrónica’) en el
plano xy (que es el plano perpendicular al campo magnético), cuya frecuencia
es la de Larmor ω0, tiene radio R = a1/ω0 y centro (c1, c2). Teniendo en
cuenta que en z la velocidad es constante, la trayectoria de la part́ıcula es
una hélice en la dirección del campo magnético B.
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En función de las condiciones iniciales el radio, el centro y la hélice de la trayectoria son
R =
√
ẋ20 + ẏ
2
0
ω0
=
v0⊥
ω0
, (5.54)
c1 = x0 +
ẏ0
ω0
, c2 = y0 −
ẋ0
ω0
, (5.55)
h =
2πż0
ω0
. (5.56)
Notemos que el peŕıodo de la órbita en el plano xy
T =
2π
ω0
=
2πm
qB
, (5.57)
no depende de la velocidad de la part́ıcula. Este hecho permite la existencia del ciclotrón.
En esta clase vimos que:
Existen potenciales generalizados que permiten deducir las fuerzas a partir de ellos,
y que no tienen el significado de una enerǵıa potencial.
En particular, encontramos el potencial generalizado de una part́ıcula cargada en un
campo electromagnético. Este potencial depende de la posición y de la velocidad de
la part́ıcula. Este potencial es el punto de partida para el estudio de las propiedades
electromagnéticas de la materia a nivel microscópico.
Introdujimos los potenciales escalar y vector, derivándolos se obtiene el campo elec-
tromagnético.
Existe la libertad de modificar dichos potenciales auxiliares mediante las denominadas
transformaciones de gauge, de manera general éstas son transformaciones locales de
algún grado de libertad interno del sistema (en este caso, los potenciales) que no
cambian el valor de ningún observable f́ısico. Decimos que la f́ısica es invariante de
gauge.
Comentario al pasar: El concepto de transformación de gauge es central en la teoŕıa
de campos cuánticos. El electromagnetismo, por ejemplo, ’emerge’ de la condición de
invariancia de gauge de determinada teoŕıa de campos.
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6. Transformaciones de gauge y puntuales
Nada hará mi mundo cambiar...
Spinetta Jade
Ya sabemos cómo tratar el problema de una part́ıcula cargada en un campo electromagnético
arbitrario dentro del formalismo de Lagrange. Para ello definimos un potencial generalizado
U = qφ− qṙ ·A (6.1)
en función de los potenciales escalar y vectorial, del cual se obtiene la fuerza de Lorentz que
actúa sobre la part́ıcula. Encontramos que los potenciales no están uńıvocamente definidos,
existen transformaciones de gauge –caracterizadas por una función arbitraria χ– que permite
cambiarlos de manera no trivial sin alterar el campo electromagnético. Como L depende de los
potenciales a través del potencial generalizado U , al hacer una transformación de gauge L śı
cambia de forma, en contraste con lo que ocurre con el campo electromagnético. Esto demuestra
que L no es un observable, no es una magnitud f́ısica medible.
Hab́ıamos visto que la lagrangeana transforma bajo una transformación de gauge de los
potenciales como
L′ = L+
d(qχ)
dt
. (6.2)
La lagrangeana cambia, pero la relación entre ambas funciones no es cualquiera, sino que difiere
en la derivada total respecto del tiempo de la función arbitraria qχ(r, t). En lo que sigue veremos
que de manera general si dos lagrangeanas difieren en la derivada total de una función de
las coordenadas y del tiempo, entonces las ecuaciones de Lagrange que se derivan de ambas
lagrangeanas son las mismas. Es decir, la lagrangeana NO es invariante de gauge, pero las
ecuaciones de movimiento SÍ lo son, como corresponde al hecho que L no tiene significado
f́ısico, no es medible, mientras que en las ecuaciones de movimiento está contenida la f́ısica
del problema. ¡Tendŕıamos un grave problema si estas ecuaciones dependiesen de qué elección
particular hacemos de los potenciales!
