Mecanica Clasica 2022-51-57

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La configuración de equilibrio de un sistema holónomo es aquella para la cual se anulan
las fuerzas generalizadas.
En el formalismo de Newton decimos que un sistema está en equilibrio cuando la fuerza
que actúa sobre cada part́ıcula se anula. Es muy parecido a lo que encontramos arriba. Pero la
aplicación del PTV al equilibrio tiene una enorme ventaja: no aparecen las fuerzas de v́ınculo
en la condición de equilibrio, porque las fuerzas generalizadas solo dependen de las fuerzas que
no son de v́ınculo.
Ejemplo: Péndulo simple
La única fuerza que no es de v́ınculo es el peso, P = mg. Si tomamos el ángulo θ que el péndulo
forma con la vertical como coordenada generalizada la relación constitutiva es r = (l sin θ, l cos θ)
(figura 3.1) la fuerza generalizada es
Qθ = P ·
∂r
∂θ
= −mgl sin θ. (3.42)
Esta fuerza generalizada es igual (excepto por el signo) al torque que el peso ejerce respecto al
punto de suspensión del péndulo, N = r ∧ P = mgl sin θêz. La condición de equilibrio Qθ = 0
tiene como solución los ángulos θ = 0, π. El primero de ellos corresponde a una configuración de
equilibrio estable, el segundo a una inestable.
Ejemplo: Masa en gúıa parabólica
Una masa enhebrada en una gúıa parabólica de ecuación y = 12αx
2, con la dirección positiva de
y apuntando al centro de la Tierra (ver figura 3.3). La masa está sujeta además a un resorte de
constante elástica k, de longitud natural l0, que permanece siempre horizontal. No hay roce.
Figura 3.3: Masa en una gúıa parabólica, unida a un resorte.
La masa está sujeta a dos fuerzas que no son de v́ınculo: peso P = mgêy y resorte Fe =
−k(x− l0)êx, y una fuerza que es de v́ınculo, la reacción R que le ejerce la gúıa. Usando el PTV
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la masa estará en equilibrio si existe una configuración tal que valga
(P + Fe) · δr = 0 (3.43)
El sistema tiene un único grado de libertad (part́ıcula moviéndose sobre un curva), y tomamos
la coordenada x como coordenada generalizada del problema. La relación constitutiva es
r = xêx +
1
2
αx2êy.
Entonces la fuerza generalizada Qx vale
Qx = (P + Fe) ·
∂r
∂x
= mgαx− k(x− l0). (3.44)
La configuración de equilibrio implica Qx = 0, por lo tanto la coordenada x en el equilibrio x0
satisface
Qx(x0) = 0⇒ mgαx0 − k(x0 − l0) = 0⇒ x0 =
l0
1− mgαk
. (3.45)
Existe solución f́ısica cuando x0 > 0 (estamos trabajando en la semirrecta x positiva), es decir,
debe cumplirse
mgα
k
< 1 (3.46)
Para que la masa esté en equilibrio necesitamos entonces tener un resorte ŕıgido (k lo suficien-
temente grande) o bien necesitamos que la gúıa parabólica sea muy abierta (α pequeño) o que
la masa sea pequeña.
Ayuda: si estamos usando el PTV para un cuerpo ŕıgido la suma en part́ıculas que aparece
en la fuerza generalizada (3.38) solo incluirá aquellas del cuerpo sobre las cuales están
aplicadas las fuerzas que no son de v́ınculo. Esto se deduce analizando con cuidado la
definición del trabajo virtual.
En esta clase vimos:
Los desplazamientos virtuales son desplazamientos infinitesimales de las posiciones de las
part́ıculas, consistentes con los v́ınculos y realizados a tiempo fijo.
El trabajo virtual es el trabajo que haŕıan las fuerzas que actúan sobre el sistema en el
desplazamiento virtual.
El principio de los trabajos virtuales nos dice que las fuerzas de v́ınculo no hacen trabajo
virtual neto. Es un principio fundamental de la Mecánica Clásica, que no se deduce de
las leyes de Newton.
El trabajo virtual queda expresado solo en término de las fuerzas que no son de v́ınculo.
Las fuerzas generalizadas Qj permiten expresar el trabajo virtual de la manera usual:
fuerza por desplazamiento.
En una configuración de equilibrio las fuerzas generalizadas se anulan.
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4. Ecuaciones de Lagrange
Algo se está gestando; lo siento
al respirar; es como un viento
nuevo, que en mı́ comienza a
hablar.
Arco Iris
En la clase anterior definimos a los desplazamientos virtuales, experimentos matemáticos
consistentes en desplazar infinitesimalmente las posiciones de las part́ıculas de manera compa-
tible con las ligaduras y a tiempo fijo. A partir de los desplazamientos virtuales y el trabajo
virtual correspondiente, presentamos el principio de los trabajos virtuales (PTV), postulado que
nos dice que las fuerzas de v́ınculo no realizan trabajo virtual neto. Como primera aplicación
del PTV vimos que nos permit́ıa calcular la posición de equilibrio estático de un sistema sin
tener en cuenta las fuerzas de v́ınculo. Históricamente, fue para el estudio de la estática que se
formuló inicialmente el PTV.
En 1743 D’Alembert 30 aplica la idea de trabajo virtual al problema de la dinámica de un
sistema mecánico, estableciendo su principio de D’Alembert que veremos en esta clase. Este
principio, al igual que la segunda ley de Newton, involucra vectores y fuerzas, estamos todav́ıa
con una mecánica vectorial donde el concepto de fuerza es el importante. A partir del principio
de D’Alembert, y haciendo unas cuantas manipulaciones matemáticas, deduciremos hoy las
ecuaciones de movimiento de un sistema bajo la forma conocida como ecuaciones de Lagrange.
Esta ecuaciones están obtenidas a partir de una función escalar, la función lagrangeana L, y en
este formalismo el concepto central ya no es el de fuerza sino el de potencial.
4.1. Principio de D’Alembert
Consideremos un sistema de part́ıculas moviéndose bajo la acción de determinadas fuerzas.
En un momento dado ’congelamos’ el tiempo, hacemos un desplazamiento virtual del sistema y
calculamos el trabajo virtual correspondiente
δW =
N∑
i=1
Fi · δri. (4.1)
Ahora usamos la segunda ley de Newton para cada part́ıcula, Fi = ṗi, y tenemos una expresión
alternativa del trabajo virtual,
δW =
N∑
i=1
Fi · δri =
N∑
i=1
ṗi · δri. (4.2)
Cada fuerza es la suma de fuerzas de v́ınculo y fuerzas que no son de v́ınculo. Por el principio
de trabajos virtuales, al trabajo virtual δW sólo contribuyen las fuerzas que no son de v́ınculo,
la expresión anterior entonces es
δW =
N∑
i=1
F
(nv)
i · δri =
N∑
i=1
ṗi · δri. (4.3)
30Jean le Rond d’Alembert (1717-1783) fue un matemático muy reconocido por editar la Enciclopedia junto a
Diderot. Además de sus contribuciones a la Mecánica es conocido por obtener soluciones de la ecuación de ondas.
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Llegamos aśı al principio de D’Alembert (1743)
N∑
i=1
(
F
(nv)
i − ṗi
)
· δri = 0. (4.4)
Notemos que en esta ecuación solamente aparecen las fuerzas que no son de v́ınculo y además es
válida para cualquier sistema mecánico, independientemente del tipo de v́ınculos. Del principio
de D’Alembert se deducen los formalismos de Lagrange, Hamilton y Hamilton-Jacobi.
Comentario histórico: La idea de D’Alembert para tratar la dinámica con el principio de los trabajos
virtuales fue muy simple. La segunda ley de Newton dice que para cada part́ıcula vale Fi = ṗi. Esta
ecuación dinámica D’Alembert la pensó como si fuese una condición de equilibrio, simplemente haciendo
Fi − ṗi = 0, donde ṗi juega el rol de una fuerza inercial como las que aparecen en mecánica relativa. Lo
que estaba haciendo de hecho era usar un sistema de referencia cuyo origen coincide instante a instante
con la posición de la part́ıcula. A este problema de estática D’Alembert le aplicó el principio de los
trabajos virtuales.
Ejemplo 4.1 (Péndulo simple). En el péndulo simple el peso P es la única fuerza que no es de
v́ınculo y el desplazamiento virtual compatible con el v́ınculo es
δr = l(cos θ,− sin θ)δθ = lδθêθ.
El principio de D’Alembert (4.4) nos dice que la ecuación de movimiento es
(P −ma) · δr = 0. (4.5)
Dada la simetŕıa del problema, descomponemos peso y aceleración en partes radial y tangencial:
P = mg cos θ êr −mg sin θ êθ,
a = −lθ̇2 êr + lθ̈ êθ.
Sólo contribuye la parte tangencial al principio de D’Alembert, haciendo el producto escalar
anterior tenemos (
−mg sin θ −mlθ̈
)
δθ = 0. (4.6)
Como δθ es un desplazamiento arbitrario, llegamos a la ecuación de movimientodel péndulo
simple
mlθ̈ +mg sin θ = 0. (4.7)
4.2. Deducción de las ecuaciones de Lagrange
En el ejemplo anterior del péndulo simple podemos notar dos cosas: por un lado, nos des-
prendimos de las fuerzas de v́ınculo y, por otro lado, seguimos teniendo una teoŕıa vectorial, en
la cual la fuerza ocupa un lugar central. Ahora vamos a trabajar con el principio de D’Alembert
para arribar a una teoŕıa escalar y que no esté centrada en el concepto de fuerza, sino en el de
potencial.
En la clase anterior encontramos que el trabajo virtual puede reescribirse en término de las
fuerzas generalizadas:
δW =
n∑
j=1
Qjδqj , (4.8)
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donde la fuerza generalizada correspondiente a la coordenada qj es
Qj =
N∑
i=1
F
(nv)
i ·
∂ri
∂qj
. (4.9)
Por otro lado, el trabajo virtual pod́ıamos escribirlo como δW =
∑
i ṗi · δri (4.2). En esta ex-
presión vamos a considerar masas constantes, ṗi = mir̈i, a escribir los desplazamientos virtuales
de los vectores posición en término de los desplazamientos de las coordenadas generalizadas
δri =
∑
j
∂ri
∂qj
δqj e intercambiar las sumatorias:
N∑
i=1
ṗi · δri =
n∑
j=1
(
N∑
i=1
ṗi ·
∂ri
∂qj
)
δqj . (4.10)
Las ecuaciones (4.8) y (4.10) nos permiten entonces pasar del principio de D’Alembert escrito
en desplazamientos δr’s (4.4) a una expresión en función de los desplazamientos δqj ’s.
n∑
j=1
[
Qj −
N∑
i=1
mir̈i ·
∂ri
∂qj
]
δqj = 0. (4.11)
Ahora el objetivo es quitarnos de encima los vectores que aparecen en la ecuación anterior.
Para ello debemos jugar con derivadas.
Volvamos a aclarar (ver Sección 2.10) desde ya algo que puede llevar a confusión: en las
expresiones que siguen aparecerán derivadas de dos tipos; derivadas totales respecto al tiempo
d/dt y derivadas parciales respecto a las coordenadas ∂/∂qj , velocidades generalizadas ∂/∂q̇j y
el tiempo ∂/∂t. Las primeras tienen que ver con variaciones de una función en el tiempo debido a
la dinámica del sistema: las leyes de movimiento nos dicen cómo es la configuración del sistema a
cada instante, caracterizada mediante los vectores posición ri(t) o las coordenadas generalizadas
qj(t) en función del tiempo, si una función depende de los vectores posición o de las coordenadas
q y/o velocidades generalizadas q̇, tendrá entonces una dependencia temporal en virtud de la
dinámica del sistema. Las derivadas parciales por otro lado tienen que ver con la dependencia
expĺıcita de esas funciones con las variables dinámicas (coordenadas, velocidades generalizadas)
y eventualmente el tiempo. Por ejemplo, en el caso de las relaciones constitutivas que nos dan
los vectores posición en función de las coordenadas generalizadas,
ri = ri(q1, q2, · · · , qn; t),
podemos derivar parcialmente respecto a coordenadas y tiempo, derivadas que dependerán de
la dependencia expĺıcita en esas variables y tienen un significa ’geométrico’ y no dinámico. Por
otro lado, si conocemos la dependencia de las coordenadas generalizadas con el tiempo, qj(t),
tenemos la dependencia de los vectores posición con el tiempo
ri(t) = ri(q1(t), q2(t), · · · , qn(t); t),
y derivando totalmente respecto al tiempo, mediante la regla de la cadena, tenemos las veloci-
dades de las part́ıculas
ṙi =
n∑
j=1
∂ri
∂qj
q̇j +
∂ri
∂t
= ṙi(q̇1, q̇2, · · · , q̇n, q1, q2, · · · , qn; t)
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Vemos que al derivar las relaciones constitutivas totalmente respecto al tiempo, la velocidad
de cada part́ıcula resulta función de las coordenadas generalizadas y también de las velocida-
des generalizadas q̇. Es decir, mientras la derivación parcial no genera dependencia en nuevas
variables, la derivada total śı 31.
Luego de esta necesaria disquisición sobre derivadas totales y parciales, volvamos a la tarea
de quitarnos de encima los vectores. Veamos como reescribir el segundo término que aparece
dentro del corchete en (4.11), usando la propiedad de la derivada de producto de funciones:
N∑
i=1
mir̈i ·
∂ri
∂qj
=
N∑
i=1
mi
dṙi
dt
· ∂ri
∂qj
⇒ (4.12)
N∑
i=1
mir̈i ·
∂ri
∂qj
=
d
dt
(
N∑
i=1
miṙi ·
∂ri
∂qj
)
︸ ︷︷ ︸
primer termino
−
N∑
i=1
miṙi ·
d
dt
(
∂ri
∂qj
)
︸ ︷︷ ︸
segundo termino
. (4.13)
Veamos qué hacer en el primer término: si nos animamos a agregar un puntito arriba de ri
y otro arriba de qj (¡ya que los puntitos se cancelan entre ellos!) en la derivada parcial ∂ri/∂qj
nos apareceŕıa el producto escalar de la velocidad por una derivada parcial de la velocidad,
lo cual es proporcional a la derivada parcial del cuadrado de la velocidad. En F́ısica estamos
acostumbrados a ciertos manejos matemáticos aparentemente desprolijos pero ¿nos podemos
atrever a tanto? La respuesta es śı.
Cancelación de los puntos
Sabemos que la velocidad de la part́ıcula i es
ṙi =
n∑
j=1
∂ri
∂qj
q̇j +
∂ri
∂t
(4.14)
y que depende de las velocidades generalizadas q̇. Vemos que esa dependencia
está bien expĺıcita, ya que las derivadas parciales ∂r/∂q y ∂r/∂t no dependen
de las velocidades. Al derivar respecto de las velocidades generalizadas tenemos
entonces el resultado conocido, por razones obvias, como cancelación de los
puntos:
∂ṙi
∂q̇k
=
∂ri
∂qk
. (4.15)
Ahora usamos la cancelación de los puntos en el primer término de (4.13)
N∑
i=1
miṙi ·
∂ṙi
∂q̇j
=
N∑
i=1
mi
∂
∂q̇j
(
ṙ2i
2
)
=
∂
∂q̇j
(
1
2
N∑
i=1
miṙ
2
i
)
≡ ∂T
∂q̇j
, (4.16)
donde T no es otra cosa que la enerǵıa cinética total del sistema
T =
1
2
N∑
i=1
miṙi
2. (4.17)
31Recordemos que las velocidades q̇j son independientes de las coordenadas qj . Hay una relación diferencial
entre ellas, pero no funcional. Este es un resultado f́ısico debido a que la segunda ley de Newton es una ecuación
diferencial de segundo orden, por lo tanto es necesario determinar por separado coordenadas y velocidades, y las
últimas no pueden deducirse de las primeras.
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Veamos qué podemos hacer con el segundo término de (4.13): calculemos la derivada total de la
derivada parcial, teniendo en cuenta sus dependencias en coordenadas generalizadas y tiempo,
d
dt
(
∂ri
∂qj
)
=
n∑
k=1
∂2ri
∂qk∂qj
q̇k +
∂2ri
∂t∂qj
. (4.18)
Encontramos que podemos intercambiar la derivada parcial por la derivada total ya que al
derivar (4.14)
∂
∂qj
(
dri
dt
)
≡ ∂ṙi
∂qj
=
n∑
k=1
∂2ri
∂qj∂qk
q̇k +
∂2ri
∂qj∂t
, (4.19)
vale
d
dt
∂ri
∂qj
=
∂ṙi
∂qj
, (4.20)
bajo la condición que las derivadas cruzadas de las relaciones constitutivas sean iguales. Reem-
plazamos en el segundo término de (4.13) y obtenemos una expresión donde aparece otra vez la
enerǵıa cinética
N∑
i=1
miṙi ·
∂ṙi
∂qj
=
N∑
i=1
mi
∂
∂qj
(
ṙ2i
2
)
=
∂T
∂qj
. (4.21)
Usando (4.16) y (4.21) logramos entonces escribir el término que nos ocupa de una manera
compacta, solo en término de la enerǵıa cinético, como
N∑
i=1
mir̈i ·
∂ri
∂qj
=
d
dt
∂T
∂q̇j
− ∂T
∂qj
.
Repetimos la expresión del principio de D’Alembert (4.11):
n∑
j=1
[
Qj −
N∑
i=1
mir̈i ·
∂ri
∂qj
]
δqj = 0.
Reemplazando el segundo término en el paréntesis llegamos a la siguiente expresión del principio
de D’Alembert:
n∑
j=1
[
Qj −
(
d
dt
∂T
∂q̇j
− ∂T
∂qj
)]
δqj = 0. (4.22)
4.3. Ecuaciones de Lagrange
Llegamos a la forma (4.22) del principio de D’Alembert sin imponer ninguna restricción f́ısi-
ca, por lo tanto esa expresión es válida para cualquier sistema mecánico. Veremos ahora cómo
obtener ecuaciones de movimientos más compactas y prácticas, pagando el precio de restringir-
nos en el tipo de sistemas que podemos estudiar.
Sistemas holónomos
Primero nos limitaremos a los sistemas holónomos, sabemos que en estos sistemas existe el
mismo número de coordenadas generalizadas que de grados de libertad. De hecho, cada coorde-
nadas generalizada representa fielmente a un grado de libertad. En los sistemas holónomos las
coordenadas generalizadas son linealmente independientes entre śı, por lo tanto también lo serán
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	Ecuaciones de Lagrange
	Principio de D'Alembert
	Deducción de las ecuaciones de Lagrange
	Ecuaciones de Lagrange
	pbs@ARFix@51: 
	pbs@ARFix@52:pbs@ARFix@53: 
	pbs@ARFix@54: 
	pbs@ARFix@55: 
	pbs@ARFix@56: 
	pbs@ARFix@57: