Mecanica Clasica 2022-100-110

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Luego, teniendo en cuenta la dependencia de T con las velocidades q̇ (8.19) y la simetŕıa de los
coeficientes ajk:
∂T
∂q̇j
= aj +
n∑
k=1
ajkq̇k. (8.21)
Por lo tanto,
H =
n∑
j=1
aj q̇j︸ ︷︷ ︸
=T1
+
n∑
j,k=1
ajkq̇j q̇k︸ ︷︷ ︸
=2T2
−
n∑
j=1
q̇j
∂V
∂q̇j
− (T2 + T1 + T0) + V. (8.22)
Llegamos entonces a que la función hamiltoniana, de manera general, se escribe
H = T2 − T0 −
n∑
j=1
q̇j
∂V
∂q̇j
+ V →
H = T + V − 2T0 − T1 −
n∑
j=1
q̇j
∂V
∂q̇j
. (8.23)
Impongamos condiciones para llegar a una expresión reconocible para H:
Consideremos que el potencial no depende de las velocidades, ∂V∂q̇ = 0; es decir, no estamos
considerando potenciales generalizados y V es entonces enerǵıa potencial.
Consideremos que las relaciones constitutivas no dependen del tiempo, ∂ri∂t = 0. Esto
generalmente ocurre cuando los v́ınculos son independientes del tiempo 53. Vemos de (8.17)
que si ri 6= ri(t) entonces T0 = T1 = 0. La enerǵıa cinética resulta ser una función
cuadrática de las velocidades generalizadas.
Con estas dos condiciones inspeccionamos la ecuación (8.23) y vemos que son condiciones sufi-
cientes para que valga
H = T + V = E, (8.24)
es decir, para que la función hamiltoniana sea la enerǵıa mecánica del sistema.
Condiciones suficientes para que la función hamiltoniana sea la enerǵıa:
V 6= V (q̇),
Ligaduras independientes del tiempo.
Ambas condiciones son suficientes pero no necesarias. Puede ocurrir que no valga alguna de
esas condiciones y, sin embargo, la hamiltoniana sea la enerǵıa. Por ejemplo, en el caso de una
part́ıcula cargada en un campo electromagnético vimos que la función lagrangeana es
L =
1
2
mṙ2 − qφ+ qṙ ·A,
con un potencial generalizado que depende de las velocidades. L nos da una función hamiltoniana
H = ẋ
∂L
∂ẋ
+ ẏ
∂L
∂ẏ
+ ż
∂L
∂ż
− L = 1
2
mṙ2 + qφ. (8.25)
53Nótese que podŕıamos tener dependencia con el tiempo de las relaciones constitutivas si tomamos un sistema
de referencia inercial que se está moviendo respecto al sistema estudiado.
100
En el caso de campos estáticos esta expresión de H es la enerǵıa de la part́ıcula cargada: enerǵıa
cinética más enerǵıa potencial electrostática.
Vimos por un lado que si la lagrangeana no depende del tiempo se conserva la hamiltoniana.
Por otro lado, identificamos bajo ciertas condiciones la hamiltoniana con la enerǵıa del sistema.
Merece remarcarse que estos dos hechos, identificación de H con la enerǵıa y conservación de
H, son dos resultados independientes. Podemos tener todas las posibilidades:
H es la enerǵıa y se conserva. Ejemplos: la mayoŕıa de los sistemas que estudiamos, como
ser péndulo simple, péndulo doble, oscilador armónico.
H se conserva pero no es la enerǵıa. Veremos en lo que sigue un ejemplo de este caso.
H es la enerǵıa pero no se conserva. Ejemplo: part́ıcula en un potencial dependiente del
tiempo.
H no es la enerǵıa y tampoco se conserva.
Ejemplo 8.2 (H es constante pero no es la enerǵıa). Consideremos una part́ıcula de masa m
enhebrada en un aro rotante como se muestra en la figura 8.1. El aro está obligado a rotar a
una velocidad angular constante Ω.
Ω
m
g
θ
R
Figura 8.1: Masa enhebrada m en un aro vertical de radio R que rota con velocidad angular
constante Ω alrededor del eje z vertical. .
El sistema tiene un único grado de libertad debido a los dos v́ınculos: m se mueve sobre la
superficie de una esfera de radio R y con ángulo acimutal φ = Ωt fijado externamente. Nos
queda como coordenada generalizada el ángulo polar θ. La relación constitutiva y velocidad son:
r = (R sin θ cos Ωt, R sin θ sin Ωt,−R cos θ) ,
ṙ = ΩR (− sin θ sin Ωt,− sin θ cos Ωt, 0) +Rθ̇ (cos θ cos Ωt, cos θ sin Ωt, sin θ) ,
la enerǵıa cinética
T =
1
2
mṙ2 =
1
2
mR2θ̇2 +
1
2
mR2Ω2 sin2 θ
101
y la enerǵıa potencial
V = −mgR cos θ
La lagrangeana de la masa m resulta
L =
1
2
mR2θ̇2 +
1
2
mR2Ω2 sin2 θ +mgR cos θ.
Vemos que L no depende expĺıcitamente del tiempo, por lo tanto, se conserva la hamiltoniana
H =
∂L
∂θ̇
θ̇ − L = 1
2
mR2θ̇2 − 1
2
mR2Ω2 sin2 θ −mgR cos θ = cte.
A pesar que existe un v́ınculo reónomo, el tiempo no aparece expĺıcitamente en la lagrangeana
para este v́ınculo particular.
H se conserva pero no es la enerǵıa del sistema, la enerǵıa es
E = T + V =
1
2
mR2θ̇2 +
1
2
mR2Ω2 sin2 θ −mgR cos θ 6= H
La relación entre enerǵıa y hamiltoniana es
E = H +mR2Ω2 sin2 θ,
considerando que H = cte únicamente si θ no vaŕıa en el tiempo se conservará la enerǵıa.
En esta clase vimos que:
Si la lagrangeana no depende expĺıcitamente del tiempo ∂L/∂t = 0 entonces la función
hamiltoniana es una constante de movimiento
H =
n∑
j=1
∂L
∂q̇j
q̇j − L = cte.
Una condición suficiente para que L no dependa del tiempo es que el tiempo sea
homogéneo para el sistema, por ejemplo, como ocurre en un sistema aislado.
Si el potencial no depende de las velocidades y las relaciones constitutivas no dependen
del tiempo, entonces
H = Enerǵıa.
La identificación de H con la enerǵıa y la conservación de H son independientes.
Encontramos una estrecha relación entre tiempo y enerǵıa:
si el tiempo es homogéneo se conserva la enerǵıa (bajo las condiciones indicadas
más arriba). La relación entre tiempo y enerǵıa aparece una y otra vez en distintas
áreas de la f́ısica.
102
9. Momento canónico conjugado. simetŕıas y teorema de Noet-
her
Yo estoy al derecho, dado vuelta
estás vos
Sumo
En la clase anterior encontramos una estrecha relación entre tiempo y enerǵıa: cuando el
tiempo no aparece expĺıcitamente en la lagrangeana se conserva la función hamiltoniana del
sistema, la cual puede identificarse con la enerǵıa en la mayoŕıa de los sistemas estudiados.
Tanto en la definición de H como en las ecuaciones de Lagrange, aparece la derivada parcial de la
lagrangeana respecto a las velocidades generalizadas. En esta clase daremos un nombre especial
a dicha derivada parcial, será el momento canónico conjugado de la coordenada generalizada
correspondiente, y veremos ahora que existe una estrecha relación entre coordenada generalizada
y su momento canónico conjugado, como antes la encontramos entre tiempo y enerǵıa.
En la última parte de la clase nos introduciremos en una de las ideas centrales de la f́ısica
teórica moderna: por cada simetŕıa continua de un sistema existe una integral de movimiento,
una magnitud f́ısica que se mantiene constante en el tiempo. Esta idea está encerrada en el
teorema de Noether (1918), un resultado relativamente tard́ıo en la historia de la mecánica
clásica.
9.1. Momento canónico conjugado
Vamos a obtener integrales de movimiento, relacionadas con simetŕıas espaciales que pue-
de presentar el sistema. Primero definimos el momento canónico conjugado de la coordenada
generalizada j
pj =
∂L
∂q̇j
, (9.1)
cantidad que vimos aparecer en las ecuaciones de Lagrange y en la definición de la hamiltoniana.
Decimos que qj y pj forman un par de variables conjugadas
54. Es en el contexto del formalismo
hamiltoniano, que veremos en algunas semanas, donde los momentos canónicos pj adquieren
una importancia a la par de las coordenadas generalizadas. Por ahora para nosotros el momento
canónico conjugado será, por su propia definición, una función de las coordenadas y velocidades
generalizadas. De acuerdo a lo que sea la coordenda generalizada qj (si es una distancia, un
ángulo u otra cosa), su momento conjugado pj puede tener dimensiones de momento lineal (si q
es una longitud) o momento angular (si q corresponde a un ángulo) o bien corresponder a otras
dimensiones.
¿Por qué se llama a p momento? Veamos unos pocos ejemplos:
Ejemplo 9.1 (Part́ıcula en coordenadas cartesianas). En el caso simple de una part́ıcula en un
potencial V (r) y usando coordenadas cartesianas como las generalizadas, la función lagrangeana
es
L =
1
2
m
(
ẋ2 + ẏ2 + ż2
)
− V (x, y, z; t)
y el momento canónico conjugado de cada coordenada es
px =
∂L
∂ẋ
= mẋ, py =
∂L
∂ẏ
= mẏ, pz =
∂L∂ż
= mż.
54En la Mecánica Cuántica las variables conjugadas son las que deben satisfacer principios de incerteza como
el de Heisenberg.
103
Es decir, el momento canónico conjugado de cada coordenada cartesiana corresponde a la com-
ponente del momento lineal común y corriente, p = mṙ, en la dirección de la coordenada.
Ejemplo 9.2 (Part́ıcula en coordenadas esféricas). Otra vez una part́ıcula en un potencial V (r)
pero usando coordenadas esféricas como coordenadas generalizadas (r distancia al origen, θ
ángulo polar, φ ángulo acimutal). La función lagrangeana es
L =
1
2
m
(
ṙ2 + r2θ̇2 + r2 sin2 θφ̇2
)
− V (r, θ, φ; t)
y el momento canónico conjugado de cada coordenada es
pr =
∂L
∂ṙ
= mṙ, pθ =
∂L
∂θ̇
= mr2θ̇, pφ =
∂L
∂φ̇
= mr2 sin2 θφ̇.
Teniendo en cuenta que en coordenadas esféricas
r = r êr, p = mṙ = mṙ êr +mrθ̇ êθ +mr sin θφ̇ êφ,
l = r ∧ p = mr2θ̇ êφ −mr2 sin θφ̇ êθ,
en pr reconocemos la componente radial del momento lineal, pθ corresponde a la componente
acimutal del momento angular y pφ a la proyección en el plano xy de la componente polar del
momento angular.
Ejemplo 9.3 (Part́ıcula cargada en un campo electromagnético). Veamos ahora el caso de
una part́ıcula cargada en un campo electromagnético con potenciales φ, A, usando coordenadas
cartesianas La lagrangeana es
L =
1
2
m
(
ẋ2 + ẏ2 + ż2
)
− qφ(x, y, z, t) + qṙ ·A(x, y, z, t),
por lo tanto los momentos conjugados son
px =
∂L
∂ẋ
= mẋ+ qAx, py =
∂L
∂ẏ
= mẏ + qAy, pz =
∂L
∂ż
= mż + qAz,
vectorialmente podemos escribir
p = mṙ + qA.
El momento canónico conjugado p, además del momento lineal mecánico = masa × velocidad,
incluye un término extra debido a la presencia del campo, qA. Se puede asociar qA con un
momento lineal electromagnético de la part́ıcula. Remarcamos que el momento ’importante’ será
el canónico conjugado y no el mecánico, ésto se aprecia mejor en la mecánica cuántica.
9.2. Coordenadas ćıclicas (o ignorables)
Llamaremos coordenada ćıclica (o ignorable) a una coordenada generalizada que no aparezca
expĺıcitamente en la lagrangeana. Si qk es ćıclica entonces L 6= L(qk). Notemos que la condición
de ćıclica de una coordenada depende de la lagrangeana, depende del sistema particular en el
cual trabajamos.
De manera casi trivial podemos asociar una constante de movimiento con cada coordenada
ćıclica: si L 6= L(qk) entonces ∂L/∂qk = 0 por lo cual la ecuación de Lagrange correspondiente
a dicha coordenada se simplifica
d
dt
∂L
∂q̇k
− ∂L
∂qk
= 0→ d
dt
∂L
∂q̇k
= 0⇒ ∂L
∂q̇k
= cte. (9.2)
104
Teniendo en cuenta que la derivada parcial ∂L/∂q̇k es el momento canónico conjugado pk, resulta
entonces que si una coordenada es ćıclica su momento canónico conjugado es una constante de
movimiento
∂L
∂qk
= 0⇒ pk = cte. (9.3)
Notemos que la conservación de la hamiltoniana tiene cierta semejanza con lo anterior:
si el tiempo es ’ćıclico’, es decir, no aparece expĺıcitamente en la lagrangeana, se conserva la
hamiltoniana, que vendŕıa a ser algo aśı como el ’momento canónico conjugado’ del tiempo.
Al momento de seleccionar las coordenadas generalizadas un buen criterio es elegir el con-
junto {qj} con más coordenadas ćıclicas, porque a mayor cantidad de constantes de movimiento
conocidas, el problema es “más fácil” de resolver. ¿Qué significa “más fácil”? Sabemos desde
F́ısica 1 que, mediante razonamientos de conservación de enerǵıa, momento lineal o angular, al-
gunos problemas pueden resolverse sin necesidad de resolver las ecuaciones de movimiento; otras
veces las leyes de conservación permiten hacer un primer análisis cualitativo del movimiento,
como veremos en el problema de fuerza central entre dos cuerpos. Por otro lado, las integrales
de movimiento pueden considerarse como ecuaciones diferenciales de primer orden (involucran
coordenadas y velocidades generalizadas, pero no aceleraciones), las cuales en determinados
sistemas pueden resolverse mediante integración (’cuadratura’).
X
x
y
d
M
m
α
Figura 9.1: Masa m sobre un plano inclinado móvil.
Ejemplo 9.4 (Masa sobre un plano inclinado móvil). Veamos un sistema con una coordenada
ćıclica y el principio de conservación que resulta de ello. Tenemos una part́ıcula de masa m
moviéndose sobre un plano inclinado móvil de masa M y abertura angular α, sin rozamiento
en ningún contacto. El sistema tiene dos grados de libertad, como coordenadas generalizadas
tomamos la posición X del extremo izquierdo del plano inclinado y la distancia d de la part́ıcula
al vértice superior del plano. Las relaciones constitutivas y velocidades son
rM = (X, 0), rm = (X + d cosα, h− d sinα),
ṙM = (Ẋ, 0), ṙm = (Ẋ + ḋ cosα,−ḋ sinα),
Como el plano inclinado no rota, solamente tenemos su enerǵıa cinética de traslación. A la
enerǵıa potencial sólo la part́ıcula contribuye de manera no trivial
T =
1
2
M ṙ2M +
1
2
mṙ2m =
1
2
MẊ2 +
1
2
mẊ2 +
1
2
mḋ2 +m cosαẊḋ,
105
V = mg(h− d cosα).
Por lo tanto, la lagrangeana es
L =
1
2
(M +m) Ẋ2 +
1
2
mḋ2 +m cosαẊḋ−mg(h− d cosα).
Esta lagrangeana depende de las dos velocidades generalizadas, Ẋ y ḋ, de la coordenada d, pero
no depende de la coordenada X, L 6= L(X). Por lo tanto X es una coordenada ćıclica para este
sistema y se conservará en consecuencia su momento canónico conjugado
pX =
∂L
∂Ẋ
= (M +m) Ẋ +mḋ cosα = cte.
¿Qué es pX? Notemos que si bien X nos da información sobre la posición del plano inclinado,
también aparece en la relación constitutiva de la part́ıcula m. Esperamos entonces que su momen-
to conjugado sea una propiedad del sistema y no únicamente del plano inclinado. Efectivamente,
vemos enseguida que pX es el momento lineal total del sistema en la dirección horizontal
pX = MẋM +mẋm = MẊ +m(Ẋ + ḋ cosα).
De F́ısica 1 sab́ıamos que esta ley de conservación vaĺıa porque no hay fuerza neta actuando en la
dirección horizontal; en el formalismo de Lagrange la misma conservación se deduce a partir del
carácter de ćıclica de la coordenada X. Más adelante veremos que podemos reobtenerla a partir
de argumentos de simetŕıa: si al sistema lo trasladamos ŕıgidamente en la dirección horizontal
no cambian las fuerzas presentes: las internas del sistema no cambian porque la traslación fue
ŕıgida, respetando las relaciones entre las partes del sistema, y las externas no cambian (el peso)
porque fue una traslación en la dirección horizontal, sin cambiar las distancias al centro de la
Tierra. A consecuencia de esta simetŕıa de traslación horizontal veremos que debe conservarse
el momento lineal total en dicha dirección.
9.3. Teorema de Noether
En muchos casos la mejor elección de coordenadas generalizadas, la que nos asegura que
aparezca mayor cantidad de coordenadas ćıclicas, no es tan evidente. Pareciera entonces que
la determinación de las integrales de movimiento a partir de la condición de ćıclica de las
coordenadas es una cuestión de suerte: si fuimos afortunados con la elección de las coordenadas
tendremos constantes de movimiento, si no lo fuimos nos perdemos esas leyes de conservación.
Como ejemplo consideremos el caso de una part́ıcula sujeta a un potencial central V (|r|) en un
plano: en coordenadas polares claramente el ángulo θ será ćıclico ya que el potencial sólo depende
de r, V = V (r), y se deduce en consecuencia la conservación del momento angular, pθ = cte. Por
otro lado, en coordenas cartesianas el potencial V = V (x, y) depende de ambas coordenadas,
x e y, ninguna de ellas será ćıclica; uno se puede preguntar qué pasó con la conservación de
pθ. Las integrales de movimiento existen independientemente de las coordenadas ćıclicas, una
integral de movimiento es una función de las velocidades y de las posiciones de las part́ıcula y
si es constante, lo será independientemente de qué coordenadas generalizadas usamos.
El teorema de Noether nos permite encontrar constantes de movimiento, sin importar qué
conjunto de coordenadas generalizadasusemos, y lo hace recurriendo a las simetŕıas del proble-
ma.
106
9.3.1. Transformación de simetŕıa
De manera general, decimos que un sistema tiene una dada simetŕıa cuando al actuar sobre el
mismo una transformación asociada a dicha simetŕıa, el sistema permanece invariante. Pensemos
en una placa cuadrada homogénea, si la rotamos un ángulo múltiplo de 90◦ alrededor de un eje
perpendicular a la placa y que pasa por su centro, no podremos diferenciar a la placa antes y
después de la rotación. En este caso decimos que la placa tiene simetŕıa de rotacion en ángulos
múltiplos de 90◦ y la transformación de simetŕıa es la operación de rotación.
Veamos cómo aparecen estas ideas en el formalismo lagrangeano. Consideremos una familia
de transformaciones puntuales que dependen continuamente de un parámetro real s (por ejemplo,
un ángulo de rotación) 55,
{q} → {Q = Q(q, s)}, (9.4)
con la condición
Qj(s = 0; q1, q2, · · · , qn) = qj j = 1, · · · , n, (9.5)
es decir, cuando el parámetro s vale cero la transformación puntual es la identidad.
Recordemos de un par de clases atrás que frente a una transformación puntual la lagrangeana
transforma como lo hace cualquier función frente a un cambio de variables,
L(q̇, q, t)→ L̄(Q̇,Q, t) = L(q̇(Q̇,Q, t), q(Q, t), t), (9.6)
donde resaltábamos mediante la notación L̄ que la dependencia funcional de la nueva lagrangeana
L̄ respecto a sus variables Q̇,Q, t es distinta en general a la dependencia de la vieja lagrangeana
L respecto a sus propias variables, q̇, q, t.
Diremos que la transformación (9.4) es una transformación de simetŕıa continua 56 del sistema
si la lagrangeana es invariante frente a la misma, es decir si la función L̄ es la misma que la
función L:
L̄(Q̇,Q, t) = L(Q̇,Q, t). (9.7)
Ejemplo 9.5 (Part́ıcula en campo de fuerza central). En esta caso veremos que la simetŕıa del
sistema es una simetŕıa de rotación de ángulo arbitrario alrededor de un eje arbitrario.
Consideremos a las coordenadas cartesianas x, y, z como las generalizadas, la función lagran-
geana es
L(ẋ, ẏ, ż, x, y, z) =
1
2
m
(
ẋ2 + ẏ2 + ż2
)
− V (x2 + y2 + z2), (9.8)
donde hemos tenido en cuenta que el potencial es central y sólo depende de la distancia al origen.
Ahora hacemos una transformación puntual consistente en un rotar el sistema de referencia un
ángulo α alrededor del eje z (lo que se llama una transformación pasiva), es decir, pasamos
de las coordenadas x, y, z a un nuevo conjunto de coordenadas cartesianas X,Y, Z mediante la
transformación: 
X = cosα x+ sinα y
Y = − sinα x+ cosα y
Z = z.
(9.9)
Notemos que esta es una transformación del tipo (9.4), donde el parámetro s es el ángulo α.
Cuando α = 0 tenemos la transformación identidad. Calculamos la transformación inversa
55La llamamos familia de transformaciones porque para cada valor de s tenemos una transformación distinta.
56Además de las simetŕıas continuas existen las simetŕıas discretas, en las cuales el parámetro s toma valores
de un conjunto discreto, como es el caso de la placa cuadrada antes mencionado.
107
(simplemente se invierte el ángulo α)
x = cosα X − sinα Y
y = sinα X + cosα Y
z = Z,
(9.10)
derivamos para conocer la relación entre velocidades 57
ẋ = cosα Ẋ − sinα Ẏ
ẏ = sinα Ẋ + cosα Ẏ
ż = Ż,
(9.11)
y reemplazamos en la lagrangeana L (9.8) para obtener la función lagrangeana transformada L̄ :
L̄(Ẋ, Ẏ , Ż,X, Y, Z) =
m
2
[(
cosαẊ − sinαẎ
)2
+
(
sinαẊ + cosαẎ
)2
+ Ż2
]
+
+ V
(
(cosα X − sinα Y )2 + (sinα X + cosα Y )2 + Z2
)
. (9.12)
Desarrollamos los cuadrados y encontramos que
L̄(Ẋ, Ẏ , Ż,X, Y, Z, t) =
1
2
m
(
Ẋ2 + Ẏ 2 + Ż2
)
− V (X2 + Y 2 + Z2). (9.13)
Llegamos finalmente a que ambas lagrangeanas,(9.8) y (9.13), son idénticas en sus dependencias
funcionales. Es decir, la rotación de ángulo α alrededor del eje z es una transformación de
simetŕıa de la lagrangeana. Se puede demostrar de manera sencilla que la lagrangeana será
invariante frente a una rotación alrededor de un eje arbitario, y no sólamente alrededor del eje
z, debido al carácter central del potencial.
Resaltamos el hecho que mientras en (9.12) aparece expĺıcitamente el ángulo α, en la expre-
sión final (9.13) no aparece. Esta ’trivialidad’ permitirá demostrar el teorema de Noether.
9.3.2. Teorema
Vamos ahora a enunciar y demostrar el teorema publicado por Emmy Noether en 1918 58.
Este resultado es uno de los más importantes de toda la f́ısica teórica. Vale tanto para la f́ısica
clásica como la cuántica, para sistemas de part́ıculas como para teoŕıas de campo.
Teorema: A cada transformación de simetŕıa continua de una lagrangeana está asociada
una constante de movimiento.
En la sección anterior definimos familias de transformaciones puntuales que dependen de un
único parámetro continuo s (llamadas transformaciones uniparamétricas). Podemos generalizar
esta definición de manera directa permitiendo que la transformación dependa de dos o más
parámetros continuos. En tal caso, el teorema de Noether nos dirá que por cada parámetro
continuo de la transformación de simetŕıa existe una constante de movimiento.
Demostración:
Si Qj = Qj(s; q) es una transformación de simetŕıa de la lagrangeana entonces la lagrangeana
transformada
L̄(Q̇,Q, t) = L(q̇(s; Q̇,Q), q(s;Q), t) (9.14)
57Recordemos que α es un parámetro, no depende del tiempo, por lo tanto no se lo deriva.
58El teorema fue inicialmente enunciado en el contexto de teoŕıas de campo, por lo tanto la demostración que
daremos es una versión muy simplificada de la demostración original.
108
coincide con la original,
L̄(Q̇,Q, t) = L(Q̇,Q, t). (9.15)
De las ecuaciones anteriores resulta la igualdad
L(Q̇,Q, t). = L(q̇(s; Q̇,Q), q(s;Q), t), (9.16)
la cual, cambiando de variables Q→ q, puede escribirse como
L(Q̇(q̇, q, s), Q(q, s), t) = L(q̇, q, t), (9.17)
En el término de la derecha de (9.17) evidentemente no aparece el parámetro s, ya que es la
lagrangeana original antes de cualquier transformación. En la lagrangeana de la izquierda aparece
formalmente el parámetro s a través de la transformación de simetŕıa Q = Q(s; q). Vimos en el
ejemplo anterior de la part́ıcula en un campo de fuerza central cómo esa dependencia formal en
s desaparece.
Ahora derivamos la ecuación (9.17) respecto de s, al derivar el término de la derecha nos da
cero y en el término de la izquierda usamos la regla de la cadena, obtenemos entonces
∂L
∂s
=
n∑
j=1
[
∂L
∂Q̇j
∂Q̇j
∂s
+
∂L
∂Qj
∂Qj
∂s
]
= 0. (9.18)
Usando las ecuaciones de Lagrange (un par de clases atrás encontramos que valen para cualquier
conjunto de coordenadas generalizadas, en particular para el conjunto {Q} cualquiera sea el valor
de s)
∂L
∂Qj
=
d
dt
∂L
∂Q̇j
,
llegamos a
n∑
j=1
[
∂L
∂Q̇j
d
dt
(
∂Qj
∂s
)
+
d
dt
(
∂L
∂Q̇j
)
∂Qj
∂s
]
= 0. (9.19)
En el primer término hemos intercambiado derivación total respecto al tiempo con la derivación
parcial respecto a s, para que quede claro que lo que tenemos es la derivada de un producto de
funciones:
d
dt
 n∑
j=1
∂L
∂Q̇j
∂Qj
∂s
 = 0. (9.20)
De la ecuación (9.20) obtenemos la conservación de la función entre corchetes, conservación
válida para cualquier s. En particular consideraremos dicha función para s = 0, valor para el
cual sólo aparecen las variables sin transformar q̇, q:
I(q̇, q, t) ≡
n∑
j=1
(
∂L
∂q̇j
)
∂Qj
∂s
∣∣∣∣
s=0
= cte. (9.21)
En teoŕıa de campos la función I suele llamarse la carga de Noether asociada a la transformación
de simetŕıa.
Notemos que hemos reemplazado la derivada ∂L/∂Q̇j por ∂L/∂q̇j en la
expresión anterior. Veamos por qué: teniendo en cuenta (9.16) y usando la
cancelación de los puntos obtenemos, para un valor de s cualquiera,
∂L
∂Q̇j
=
n∑
i=1
∂L
∂q̇i
∂q̇i
∂Q̇j
=
n∑
i=1
∂L
∂q̇i
∂qi
∂Qj
. (9.22)
109
Para s infinitesimal, recordando que s = 0 corresponde a la transformación
identidad, podemos escribir la relación entre coordenadasq y Q como
qi = Qi + sf(Q1, Q2, · · · , Qn) +O(s2),
donde f es una función que no depende de s. Simplemente hicimos un desa-
rrollo de Taylor alrededor de la identidad, válido para s infinitesimal. A partir
de esta transformación infinitesimal evaluamos
∂qi
∂Qj
= δij +O(s).
Si s = 0 tenemos entonces que la derivada parcial es la delta de Kronecker, la
cual reemplazada en (9.22) nos da
∂L
∂Q̇j
∣∣∣∣∣
s=0
=
∂L
∂q̇j
. (9.23)
9.4. Aplicaciones del teorema de Noether
Coordenadas ćıclicas
Si qk es ćıclica, L 6= L(qk), entonces una posible transformación de simetŕıa consiste en correr
qk en el número real s y dejar las demás coordenadas sin modificar, ya que este corrimiento no
afectará la lagrangeana:
Qj = qj + δjks j = 1, · · · , n. (9.24)
Por teorema de Noether la constante de movimiento correspondiente a esta simetŕıa es
I(q̇, q, t) =
n∑
j=1
pj
∂Qj
∂s
∣∣∣∣
s=0
=
n∑
j=1
pjδjk = pk = cte. (9.25)
Recobramos el hecho de que a cada coordenada ćıclica le corresponde la conservación de su
momento canónico conjugado.
Homogeneidad del espacio y momento lineal
Consideremos un sistema aislado de N part́ıculas con potenciales que dependen únicamente
de los vectores posición relativos entre las part́ıculas
L =
1
2
N∑
i=1
miṙ
2
i −
1
2
N∑
i 6=j=1
V (ri − rj). (9.26)
Tomamos las coordenadas cartesianas como las generalizadas y usamos notación vectorial por
simplicidad.
Hagamos una traslación ŕıgida de todas las part́ıculas
ri → Ri = ri + sn̂, i = 1, · · · , N (9.27)
donde n̂ es un versor arbitrario. Como s y n̂ son parámetros independientes del tiempo, las
velocidades no cambian, Ṙi = ṙi. Cuando hacemos el reemplazo en la lagrangeana anterior,
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	Momento canónico conjugado. simetrías y teorema de Noether
	Momento canónico conjugado
	Coordenadas cíclicas (o ignorables)
	Teorema de Noether
	Transformación de simetría
	Teorema
	Aplicaciones del teorema de Noether
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