6.1. Transformaciones de gauge de la función lagrangeana
Sean L y L′ dos lagrangeanas que difieren en la derivada total respecto del tiempo de una
función arbitraria41 M = M(q, t) de las coordenadas generalizadas y del tiempo, pero no de las
velocidades q̇’s. Es decir,
L′(q̇, q, t) = L(q̇, q.t) +
dM(q, t)
dt
. (6.3)
Teorema:
Si qi(t) son soluciones de las ecuaciones de Lagrange con lagrangeana L(q̇, q, t), entonces son
también solución de las ecuaciones de Lagrange con lagrangeana L′(q̇, q, t). Es más, las ecuacio-
nes de Lagrange son las mismas con L o L′.
Demostración:
Primero escribimos la derivada total de M en función de sus derivadas parciales y velocidades
generalizadas:
dM(q, t)
dt
=
n∑
j=1
∂M
∂qj
q̇j +
∂M
∂t
. (6.4)
41Como siempre, el ’arbitrario’ es desde el punto de vista f́ısico, matemáticamente le pedimos que las derivadas
cruzadas sean iguales, condición que se logra si pedimos que dichas derivadas sean continuas.
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Supongamos que las funciones qi(t) satisfacen las ecuaciones de Lagrange obtenidas con L
d
dt
∂L
∂q̇i
− ∂L
∂qi
= 0, i = 1, · · · , n. (6.5)
Veremos que también satisfacen las ecuaciones de Lagrange obtenidas con L′:
d
dt
∂L′
∂q̇i
− ∂L
′
∂qi
= 0, i = 1, · · · , n. (6.6)
Usamos la definición de L′ en término de L:
∂L′
∂q̇i
=
∂L
∂q̇i
+
∂
∂q̇i
(
dM
dt
)
=
∂L
∂q̇i
+
∂M
∂qi
. (6.7)
Para arribar a la última igualdad usamos la expresión (6.4) de la derivada total de M . Notemos
que en (6.4) las velocidades generalidas sólo aparecen linealmente porque M no depende de ellas
(por esta razón M NO debe depender de las velocidades). Completamos el primer término de
las ecuaciones de Lagrange
d
dt
∂L′
∂q̇i
=
d
dt
∂L
∂q̇i
+
d
dt
∂M
∂qi
. (6.8)
Por otro lado,
∂L′
∂qi
=
∂L
∂qi
+
∂
∂qi
dM
dt
. (6.9)
Juntando los dos términos (6.8) y (6.9) nos armamos la ecuación de Lagrange respecto a L′
d
dt
∂L′
∂q̇i
− ∂L
′
∂qi
=
d
dt
∂L
∂q̇i
− ∂L
∂qi
+
d
dt
∂M
∂qi
− ∂
∂qi
dM
dt
, i = 1, · · · , n. (6.10)
Calculemos ahora los términos que involucra a la función M, teniendo en cuenta que M sólo
depende de coordenadas y tiempo, usando además la expresión (6.4):
d
dt
∂M
∂qi
=
n∑
j=1
∂2M
∂qj∂qi
q̇j +
∂2M
∂t∂qi
, (6.11)
∂
∂qi
dM
dt
=
n∑
j=1
∂2M
∂qi∂qj
q̇j +
∂2M
∂qi∂t
(6.12)
Si las derivadas parciales cruzadas de M son iguales, entonces ambos términos son idénticos y
se cancelan entre ellos en (6.10), resultando entonces
d
dt
∂L′
∂q̇i
− ∂L
′
∂qi
=
d
dt
∂L
∂q̇i
− ∂L
∂qi
= 0, i = 1, · · · , n. (6.13)
Es decir, para cada j las ecuaciones de Lagrange respecto a L y a L′ son idénticas, entonces
trivialmente una solución qj(t) respecto de L será solución respecto de L
′.
Transformación de gauge de la función lagrangeana
L→ L′(q̇, q, t) = L(q̇, q, t) + dM(q, t)
dt
, M arbitraria.
Las ecuaciones de Lagrange son invariantes de gauge.
En el caso de la part́ıcula cargada, la transformación de gauge de los potenciales produce
una transformaciónde gauge de la lagrangeana, donde M = qχ.
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y
x
X = f(t)
θ
m
l
Figura 6.1: Péndulo con punto de suspensión moviéndose horizontalmente según la ley X = f(t).
