PARCIAL 2G

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UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA 
FACULTAD DE INGENIERÍA 
CICLO BÁSICO 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA 
CÁLCULO I 0251 
 
05-12-2014 
SOLUCIÓN EXAMEN PARCIAL # 2 (20%) 
 
1. Halle el dominio de la función: 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑙𝑎𝑙3(𝑥2 + 2) − 2) + �𝑙𝑙 �
14 − 𝑥2
2𝑥 − 1
� 
 
Para hallar el dominio, procedemos a verificar el conjunto de valores de x para los 
cuales la expresión tiene sentido. 
 
−1 ≤ 𝑙𝑎𝑙3(𝑥2 + 2) − 2 ≤ 1 ⇒ 1 ≤ 𝑙𝑎𝑙3(𝑥2 + 2) ≤ 3 
31 ≤ 3𝑙𝑙𝑙3�𝑥2+2� ≤ 33 ⇒ 3 ≤ 𝑥2 + 2 ≤ 27 ⇒ 1 ≤ 𝑥2 ≤ 25 
1 ≤ 𝑥2 𝑦 𝑥2 ≤ 25 ⇒ �𝑥 ≥ 1 𝑦 𝑥 ≤ −1 ⇒ 
(−∞,−1] ∪ [1, +∞)
−5 ≤ 𝑥 ≤ 5 ⇒ [−5, 5]
 
 
Entonces: [−5,−1] ∪ [1, 5] 
 
La siguiente restricción: 
𝑙𝑙 �
14 − 𝑥2
2𝑥 − 1
� ≥ 0 ⇒
14 − 𝑥2
2𝑥 − 1
≥ 1 ⇒
14 − 𝑥2
2𝑥 − 1
− 1 ≥ 0 
14 − 𝑥2 − (2𝑥 − 1)
2𝑥 − 1
≥ 0 ⇒ 
−𝑥2 − 2𝑥 + 15
2𝑥 − 1
≥ 0 
𝑥2 + 2𝑥 − 15
2𝑥 − 1
≤ 0 ⇒
(𝑥 + 5)(𝑥 − 3)
2𝑥 − 1
≤ 0 
 
Estudio de signos: 
 
Entonces: (−∞,−5] ∪ �1
2
, 3� 
La solución es la intersección de ambos resultados: {−𝟓} ∪ [𝟏,𝟑] 
 
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2. Dada la función: 
𝑙(𝑥) =
𝑒−2𝑥
1 + 𝑒−2𝑥
 
 
a) Determine si es inyectiva y en caso contrario acote el dominio para que admita 
inversa. 
 
Para verificar si es inyectiva se debe verificar que: 
𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) ⇔𝑥1 = 𝑥2 
Entonces: 
𝑒−2𝑥1
1 + 𝑒−2𝑥1
=
𝑒−2𝑥2
1 + 𝑒−2𝑥2
 ⇒ 𝑒−2𝑥1(1 + 𝑒−2𝑥2) = 𝑒−2𝑥2(1 + 𝑒−2𝑥1) 
𝑒−2𝑥1 + 𝑒−2𝑥1−2𝑥2 = 𝑒−2𝑥2 + 𝑒−2𝑥1−2𝑥2 ⇒ 𝑒−2𝑥1 = 𝑒−2𝑥2 
𝐿𝑙 𝑒−2𝑥1 = 𝐿𝑙 𝑒−2𝑥2 ⇒ −2𝑥1 = −2𝑥2 ⇒ 𝑥1 = 𝑥2 
Es inyectiva 
 
b) Halle la regla de correspondencia de 𝑙−1(𝑥) y su dominio. 
𝑦 =
𝑒−2𝑥
1 + 𝑒−2𝑥
 ⇒ 𝑦(1 + 𝑒−2𝑥) = 𝑒−2𝑥 ⇒ 𝑦 + 𝑦𝑒−2𝑥 = 𝑒−2𝑥 
𝑦 = 𝑒−2𝑥 − 𝑦𝑒−2𝑥 ⇒ 𝑦 = 𝑒−2𝑥(1 − 𝑦) ⇒
𝑦
1 − 𝑦
= 𝑒−2𝑥 
𝐿𝑙 �
𝑦
1 − 𝑦
� = 𝐿𝑙 𝑒−2𝑥 ⇒ 𝐿𝑙 �
𝑦
1 − 𝑦
� = −2𝑥 ⇒ 
𝑥 = −
1
2
𝐿𝑙 �
𝑦
1 − 𝑦
� ⇒ 𝑥 = 𝐿𝑙�
1 − 𝑦
𝑦
 
 𝒈−𝟏(𝒙) = 𝑳𝑳�
𝟏 − 𝒙
𝒙
 
El dominio: 
1 − 𝑥
𝑥
> 0 
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Y entonces: 
 𝑫𝒈−𝟏 = (𝟎,𝟏) 
3. Dadas 𝑓(𝑥) = 4
𝑥−1
 y 𝑙(𝑥) = √2𝑥 − 3, determine si es posible hallar 
(𝑓 ∘ 𝑙) y (𝑙 ∘ 𝑓). En caso afirmativo obtenga su regla de correspondencia y 
dominio. 
 
En primer lugar buscamos los dominios y rangos de las funciones 𝑓(𝑥) y 𝑙(𝑥) 
𝐷𝑓 = ℝ − {1} , 𝑅𝑓 = ℝ − {0} 
𝐷𝑙 = � 
3
2
, +∞� , 𝑅𝑙 = ℝ+ ∪ {0} 
 
Para (𝑓 ∘ 𝑙): 
Se verifica si puede componerse: 
𝐷𝑓 ∩ 𝑅𝑙 = ℝ+ − {1} ≠ ∅ ⇒ entonces SI se puede componer. 
 
(𝑓 ∘ 𝑙)(𝑥) = 𝑓�𝑙(𝑥)� = 𝑓�√2𝑥 − 3� = 4
√2𝑥−3−1
 
 
Restricciones de dominio: 
√2𝑥 − 3 − 1 ≠ 0 ⇒ 𝑥 ≠ 2 
2𝑥 − 3 ≥ 0 ⇒ 𝑥 ≥
3
2
 
(𝒇 ∘ 𝒈)(𝒙) =
𝟒
√𝟐𝒙 − 𝟑 − 𝟏
 𝒚 𝑫𝒇∘𝒈 = � 
𝟑
𝟐
,𝟐� ∪ (𝟐, +∞) 
 
Para (𝑙 ∘ 𝑓): 
Se verifica si puede componerse: 
𝐷𝑙 ∩ 𝑅𝑓 = � 
3
2
, +∞� ≠ ∅ ⇒ entonces SI se puede componer. 
 
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(𝑙 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑙�𝑓(𝑥)� = 𝑙 �
4
𝑥 − 1
� = �2 �
4
𝑥 − 1
� − 3
= �
8
𝑥 − 1
− 3 = �
8 − 3(𝑥 − 1)
𝑥 − 1
= �
8 − 3𝑥 + 3
𝑥 − 1
= �
11 − 3𝑥
𝑥 − 1
= �
3 �113 − 𝑥�
𝑥 − 1
 
 (𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙) = �
𝟑�𝟏𝟏𝟑 − 𝒙�
𝒙 − 𝟏
 
 
Para buscar el dominio de (𝑙 ∘ 𝑓) 
3 �113 − 𝑥�
𝑥 − 1
≥ 0 
Estudio de signos: 
 
 
 𝑫𝒈∘𝒇 = �𝟏,
𝟏𝟏
𝟑
� 
 
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4. Construya la gráfica de la función ℎ de período 4, par y definida por: 
 
ℎ(𝑥) = � 2𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑙(𝑥 − 2) 𝑎𝑠 2 < 𝑥 ≤ 3 𝜋(4 − 𝑥) 𝑎𝑠 3 < 𝑥 < 4 
 
 
 
5. A partir de la gráfica de funciones elementales y utilizando reflexiones, 
traslaciones y cambios de escala. Construya la gráfica de la función e indique su 
rango. 
 
𝑓(𝑥) = �
�1 +
2
𝑥 − 1
� 𝑎𝑠 𝑥 < 1
 1 − 21−𝑥 𝑎𝑠 1 < 𝑥 < 4
2 + 2𝑎𝑒𝑙(𝜋𝑥 − 3𝜋) 𝑎𝑠 𝑥 ≥ 4
 
 
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𝑹𝒇 = [𝟎, +∞) 
 
 
Ítem 1 2ª 2b 3 4 5 
Puntaje 4 2 2 4 3 5 
 
RECUERDE JUSTIFICAR TODAS SUS RESPUESTAS 
No se permite el uso de calculadoras o formularios 
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