Schwarzchield_Einstein

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Representación de Penrose-Carter
La idea es hacer una 
trasformación conforme 
que lleve una variedad 
espacio tiempo no 
compacta a otra compacta
 
Transformación conforme
Sea un difeomorfismo entre variedades diferenciables f :M→N
Dadas dos curvas contenidas en M que se intersectan en el púnto “Z” Z=α(t)∩β(t)
Luego se dice que “f” es una trasformación conforme si preserva los ángulos relativos
En las intersecciones de curvas
arg (Dtα(Z)Dtβ(Z) )=arg(Dt f ∘α(Z)Dt f ∘β(Z) )
 
dS2=dt 2−dr2−r2dΩ2≥0
Espacio de Minkowsky 3+1 en esféricas, con r>0 y t>0
t=u+v
r=u−v
dS2=4 dudv−(v−u)2dΩ2≥0 Si: r>0⇒ v>u
tg(V )=v
tg(U )=u
ℝ2→(−π/2 ,π/2)×(−π/2 ,π/2)
v>u⇒V >U
dU
cos2(U )
=du
dV
cos2(V )
=dv
dS2= 1
cos2(U )cos2(V )
(4dU dV +sen2(V−U )dΩ2)
Giro 45º
 
dS2= 1
cos2(U )cos2(V )
(4dU dV +sen2(V−U )dΩ2) η=U+V
χ=U−V
dS2= 1
w (η , χ)2
(d η2−d χ2−sen2(χ)dΩ2)
w(η ,χ)=cos(U )cos(V )=1
2
(cos(η)+cos(χ))
Observación:
Gμ ν=0
d
~
S2=d η2−d χ2−sen2(χ)dΩ2=wdS2 En este caso Gμ ν≠0
Pues es una variedad no compacta
Giro otros 45º
 
Los infinitos conformes son:
I0= infinito espacial (η=0, χ=π)
I-= infinito temporal pasado (η=-π, χ=0)
J+= infinito nulo futuro (η=π-χ, 0<χ<π)
I+= infinito temporal futuro (η=π, χ=0)
J-= infinito nulo pasado (η=-π+χ, 0<χ<π)
J+ se lo llama “scri-plus”, J- se lo llama “scri-minus”
Todas las geodésica “time-like” o causales empiezan en i- y terminan en i+, 
en cambio las nulas empiezan en J- y terminan en J+
Pueden existir curvas NO geodésicas asintóticamente nulas
 
Representación 1+1
dS2=dt 2−dr2≥0
t=u+v
r=u−v
r>0⇒ v>u
dS2=4 dudv≥0
p=tg(u)
q=tg(v )
dS2= 4dq dp
(1+ p2)(1+q2)
≥0
q=η+χ
p=χ−η
dS2= 1
w (η ,χ)
(d χ2−dη2)
−1<η<1 y 0<χ<1
Tiene las mismas propiedades respecto de 
los infinitos conformes que la anterior
 
 
Estructura causal
Sea (M,g) un espacio tiempo, una curva Γ es causal, si es “time-like” o nula
(M,g) un espacio tiempo es orientable si se puede definir sobre el fibrado 
tangente TM un campo vectorial “time-like”
Si (M,g) es un espacio tiempo orientable, entonces para todo punto p de M su futuro 
causal será:
J+(p)={q ε M/ ᴲ Γ causal que conecta p con q}
En cambio el pasado cusal
J-(p)={q ε M/ ᴲ Γ causal que conecta q con p}
J .+.(S)=.∪p∈S J
.+.( p) J .−.(S)=.∪p∈S J
.−.( p) S⊂M
 
Estructura causal
Se dice que S (definido antes) es anacrónico, si no existen dos puntos que 
estén relacionados de forma “time-like” 
Una superficie de Cauchy (se verá luego) es una superficie anacrónica, 
pues, cualquier curva “time-like” en M la cruza solo una vez en M
Un espacio tiempo (M,g) es hiperbólico si este admite una superficie de Cauchy
La estructura causal es invariante ante cambios conformes de la métrica del tipo
~g=Ω(M )g
 
Métricas y Ecuación de Einstein
 
Ecuación de Einstein
Núcleo del Problema: Hallar la identidad Geometría=Energía que verifique:
1) Sea una ecuación tensorial
2) Consistente con la Física
3) Tienda a la gravedad de Newton como comportamiento asintótico
La energía se la 
agrupa en un objeto 
matemático llamado 
tensor de energía-
impulso T=(
T 00 T 01 T 02 T 03
T 10 T 11 T 12 T 13
T 20 T 21 T 22 T 23
T 30 T 31 T 32 T 33
)
Densidad de energía
Flujo de energía
Presión
T μ ν=T νμEs simétrico
 
Ejemplos
T=γ (
m mV 1 mV 2 mV 3
mV 1 mV 1V 1 mV 1V 2 mV 1V 3
mV 2 mV 2V 1 mV 2V 2 mV 2V 3
mV 3 mV 3V 1 mV 3V 2 mV 3V 3
)=mγV⊗V
Partícula Libre
Polvo no interactivo en reposo
T= (
ρ 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
)
 
Fluido perfecto Hidrostático
T= (
ρ 0 0 0
0 p 0 0
0 0 p 0
0 0 0 p
)
Si fuese un fluido perfecto hidrodinámico
T=(ρ+P)V⊗V−P g
En el 99,9% del universo, salvo en objetos compactos y estrellas se verifica
P≪ρ⇒T=ρV⊗V
 
Globalmente se debe verificar la ley de conservación ∇ ∘T=0 Entonces los posibles 
Candidatos geométricos son: Rμ ν y gμ ν , pues ∇ ∘g=0
∇ g=0 Luego en una carta local ∇β gμ ν=0 , lo que resulta g
βμ∇β gμ ν=∇ ∘g=0
Una solución sería: gμ ν=κT μ ν , pero en el caso del vacío T=0 , daría un tensor métrico
Nulo, lo cual no tiene sentido. Otra es: Rμ ν=κT μ ν , pero ∇ ∘R≠0 Sin embargo 
∇ ∘R∼g , por lo que se propuso que , donde R es la curvatura
Gausiana. Usando las identidades de Bianchi se deduce que a=1 y b=-1/2, con lo cual resulta:
Rμ ν−
1
2
R gμ ν+λ gμ ν=κT μ ν
a Rμ ν+b R gμ ν+λ gμ ν=κT μ ν
 
Se llama tensor de Eistein a: Gμ ν=Rμ ν−
1
2
R gμ ν La constante en unidades geométricas es
κ=−8 π O en sistema USI κ=−
8 πG
C4
, que resulta de la consistencia con las leyes de
Gravitación de Newton. La constante de curvatura Gaussiana es R=gμ ν Rμ ν
T=gμ νTμ ν
gμ ν gμ ν=4
gμ ν (Rμ ν−
1
2
R gμ ν+λ gμ ν=κT μ ν)
R=4 λ−κT
λ=0
R=−κT
La energía curva 
el espacio 
tiempo!!Energía del vacío u 
oscura
T vacío=−λ/κ
Rμ ν=κT μ ν−
1
2 κT gμ ν−2 κT vacío gμ ν
Que es otra forma de escribir la 
ecuación
 
Límite Newtoniano
Esto ocurre cuando d X
i
d τ
≪d X
0
d τ
, luego la ecuación de la geodésica queda reducida
d ² Xμ
d τ2
+Γ00
μ d X 0
d τ
d X0
d τ
=0
Donde: Γ00
μ =−12 g
μ λ ∂ g00
∂X λ
, suponiendo una métricas estática g0 j=0⇒Γ00
0 =0
d2 X 0
d τ2
=0⇒ d X
0
d τ =γ
t=X 0
d2
d τ2
=γ2 d
2
d t 2
γ2 d ² X
i
d t2
−1
2
gi j
∂g00
∂X i
γ2=0
 
g= (
1+2ϕ 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
) γ2 d ² X id t2 −12 gi j ∂g00∂X i γ2=0
d2 X i
d t2
+ ∂ϕ
∂ X i
=0 ḡ=−∇ϕ
d2 X̄
d t 2
− ḡ=0
La gravedad terrestre resulta de la curvatura del tiempo y no del espacio
dS2=(1+2ϕ)dt2−dx2−dy2−dz2
 
Problema de Cauchy
 
Problema de Cauchy
 
Paradoja del bucle causal
Una paradoja de la predestinación o bucle causal, que no es una paradoja en sí, ya 
que el bucle que se produce es auto-coherente y consistente por lo tanto no hay 
paradoja, se utiliza a menudo como una convención de la ciencia ficción.
Debido a la posibilidad de influir en el pasado, cuando se viaja por el tiempo, una 
forma de explicar por qué la historia no cambia es diciendo que todo lo que ha 
sucedido debía suceder. Este tipo de paradoja requiere una métrica cosmológica muy 
particular formulada por Kurt Gödel en 1949. La cual es estacionaria pero no estática.
dS2=dt 2−dx2+ e
2√2ω x
2 dy dx−dz
2+e√2ω x(dt dy+dx dt )
 
Principio de Novikov
El principio de autoconsistencia de Nóvikov, también conocido como la conjetura de 
consistencia de Nóvikov, es un principio desarrollado por el astrofísico ruso Ígor 
Nóvikov a mediados de la década de 1980 para resolver los problemas de las paradojas 
en los viajes a través del tiempo. En términos simples, afirma que:
Si un evento existiese y provocase una paradoja o cualquier cambio en el pasado que la 
provoque, entonces la probabilidad de ese evento es cero. 
Por lo tanto, el principio de autoconsistencia de Nóvikov indica que es imposible para 
una secuencia de eventos provocar una paradoja.
 
Tensor de Weyl
Cαβγδ=Rαβγδ+
1
2 (gα γ−gβγRδα−gαδRγβ+gβδRγα)+
1
6 (gα γ gβδ−gαδ gγβ)R
Si dim(M)<4 => Cαβγδ=0 C2=Cαβγ δC
αβγδ
Si existiesen la métrica conformes:
~gμ ν=Ω2ημ ν⇒Cαβγδ=0
~gμ ν=Ω
2 gμ ν⇒
~Cαβγδ=Cαβγδ
 
Métrica de Swarzchield (MS)
La MS es la única solución de vacío, con simetría esférica, sin “Frame-Dragging” y 
límite newtoniano de las ecuaciones de Einstein, entonces:
T=R=0⇔Rμ ν=0
dS2=(1−2M
r
)dt 2− dr
2
1−2 M
r
−r2dΩ2
Tiene dos singularidades, una salvable por cambio de coordenadas en r=2M, y otra 
insalvable o esencial en r=0.
 
Cuando 2M
r
→0 Se recupera la métrica de Minkowsky. Para el caso de campo débil
gμ ν=ημ ν+hμ ν
h= (−
2 M
r
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
)
g00≈1−
2M
r
ϕ=−M
r
 
Ecuación de Poisson en campo 
débil
Suponiendo campo débil gμ ν=ημ ν+hμ ν Y además que: P≪ρ T≈ρV⊗V
T=gμ νT μ ν≈ρRμ ν=κT μ ν−
1
2
κT gμ ν
Rμ ν=κρV μV ν−
1
2
(ημ ν+hμ ν)ρ
En el caso de velocidades lentas
γ≈1 R00≈
κ
2
ρ
 
Por otro lado Rμ ν=g
αβRμαβν Campo estático
R00=−
∂Γ00
α
∂ Xα
Γ00
μ =−12η
μ λ ∂h00
∂ X λ
R00=
1
2
(∇2−∂t
2)h00=κ2
ρ
R00≈κ2
ρ
h00=2ϕ
∇2ϕ=κ
2
ρ Q.E.D
 
Teorema de Birkoffs
Existe una única solución con simetría esférica, sin “Frame-Draggin”con 
límite newtoniano de Rμ ν=0
dS2=e2νdt 2−e2 λdr 2−r2 dΩ2
Rαβ=0
λ+ν=a
r→∞⇒e2ν→1∧e2λ→1
λ+ν=0
Se propone que g00=e
2 ν=1+b
r
r→⇒∞ g00≈1−
2 M
r
b=−2M e2ν=e−2λ=1−2 Mr
 
Coordenadas de Eddintong-
Finkelstein
Como se mencionó, la singularidad en r=2M en la MS, se puede eliminar con un 
conveniente cambio de coordenada. Por simplicidad se lo hará en un espacio 
tiempo 1+1. 
dS2=(1−2 M
r
)dt2− dr
2
1−2 M
r
dS2=0 Haces de luz
d t
d r
=± 1
1−2 M
r
t±2 M log(| r
2M
−1|)=a
Ecuación de los conos de luz
Para r > 2M
 
t±2 M log(| r
2M
−1|)=a
r=2M
Si r< 2M se debe hacer el cambio r → t y t → r, por lo que los 
conos rotan 90º. En este caso el único futuro causal es la 
singularidad esencial.
Los conos se estrechan a medida 
que r→ 2M por derecha
 
Cambio de coordenada entrante, r< 2M
t
r
v=t+r+2 M log (| r
2M
−1|)
r=r
dS2=(1−2M
r
)dv2−2dv dr
Cambio de coordenada saliente, r>2M
t
r
dS2=(1−2 M
r
)du2+2dudr
u=t−r−2M log (| r
2M
−1|)
r=r
Hay una continuidad métrica en r=2M 
 
dS2=0
u−2 M log(| r
2M
−1|)=a
u=b
v+2M log (| r
2M
−1|)=a
v=b
Dependiendo el cambio de 
coordenado es la ecuación de 
los conos
 
Métrica de Vaidya
De las soluciones entrantes y salientes en coordenadas de Eddington-Finkeltein, 
la métrica será
dS2=(1−2 M
r
)dv2−2dv dr−r2 dΩ2
dS2=(1−2 M
r
)du2+2dudr−r2 dΩ2
Las cuales siguen teniendo valor aún si se supone que M=M(u) o M=M(v), Vaidya 
usó esto para evaluar el caso de la existencia de materia en la solución de las 
ecuaciones de Einstein con simetría esférica y límite newtoniano.
 
Entonces su forma es:
dS2=−
2M (u)
r du
2+dS p
2
dS2=−
2M (v)
r
dv2+dS p
2
con
du=dt− dr
1−2 Mr
dv=dt+ dr
1−2M
r
Y además dS
¿
p=dt2−dr2−r2dΩ2
La única componente no nula del tensor de Ricci es Ruu=−
2
r
d M
d u
Pero R=0 Rμ ν=κT μ ν
Es el caso de polvo sin presión interna
 
Métrica de Kerr
Esto corresponde a un agujero negro el cual presenta “Frame-
Draggin” debido a que tiene un momento angular no nulo.
dS2=(1−2MrΣ )dt
2−
4 aM r sen2(θ)
Σ dt d ϕ+
Σ
Δ dr
2+Σd θ2+(r2+a2+2a
2 M r sen2(θ)
Σ ) sen
2(θ)d ϕ2
Donde:
Σ=r2+a2 cos2(θ)
Δ=r2−2Mr+a2
a=
Lz
M
 
En este caso existirán dos horizontes de eventos
Rext=M+√M2−a2
R inte=M−√M 2−a2
exterior
interior
La singularidad ocurre cuando Σ=0
r2+a2 cos2(θ)=0
Lo cual corresponde a un anillo
Cuando a > M no existe horizonte de eventos y se lo llama singularidad desnuda
Teorema de la censura cósmica: Formulado en 1969 por Roger Penrose, 
enuncia que no puede existir singularidades desnudas salvo la dada por la 
métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker. 
 
Frame-Draggin
Cuando: r→∞
dS2=(1−2M
r
)dt2− 4 aM sen
2(θ)
r
dt d ϕ−(1+ 2M
r
)dr2−r2dΩ2
Ocurre un arrastre del espacio tiempo que 
genera lo que se conoce como ergosfera, 
donde se puede ingresar y salir de ella pero 
nunca se está en equilibrio.
 
Métrica de Reissner-Nordström
En esta métrica se supone que el agujero negro poseé carga eléctrica en su 
interior, sin “frame-graggin” y con simetría esférica
dS2=Δ dt2−dr
2
Δ −r
2dΩ2
Donde: Δ=1−2 M
r
+q
2
r2
y q= Q
2
4 π ϵ0
Es la carga eléctrica de la singularidad
Los horizontes ocurren cuando Δ=0 Rext=2 M+√4M 2−q2
Rext=2 M−√4 M 2−q2
Cuando q>2M la singularidad se desnuda
 La singularidad es repulsiva
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