Mecanica Clasica 2022-58-72

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sus desplazamientos virtuales {δqj}: si podemos variar cada coordenada independientemte de
las demás, con más razón podemos desplazar infinitesimalmente una coordenada sin importar
los desplazamientos de las otras.
Bajo la condición de independencia lineal de los desplazamientos δq vemos que la ecuación
(4.22) sólo tiene solución cuando se anula, por separado, cada coeficiente de los que están entre
corchetes. Pasamos de la ecuación (4.22) al sistema de n ecuaciones 32:
d
dt
∂T
∂q̇j
− ∂T
∂qj
= Qj j = 1, · · · , n. (4.23)
Notemos que hay tantas ecuaciones como grados de libertad tenga el sistema. Teniendo en
cuenta que T depende de las velocidades generalizadas q̇, la derivada total respecto del tiempo
hará que aparezcan derivadas segundas de las coordenas generalizadas (aceleraciones generali-
zadas q̈). Por lo tanto, las ecuaciones anteriores son un sistema de n ecuaciones diferenciales de
segundo orden que permiten determinar las n funciones incógnita qj . Por supuesto, al ser ecua-
ciones diferenciales de segundo orden, debemos imponer condiciones inicales a las coordenas y
velocidades generalizadas para obtener una única solución al problema.
Vemos que en estas ecuaciones de movimiento la enerǵıa cinética juega un rol central. ¿Cómo
se obtiene T?
1. Para un sistema de N part́ıculas la enerǵıa cinética es
T =
1
2
N∑
i=1
miṙ
2
i .
2. Escribimos las relaciones constitutivas que definen r en función de las coordenadas gene-
ralizadas (y puede ser el tiempo también)
ri = ri(q, t).
3. Calculamos las velocidades de las part́ıculas en función de coordenadas y velocidades
generalizadas
ṙi(q̇, q, t) =
n∑
l=1
∂ri
∂ql
q̇l +
∂ri
∂t
.
4. Reemplazamos estas velocidades en la definición de la enerǵıa cinética y obtenemos en-
tonces una expresión para la enerǵıa cinética en término de las coordenadas y velocidades
generalizadas
T (q̇, q, t).
Esta función es la que se deriva parcialmente en las ecuaciones de movimiento (4.23).
Ejemplo 4.2 (Péndulo simple). Veamos la ecuación de movimiento (4.23) para el péndulo
simple. El péndulo tiene un único grado de libertad que representamos mediante el ángulo θ. La
ecuación de movimiento es
d
dt
∂T
∂θ̇
− ∂T
∂θ
= Qθ.
32En algunos libros llaman a éstas como las ecuaciones de Lagrange de primera especie. Nosotros no usaremos
ese nombre.
58
Para encontrar la enerǵıa cinética seguimos los pasos enunciados arriba. La relación constitutiva
es
r(θ) = (l sin θ, l cos θ),
derivando esta relación se obtiene la velocidad
ṙ(θ̇, θ) = lθ̇(cos θ,− sin θ)
y la enerǵıa cinética es
T (θ̇, θ) =
1
2
mṙ2 =
1
2
ml2θ̇2.
Calculamos las derivadas que aparecen en la ecuación de movimiento
∂T
∂θ̇
= ml2θ,
d
dt
∂T
∂θ̇
= ml2θ̈,
∂T
∂θ
= 0.
Por otro lado, la fuerza generalizada es
Qθ = P ·
∂r
∂θ
= −mgl sin θ.
Finalmente, llegamos a la ecuación de movimiento correspondiente al péndulo simple
ml2θ̈ = −mgl sin θ.
Sistemas conservativos. Sistemas monogénicos
Hasta ahora tenemos las ecuaciones de movimiento
d
dt
∂T
∂q̇j
− ∂T
∂qj
= Qj j = 1, · · · , n. (4.24)
En ellas existe una marcada asimetŕıa: por un lado tenemos una función escalar, la enerǵıa
cinética T , por otro lado seguimos teniendo las fuerzas y vectores que aparecen expĺıcitamente
en las fuerzas generalizadas Qj . Cuando todas las fuerzas que no son de v́ınculo son conservativas
podemos llegar a ecuaciones de movimiento más compactas y deducidas a partir de una única
función escalar.
Sea V la enerǵıa potencial o potencial 33 cuyo gradiente es la fuerza F (nv)
F
(nv)
i = −∇iV (r1, r2, · · · , rN ) (4.25)
V depende únicamente de los N vectores posición de las part́ıculas pero no de sus velocidades,
como toda enerǵıa potencial. Reemplazamos el gradiente en la fuerza generalizada Qj
Qj =
N∑
i=1
F
(nv)
i ·
∂ri
∂qj
= −
N∑
i=1
∇iV ·
∂ri
∂qj
. (4.26)
Usando las relaciones constitutivas podemos expresar el potencial en función de las coordenadas
generalizadas (y eventualmente el tiempo)
V = V (r1(q, t), r2(q, t), · · · , rN (q, t)).
33Si las fuerzas son conservativas, V puede considerársela como una enerǵıa potencial, sin embargo, en la
próximo clase veremos casos más generales y de alĺı que a V se lo denomine como ’potencial’ a secas.
59
Calculemos la derivada del potencial respecto a la coordenada qj :
∂V
∂qj
=
N∑
i=1
∇iV ·
∂ri
∂qj
. (4.27)
Comparando con (4.26) vemos que
Qj = −
∂V
∂qj
. (4.28)
Resulta entonces que las fuerzas generalizadas pueden considerarse el gradiente (generalizado)
de la función potencial V . Las ecuaciones de movimiento generalizadas van quedando
d
dt
∂T
∂qj
− ∂T
∂qj
= −∂V
∂qj
, j = 1, · · · , n. (4.29)
Como el potencial no depende de las velocidades ṙ tampoco dependerá de las velocidad genera-
lizadas q̇. Por lo tanto trivialmente vale
∂V
∂q̇j
= 0 y
d
dt
∂V
∂q̇j
= 0,
y la fuerza generalizada se puede reescribir como
Qj =
d
dt
∂V
∂q̇j
− ∂V
∂qj
. (4.30)
Para el formalismo de Lagrange lo que importa del potencial es que permita expresar a
la fuerza generalizada tal como en (4.30). Como vimos, esto se puede lograr siempre para
las fuerzas conservativas. También se puede lograr dicha expresión para ciertas fuerzas que
no son conservativas. Teniendo en cuenta esto, Lanczos introduce la siguiente clasificación
de las fuerzas: si F (nv) es tal que existe una función V (q, q̇, t) de las coordenadas y de
las velocidades generalizadas que satisface Qj =
d
dt
∂V
∂q̇j
− ∂V∂qj entonces la llamamos fuerza
monogénica. Caso contrario, la denominamos fuerza poligénica.
Reemplazamos (4.30) en las ecuaciones de movimiento (4.23) tenemos
d
dt
∂T
∂q̇j
− ∂T
∂qj
=
d
dt
∂V
∂q̇j
− ∂V
∂qj
, j = 1, · · · , n. (4.31)
Definimos ahora la función lagrangeana L como 34
L(q̇, q, t) ≡ T − V (4.32)
Con esta definición las ecuaciones de movimiento (4.31) resultan
d
dt
∂L
∂q̇j
− ∂L
∂qj
= 0, j = 1. · · · , n (4.33)
34A L se la llama de manera indistinta como ’la función lagrangeana’, ’la función de Lagrange’, ’la lagrangeana’,
arbitrariamente se suele cambiar ’lagrangeana’ por ’lagrangiana’ y también parece ser arbitrario el género, de hecho
es más frecuente hablar de ’el lagrangiano’. Elija la variante que más le guste!
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Estas son las famosas ecuaciones de Lagrange 35 y su obtención en 1788 constituye uno de
los hitos de la historia de la F́ısica.
L es una función de las coordenadas, velocidades generalizadas y del tiempo. Cuando se la
deriva parcialmente no cambian esas dependencias, pero al derivar totalmente respecto al tiempo,
aparecen aceleraciones generalizadas q̈. Por lo tanto, las ecuaciones de Lagrange constituyen un
sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.
Notemos que una vez calculadas las enerǵıas cinética y potencial en función de coordenadas
y velocidades generalizadas, el proceso para encontrar las ecuaciones de movimiento es directo
y simple (aunque puede resultar tedioso): armamos la lagrangeana y derivamos parcial y total-
mente. Por lo tanto, el esfuerzo real para encontrar las ecuaciones de movimiento se limita a
escribir T y V en función de q y q̇.
Repasemos las condiciones impuestas para la obtención de las ecuaciones de Lagrange
Coordenadas generalizadas independientes: necesitamos que los v́ınculos sean holónomos
para poder trabajar con n coordenadas generalizadas independientes. Si hubiese v́ınculos
no holónomos, las variaciones de las coordenadas generalizadas no son independientes y
no pueden deducirse estas ecuaciones, ya que en (4.11) usamos desplazamientos virtuales
linealmente independientes.
Fuerzas monogénicas: consideramos únicamente el caso de fuerzas F (nv) que nos permitan
escribir a las fuerzas generalizadas como derivadas del potencial, Qj =
d
dt
∂V
∂q̇j
− ∂V∂qj . Si hay
fuerzas poligénicas en un sistema holónomo tenemos que usar las ecuaciones (4.23), las
cuales implican evaluar expĺıcitamente las fuerzas generalizadas en término de las fuerzas
actuantes.
Puedeocurrir que en un sistema actúen fuerzas mono- y poligénicas, simultáneamente
(por ejemplo, una masa unida a un resorte que se mueve sobre una superficie rugosa: la
fuerza elástica deriva de un potencial, mientras que el rozamiento no). En tal caso la fuerza
generalizada se puede descomponer en dos: una parte que derive de un potencial V y otra
parte que sea imposible derivar de un potencial. Las ecuaciones de Lagrange en este caso
se escribirán como
d
dt
∂L
∂q̇j
− ∂L
∂qj
= Qpolij , j = 1, · · · , n, (4.34)
donde L = T − V contiene al potencial asociado a las fuerzas monogénicas, mientras que
las “fuerzas generalizadas poligénicas” tienen la expresión
Qpolij =
N∑
i=1
F
(poligenica)
i ·
∂ri
∂qj
. (4.35)
Ejemplo 4.3 ( Péndulo doble coplanar). Calculemos las ecuaciones de Lagrange para el péndulo
doble coplanar de la figura 4.1. Debemos calcular sus enerǵıas cinética y potencial en función
de las coordenadas y velocidades generalizadas, para formar la función lagrangeana. El péndulo
tiene dos grados de libertad. Como coordenadas generalizadas tomamos los ángulos θ1 y θ2. Las
relaciones constitutivas son
r1 = (l1 sin θ1, l1 cos θ1), (4.36)
r2 = r1 + (l2 sin θ2, l2 cos θ2) = (l1 sin θ1 + l2 sin θ2, l1 cos θ1 + l2 cos θ2). (4.37)
35También se las denomina ecuaciones de Euler-Lagrange por razones que veremos en otra clase.
61
m
1
m
2
θ
1
θ
2
l
1
l
2
y
x
Figura 4.1: Péndulo doble coplanar.
Las velocidades de las dos masas en término de las variables dinámicas {θ1, θ2, θ̇1, θ̇2} las obte-
nemos calculando la derivada total respecto del tiempo de ambas relaciones constitutivas:
ṙ1 = l1θ̇1(cos θ1,− sin θ1), (4.38)
ṙ2 = l1θ̇1(cos θ1,− sin θ1) + l2θ̇2(cos θ2,− sin θ2). (4.39)
La enerǵıa cinética del péndulo doble es
T =
1
2
m1ṙ
2
1 +
1
2
m2ṙ
2
2 =
1
2
(m1 +m2)l
2
1θ̇
2
1 +
1
2
m2l
2
2θ̇
2
2 +m2l1l2 cos(θ1 − θ2)θ̇1θ̇2. (4.40)
La enerǵıa potencial de las dos masas es solamente gravitatoria y se escribe en término de
las coordenadas generalizadas como
V = −m1gy1 −m2gy2 = −(m1 +m2)gl1 cos θ1 −m2gl2 cos θ2. (4.41)
Obtenemos aśı la lagrangeana
L = T − V = 1
2
(m1 +m2)l
2
1θ̇
2
1 +
1
2
m2l
2
2θ̇
2
2 +m2l1l2 cos(θ1 − θ2)θ̇1θ̇2+
+(m1 +m2)gl1 cos θ1 +m2gl2 cos θ2.
Calculamos las derivadas parciales necesarias y llegamos a las dos ecuaciones de Lagrange
d
dt
∂L
∂θ̇1
− ∂L
∂θ1
= (m1 +m2)l
2
1θ̈1 +m2l1l2 cos(θ1 − θ2)θ̈2 +
+m2l1l2 sin(θ1 − θ2)θ̇22 + (m1 +m2)gl1 sin θ1 = 0,
d
dt
∂L
∂θ̇2
− ∂L
∂θ2
= m2l
2
2θ̈2 +m2l1l2 cos(θ1 − θ2)θ̈1 −
−m2l1l2 sin(θ1 − θ2)θ̇21 +m2gl2 sin θ2 = 0.
Estas ecuaciones son no lineales y no tienen solución anaĺıtica de manera general. Anaĺıtica-
mente pueden resolverse en el ĺımite de pequeñas oscilaciones alrededor del punto de equilibrio
θeq1 = θ
eq
2 = 0, es decir cuando θ1, θ2 � 1. En dicho ĺımite el movimiento general es la simple
superposición de dos movimientos armónicos simples conocidos como ’modos normales’. Este
sistema presenta además un régimen caótico cuando sus condiciones se apartan lo suficiente del
ĺımite anterior, para acceder a este régimen es necesario recurrir a la resolución numérica de
las ecuaciones.
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Ecuaciones de Lagrange en término de los śımbolos de Christoffel
Consideremos un sistema mecánico de los usuales: todos los v́ınculos esclerónomos, todas las
fuerzas monogénicas y el potencial dependiente solamente de las coordenadas. Es decir, con una
función de Lagrange de la forma
L = T (q̇, q)− V (q). (4.42)
Como el tiempo no aparece en las relaciones constitutivas, la velocidad de cada part́ıcula se
simplifica:
ṙi =
n∑
l=1
∂ri
∂ql
q̇l, (4.43)
y la enerǵıa cinética depende cuadráticamente de las velocidades generalizadas
T =
1
2
N∑
i=1
miṙ
2
i =
1
2
n∑
l,k=1
alk(q)q̇lq̇k, (4.44)
donde los coeficientes alk son funciones de las coordenadas generalizadas y tienen la expresión
alk(q) =
N∑
i=1
∂ri
∂ql
· ∂ri
∂qk
. (4.45)
De aqúı resulta que son simétricos, alk = akl. Con la expresión (4.44) de la enerǵıa cinética
podemos calcular sus derivadas parciales y totales:
∂T
∂q̇j
=
n∑
k=1
ajkq̇k, (4.46)
d
dt
∂T
∂q̇j
=
n∑
k=1
ajkq̈k +
n∑
l,k=1
∂ajk
∂ql
q̇lq̇j , (4.47)
∂T
∂qj
=
1
2
n∑
l,k=1
∂akl
∂qj
q̇lq̇j . (4.48)
Usando estas derivadas y acomodando un poco los sub́ındices resulta
d
dt
∂T
∂q̇j
− ∂T
∂qj
=
m∑
k=1
ajkq̈k +
1
2
n∑
l,k=1
[
∂alj
∂qk
+
∂ajk
∂ql
− ∂akl
∂qj
]
q̇lq̇k ≡ (4.49)
≡
m∑
k=1
ajkq̈k +
n∑
l,k=1
Γjklq̇lq̇k, (4.50)
donde hemos definido los śımbolos de Christoffel (los cuales son important́ısimos en la teoŕıa de
la Relatividad General):
Γjkl =
1
2
[
∂alj
∂qk
+
∂ajk
∂ql
− ∂akl
∂qj
]
. (4.51)
Las ecuaciones de Lagrange para este sistema son entonces (estamos teniendo en cuenta que V
no depende de las velocidades generalizadas)
m∑
k=1
ajkq̈k +
n∑
l,k=1
Γjklq̇lq̇k +
∂V
∂qj
= 0, j = 1, · · · , n. (4.52)
63
Cuando V = 0 las ecuaciones de arriba determinan las curvas geodésicas en el espacio de
configuración. Una geodésica es la curva de menor longitud que une dos puntos, por ejemplo, en
un espacio eucĺıdeo las geodésicas son rectas. Más sobre el tema lo veremos al tratar el principio
de Hamilton.
En esta clase vimos que:
El principio de los trabajos virtuales nos permitió llegar al principio de D’Alembert
N∑
i=1
(
F
(nv)
i − ṗi
)
δri = 0,
el cual permite resolver la dinámica de cualquier sistema mecánico. Su ventaja es que
no entran en juego las fuerzas de v́ınculo. Sus desventajas son: i) la teoŕıa sigue siendo
de carácter vectorial; ii) en una simple ecuación están ’escondidas’ todas las ecuaciones
de movimiento. Es necesario en cada caso particular encontrar dichas ecuaciones.
Si el sistema es holónomo llegamos a ecuaciones de movimiento de la forma
d
dt
∂T
∂q̇j
− ∂T
∂qj
= Qj j = 1, · · · , n.
Ventaja: no hay fuerzas de v́ınculo, hay una ecuación de movimiento por cada grado de
libertad. Desventaja: seguimos con una teoŕıa vectorial (en parte) y se debe trabajar
directamente con las fuerzas.
Si el sistema es holónomo y las fuerzas son monogénicas llegamos a las ecuaciones de
Lagrange:
d
dt
∂L
∂q̇j
− ∂L
∂qj
= 0 j = 1, · · · , n.
Por cada grado de libertad tenemos una ecuación diferencial, obtenible a partir de la
función escalar lagrangeana
L(q̇, q, t) = T − V.
Encontrar las ecuaciones de movimiento se vuelve un asunto sencillo, se reduce a
derivar la lagrangeana. Por supuesto, el esfuerzo ahora debe concentrarse en calcular
L en término de las coordenadas, velocidades generalizadas y eventualmente el tiempo.
64
5. Potenciales Generalizados
Dicen que sos eléctrica porque
todo lo que tocas lo cargas
Fricción
En la clase anterior obtuvimos las ecuaciones de movimiento de Lagrange
d
dt
(
∂L
∂q̇j
)
− ∂L
∂qj
= 0 j = 1, · · · , n; (5.1)
a partir del principio de D’Alembert
N∑
i=1
(
F
(nv)
i − ṗi
)
δri = 0. (5.2)
Mientras que el principio de D’Alembert puede aplicarse a cualquier sistema mecánico, tu-
vimos que suponer un par de condiciones para obtener las ecuaciones de Lagrange:
Todos los v́ınculos deben ser holónomos, es decir, las ecuaciones de Lagrange aplican a sis-
temas holónomos. Para este tipo de sistemas los desplazamientos virtuales {δqj}nj=1 pueden
ser elegidos arbitrariamente porque las coordenadas generalizadas no están restringidas.
Los desplazamientos son entonces linealmente independientes (no podemos escribir uno en
función de otros), lo que que nos permitió obtener una ecuación de Lagrange asociada con
cada grado de libertad o coordenada generalizada.
Las fuerzas que no son de v́ınculo se obtienen a partir de una función escalar potencial que
depende únicamente de las posiciones V = V (r), F (nv) = −∇V (r). En el sentido usual,
decimos entonces que las fuerzas son conservativas y que el potencial V es la enerǵıa
potencial del sistema. Por otro lado, lo que nos importa aqúı no es la conservación de
la enerǵıa, sino el hecho que las fuerzas generalizadas puedan ser obtenidas mediantela
derivación de una función potencial. En los sistemas conservativos ello ocurre naturalmente.
Ambas son condiciones suficientes para la obtención de las ecuaciones de Lagrange, pero no
necesarias. Por un lado, veremos más adelante que las ecuaciones de Lagrange pueden modificarse
para tratar determinado tipo de v́ınculo no holónomo (por ejemplo, rodadura perfecta en el
plano), mediante el método de multiplicadores de Lagrange. Por otra parte, en esta clase veremos
un ejemplo concreto de sistema en el cual la fuerza se obtiene a partir de un potencial generalizado
U que depende de la posición y de la velocidad. A este potencial generalizado se lo debe pensar
como una cantidad auxiliar, sin significado f́ısico, que permite obtener la fuerza y no está asociado
a una enerǵıa potencial. El sistema del que hablamos es el caso de una part́ıcula cargada en un
campo electromagnético arbitrario en cuanto a sus dependencias espacial y temporal; dada
la importancia de este sistema lo veremos en detalle. Para empezar recordaremos brevemente
las ecuaciones de Maxwell, introduciremos potenciales electromagnéticos, para luego deducir
el potencial generalizado U dependiente de posición y velocidad. Vale destacar que la función
hamiltoniana (que veremos en otra clase) correspondiente a este problema es el punto de partida
para la modelización microscópica de las propiedades electromagnéticas de la materia.
Siguiendo a Lanczos llamamos fuerzas monogénicas a aquellas que derivan de un potencial,
independientemente de la conservación de enerǵıa y/o del significado f́ısico del potencial. A las
fuerzas que no son derivable de potencial alguno, como la fuerza de roce, las denominamos
poligénicas.
Antes de ir a potenciales generalizados que dependen de las velocidades, hacemos una leve
generalización de la enerǵıa potencial, incorporando la dependencia del tiempo.
65
5.1. Potenciales dependientes del tiempo
Para expresar la fuerza generalizada como Qj = −∂V /∂qj , supusimos que las fuerzas que no
son de v́ınculo eran conservativas. Este adjetivo ’conservativa’ viene del simple hecho que si las
fuerzas son conservativas entonces tenemos conservación de la enerǵıa, enerǵıa que es la suma
de la cinética y de la enerǵıa potencial. Es el gradiente de esa misma enerǵıa potencial, V , la
que nos permite calcular la fuerza.
Esta condición que liga a las fuerzas conservativas con la conservación de la enerǵıa puede no
ser siempre cierta. Podemos imaginar sistemas en los cuales la enerǵıa potencial depende expĺıci-
tamente del tiempo, V = V (q, t). En estos sistemas decimos que la fuerza es ’instantáneamente’
conservativa, significando que el trabajo que realiza la fuerza cuando la part́ıcula se mueve del
punto 1 al punto 2 es independiente del camino únicamente si consideramos el tiempo fijo. Bajo
esta condición puede verse que la fuerza sigue siendo el gradiente de una enerǵıa potencial, pero
que ahora dependerá del tiempo, y que la enerǵıa del sistema es la suma de la enerǵıa cinética
y de esta enerǵıa potencial dependiente del tiempo.
Veamos algunos ejemplos de estos sistemas. En un péndulo de Ehrenfest, en el cual el largo
de la cuerda que une a la masa con el punto de suspensión vaŕıa de una manera determinada por
algún agente externo. En este caso la enerǵıa potencial gravitatoria es V (θ, t) = −mgl(t) cos θ,
depende expĺıcitamente del tiempo, y la fuerza generalizada es Qθ = −∂V /∂θ = mgl(t) sin θ.
La enerǵıa del péndulo no se conservará porque existe el mecanismo externo que, al estirar o
acortar la cuerda, entrega o retira enerǵıa del sistema.
Otro sistema donde la enerǵıa potencial depen-
de del tiempo es el de un sistema de dos estrellas
que orbitan una alrededor de la otra. Un plane-
ta en dicho sistema binario sentirá la acción de
un potencial gravitatorio que depende expĺıcita-
mente del tiempo. Por supuesto, eso es aśı por-
que estamos aproximando el problema de tres
cuerpos (2 estrellas y 1 planeta): primero resol-
vemos el sistema de dos estrellas y luego agre-
gamos el planeta en el potencial generado por el
sistema binario, despreciando el efecto que pue-
da tener el planeta sobre el movimiento de las
estrellas.
De manera general, cuando aparezca el tiempo expĺıcitamente en la enerǵıa potencial será
porque está actuando sobre nuestro sistema algún agente externo cuyas caracteŕısticas dependen
expĺıcitamente del tiempo, Si nuestro sistema está aislado, por otro lado, no habrá dependencia
expĺıcitamente de tiempo, porque para el sistema aislado el tiempo debe ser homogéneo.
Como la fuerza continua siendo el gradiente de una función de la posición (y ahora del
tiempo), F
(nv)
i = −∇iV (r, t), podemos repetir uno a uno los pasos que nos llevó a las ecuaciones
de Lagrange, sin que nada cambie.
66
5.2. Potencial dependiente de la velocidad: Part́ıcula cargada en un campo
electromagnético
5.2.1. Ecuaciones de Maxwell
Dada una distribución arbitraria de cargas eléctricas caracterizada por la densidad de carga
ρ(r, t) y por la densidad de corriente j(r, t), las ecuaciones de Maxwell permiten calcular el
campo electromagnético E(r, t) y B(r, t) correspondiente36:
Gauss : div E =
ρ
ε0
, (5.3)
Faraday : rot E = −∂B
∂t
, (5.4)
no monopolo : div B = 0, (5.5)
Ampere : rot B = µ0ε0
∂E
∂t
+ µ0j. (5.6)
Como consecuencia de estas leyes, las densidades de carga y de corriente satisfacen la ecuación
de continuidad,
div j +
∂ρ
∂t
= 0. (5.7)
Para cerrar el sistema electromagnético debemos saber cómo actúa el campo electromagnético
sobre las cargas del sistema. Sabemos que la fuerza sobre una carga q es la fuerza de Lorentz:
F (r, t) = qE(r, t) + qṙ ∧B(r, t). (5.8)
En lo que sigue calcularemos la función lagrangeana para una part́ıcula cargada en presencia de
un dado campo electromagnético.
5.2.2. Potenciales vector y escalar
Para calcular el potencial generalizado que nos permita escribir la función lagrangeana de este
sistema es necesario trabajar con ciertas cantidades auxiliares, a las que llamaremos potenciales
vector y escalar, en lugar de trabajar directamente con los campos E y B.
El caracter solenoidal (divergencia nula) del campo magnético (16.124) permite escribirlo
como rotor de otro campo vectorial, al que llamaremos potencial vector A37:
B(r, t) = rot A(r, t). (5.9)
Por ejemplo, si tenemos un campo magnético uniforme en la dirección z, B = Bêz, el potencial
vector puede tomarse como A =
(
−yB2 , xB2 , 0
)
38.
Si reemplazamos el campo magnético por su expresión en término del potencial vector en la
ecuación de inducción,
rot E(r, t) = −∂ rotA(r, t)
∂t
,
intercambiamos la derivada parcial temporal y las derivadas espaciales del rotor,
rot E(r, t) = −rot
(
∂A(r, t)
∂t
)
,
36Usaremos el sistemas de unidades MKS
37En la f́ısica clásica A es una cantidad auxiliar, que no puede medirse directamente, mientras que en la f́ısica
cuántica la presencia de A tiene consecuencias observables. Ver por ejemplo, el efecto Aharonov-Bohm.
38En la sección 5.2.4 veremos que para cada campo B existen infinitos potenciales vector A posibles, que no
difieren entre ellos simplemente en una constante.
67
y juntamos los dos rotores, llegamos a que la ecuación de inducción de Faraday (16.123) es
rot
(
E(r, t) +
∂A(r, t)
∂t
)
= 0. (5.10)
El campo vectorial encerrado entre paréntesis es irrotacional, por lo tanto puede escribirse como
gradiente de un campo escalar φ(r, t), el denominado potencial eléctrico o escalar:
E(r, t) +
∂A(r, t)
∂t
= −∇φ(r, t). (5.11)
Logramos entonces escribir los campos electromagnéticos de manera general en término de dos
potenciales, uno vector y otro escalar:
B(r, t) = rot A(r, t), (5.12)
E(r, t) = −∇φ(r, t)− ∂A(r, t)
∂t
. (5.13)
5.2.3. Fuerza de Lorentz y potencial generalizado
Vamos a considerar una part́ıcula cargada que no está sujeta a ninguna ligadura, y tomamos
las tres coordenadas cartesianas como coordenadas generalizadas, es decir, q1 = x,q2 = y y
q3 = z. Recordemos que pudimos armarnos la función lagrangeana gracias a sumar a la fuerza
generalizada un cero escrito de manera complicada como ddt
∂V
∂q̇j
Encontraremos que para el caso de la part́ıcula cargada en un campo electromagnético, la
fuerza generalizada Qj
39 se obtiene de un potencial ’generalizado’ U mediante la expresión
Qj =
d
dt
∂U
∂q̇j
− ∂U
∂qj
, (5.14)
ahora, a diferencia de lo que hicimos al obtener las ecuaciones de Lagrange, el primer término
que involucra derivada respecto a q̇j , no será trivialmente cero, porque el potencial generalizado
dependerá expĺıcitamente de la velocidad (de otra forma no podŕıamos obtener la fuerza de
Lorentz que depende de la velocidad de la part́ıcula).
En concreto, necesitamos encontrar una función U(ṙ, r, t) tal que las componentes de la
fuerza se escriban
Fx ≡ qEx + q (ṙ ∧B)x =
d
dt
∂U
∂ẋ
− ∂U
∂x
,
Fy ≡ qEy + q (ṙ ∧B)y =
d
dt
∂U
∂ẏ
− ∂U
∂y
, (5.15)
Fz ≡ qEz + q (ṙ ∧B)z =
d
dt
∂U
∂ż
− ∂U
∂z
.
Para lograr esto debemos trabajar con cantidades auxiliares, los potenciales, y no directamente
con los campos electromagnéticos E y B.
La fuerza sobre la part́ıcula cargada en término de potenciales es entonces
F = −q∇φ− q∂A
∂t
+ qṙ ∧ rot A (5.16)
39Como elegimos coordenadas cartesianas como las generalizadas, las fuerzas generalizadas coinciden con las
componentes cartesianas de la fuerza, por ejemplo, Q1 = Fx.
68
Como el rotor de A es el producto vectorial del operador diferencial ∇ y el vector A, el tercer
término de la expresión anterior es un doble producto vectorial. Lo podemos reescribir usando
la siguiente identidad vectorial:
a ∧ (b ∧ c) =
3∑
j=1
aj b cj − (a · b)c. (5.17)
a, b, y c son tres vectores, la fórmula es válida aún cuando uno de esos vectores es un operador,
como en el caso del rotor. En dicho caso, cuando aparezcan operadores diferenciales, se debe
tener el cuidado de no cambiar el orden en el que aparecen a, b y c en la identidad anterior.
Identificamos a→ ṙ, b→ ∇ y c→ A y obtenemos entonces
ṙ ∧ rot A =
3∑
j=1
ṙj∇Aj − (ṙ · ∇)A. (5.18)
Por ejemplo, la componente x es
(ṙ ∧ rot A)x =
3∑
j=1
ṙj
∂Aj
∂x
− (ṙ · ∇)Ax =
= ẋ
∂Ax
∂x
+ ẏ
∂Ay
∂x
+ ż
∂Az
∂x
− ẋ∂Ax
∂x
− ẏ ∂Ax
∂y
− ż ∂Ax
∂z
.
En el primer término en (5.18) podemos meter la velocidad dentro del operador gradiente, ya
que el gradiente deriva parcialmente respecto a las coordenadas y no respecto a las velocidades
(recordemos que, debido a que las ecuaciones de la mecánica son ecuaciones diferenciales de
segundo orden, las velocidades son funcionalmente independientes de las posiciones). Nos queda
entonces
ṙ ∧ rot A = ∇ (ṙ ·A)− (ṙ · ∇)A. (5.19)
El segundo término
(ṙ · ∇)A =
(
ẋ
∂
∂x
+ ẏ
∂
∂y
+ ż
∂
∂z
)
A =
∂A
∂x
dx
dt
+
∂A
∂y
dy
dt
+
∂A
∂z
dz
dt
(5.20)
tiene la forma de una derivada calculada mediante la regla de la cadena. En efecto, es una parte
de la variación del potencial vector que actúa sobre la part́ıcula. La part́ıcula se mueve a lo
largo de una trayectoria dada por la ley horaria r(t), entonces el potencial vector que “ve” la
part́ıcula en el instante t es A(r(t), t). Si calculamos el cambio del campo A que ve la part́ıcula
al moverse, debemos calcular su derivada total respecto del tiempo
dA
dt
=
∂A
∂x
ẋ+
∂A
∂y
ẏ +
∂A
∂z
ż +
∂A
∂t
(5.21)
Otra vez, las velocidades pueden incluirse dentro de las derivadas parciales respecto a las coor-
denadas, y nos queda
dA
dt
= (ṙ · ∇)A+ ∂A
∂t
(5.22)
Notemos que el primer término en (5.22) es igual al segundo término en (5.19), por lo tanto
reemplazando en (5.19) llegamos a
ṙ ∧ rot A = ∇ (ṙ ·A)− dA
dt
+
∂A
∂t
(5.23)
69
La fuerza resulta
F = −q∇φ− q∂A
∂t
+ q∇ (ṙ ·A)− q dA
dt
+ q
∂A
∂t
= (5.24)
= −q∇φ+ q∇ (ṙ ·A)− q dA
dt
= −∇ (qφ− qṙ ·A)− q dA
dt
.
Miremos una componente, por ejemplo la x,
Fx = −
∂
∂x
(qφ− qṙ ·A)− q dAx
dt
La parte de la derivada respecto a las coordenadas tiene la forma buscada en (5.15) si identifi-
camos al potencial U con
U = qφ− qṙ ·A (5.25)
Nos preguntamos si la otra parte, dAx/dt corresponderá al otro término. Veamos. Cuando cal-
culamos la derivada parcial de U respecto a las velocidades, la única contribución viene de la
dependencia expĺıcita en ṙ, porque ninguno de los dos potenciales depende de la velocidad, por
lo tanto
∂U
∂ẋ
= −qAx
y llegamos a
d
dt
∂U
∂ẋ
= −q dAx
dt
. (5.26)
Por lo tanto, vale efectivamente que
Fx = −
∂U
∂x
+
d
dt
∂U
∂ẋ
, (5.27)
de manera análoga para las componentes y y z de la fuerza electromagnética. Por lo tanto hemos
encontrado un potencial generalizado U
U(ṙ, r, t) = qφ(r, t)− qṙ ·A(r, t) (5.28)
el cual nos da la fuerza generalizada escrita en la forma buscada (5.15).
La función lagrangeana de una part́ıcula cargada en un campo electromagnético entonces es
L(ṙ, r, t) =
1
2
mṙ2 − qφ(r, t) + qṙ ·A(r, t)− V (r, t) (5.29)
donde V es algún otro potencial que podŕıa existir actuando sobre la part́ıcula (gravitatorio,
elástico, por ejemplo).
Un comentario sobre el uso de coordenadas generalizadas. Para obtener el potencial gene-
ralizado por simplicidad usamos las coordenadas cartesianas de la part́ıcula. Una vez obtenida
la forma del potencial (5.28), podemos hacer una transformación de coordenadas a cualquier
otro conjunto de coordenadas generalizadas y las ecuaciones de Lagrange que obtendremos son
equivalentes a las originales en coordenadas cartesianas. En la próxima clase veremos con detalle
estas transformaciones de coordenadas.
70
5.2.4. Transformación de gauge 40 de los potenciales
Dećıamos que los potenciales vector A y escalar φ son cantidades auxiliares. En lo que sigue
encontraremos que dado un campo electromagnético, existen infinitos potenciales equivalentes
que dan el mismo campo, donde la diferencia entre los potenciales equivalentes no es una simple
constante como ocurre con la enerǵıa potencial.
El campo magnético está relacionado con el potencial vector mediante la operación rotor,
B = rot A,
por lo tanto al potencial vector le podemos sumar el gradiente de una función de la posición y
del tiempo χ(r, t) arbitraria,
A→ A′ = A+∇χ, (5.30)
sin cambiar el valor del campo B. Es decir,
B′ = rot A′ = rot A = B.
Sin embargo, śı cambia el campo eléctrico:
E′ = −∇φ− ∂A
′
∂t
6= −∇φ− ∂A
∂t
= E.
Podemos solucionar esta falta de invariancia del campo eléctrico si al mismo tiempo que cam-
biamos el potencial vector hacemos lo mismo con el potencial escalar, φ→ φ′. Vemos que si
φ′ = φ− ∂χ
∂t
entonces tampoco cambia el campo eléctrico.
E′ = ∇φ′ − ∂A
′
∂t
= −∇φ− ∂A
∂t
+∇∂χ
∂t
− ∂∇χ
∂t
= E,
para llegar a esta igualdad de campos pedimos que χ(r, t) se comporte matemáticamente bien
para poder intercambiar derivadas parciales temporal y espacial en la expresión anterior.
La transformación
A → A′ = A+∇χ, (5.31)
φ → φ′ = φ− ∂χ
∂t
, (5.32)
se llama transformación de gauge de los potenciales electromagnéticos. El campo electro-
magnético es el que tiene significado f́ısico al ser medible y no cambia con la transformación
de gauge; es decir, los pares (φ,A) y (φ′,A′) dan los mismos campos eléctrico y magnético.
Decimos que el campo electromagnético es invariante de gauge. La idea de transformación
e invariancia de gauge es central en la teoŕıa de campos cuánticos, podemos decir sin exa-
gerar que juega un rol tan importante como la isotroṕıa y la homogeneidad del espacio y
la homogeneidad del tiempo.
Remarcamos que la función χ depende de la posición y del tiempo (no de la velocidad) y es
arbitraria excepto por la condición de que sus derivadas parciales cruzadas sean iguales.
40El término gauge –se pronuncia geish– significa medida o calibración, por lo tanto también se conoce a esta
transformación como ’de medida’, aunque ’transformación de gauge’ es de uso much́ısimo más frecuente.
71
5.2.5. Transformaciones de gauge de la función lagrangeana
Encontramos antes que la función lagrangeana generalizada para describir ladinámica de
una part́ıcula cargada es
L =
1
2
mṙ2 − qφ+ qṙ ·A.
Se ve de manera directa que L no es invariante de gauge. Veamos como cambia L cuando pasamos
del par de potenciales (φ,A) al par (φ′,A′):
L′ =
1
2
mṙ2 − qφ′ + qṙ ·A′ = 1
2
mṙ2 − qφ+ qṙ ·A︸ ︷︷ ︸
L
+q
∂χ
∂t
+ qṙ · ∇χ (5.33)
Teniendo en cuenta que la función de gauge χ depende únicamente de la posición y del tiempo,
los dos últimos términos de la ecuación anterior se escriben como
q
[
∂χ
∂t
+ ṙ · ∇χ
]
=
d(qχ)
dt
, (5.34)
por lo cual la relación entre ambas funciones lagrangeanas es
L′ = L+
d(qχ)
dt
. (5.35)
Podemos comentar dos cosas:
a) Notamos que la lagrangeana cambia con la transformación de gauge mientras los campos
eléctrico y magnético, que son los ’observables’, los que pueden medirse, no lo hacen. Si los
campos ’f́ısicos’ no cambian esperamos que las ecuaciones de movimiento tampoco lo hagan,
sin embargo L cambia de manera no trivial y no es obvio que el término agregado a L, d(qχ)dt ,
no modifique las ecuaciones de Lagrange. Veremos en la próxima sección que efectivamente el
término agregado no modifica para nada las ecuaciones de Lagrange, es un caso particular de lo
que llamaremos transformación de gauge de la función lagrangeana.
b) La diferencia entre L y L′ no es una simple función constante, como χ es arbitraria
podemos decir que esa diferencia también lo es, y además por lo dicho en el apartado anterior,
esa diferencia no modificará las ecuaciones de Lagrange. Deducimos entonces que la función
lagrangeana no es una magnitud f́ısica observable, porque su valor puede modificarse de manera
arbitraria sin modificar la f́ısica del sistema (sin cambiar las ecuaciones de movimiento).
Ejemplo 5.1 (Carga en un campo magnético uniforme). Consideremos el movimiento de una
part́ıcula cargada en un campo magnético uniforme B = Bêz y campo eléctrico nulo. Una posible
elección de potenciales (se dice ’un gauge posible) es: φ1 = 0 y
A1 =
1
2
B ∧ r =
(
−yB
2
,
xB
2
, 0
)
. (5.36)
Otra posible elección (otro gauge) es φ2 = 0,
A2 = (0, xB, 0) , (5.37)
fácilmente se ve que la relación entre ambos potenciales vector es
A1 = A2 +∇χ, χ = −
xyB
2
. (5.38)
72
	Potenciales Generalizados
	Potenciales dependientes del tiempo
	Potencial dependiente de la velocidad: Partícula cargada en un campo electromagnético
	Ecuaciones de Maxwell
	Potenciales vector y escalar
	Fuerza de Lorentz y potencial generalizado
	Transformación de gauge de los potenciales
	Transformaciones de gauge de la función lagrangeana
	pbs@ARFix@58: 
	pbs@ARFix@59: 
	pbs@ARFix@60: 
	pbs@ARFix@61: 
	pbs@ARFix@62: 
	pbs@ARFix@63: 
	pbs@ARFix@64: 
	pbs@ARFix@65: 
	pbs@ARFix@66: 
	pbs@ARFix@67: 
	pbs@ARFix@68: 
	pbs@ARFix@69: 
	pbs@ARFix@70: 
	pbs@ARFix@71: 
	pbs@ARFix@72: