23 Paramagnetismo de Pauli

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Paramagnetismo de Pauli de Pauli
El paramagnetismo de Pauli se debe a la respuesta de los
electrones de conducción de un metal cuando se aplica un campo
magnético. Como los responsables del fenómeno son los
electrones de conducción del modelo de Sommerfeld, podemos
decir que el paramagnetismo de Pauli es la respuesta magnética
del gas de Fermi cuando se aplica un campo magnético y los
electrones ven alterada su energía por el mismo, de la misma
manera que el calor específico era la respuesta térmica cuando se
encendía la temperatura y los electrones ganaban energía térmica. 
La función respuesta que pretendemos calcular ahora, en vez
del calor específico, será la susceptibilidad magnética, ya que las
funciones respuesta son cantidades medibles en experimentos. Tal
como sucedió con el calor específico, debido al apilamiento en
energía de los electrones por el principio de exclusión de Pauli, tan
solo podrán ser exitados los electrones que estén en una pequeña
franja energética alrededor de la energía de Fermi, pues
nuevamente la energía de la excitación, o sea la energía magnética
ganada por los electrones, será de mucho menor mangitud que la
energía de Fermi. 
Electrones libres inmersos en un campo magnético. 
Cuando un electrón es colocado en un campo mangético B, a su
energía cinética se le suma una energía magnética, que proviene de
su momento magnético inmerso en el campo B. 
En un metal existen por un lado electrones de conducción y por otro
iones que forman una red cristalina. Los iones tienen en general
capas electrónicas llenas, por lo que su respuesta magnética es
puramente orbital (o sea diamagnética) y en general muy débil. Por
otro lado los electrones de conducción o valencia, cuando colocados
en un campo magnético B, suman a su energía cinética la energía
magnética debida de su momento magnético inmerso en el campo.
Además de este efecto paramagnético, existe un efecto
diamagnético debido al movimiento orbital de los electrones de
conducción (recordemos que un electrón libre en un campo B gira en
una órbita circular). Este efecto se denomina diamagnetismo de
Landau. No lo estudiaremos en este curso, pero es bueno decir que
para electrones puramente libres se puede mostrar que da una
suceptibilidad magnética = -1/3 de la susceptiblidad paramagnética
de Pauli que procederemos a calcular. 
Consideraremos entonces tan solo momento magnético de spin, el
cual es:
La energía magnética del electrón en un campo magnético que
consideraremos aplicado en la dirección z, B= Bzez =Bez es
 
Como gS=2: 
Nota: de aquí en más, cuando pongamos una flecha ↑ o ↓ o digamos
up o down, nos estaremos refiriendo a la proyección de spin Sz. En
algunos libros se refieren al momento magnético μS, que tiene el
signo opuesto. 
En base a lo que vimos para el gas de electrones degenerado,
volvemos a la imágen de estados ocupados hasta la energía de
Fermi, para B=0. Es conveniente pensar al gas como dos
distribuciones, una para spin up y otra para spin down. A la hora de
encender el campo magnético, la distribución up sube en energía y la
down baja 
B=0 B≠0
B=0 B≠0
pero esto lleva a una rápida redistribución de partículas, pasando las
que subieron en energía a ocupar el lugar vacío que dejaron las que
bajaron en energía (esto ocurre en un tiempo característico del orden
de 10-11 s) 
En las figuras previas los cambios de energía están muy
exagerados, pues típicamente μB.B ≈ 10-6 eV si B=0.1 Tesla,
mientras que la Ef ≈ 1eV. 
Procedemos, en base a la figura anterior, a calcular la
magnetización del sistema. Para ello notamos que 
La última igualdad viene del hecho de que tenemos que computar
tan solo el exceso de electrones down respecto a los up cuando el
campo magnético está presente. Como el exceso de down y el
defecto de up son proporcionales al corrimiento de las respectivas
bandas (figura superior derecha en la página anterior), y que estos
corrimientos se pueden considerar infinitesimales, también podemos
considerar infinitesimales al exceso o defecto de electrones down o
up, respectivamente. 
Si notamos que g(ε)=dN /dε :
 
ya que los corrimientos de las bandas ocurren muy cerca del nivel de
Fermi. Llegamos entonces a: 
 
por lo que la susceptibilidad paramagnética debida a los electrones
de conducción, denominada paramagentismo de Pauli, resulta: 
donde hemos podido escribir que χ=M /H gracias a que la misma
es pequeña. 
Nuestra expresión para el paramagneismo de Pauli es independiente
de la temperatura, pero esto se debe a que comenzamos ignorando
la deformación de la superficie de Fermi debido a una posible finitud
de la temperatura. Sin embargo, si el efecto de la temperatura es
incluido, se produce tan sólo una pequeña corrección. 
Esta es la corrección de T finita a la susceptiblidad paramagnética de
Pauli, o sea la del gas de fermiones degenerado. Es muy pequeña
ya que kBT << Ef 
El paramagnetismo de Pauli es un efecto débil, mucho más
pequeño que el paramagnetismo observado en los aisladores a la
mayoría de las temperaturas, que obedece a la ley de Curie. Esto es
porque en aislantes paramagnéticos al menos un electrón en cada
átomo magnético contribuye al magnetismo, pero en un metal tan
(1)
solo aquellos electrones muy cercanos al nivel de Fermi de entre los
electrones de conducción son los que juegan un papel en el
paramagnetismo de Pauli. La magnitud relativamente pequeña de la
susceptibilidad paramagnética de la mayoría de los metales era una
especie de rompecabezas hasta que Pauli señaló que se debía al
hecho de que los electrones obedecen a una estadística de Fermi
Dirac, en lugar de a una estadística clásica.
El efecto de la estadística de Fermi-Dirac y la transición desde el
paramagnetismo de Pauli hacia el de paramagnetismo de Curie de
momentos magnéticos localizados se puede ver mejor derivando
nuevamente la susceptibilidad de Pauli. 
El exceso y defecto de electrones down y up se escribe
donde n(E) es el número de ocupación de Fermi-Dirac. Esto es así
ya que si integramos desde 0, a la densidad de spin up hay que
bajarla y a la down subirla en la energía magnética. 
La magnetización M = μB(n↓ - n↑) y si multiplicamos y dividimos por la
energía magnética (considerada infinitesimal) 
como g(0)=0 y n(∞)=0 (ver figura más arriba), el primer término es 0,
por lo que 
en el límite de alta degeneración (T=0) la derivada de la función de
Fermi-Dirac es una delta centrada en la energía de Fermi Ef
de forma tal que recobramos 
tal como antes. 
Si nos vamos al límite no degenerado n(E)≈e−(E−μ)/kBT donde cada
nivel está muy parcialmente ocupado, las partículas se vuelven
distinguibles 
con lo que la magnetización queda 
y 
con lo que recuperamos la susceptibilidad de Curie de n momentos
magnéticos distinguigles (de magnitud μB) por unidad de volumen.
Es importante notar que en la susceptiblidad paramagnética de Pauli
se debe a que los fermiones forman el mar de Fermi al cumplir con el
principio de exclusión. Por ello, solo unos pocos responden a la
excitación magnética del campo B. Si vamos al límite donde la
estadística es clásica de Maxwell-Boltzmann, las funciones de onda
térmicas de los electrones ya no se solapan, por lo que se vuelven
distinguibles entre sí. En ese límite (de alta temperatura), todos los
electrones de conducción contribuyen al paramagnetismo, y se
recupera el paramagnetismo clásico de Curie. Esto se nota
claramente si comparamos las fórmulas del el paramagnetismo de
Pauli (1) y del de Curie (2). La de Pauli está dividida por la energía
de Fermi Ef, una energía grande, mientras que la de Curie está
dividida por kBT, con lo que está claro que χP << χC
 
Como mostramos en la clase anterior, el límite no degenerado no se
alcanza nunca en metales, pues requiere una temperatura delorden
de la Tf de decenas de miles de grados, por lo que antes el metal se
fundiría. Hay sin embargo materiales que, teniendo electrones de
conducción (o sea sin ser aislantes), tienen una densidad de
portadores de carga baja (por ejemplo los semiconductores) y que
entonces tienen una Ef, que es proporcional a n2/3, mucho menor que
la de los metales. En ellos, el límite clásico de baja degeneración
puede alcanzarse, obteniéndose una susceptibilidad de Curie a altas
temperaturas. 
(2)