Ejemplo 6.1 (Péndulo con suspensión móvil). El punto de suspensión del péndulo de la figura
6.1 se mueve de acuerdo a la ley X = f(t) = A cos γt. Calculamos ahora la lagrangeana de la
manera usual, escribimos primero la relación constitutiva:
r = (A cos γt+ l sin θ, l cos θ) .
Luego derivamos esta relación
ṙ =
(
−γA sin γt+ lθ̇ cos θ,−lθ̇ sin θ
)
,
y la reemplazamos en la enerǵıa cinética.
T =
1
2
mṙ2 =
1
2
ml2θ̇2 +
1
2
mγ2A2 sin2 γt−mAlγθ̇ sin γt cos θ.
La lagrangeana es
L(θ̇, θ, t) = T − V = 1
2
ml2θ̇2 +
1
2
mγ2A2 sin2 γt−mAlγθ̇ sin γt cos θ +mgl cos θ.
Otra lagrangeana equivalente, más simple, es
L′(θ̇, θ, t) =
1
2
ml2θ̇2 +mlAγ2 cos γt sin θ +mgl cos θ.
Demuestren que efectivamente L y L′ dan las misma ecuación de movimiento para θ y verifiquen
que la relación entre ambas lagrangeanas está dada por una transformación de gauge
L′ = L+
dM(θ, t)
dt
con
M(θ, t) = mAlγ sin γt sin θ − 1
2
mA2γ2
(
t
2
− sin 2γt
4γ
)
.
En una transformación de gauge no cambia el espacio de configuración, es decir, no cambian
las coordenadas generalizadas q del sistema. Únicamente cambia la función lagrangeana. Vamos
a ver ahora otro tipo de transformaciones en las cuales cambian las coordenadas generalizadas,
transformaciones análogas al cambio de variable del análisis matemático.
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6.2. Transformaciones puntuales
Consideremos una transformación de las coordenadas generalizadas, pasamos del conjunto
{qj} a un nuevo conjunto {Qj}, con ’buenas’ propiedades matemáticas: biyectiva (no cambia el
número de grados de libertad), diferenciable y con transformación inversa diferenciable 42:
{q} → {Q} Qj = Qj(q1, q2, · · · , qn; t) (6.14)
{Q} → {q} qi = qi(Q1, Q2, · · · , Qn; t). (6.15)
Permitimos que la transformación pueda depender expĺıcitamente del tiempo. Lo que estamos
haciendo con esta transformación es cambiar el espacio de configuración del sistema. Cambian los
valores numéricos de las coordenadas de una dada configuración, como se muestra esquemáti-
camente en la figura 6.2. Ejemplo t́ıpico de este tipo de transformaciones es el pasaje de las
coordenadas cartesianas de un punto en el plano a sus coordenadas polares.
q
1
q
2
P
P
Q
Q
2
1
q −−> Q
Figura 6.2: Transformación puntual de un espacio de configuración (q1, q2) a otro espacio de
configuración (Q1, Q2).
Una vez conocidas las leyes de transformación, podemos calcular cómo se transforman las
velocidades usando regla de la cadena:
Q̇j =
n∑
i=1
∂Qj
∂qi
q̇i +
∂Qj
∂t
(6.16)
Vemos que las velocidades generalizadas nuevas serán función de las coordenadas y velocidades
generalizadas viejas (como siempre, la derivación total respecto del tiempo crea nuevas depen-
dencias, en este caso respecto a las velocidades)
Q̇j = Q̇j(q̇, q, t). (6.17)
Teorema:
El sistema de ecuaciones de Lagrange en las coordenadas generalizadas {q}, con función
lagrangeana L,
d
dt
∂L
∂q̇j
− ∂L
∂qj
= 0 j = 1, · · · , n (6.18)
42Técnicamente una transformación con estas propiedades se denomina difeomorfismo
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	Transformaciones de gauge y puntuales
	Transformaciones de gauge de la función lagrangeana
	Transformaciones puntuales
	pbs@ARFix@73: 
	pbs@ARFix@74: 
	pbs@ARFix@75: 
	pbs@ARFix@76: 
	pbs@ARFix@77: 
	pbs@ARFix@78: