MdCA_05 01_TEORIA - TEOREMAS INTEGRALES

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Mecánica del Medio Continuo 1
Previamente al desarrollo de la integraciPreviamente al desarrollo de la integracióón de campos n de campos 
tensoriales , es necesario establecer ciertas propiedades tensoriales , es necesario establecer ciertas propiedades 
de lde lííneas , superficies y regiones tridimensionales , que neas , superficies y regiones tridimensionales , que 
posteriormente se admitirposteriormente se admitiráán como vn como váálidas lidas 
IntegraciIntegracióónn de de tensorestensores
LLííneasneas : son : son rectificablesrectificables . Dada la l. Dada la líínea nea CC (en general (en general 
curva ) , , siendo curva ) , , siendo ss la longitud de la lla longitud de la líínea desnea des--
de un origen arbitrario , se cumple que el de un origen arbitrario , se cumple que el versorversor tangente a tangente a 
la lla líínea es una funcinea es una funcióón continua de n continua de ss sobre sobre CC , , 
excepto a lo sumo en un nexcepto a lo sumo en un núúmero finito de puntos en los mero finito de puntos en los 
cuales existen derivada derecha e izquierda cuales existen derivada derecha e izquierda 
)(: sxxC rr =
dsxdt /ˆ r=
TeoremasTeoremas IntegralesIntegrales
Mecánica del Medio Continuo 2
SuperficiesSuperficies : Son : Son integrablesintegrables , es decir el , es decir el versorversor normal normal 
es una funcies una funcióón continua sobre la superficie n continua sobre la superficie SS , o bien , o bien SS
puede ser subdividida en un npuede ser subdividida en un núúmero finito de sectores sumero finito de sectores su--
perficialesperficiales en los cuales es una funcien los cuales es una funcióón continua .n continua .
Debe ser orientable , es decir tener dos lados Debe ser orientable , es decir tener dos lados 
)(ˆ xn r
)(ˆ xn r
Regiones tridimensionalesRegiones tridimensionales : Deben estar limitadas por : Deben estar limitadas por 
superficies integrables y ser conexas , es decir si puntos superficies integrables y ser conexas , es decir si puntos 
cualesquiera de cualesquiera de RR pueden conectarse mediante una lpueden conectarse mediante una líínea nea 
rectificable enteramente contenida en rectificable enteramente contenida en RR . . 
Son simplemente conexas si toda lSon simplemente conexas si toda líínea cerrada rectificable nea cerrada rectificable 
en en RR puede reducirse de modo continuo a un punto sin apuede reducirse de modo continuo a un punto sin a--
bandonarbandonar la regila regióón n 
Mecánica del Medio Continuo 3
La integral de un vector funciLa integral de un vector funcióón de un parn de un paráámetro metro uu
estestáá definida respecto de un referencial cartesiano por definida respecto de un referencial cartesiano por 
)u(R
r
=++= ∫∫∫∫ du)u(Rêdu)u(Rêdu)u(Rêdu)u(R 332211
r
si existe otro vector tal que si existe otro vector tal que )(uS
r
du
uSduR )()(
rr
=
Entonces Entonces c)u(Sdudu
)u(Sddu)u(R
rr
rr
+== ∫∫
 du)u(Rê ii ∫= 
Integral de vectores , de tensoresIntegral de vectores , de tensores
(en variables espaciales)(en variables espaciales)
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estestáá definida respecto de un referencial cartesiano pordefinida respecto de un referencial cartesiano por
du)u(Têêdu)u(T~ ijji ∫∫ =
si existe otro tensor tal que si existe otro tensor tal que )u(V
~
du
)u(V~d)u(T~ =
AnAnáálogamente , la integral de un tensor funcilogamente , la integral de un tensor funcióón de n de 
un parun paráámetro metro uu ,,
)u(T~
jiij êê)u(T)u(T
~ =
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Dado el vector en la cual es el vecDado el vector en la cual es el vector tor 
posiciposicióón que define una ln que define una líínea curva nea curva CC en Ren R33 conectando los conectando los 
puntos puntos PP11 yy PP22 con con u=uu=u11 y y u=uu=u22 respectivamente, respectivamente, 
ii euxux ˆ)()( =
r )(uxr
y dada una funciy dada una funcióón vectorial de n vectorial de 
punto continua en punto continua en CC
ii exAxxxAxA ˆ)(),,()( 321
rrrr ==
entonces la integral de a lo largo de entonces la integral de a lo largo de CC de de PP11 aa PP22 estestáá
definida por definida por 
)(xA r
r
∫ ∫∫ == ••
C C
ii
p
p
dx)x(Axd)x(Axd)x(A
rrrrrrr2
1
Integrales de lIntegrales de lííneanea
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Si Si CC es una les una líínea cerrada entonces se define la integral nea cerrada entonces se define la integral 
de contorno de contorno 
∫∫ =• c dxxAc xdxA ii )()(
rrrr
Se verifica que si siendo una ciertSe verifica que si siendo una cierta a funfun--
cicióónn escalar en escalar en RR33 , entonces , la integral de l, entonces , la integral de líínea es nea es indeinde--
pendiente del camino de integracipendiente del camino de integracióón entre n entre PP11 yy PP22
)x()x(A
rrr
φ∇= )(xrφ
AsAsíí, , 0)()( =∇= ∫∫ •• c xdxc xdxA
rrrrr φ
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=== ∫∫∫ ••
2
1
2
1
2
1
p
p
jiij
p
p
kkjiij
p
p
dxê)x(Tedxêê)x(Txd)x(T~
rrrrr
entonces, dado un tensor cartesiano en entonces, dado un tensor cartesiano en RR33
la integral curvilla integral curvilíínea de a lo largo de nea de a lo largo de CC((PP11,,PP22) est) estáá
determinada por determinada por 
jiij ee)x(T)x(T
~ rrrr =
)(~ xT r
y resulta un vector eny resulta un vector en RR33
De manera anDe manera anááloga se definen para tensores , integrales loga se definen para tensores , integrales 
de superficie y volumen .de superficie y volumen .
 dx)x(Tê
p
p
jiji ∫=
2
1
r 
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El teorema de la divergencia para un vector El teorema de la divergencia para un vector 
definido en un cierto dominio definido en un cierto dominio DD en en RR33 , de volumen , de volumen VV y suy su--
perficieperficie contorno contorno SS es es 
),,()( 321 xxxAxA
rrr =
∫∫∫∫∫ •• ∇= V
S
dVxAdSxAn )()(ˆ r
rrr
siendo el siendo el versorversor nornor--
mal a mal a SS , el elemento de , el elemento de 
superficie en superficie en SS , y el e, y el e--
lementolemento de volumen en de volumen en VV
n̂
dS
dV
Por economPor economíía de notacia de notacióón se indicarn se indicaráá la relacila relacióón simplen simple--
mente mediante mente mediante ∫∫ •• ∇= VS dVxAdSxAn )()(ˆ
rrrr
Teorema de la divergencia , de Teorema de la divergencia , de StokesStokes , del, del
gradiente para campos vectorialesgradiente para campos vectoriales
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El teorema de El teorema de StokesStokes para un campo vectorial establecepara un campo vectorial establece
En referencia cartesiana es En referencia cartesiana es 
∫∫ = V iiS i dVAdSAni ,
∫∫ •• = CS xdxAdSxArotn
rrrrr )()(ˆ
siendo siendo CC una luna líínea cerrada que nea cerrada que 
limita a la superficielimita a la superficie SS , , versorversor
normal en cada punto de normal en cada punto de SS , y , y 
es el es el versorversor tangente en cada tangente en cada 
punto de punto de CC
n̂
t̂
∫∫ •• =×∇ CS dstxAdSxAn
rrrrr )()(ˆ
Mecánica del Medio Continuo 10
Es el teorema del gradiente para una funciEs el teorema del gradiente para una funcióón escalar n escalar 
∫∫ = V jS dVdSnj ,φφ
El teorema de la divergencia aplicado a un campo El teorema de la divergencia aplicado a un campo vectovecto--
rial que tiene una rial que tiene una úúnica componente no nulapara nica componente no nula para 
alguna funcialguna funcióón escalar y para algn escalar y para algúún entero determinado n entero determinado 
jj=1,2,3 , resulta =1,2,3 , resulta 
iijeA ˆφδ=
r
φ
La expresiLa expresióón anterior es vn anterior es váálida para cualquier lida para cualquier jj , , entonenton--
cesces multiplicando por y sumando para cada uno de los multiplicando por y sumando para cada uno de los 
valores de valores de jj resulta resulta 
jê
∫∫ ∇= VS dVdSxn )(ˆ φφ
r
Mecánica del Medio Continuo 11
con la exigencia que este producto sea distributivo respecto con la exigencia que este producto sea distributivo respecto 
de la suma de elementos y que cumpla con los teoremas de la suma de elementos y que cumpla con los teoremas 
de lde líímites , debiendo mantenerse el orden de los factores , mites , debiendo mantenerse el orden de los factores , 
es decir es decir 
Estos tres teoremas integrales del Estos tres teoremas integrales del áánnáálisislisis vectorial se gevectorial se ge--
neralizanneralizan para campos tensoriales , introduciendo un propara campos tensoriales , introduciendo un pro--
ducto genducto genéérico entre tensores , denominado producto rico entre tensores , denominado producto asteaste--
risco ( ) de tal forma que representa tanto risco ( ) de tal forma que representa tanto ∗ B~A~ ∗
B~A~B~A~,B~A~ o ו
dt
B~dA~B~
dt
A~d
dt
)B~A~(d
∗+∗=
∗
Mecánica del Medio Continuo 12
El teorema de la divergencia generalizado resulta El teorema de la divergencia generalizado resulta 
∫∫ ∗∇=∗ VS dVdSn̂ AA
en la cual en la cual AA puede ser un escalar ( tensor de orden puede ser un escalar ( tensor de orden 
cero ) , un vector (tensor de orden uno) o un tensor de secero ) , un vector (tensor de orden uno) o un tensor de se--
gundogundo orden orden 
Algunas formas particulares de este teorema son ( se Algunas formas particulares de este teorema son ( se 
agrega la expresiagrega la expresióón en referencia cartesiana ) n en referencia cartesiana ) 
∫∫ ∇= VS dVdS)x(n̂ φφ
r
∫∫ = V jS dVdSn j ,φφ
Si (escalar) Si (escalar) 
producto por escalarproducto por escalar
φ=A
=∗
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∫∫ •• ∇= VS dVdSvn v ˆ
rr
∫∫ = V jjS j dVvdSvn j ,
Si ( vector ) Si ( vector ) 
producto escalarproducto escalar
vr=A
•=∗
∫∫ •• ∇= VS dVTdSTn 
~~ˆ
∫∫ = V iijS ij dVTdSTni ,
Si ( tensor ) Si ( tensor ) 
producto contractivoproducto contractivo
T~=A
•=∗
∫∫ ∇= VS dVTdSTn 
~~ˆ
∫∫ = V ijkS jk dVTdSTni ,
Si ( tensor ) Si ( tensor ) 
producto tensorialproducto tensorial
T~=A
 =∗
∫∫ ×× ∇= VS dVvdSvn ˆ
rr
∫∫ = V jkijkS kijk dVvdSvn j ,εε
Si ( vector ) Si ( vector ) 
producto vectorialproducto vectorial
vr=A
×=∗
Mecánica del Medio Continuo 14
[ ] ∫∫ =∇ V i,jkijkV dVTdVT~ 
A fin de verificar la validez de todas estas expresiones , A fin de verificar la validez de todas estas expresiones , 
se puede hacer para una de ellas , con se puede hacer para una de ellas , con AA tensor y tensor y 
el producto tensorial , relaciel producto tensorial , relacióón establecida arriba . n establecida arriba . 
∗
ConsidConsidéérese el miembro derecho que al contener rese el miembro derecho que al contener 
es un tensor de tercer orden (es un tensor de tercer orden (m+1 = 2+1 = 3 m+1 = 2+1 = 3 ) cuyas ) cuyas compocompo--
nentesnentes son son 
T~∇
El miembro izquierdo tambiEl miembro izquierdo tambiéén es un tensor de tercer n es un tensor de tercer oror--
den (den (m+n = 1+2 =3 m+n = 1+2 =3 ) al contener el producto y para ) al contener el producto y para 
cualquier parcualquier par j,kj,k la componente puede la componente puede consideconside--
rarserarse una funciuna funcióón escalar de n escalar de dede modo que con el modo que con el teoteo--
rema del gradiente rema del gradiente 
Tn ~ˆ
)(xTn jki
r
xr
∫∫ = V ijkS jk dVTdSTn i ,
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Como esta demostraciComo esta demostracióón se ha hecho con referencial n se ha hecho con referencial 
cartesiano arbitrario , la relacicartesiano arbitrario , la relacióón entre tensores es vn entre tensores es váálida en lida en 
cualquier referencial , es decir independiente de cualquiera cualquier referencial , es decir independiente de cualquiera 
AnAnáálogamente se generaliza el teorema de logamente se generaliza el teorema de StokesStokes
Si Si AA corresponde a un campo continuo ( escalar , corresponde a un campo continuo ( escalar , vecvec--
torialtorial o tensorial ) y con derivadas parciales continuas en o tensorial ) y con derivadas parciales continuas en SS
,, se expresa el teorema de se expresa el teorema de StokesStokes generalizado generalizado 
∫∫ ∗=∗∇× CS dstdSn )ˆ( AA
r
siendo siendo CC una luna líínea cerrada que linea cerrada que li--
mita a la superficiemita a la superficie SS , , versorversor
normal en cada punto de normal en cada punto de SS , y , y 
es el es el versorversor tangente en cada tangente en cada 
punto de punto de CC
n̂
t̂
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La forma mLa forma máás coms comúún de esta expresin de esta expresióón es la que se n es la que se prepre--
sentasenta en cursos de anen cursos de anáálisis vectorial lisis vectorial 
Siendo ( vector ) , producto escalar y Siendo ( vector ) , producto escalar y tete--
niendoniendo en cuenta la igualdad en cuenta la igualdad 
vr=A •=∗
cbacba r
rrrrr
•• ×=×
 dSndSn
SS
=∇×=∗∇× ∫∫ • )ˆ( )ˆ( AA
Es el Es el teorema de teorema de StokesStokes para un para un campo vectorialcampo vectorial
 dsvtdSvn 
CS ∫∫ •• =×∇= )(ˆ
rrr