26 Fotones Y Formula de Planck

Vista previa del material en texto

Clase 19: gas de Fotones
1. Fotones
All these 50 years of conscious brooding have brought me no nearer to the answer to the question,
’What are light quanta?’. Albert Einstein, 1951.
Los fotones son las part́ıculas cuánticas responsables de las manifestaciones del electromagnetismo.
Los fotones son la cuantización del campo electromangético clásico, el cual es el ĺımite cont́ınuo válido
cuando existe una enorme cantidad de fotones. Por ejemplo a 1m de distancia de una lamparita de
100 W hay del orden de 1019 fotones por m² y por segundo.Los fotones no interactúan entre śı, por
lo que el modelo del gas de fotones representa muy bien a la radiación electromangética. Además, los
fotones son part́ıculas de spin S=1, por lo que su estad́ıstica es bosónica.
Consideremos un gas de fotones, o sea un gas de bosones no interactuantes con una relación
enerǵıa-momento relativista y masa en reposo nula.
�k = c|p̄| = ~c|k̄| (1)
Que viene de la relación enerǵıa-momento E2 = m20c
4 +c2p2 con m0 = 0. Podemos calcular la gran
función de partición para este sistema, la cual, como es el caso de bosones, es
ln Ξ =
pV
kT
= −
∑
k
ln(1− exp{−β(�k − µ)}) (2)
Para el número medio de part́ıculas y para la enerǵıa tenemos:
N(T, V, z) = −
∑
k
1
z−1exp{β(�k)} − 1
(3)
U(T, V, z) = −
∑
k
εk
z−1exp{β(�k)} − 1
(4)
donde z es la fugacidad z = e−βµ. En principio tenemos que considerar un gas de fotones en
equilibrio térmico en una cavidad, por lo que dado su gran número de estados por intervalo de enerǵıa,
pasamos al cont́ınuo y calculamos su densidad de estados.
Σ =
∫
d3r d3p
h3
=
4πV
h3
∫ ∞
0
p2dp =
4πV
h3c3
∫ ∞
0
�2d� (5)
con lo que la densidad de estados es
g(�) =
dΣ
d�
=
4πV
h3c3
�2 (6)
Notemos que, como es sabido, la densidad de estados está afectada por la relación de dispersión
relativista 1.
Para el caso de fotones hace falta hacer una consideración más. Como siempre, en la densidad de
estados no está tenido en cuenta el peso del nivel de enerǵıa más bajo, que en este caso es el nivel de
enerǵıa � = 0 que corresponde a k = 0. Crear un fotón en este estado requiere una enerǵıa nula, ya
que los fotones no tienen masa en resposo y por lo tanto una part́ıcula en reposo, o sea con p = 0,
podrá ser creada sin costo energético alguno. Por lo tanto el potencial qúımico para fotones es
nulo, µ = 0, z = 1. No tiene sentido fijar el número de fotones, ya que se puede volver arbitrariamente
grande, al no costar enerǵıa agregar part́ıculas al estado �k = 0. Esta divergencia en el número de
ocupación < n0 > no tiene implicancias en las propiedades f́ısicas del sistema, ya que los fotones con
enerǵıa nula no afectan las propiedades como la enerǵıa interna, la presión, etc.
1
Teniendo en cuenta esto, podemos calcular las expresiones 2 y 4
ln Ξ(T, V ) =
pV
kT
= −4πV
hc3
∫ ∞
0
ln(1− e−β�)�2d�
=
4πV
hc3
β
3
∫ ∞
0
�3
eβ� − 1
d� (7)
donde en el último paso se hizo una integración por partes.
Para la enerǵıa tenemos:
U(T, V, z) =
4πV
hc3
∫ ∞
0
�3
eβ� − 1
d� (8)
por lo que comparando las ecuaciones 7 y 8 llegamos a la ecuación de estado del gas ultrare-
lativista
p =
1
3
(
U
V
)
(9)
notamos que en el caso no relativista la presión resultaba 2/3 de la densidad de enerǵıa, en vez de
el 1/3 de nuestro caso ultrarelativista.
Con la sustitución x = β� las integrales 7 y 8 se pueden llevar a una forma conocida como la que
vimos en la clase anterior.
gn(z) =
1
Γ(n)
∫ ∞
0
xn−1
zex − 1
0 ≤ z ≤ 1, n ∈ R (10)
donde Γ es la función Gamma y aqúı por ser fotones tenemos z = 1. En el siguiente gráfico
(Greiner) podemos ver las funciones gn(z)
de esta forma nos queda
ln Ξ(T, V ) =
pV
kT
=
4πV
hc3
2
β3
g4(1) (11)
2
y como se conoce que g4(1) = π
4/90
p =
1
3
(
U
V
)
=
8π
hc3
(kT )4
π4
90
(12)
Vemos entonces que en el gas de fotones la presión y la densidad de enerǵıa son funciones tan solo
de la temperatura, p, U/V ∝ T 4, y entonces las isotermas son horizontales en un diagrama P-V. Como
U = TS − pV + µN = TS − pV , F = U − TS = pV y
F = −pV = −1
3
U = − 8π
5
90(hc)3
V (kT )4 (13)
y la entroṕıa es S = 1T (U − F ) =
4
3
U
T
S =
32π5
90(hc)3
V k (kT )3 (14)
El calor espećıfico queda
cv =
1
n
∂u
∂T
=
3S
n
(15)
El número medio de part́ıculas de la ecuación 3 nos queda
N(T,V) =
4πV
hc3
∫ ∞
0
�2
eβ� − 1
d� =
8πV
(hc)3
1
β3
g3(1) ∝ T3 (16)
Sin embargo, este cálculo no tiene en cuenta el infinito número de fotones que se encuentran en
el nivel de enerǵıa nulo �k = 0. De todos modos, estos fotones no afectan las propiedades f́ısicas
antes calculadas. Pero lo más importante es que si se calculan las fluctuaciones del número de fotones
alrededor de el valor medio de la ecuación 16, tal como se hizo en la clase 9 en el gran canónico (ver
pdf. clase 9 página 4)
σN
N
=
√
kBT κ
V
(17)
donde κ = − 1V
∂V
∂p |T es el coeficiente de compresibilidad. En el caso de fotones, ya que la presión
no depende del volumen, ∂p∂V |T = 0 y entonces el coeficiente de compresiblidad es infinito, por lo que
las fluctuaciones de part́ıculas alrededor del punto medio son infinitas.
2. Ley de radiación de Planck
Apliquemos lo que vimos al problema de un gas de fotones en una cavidad con paredes idealmente
reflectantes, la cual posee un pequeño orificio.
Figura 1: Un modelo ideal de un cuerpo negro
Nos interesa calcular la potencia emitiva que abandona la cavidad por un area pequeña dA. Como
vimos, la densidad de radiación espectral Q(ω, T ) (potencia emisiva de radiación por unidad de área
3
y por intervalo de frecuencia) de un cuerpo cualquiera a temperatura T , se puede expresar en función
de la densidad de radiación de un cuerpo negro
Q(ω, T ) = A(ω, T ) Qcuerpo negro(ω, T )
El factor A(ω, T ) es la absorvancia de cuerpo, la cual depende, como lo hace la densidad espectral,
de la frecuencia de la radiación y de la temperatura. Un cuerpo negro se caracteriza entonces por una
absorvancia unitaria Acn(ω, T ) = 1. Como vimos ya, una pequeño agujero en una cavidad representa
un buen modelo del cuerpo negro, ya prácticamente toda la radiación que lo impacta es absorvida
(un fotón que ingresa tiene chances casi nulas de salir). La radiación que se emite desde el agujero
(porque algo efectivamente sale por el mismo) es la radiación del cuerpo negro. El agujero representa
un cuerpo emisivo con absorvancia Acn(ω, T ) = 1.
El gas de fotones en el interior de la cavidad se puede modelar como un gas de Bosones ultrare-
lativista, como el de la sección previa. Aqui conviene prestarle atención al spin del fotón, del cual no
nos hemos ocupado hasta ahora. Los fotones tienen spin S = 1, por lo que, ya que la enerǵıa de los
mismos no depende de la proyección de spin, habŕıa que multiplicar la densidad de estados 6 por el
correspondiente factor 2S + 1. Pero para los fotones ocurre que la proyección Sz = ±~ corresponde
a ondas transversales con polarización circular derecha e izquierda, respectivamente, mientras que la
proyección Sz = 0 corresponde a una onda longitudinal, la cual, ya que el campo electromagnético es
siempre transversal, debe ser descartada.
Figura 2: Polarización de fotones para ondas transversales
Por lo tanto la degeneración de spin es tan solo gs = 2.
g(�) = 2.
4πV
h3c3
�2 (18)
El número de fotones en un intervalo d� es
dN(�) = 〈n�〉g(�)d� =
8πV
h3c3
�2d�
eβ� − 1
o, si se la escribe en función de la frecuencia utilizando �k = ~c|k̄| = ~ω, y n = N/V la densidad
espacial de fotones
dn(ω)
dω
=
1
π2c3
ω2
eβ~ω − 1
(19)
con esto podemos obtener la densidad de enerǵıa u = U/V por intervalo de frecuencia
du(ω)
dω
= ~ω
dn(ω)
dω
=
~
π2c3
ω3
eβ~ω − 1
(20)
4
de fórmula 18 imponiendo que g(�)d� = g(ω)dω, por lo que g(ω) = g(�)~ y entonces
du(ω)
dω
=
〈�ω〉
V
g(ω) =
(
~ω
eβ~ω − 1
+
~ω
2
)
ω2
π2c3
(23)
la cual es idéntica a la ecuación 20 excepto por la enerǵıa de punto cero de los osciladores, que no era
conocida en tiempos de Planck y que puededescartarse de todos modos. Los fotones indistinguibles
son equivalentes a los cuantos de enerǵıa que absorven o emiten los osciladores distinguibles de Planck,
y se llega al mismo resultado.
2.0.2. Ley de radiación de Wien
Si los fotones fueran tratados como distinguibles, en vez de la ocupación de Bose-Einstein de-
beŕıamos haber utilizado la de Maxwell-Boltzmann
〈nω〉 = e−β~ω
lo cual implica tomar el ĺımite ~ω � kBT en la ley de Planck 21, con lo cual se obtiene el resultado
QWien(ω, T ) = ~ωR(ω) =
~
4π2c2
ω3e−β~ω (24)
Esta es la ley de radiación de Wien, la cual era conocida desde 1897, antes de la ley de Planck
(sin conocerse la constante de Planck ~ tampoco). Wien la derivó suponiendo que la radiación era
emitida por moléculas que obedećıan la estad́ıstica de Maxwell-Boltzmann, o sea eran distinguibles,
sin imponer ninguna restricción sobre como absorven o emiten enerǵıa.
2.0.3. Ley de radiación de Rayleigh Jeans. Catástrofe ultravioleta.
Podemos considerar el otro ĺımite ~ω � kBT . En este caso la separación entre niveles es mucho
menor que la enerǵıa térmica, y la estructura discreta del espectro ya no juega un papel importante. En
este ĺımite se cumple el principio de equipartición. Para part́ıculas ultrarelativistas como los fotones,
el cálculo de la enerǵıa cinética total resulta 〈Ecin〉 = 3kBT , por lo que cada grado de libertad tiene
una enerǵıa media kBT . Si se emplea esta enerǵıa media por oscilador en la ecuación 23, en vez de la
de los osciladores cuánticos, obtenemos
du(ω)
dω
=
〈�ω〉
V
g(ω) = kBT
ω2
π2c3
lo que nos lleva a la ley de radiación de Rayleigh y Jeans:
QRJ(ω, T ) =
ω2
4π2c2
kBT (25)
la cual, también el ĺımite de ~ω � kBT de la ley de Planck 21, obtenida expandiendo la exponencial de
forma que e~ω/kBT ≈ 1 + ~ω/kBT . Por ser un ĺımite clásico, es natural que en la fórmula de Rayleigh
y Jeans no aparezca ~. En la figura 2.0.3 podemos ver las tres leyes de radiación. La ley de Wien
aproxima bastante bien a la ley de Planck, pero falla a altas temperaturas o bajas frecuencias. En
6
cambio la ley de Rayleigh Jeans aproxima bien la ley de Planck tan solo a altas temperaturas o bajas
frecuencias, pero adolesce de que a altas frecuencias predice una intensidad de radiación infinita. Esto
es lo que se conoce como catástrofe ultravioleta, por ser el ultravioleta el ĺımite de alta frecuencia
del espectro visible.
7
	2383ede1d27ce1017de3f0b983f118083148d139af1710afceefc43496eda997.pdf
	Fotones
	Ley de Planck en su derivación original
	Ley de radiación de Planck
	3a9db3e87d82778cd49e01db6edaeb5a95f9ac1766246cb72f6a71b3746e9e64.pdf
	2383ede1d27ce1017de3f0b983f118083148d139af1710afceefc43496eda997.pdf
	Ley de Planck en su derivación original
	Ley de radiación de Planck