Negros

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Agujeros negros como aplicación de 
RG
 
Qué es una estrella?
La idea de estrella fue introducida en el siglo XIX por Kelvin y 
Helmhotz. Ellos propusieron que la estrella es un equilibrio 
hidrostático entre la presión de un gas de iones (expansión) 
cuya ecuación de estado es (EOS):
P (r)=bT (r )
Y la fuerza gravitatoria (compresión)
d P
d r
+
G M (r )
r2
ρ(r)=0
gs(r )=
G M (r)
r2
Gravedad superficial del “core”
b=
ρkb
m mp
Masa 
del 
protón
Masa 
atómica 
media
 
Qué es una estrella?
En 1926 Eddintog propuso que las reacciones nucleares eran la fuente genuina de 
energía, produciendo un gas de fotones el cual aporta a la EOS
P (r)=bT+ 1
3
aT 4
Donde:
d
d r
(1
3
aT 4)+
L(r )
4π r2C
1
l
=0
d L(r )
d r
=4 π r2ϵρ(r)
Camino libre medio de fotones en cm
Luminosidad del “core” en erg/s
Producción de energía nuclear en erg/(gr s)
 
Qué es una estrella?
Esto además permite encontrar un perfil de temperatura en función de la densidad y 
la producción de energía
 
Ecuaciones de Tolman-Openhaimer-
Volkov (1939), aplicando la RG
d P
d r
+G M
r2
ρ(1+ P
ρC 2
)(1+ 4 π r
3 P
M C2
)(1−2G M
r C 2
)
−1
=0
Que se complementa con: dS2=eνC2 dt2−(1−2G M
r C2
)dr2−r2 dΩ2
d ν
d r
+( 2
P+ρC2
) d P
d r
=0
F (P ,ρ)=0 Ecuación de estado 
En el caso de estrellas se toma como condición de borde P(R)=0
Y la simplificación ν= ln (1−2 G M
C2 r
)
P=P(r)
M=M (r )
ρ=ρ(r)
Cómo genera energía el sol?
El Sol.
M ⁓ 2  1030 kg ⁓1057 átomos H 
P ⁓ 4  1026 W⁓ 2  1039 MeVs-1
• ¿Será química?, la quema de 
carbón produce 35 MJ/kg
• ¿Energía gravitatoria?
 (mecanismo de Kelvin)
Sir William Thomson, alias Lord Kelvin of Largs 
(1824 – 1907) se preguntó cómo se generaba la 
energía del Sol:
• ¿Será por impacto de 
meteoritos?
• La energía neta sería W=7x1037 
Joules, T1/2=5626 años
• Impactaría la masa de la tierra 
cada 50 años
• T1/2=8,9x106 años
Lord Kelvin vs. Charles Darwin
El corto tiempo de vida del Sol 
calculado por Kelvin era en el siglo XIX 
la principal detracción científica de la 
teoría de la evolución de Darwin.
La evolución 
necesita al menos 
cientos de 
millones de años. 
1809 –1882 
Vida máxima del 
Sol: 
10 millones años
1824 – 1907
Caricatura de Darwin 
en la revista Hornet. 
1ra conexión entre la física nuclear y la astronomía 
“The individual abundances of various 
nuclear species must depend not so much 
on the values of their intrinsic stabilities 
(mass defects) as on the values of their 
neutron capture cross sections.”
Alpher Bethe Gamow
El “-- paper” (1948)
n + AX  A+1X  A+1Y
Primer modelo de la nucleosíntesis estelar
Geoffrey R. Burbidge, E. Margaret 
Burbidge y William A. Fowler
E.M. Burbidge, G.R. Burbidge, 
W.A. Fowler, F. Hoyle
“Synthesis of the Elements in Stars”
 Review of Modern Physics
Volume 29, Number 4, October (1957) 
p. 547-650.
Como nace una estrella (T > 200Ma)
nubes 
moleculares
Si M > 0,08 Msol fusión de H
Proto-estrella 
mecanismo de 
Kelvin
colapso 
gravitatorio
T P
g
g
encendido de la combustión 
de hidrógeno (T⁓107K)
g
combustión de hidrógeno en 
equilibrio hidrostático (T ~ 1015 K)
P
presión 
térmica
Distribución de Maxwell-Boltzman 
(1859)
ϕ(E)=8π
m
( m
2π k T
)
3 /2
E e−E /(k T )
Da la densidad de probabilidad en función de la energía
Energía de activación
T ~ 107 K  Etérmica=kT ~ 0,86 keV
pero
Barrera culombiana V(p-p) = 468 keV !
a T ~ 107 K probabilida~ 10-233 
Fusión de H por debajo de la barrera 
coulombiana es por efecto túnel.
Prob=ϕ(V (p−p))
E0
E0
kT Energy
Pico de Gamow
P≈E e−E /kT P≈e
−√Eg /E
Eg=π√2m
Za Zb e
2
ℏ
Energía de Gamow entre 
dos especies
15 Kev 30 Kev
Cadena protón-protón en estrellas 
masivas y solares
Cadena protón-protón en estrellas 
masivas y solares
Ciclo del carbono en estrellas 
solares y enanas rojas
Fusión de Helio en Estrellas Gigantes Rojas
Helio-4 Carbono-12 Oxígeno-16
Helio-4
Neón-20
Helio-4
Las propiedades nucleares favorecen la fusión de tres núcleos de helio, permiten 
la formación regulada de oxígeno y desfavorecen la formación de neón. Esto 
resulta en un universo con abundante carbono y oxígeno, que permiten la vida. 
Un universo lleno de neón, elemento químicamente neutro que no forma 
moléculas, no podría albergar la vida. 
Estrella masiva en estado avanzado de combustión
Formación de elementos más pesados que el hierro, 
neutronización
 Proceso r (rapid): 
captura de n > conversión n  p
Hierro-56 neutrón
Hierro-57
Hierro-58
Hierro-59
Conversión n 
  p
Cobalto-59
Cobalto-60
n  p
Níquel-60
 Proceso s (slow): 
captura de n < conversión n  p
Níquel-61
…
Hierro-60
Hierro-61Cobalto-61
……
Energía de enlace nuclear, consecuencias de la 
“Neutronización”
Exotérmico Endotérmico
Como consecuencia consume fotones 
causando una reducción de la presión de 
radiación en el núcleo
•El proceso continua hasta que la 
estrella masiva hace PUM!
• Brillan durante varios días tanto 
como toda una Galaxia.
Supernova 1994D Centro Galáctico 10
10
estrellas
Muerte de estrellas 
masivas
Proceso Urca
Proceso Urca (Gamow)
Un proceso Urca es una reacción en la cual se emite un neutrino y que se cree que 
forma parte de los procesos de enfriamiento de las estrellas de neutrones y las 
enanas blancas. El proceso fue discutido por primera vez por George Gamow y Mário 
Schenberg cuando visitaban un casino en Río de Janeiro llamado Casino-da-Urca. Se 
dice que Schoenberg comentó a Gamow que «la energía en el núcleo de una 
supernova desaparece tan rápidamente como el dinero en esa mesa de ruleta». En el 
dialecto del sur de Rusia de Gamow, urca también significa «ladrón»
n+L→n+νL L={e
−. ,μ , τ} Leptones
p+N+L→(N+1)+νL
 
 
Zona segura
En un artículo de 2003 (From cosmic explosions to terrestrial fires?, Adrian L. Melott and 
Brian C. Thomas ) estimaron que la 'distancia mortal' de una supernova se extendía hasta 
unos 25 años luz. Ahora se cree que es bastante mayor que eso. En efecto, Melott y su 
equipo piensan, ahora, que una supernova podría resultar letal para la vida en la Tierra 
desde una distancia de 40 ó 50 años luz.
Para llegar a esta conclusión, los investigadores estudiaron los efectos que la supernova de 
hace 2,7 millones de años y a 163 años luz, tuvo sobre los ecosistemas de la época. "No 
hubo extinción masiva pero sí muchas especies que desaparecieron en ese momento".
Los resultados pudieron ser espectaculares. Por ejemplo, los rayos cósmicos que golpeaban 
la atmósfera habrían sido tan intensos que brillarían durante las noches con un resplandor 
azulado. Incrementando la incidencia de cancer en la biota animal.
Se especula que la extinción masiva del Ordovicio-Silúrico (hace 438 MA) fue el resultado de 
un estallido de supernova a distancia de 40 a 70 años luz de la tierra.
Estrella de neutrones estándar
Estrella de 
Neutrones
Masa gravitacional
M g=Mbarionica+Eg /C
2
EOS
Gas de 
Neutrones 
degenerado
T<T F
U=32 P V
P=2
5
ρϵf
M>1,44 M sol
R≈10 Km
E g≈
G M 2
R
≈0,2 M C2
g≈G M
R2
≈2 x 1011 gT
ρ= 3 M
4 π R3
≈2,5ρneutron
T s≈10
9 K
Teorema “Los agujeros negros no tienen pelos”
El teorema de no pelo, teorema sin pelo o teorema de la calvicie (traducción del 
inglés no hair theorem) postula que todas las soluciones del agujero negro 
descritas en las ecuaciones de Einstein-Maxwell de gravitación y 
electromagnetismo en la relatividad general pueden ser caracterizadas por solo 
tres parámetros observables de manera externa: su masa M, su carga Q y su 
momento angular J.
Toda otra información acerca de la materia que forma el agujero negro o que está 
cayendo en él, desaparece detrás del horizonte de sucesos y es 
permanentemente inaccesible a un observador externo (paradoja de la formación 
del agujero negro).
Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). 
Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. pp. 875–877.
Objeción de Feyman
Richard Feynman se opusoa esta frase, cuando había demostrado que un agujero 
negro no revela nada de lo que entró. Puede mostrar carga eléctrica; Masa; y Momento 
angular. Pero no hay otras características, de ahí la frase, "un agujero negro no tiene 
cabello". Richard Feynman pensó que era una frase obscena y no quería usarla. Pero 
esa es una frase que ahora a menudo se usa para establecer la característica de los 
agujeros negros, que no indican ninguna otra propiedad que no sean una carga y un 
momento angular y una masa.
Dos agujeros negros que tienen la misma masa, el mismo 
momento angular y la misma carga son INDISTIGUIBLES!
 
Qué métrica usar? En un agujero 
negro
M=masa, Q=carga, J=momento angular
M≠0, 
Q=J=0 Métrica de Schwarzchield
M≠0, 
Q=0,
J≠0
M≠0, 
Q≠0,
J=0
M≠0, 
Q≠0,
J≠0
Métrica de Kerr
Métrica de Reissner-
Nordström
Métrica de Kerr-Newman
 
Comparativa de agujeros negros
 
Modelo simple de AN, M≠0, J=Q=0
Como se vio antes la métrica es: dS
2=(1−2G M
C2r
)C2 dt 2− dr
2
(1−2G M
C2r
)
−r2 dΩ2
Cuando 2G M
C2 r
=1 Se encuentra una singularidad evitable por cambio de coordenadas
Que es conocida como radio de Schwarzschield u horizonte de eventos geométrico, en 
cambio r=0, es una singularidad esencial de este modelo que no desaparece con un 
cambio de coordenadas
Rs=
2 G M
C 2
≡2 M En unidades geométricas
dS2=(1−
Rs
r
)C2 dt 2− dr
2
(1−
Rs
r
)
−r2 dΩ2
 
Datos útiles
Área de un AN A=4 πRs
2=16 πG
2
C4
M 2 Cuanto mas masivo es más área tiene
Velocidad de escape radial ve=C √ RsR para R>Rs
Gravedad superficial gs=
G M
Rs
2 =
C4
4 G M Cuanto mas masivo menos gravedad tiene
Entropía Se=
kb C
3
4 πℏG
A≈1077 M
M sol
(J /K )
Temperatura superficial T s=
ℏC3
8 G M kb
≈10−7
M sol
M
(K )
 
Dilatación gravitacional del tiempo
r>Rs dr=0 dS2=C2 d τ2 Es decir un observador estático
Tiempo propio
dS2=(1−
Rs
r
)C 2 dt2
dt= d τ
√1−Rsr
d τ∞=
d τ
√1−R sr
Corrimiento al rojo gravitacional f ∞=√1−R sr f e
Este corrimiento al rojo no tiene nada 
que ver con el Doppler relativista
f o=√1− vC1+ vC f e
 
Distancia propia
Considero la condición de simultaneidad dt=0 dS
2=− dr
2
(1−
R s
r
)
−r2 dΩ2
dl2=−dS2= dr
2
(1−
Rs
r
)
+r2 dΩ2
dl=r dΩ Distancia transversal
dl= dr
√1−Rsr
Distancia longitudinal
Lejos Cerca el horizonte
Se acerca
 
Paraboloide de FLAMM
La métrica Euclídea en cilíndricas 
ρ=R s+
z2
4 Rs
dl2=dρ2+ρ2 d ϕ2+d z2
Se la inducirá en la superficie
z=2√R s(ρ−Rs) d z=
Rs
√Rs(ρ−Rs)
dr
dl2= d ρ
2
(1−
Rs
ρ )
+r2 d ϕ2
Superficie de FLAMM
En la variedad espacio-tiempo de un AN, corresponde a un 
volumen de FLAMM
dl2= dr
2
(1−
Rs
r
)
+r2 dΩ2
 
Observador estáticoF̄
m ā
Un observador estático sólo puede existir si la métrica es estática
Bajo esta condición es un vector de Killing κ=∂t=e0
Como vimos antes un observador en caída libre su 4-
aceleración es nula pues se mueve en una geodésica, 
en cambio un observador estático está acelerado!
Conservación de la 
energía
Para dicho observador su 4-velocidad será V=
C
√1−Rs /r
e0 Luego la 4-aceleración
a=d V
d τ
=d X

d τ
∂V
∂X
=V 0
∂(V 0 e0)
∂ X 0
=V 0(∂V
0
∂ X 0
e0+V
0 ∂ e0
∂ X 0
)
 
a=V 0( ∂V
0
∂ X 0
e0+V
0 ∂ e0
∂ X 0
)
∂V 0
∂X 0
=0
∂ e0
∂X 0
=Γ00
 e=Γ00
1 e1=
Rs
2 r2
(1−Rs /r)e1
a=(V 0)2Γ00
1 e1=C
2 Rs
2 r2
e1 Pero a diferencia de er , e1 no está normalizado 
g(e1 , e1)=
1
1−Rs /r
e1=(1−R s/r)er
a=C2
Rs
2r2(1−Rs /r )
er
Potencial pseudo-newtoniano (no energía la potencial!!)
ϕ(r)=∫ a dr+B ϕ(r)=C
2
2
log (1−
Rs
r
) ϕ(r)→G Mr , r→∞
 
Aproximación de la ecuación orbital para V « C sería 
E=1
2
m( d r
d t
)
2
+m C
2
2
log (1−
R s
r
)+
lz
2
m2 r2
Que según los expertos se cometería un error aceptable no mayor al 5%
 
Comparación de paradigmas
Relatividad General Mecánica Clásica
Caída libre No está acelerado, la 4-
aceleración es nula porque 
se mueve en una 
geodésica
Está sometido a la fuerza 
gravitatoria, por la segunda ley 
de Newton está acelerado
Observador estático Está acelerado y su 4-
aceleración es la gravedad
Por la segunda ley de Newton la 
aceleración debe ser cero
 
Ecuación orbital
Si la velocidad aerolar es A= J
m
=r2 d ϕ
d τ
Esta se conserva si no ha Frame-Dragging
C 2 d τ2=(1−
R s
r
)C2 dt2− dr
2
(1−
Rs
r
)
−r2 dΩ2 C2=(1−
Rs
r
)C 2( dt
d τ
)
2
−
( dr
d τ
)
2
(1−
Rs
r
)
−r2( d ϕ
d τ
)
2
Se restringe al 
plano orbital
Como e0 Es un vector de Killing (1−
Rs
r
) d τ
d t
= E
mC2
Cantidad conservada
Operando (
d r
d τ
)
2
+ J
2
m2 r2
(1−
R2
r
)−C2
Rs
r
=C2( E
mC2
−1)
 
Caer en un AN, visto por el que cae
Supongamos que un astronauta cae en un AN radialmente, desde una distancia 
lejana parte del reposo
E=mC 2
J=0
( d r
d τ
)
2
−C2
Rs
r
=0 τ=
2
3
1
√Rs
(r1
3/2−r2
3/2)
r2=0
r1=r0
τ= 2
3
1
√R s
r0
3 /2El astronauta no solo 
pasa el horizonte de 
eventos, sino que se 
dirige en un tiempo finito a 
la singularidad
 
Caer en un AN, visto por un 
observador lejano
( d r
d τ
)
2
−C2
Rs
r
=0
(1−
Rs
r
) d τ
d t
= E
mC2
=1
dt
dr
=−1
c √ rRs 11−Rs /r
El observador 
lejano usa el 
tiempo 
coordenado
Para el observador exterior el 
astronauta se congela a medida 
que se acerca al horizonte de 
sucesos, y a partir de ahí no cae 
mas
 
Entropía de un agujero negro de 
Bekenstein-Hawking
Cuando un AN absorbe masa su área se incrementa pero la masa por el teorema 
de “los AN no tiene pelos” se destruye toda información respecto de esta lo que 
sería algo similar a una visión mecánico estadística de entropía.
δ S=C
2δM
T s
La longitud de onda térmica de Broglie de la masa engullida, se propuso que 
debía ser del orden del radio del horizonte
λ=ℏC
k T
≈Rs χ λ=Rs
T s=χ
ℏC3
2G k M
S= C
3 k
16 π ℏG χ
As
Hawking encuentra usando teoría de campos que χ=
1
4 π
S= C
3 k
4 ℏG
As
 
Termodinámica Agujero Negro
Ley cero Equilibrio térmico La gravedad y la temperatura 
superficial es constante en todo el 
horizonte de eventos
Primera 
ley
Segunda 
ley
Tercera 
ley
Las cuatro leyes de la 
termodinámica en un agujero negro
δQ=dU +δW
δ S≥0
T=0⇒ S=0
C2 dM=T s dS+ωdJ+ϕ dQ
δ A s≥0
T s≠0
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