intro_diferencial

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Conocimientos de geometría 
diferencial
 
Historia
La teoría de Variedades se funda en la cartografía
Es una extensión de los estudios hechos por Gauss y Rieman sobre 
geometría intrínseca a espacios abstractos
Carta única de Gerardus Mercator
No
 co
nse
rva
 las
 dis
tan
cia
s
 
Proyección de Watterman
Se conserva las distancias
Se conservan los ángulo rectos
Vecindad en la variedad
Carta euclidea
ϕ()
 
p
U p
A⊂ℝn
ϕ
Rigurosamente: 
Una variedad de n es un espacio de 
Hausadorff tal que a cada p que 
pertenece a M existe una vecindad Up 
homeomorfa a abiertos en Rn
(U p ,ϕ)
ϕ
(A⊂ℝn ,ϕ−1)
Carta coordenada
Representación coordenada
Parametrización
M
 
Datos útiles
(U p ,ϕ)
Siempre puedo hallar otra carta 
(V ,ψ)
ψ(p)=0
ψ(q)=ϕ(q)−ϕ( p)
(U p ,ϕ)
(W p ,ψ)
Cambio coordenado compatible
U p∩W p≠∅
Atlas
A=.∪p∈M (U p ,ψp)
M=.∪p∈M U p
 
p
ϕ−1 ψ
ψ∘ϕ−1
Una variedad real es diferenciable
ψ∘ϕ−1
Es diferenciable
Una variedad real es diferenciable 
cuando todo cambio de coordenadas 
compatible son diferenciables.
 
p
ϕ−1 ψ
ψ∘ϕ−1
Una variedad compleja es diferenciable
ψ∘ϕ−1
Es holomorfa
Una variedad compleja es diferenciable 
cuando todo cambio de coordenadas 
compatible es holomorfa.
Una función holomorfa es una 
función compleja que es 
diferenciable en cualquier punto 
dentro de una región en el plano 
complejo. 
 
A=(∂( y1 , y2 ,… yn)∂(x1 , x2 ,…xn) )( p)
La matriz de 
cambio de 
coordenadas sera
 
Compactas
Rimanianas
Orientables
No orientables
Las variedades lorenzianas
Son NO compactas
 
Teorema de la bola peluda
Esfera
Condiciona los flujos de congruencias Se necesita como mínimo dos
cartas
dα(∂
∂ t
)=X (α)
 
Variedad simpléctica: Toro T2
Carta única
Vladimir Arnold
Recursividad
 
Funciones diferenciables
M
ℝ
ϕ−1
f :M→ℝ
f ∘ϕ−1 :ℝn→ℝ
f es diferenciable en M
∀(U p ,ϕp)∈A
f ∘ϕ−1 :ℝn→ℝ
Es diferenciable
 
Funciones vectoriales diferenciables
ϕ−1
ψ
ψ∘ f ∘ϕ−1:ℝn→ℝm
f :M→NM N
f es diferenciable 
Es diferenciable
 
Difeomorfismo
f :M→N
1) f es diferenciable
2) f es biyectiva
3) f-1 es diferenciable
 
Espacio tangente (derivadas)
f , g :M→ℝ
(U p ,ϕ)
Vector tangente
X p (f )=∑
i
vi(
∂ f
∂ϕi
)
p
X p=∑
i
v i(
∂
∂ϕi
)
p
X p (a f +b g)=a X p(f )+b X p (g)
X p (f g)=x p(f )g+ f X p(g)
Propiedades
Al conjunto Tp={Xp} se lo 
llama espacio tangente en 
p. dim(Tp)=n=dim(M)x j :M→ℝ ⇒ X p(x j)=v j
Representación cartesiana
Espacio contra-vaiante
 
Vector tangente a una curva
ϕ
α
ℝ
f :M→ℝ
α :ℝ→M
α ' (t)≠0 ∀ t∈(a ,b)
(f ∘ϕ−1)∘(ϕ∘α)
α ' (f )=d
d t
(f ∘α)
Representación local
α ' (f )=∑
i
∂
ϕi
(f ∘ϕ−1)d
d t
(ϕi∘α)
α '=∑
i
αi '
∂
xi
 
Espacio cotangente (diferenciales)
Dado Tp(M), existe el espacio dual Tp*(M), que se llama espacio 
dual o cotangente que se lo define como:
d f p :T p(M )→ℝ
X p→d f p(X p)=X p(f )
x i :M→ℝ
dx i
d xi( ∂
∂ x j
)= ∂
∂ x j
xi=δ j
i
No es métrico por lo 
tanto el manejo de 
índices no requiere del 
tensor métrico
Espacio co-vaiante
d f p=∑
i
∂ f
∂ xi
d xi
 
Fibrados y campos vectoriales 
(globales)
Fibrado tangente
Fibrado cotangente 
Campo vectorial global
TM=.∪p∈M T p (M )
TM .∗.=.∪p∈M T p
.∗.(M )=CM
X∈TM
 
Flujo o congruencias, derivada de 
Lie
Se llama flujo o congruencia de un campo vectorial X a la solución:
α :M→ℝ /dα(∂
∂ t
)=X (α)
Representación cartesiana local
dα
d t
=X (α)
Derivada de Lie
función
Vector
diferencial
LX f=X (f )
LXY=[X ,Y ]
LX df=df (X )
f=C en el flujo de X, si y solo sí
LX (f )=0
 
Cálculo exterior, formas 
ω1 ,ω2∈CM
Se llama producto exterior 
ω=ω1∧ω2=ω1⊗ω2−ω2⊗ω1
Propiedades
ω1∧ω2=−ω2∧ω1
αidx
i∧β jdx
j=αiβ jdx
i∧dx j
ω1∧ω1=0
El impulso en el espacio de Minskowsky
El tensor de Farday
P= pμdx
μ=E /Cdt−pxdx−p y dy− pzdz V=V
μ∂
∂ xμ T=P (V )=pμV
μ
F=−E xdt∧dx−E ydt∧dy−Ezdt∧dz+Bx /C dy∧dz+B y/C dz∧dx+Bz /C dx∧dy
 
Derivada exterior
Derivada exterior 
d :CM→CM
Propiedades
df=∑
i
∂ f
∂ x i
d xi
d (ω1∧ω2)=dω1∧ω2+(−1)pω1∧dω2
d2=d d=0
Teorema de Stokes en M ∫
v
dω=∫
∂ v
ω
Forma cerrada
∫
∂ v
ω=0⇔dω=0
Ecuaciones de Maxwell (se lo verá mejor luego)
Vector de Lorentz
A=Aμdx
μ F=d A
d F=0
d F .∗.=4 π J .∗.
 
Variedad riemanianas o métricas
Si M permite 
definir flujos 
isométricos
∃g∈CM×CM / LX g=0 M es una variedad riemaniana
Existe una métrica g=gμ νdx
μ⊗dxν
V=V μ∂
∂ xμ g (V ,V )=gμ νV
μV ν
 
Ejemplo en esféricas
gi j=(1 0 00 r2 00 0 r2 sen(θ))
Bi=(1r0)
Bi=gi jB
j Bi=(1 ,r
3 ,0)
El vector covariante NO es el 
transpuesto del contravariante
gi j
−1=(
1 0 0
0 1
r2
0
0 0 1
r2 sen(θ)
)
 
Coordenadas de Rindler (C=1)
d s2=−dt2+d x2 ds2=−(x
b
)
2
dT 2+d x2
t=b sh(bT )
x=bch (bT )
gμ ν=(− x
2
b2
0
0 1)
 
Tensor métrico y resumen
x1
x2
x3
q1
q2
q3
ê1=
∂ r̄
∂q1
ê2=
∂ r̄
∂q2
ê3=
∂ r̄
∂q3
r̄
gi j=ê i⋅ê j gi j=(g−1)i jg j
i=δ j
i
Representación contra-variante
Representación co-variante
A=A i êi
A=A i ê
i
ê i=gi j ê j
 
Ejemplos, espacio de Minkowsky
t '=ch (α)t−sh(α)x
x '=−sh (α)t+ch(α)x donde ch (α)=γ sh(α)=β γ
ût=
∂ r̄
∂ t =ch(α) ê t−sh(α) êx
ûx=
∂ r̄
∂ x
=−sh(α) êt+ch(α) êx
ê t⋅ê x=0
ê x⋅ê x=−1
ê t⋅ê t=1 g=(1 00 −1)
d S2=gμ νdX
μ dX ν
 
Teoría Electromagnética en 
Variedades Diferenciables
Consideremos un espacio-tiempo plano, es decir donde Γ=0 (conexión afín)
Potencial del campo A=Aμ dx
μ el tensor de Farady será:
F=d A=d Aμ∧d x
ν=Fμ νd x
μ∧d x ν
d d xν=0
A '=A+d ϕ F=d A=d A '
Invariancia de gauge
1 /2FαβF
αβ=E2−B2
1 /4Fαβ(F
d)αβ=Ē⋅B̄
Invariantes de campo
 
Teoría Electromagnética en 
Variedades Diferenciables
ϵμ νβγ es el tensor de Levi-Civita, el tensor dual de capo es
F d=ϵ(F )=12 F
μ ν ϵμ ναβd x
α∧d xβ
(Fd)d=−F
d F=0
d F d=4 π J d
Ecuaciones de Maxwell-Heaviside
J d=ρdx∧dy∧dz−J x dt∧dy∧dz−J y dt∧dy∧dz−J zdt∧dx∧dy
J=ρdt+J x dx+J y dy+J zdz
d d Fd=0⇒ d J d=0
Conservación de la carga
 
Variedades simplecticas (del griego 
entrelazado)
Una M 2n variedad diferenciable real que admita la dos forma cerrada ω=d p∧d q
se la llama variedad simplectica y se la representa como: (M 2n ,ω)
Este tiene la conexión dual natural Ω :CM→TM
Ω=( 0 I n−In 0 )
Tensor producto simpléctico canónico
Si se define como espacio de las fases extendido M 2n+1 luego la uno forma Lagrangiano
L=dq (p)−H dt es un invariante ante cambio de coordenadas (transformaciones canónicas)
ΩadjΩ=I
Ω2=−I
a=η1
adjΩη2
dq∈CM p∈TM
 
donde H :M 2n→ℝ es la función Hamiltoniana en M 2n siendo las ecuaciones de H-J
η̇=ΩdH η=(qp)
dH=q̇ dp+ pd q̇−∇ q̇Ld q̇−∇ qLdq
p=∇ q̇ L
dH=q̇ dp−∇ qLdq
q̇=∇ pH
∇ qL=−∇ qH
dH=∇ pH dp+∇ qH dq
H=p q̇−L
Ω−1 η̇=q̇ dp− ṗ dq
q̇=∇ pH
ṗ=−∇qH
Ecuaciones covariantes de H-J
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