27 Superfluidez

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recipiente. London identificó los átomos del ĺıquido normal con los átomos que ocupan el estado
excitado, mientras que los átomos superfluidos se identificaron con los átomos que ocupan el
estado fundamental en la condensación de Bose-Einstein.
La existencia de dos ĺıquidos está realmente confirmada experimentalmente, y un buen ejem-
plo de esto es el hecho de que diferentes métodos de medición producen resultados diferentes
para la viscosidad. Una forma es medir la tasa de flujo del ĺıquido en un capilar. Esta tasa es
inversamente proporcional a la viscosidad. Las mediciones de este tipo arrojan los valores de
viscosidad extremadamente pequeños que se mencionaron anteriormente, y han dado lugar al
término ”superfluidez”. Por otro lado, las mediciones de la viscosidad de He II por el método
de la rotación de un cilindro, que se ilustra en la figura 1, produce valores muy cercanos a los
de He I.
Figura 1: Experimento de viscosidad con cilindro rotatorio. Fuente: Amit.
La razón de esto es que la viscosidad del componente ’normal’ de He II le impide participar
en el flujo a través de los capilares, y, por lo tanto, ese flujo es totalmente superfluido. Por
el contrario, en el cilindro giratorio participa todo el ĺıquido. El componente superfluido no
contribuye, pero el número macroscópico de átomos ’normales’ que participan en este flujo dan
lugar a una viscosidad como la del He I.
La enorme conductividad térmica también es un reflejo del hecho de que el He II consta de
dos componentes diferentes. El calentamiento de una determinada región A con respecto a una
región cercana B conduce a una diferencia en la concentración de los átomos del componente
superfluido, ya que su número disminuye con aumento de temperatura (son los átomos en el
estado fundamental del condensado). De ah́ı la concentración de la componente superfluida en
la región A se reduce, y, como resultado, se establece una corriente de la componente super-
fluida de B a A, para equiparar las concentraciones. Esta corriente provoca un aumento en la
2
densidad total y la presión total del helio en la región A, que a su vez da lugar a una corriente
de la componente normal de A a B. En un estado estacionario en el que se crea un gradiente
de temperatura entre A y B (TA > TB), aparecerá, por tanto, una corriente de la componente
superfluida de B a A, y una corriente de la componente normal de A a B. Dado que los átomos
del componente superfluido están todos en el nivel fundamental, su entroṕıa es nula, por lo
que no pueden transportar calor. Por otro lado, la componente normal śı transporta calor, de
modo que la diferencia de temperatura creada va acompañada de un flujo de calor de la región
caliente a la región fŕıa. Este mecanismo de conducción de calor es muy eficiente. Conduce al
hecho de que He II hierve sin burbujas: cualquier aumento de temperatura local cerca del punto
de ebullición no conduce a la evaporación de la región y a la aparición de una burbuja, sinó
que es inmediatamente llevado al borde del ĺıquido, provocando que su superficie se evaporare.
Hasta aqúı hemos hecho una descripción cualitativa de la forma en que la condensación de
Bose-Einstein puede desribir el fenómeno de superfluidez en He II. La descripción del helio
ĺıquido como un gas de Bose ideal debe considerase tan solo como una aproximación cruda, que
algo mejoraremos más adelante. Pero antes vale la pena ver varias propiedades del helio ĺıquido
que se pueden capturar dentro de esta descripción.
2. Modelo de la superfluidez desde la condensación de
Bose-Einstein
2.1. Temperatura Cŕıtica
Primeramente nos enfocamos en la temperatura cŕıtica. La temperatura donde ocurre la
transición a la superfluidez en el He4 es 2.17 K. Si colocamos la masa del He4, que es cuatro
veces la masa atómica, y su densidad de masa, que es 0.14 g/cm3, en la ecuación 1, obtenemos
una temperatura cŕıtica de cerca de 3K, lo cual está lo suficientemente cerca como para dar
cierto soporte para tratarlo como un gas de Bose.
2.2. Experimento de Andronikashvili.
Un experimento interesante realizado por sugerencia de Lev Landau en 1946 por Elephter
Andronikashvili, un f́ısico Georgiano, muestra hasta cierto punto las limitaciones del modelo de
dos fluidos. En el experimento se hacen rotar cilindros de forma oscilante, produciendo oscila-
ciones torsionales. La parte normal del fluido rota junto a los cilindros, mientras que la parte
superfluida no lo hace. Existirá una frecuencia de resonancia de rotación de los discos, la cual
dependerá de la masa efectiva de los mismos, causada por su interacción con la parte normal
del fluido que rota junto con ellos. De esta forma, se puede determinar la proporción de fluido
normal (y por ende de fluido superconductor) en función de la temperatura con la frecuencia
de resonancia de los discos.
En la figura 3 se puede ver la medición de Andronikashvili
3
Figura 2: Experimento de Andronikashvili. Fuente: Cowan.
Figura 3: Experimento de Andronikashvili: fracción de fluido en el estado fundamental. Fuente:
Cowan.
2.3. Calor espećıfico.
2.3.1. Por debajo de Tc
Seguidamente nos enfocamos en el calor espećıfico. Mediciones del calor espećıfico alrededor
de la temperatura de transición 2,17 K revelan un fuerte aumento del mismo con la temperatura,
lo que evidencia un cambio brusco en las propiedades del ĺıquido. Esto puede verse en la Fig.
4. Veremos a continuación que el calor espećıfico del gas Bose aumenta con T para T < Tc y
disminuye para T > Tc. En T = Tc hay un pico no tan pronunciado como el del experimento.
La diferencia cuantitativa entre las curvas experimetrales y teóricas refleja el hecho de que la
descripción del helio ĺıquido como gas ideal de bosones es demasiado aproximada. Para obtener
un mejor acuerdo, deben tenerse en cuenta las interacciones entre los átomos, pero no haremos
eso aqúı.
El calor espećıfico de un gas de bosones por debajo de la temperatura cŕıtica es relativamente
simple, ya que como vimos por debajo de Tc el potencial qúımico es nulo, µ = 0 y la enerǵıa es
puramente por los átomos que están en los estados excitados
4
Figura 4: Calor espećıfico molar de He4, en unidades de la constante universal de los gases
R.Fuente: Amit.
U =
∫
� g(�) nBE =
2πV (2m)3/2
h3
∫ ∞
0
� �1/2
eβ� − 1
d�
=
2πV (2m)3/2 (kT )5/2
h3
∫ ∞
0
x3/2
ex − 1
dx
donde hemos hecho la sustitución x = β� en el último paso. La integral en x se puede evaluar
y vale I = 1,006
√
π, por lo que nos queda
U =
2,012 V (2πm)3/2 (kT )5/2
h3
(2)
Derivando, obtenemos el calor espećıfico para temperaturas T < Tc:
CV =
5,030V (2πmkBT )
3/2kB
h3
= 1,926 NkB
(
T
Tc
)3/2
T < Tc (3)
El calor espećıfico de un gas de bosones por debajo de la temperatura cŕıtica va como T 3/2,
en comparación con el de un gas de Fermi degenerado que es lineal en T. Alcanza un máximo de
1,925kB por part́ıcula, frente a 32kB para un gas clásico. Notemos además que el calor espećıfico
y la enerǵıa no dependen del número de part́ıculas. La razón de esto es que por debajo de Tc to-
das las part́ıculas adicionales se acumulan en el nivel fundamental, y no contribuyen a la enerǵıa.
El CV calculado crece como T
3/2, mientras que el medido experimentalmente crece como T 3.
Este exponente 3 es indicativo de que las excitaciones predominan son las excitaciones fonónicas,
siendo un fonón un cuanto de vibración de una red cristalina, algo análogo a las vibraciones
que vimos del Sólido de Einstein, solo que con osciladores cuánticos acoplados. El fonón es una
excitación colectiva. Siendo el He4 un ĺıquido, no es tan directo ver como se producen fonones,
pero dejamos eso de lado y nos los imaginamos como excitaciones vibracionales igual.
5
2.3.2. Por encima de Tc
Ahora nos interesamos por el calor espećıfico por encima de la temperatura cŕıtica. Sin hacer
el cálculo detallado, lo que se puede ver fácilmente es que, desde el valor máximo alcanzadode
1,925kB por part́ıcula válido en T = Tc, a altas temperaturas el CV tiene que tender al valor
3/2kB por part́ıcula. Aśı, sin tener la forma funcional detallada, podemos darnos una buena
idea de como es el calor espećıfico del modelo de gas de bosones y como compara con el medido
experimentalmente. En la figura 5 se puede ver tal contraste, de donde podemos ver la aproxi-
mación gruesa que representa el modelo del gas de bosones, aunque cualitativamente tiene una
forma aceptable.
Figura 5: Calor espećıfico del gas de bosones y su comparación con el experimento. Fuente:
Cowan.
El cálculo detallado del calor espećıfico por encima de Tc es algo largo, pues incluye calcular
como dependen de la temperatura el potencial qúımico, el número de part́ıculas en el estado
normal y la enerǵıa, todo con un desarrollo perturbativo en el potencial qúımico, ya que el
mismo, cerca de Tc, tiene un valor cercano a 0. El cálculo detallado se puede ver en la sección
4.5 del libro de Amit-Verbin.
Lo que sigue a continuación es el cálculo del CV para T > Tc, pero esto puede saltearse ya
que no es necesario un conocimiento tan estricto de la forma funcional para comparar con el
experimento.
De todos modos, si se quiere proseguir, es necesario obtener la dependencia de la enerǵıa
con la temperatura. Para ello calculamos la diferencia entre la enerǵıa E∗, válida para µ = 0,
y la enerǵıa E, pero ahora el potencial qúımico śı depende de la temperatura. Por eso primero
obtenemos la dependencia en temperatura del potencial qúımico. Hacemos esto, aproximada-
mente, para temperaturas cercanas a Tc y, por tanto, para valores de µ cercanos a cero. Para
T > Tc, la ocupación del estado fundamental es despreciable y, por tanto, es posible utilizar la
ecuación
n =
2π(2m)3/2
h3
∫ ∞
0
�1/2d�
eβ(�−µ) − 1
T > Tc (4)
que es una relación impĺıcita entre µ, T y n. Para calcular la integral en el lado derecho de
4 como una expansión para valores pequeños de µ, escribimos la diferencia entre la máxima
6
Por tanto, en un ĺıquido, una colisión con una part́ıcula implica necesariamente a las moléculas
cercanas (en un sólido esto es todav́ıa más drástico y se pueden involucrar part́ıculas muy leja-
nas). Otro aspecto de esto es el hecho de que la enerǵıa total del ĺıquido no se puede considerar
como una suma de enerǵıas de una sola molécula, ya que hay una contribución significativa
a la enerǵıa debido al potencial intermolecular. Por lo tanto, es imposible definir estados de
part́ıculas individuales de las moléculas de un ĺıquido. De ah́ı que un cuerpo que se mueve a
través de un ĺıquido perdiendo enerǵıa no la transfiere a moléculas individuales sino al ĺıquido
en su conjunto. Los estados de enerǵıa de un ĺıquido son estados del movimiento
colectivo de todas sus moléculas.
Vemos entonces que un cuerpo que se mueve a través de un ĺıquido excitará ondas sono-
ras, que son movimientos colectivos del ĺıquido. La enerǵıa de estas excitaciones se origina en
pérdidas de enerǵıa del cuerpo móvil. En el caso de un sólido cristalino, su estructura periódica
permite un cálculo preciso de la relación de dispersión de las ondas sonoras (los fonones), es
decir, la relación entre la frecuencia de las ondas de sonido y su número de onda. En un ĺıquido
no es posible calcular la relación de dispersión de una manera sencilla y se tiene que encontrarse
a partir de experimentos.
Otro ingrediente es que el helio ĺıquido es un ĺıquido cuántico. Las ondas sonoras excitadas
en él deben tratarse como estados excitados de osciladores armónicos donde cada oscilador se
caracteriza por su vector de onda, q, y su frecuencia angular, ω. Aśı, describimos al helio ĺıquido
a temperaturas muy bajas, como excitaciones colectivas sobre un estado fundamental mecánico
cuántico, para el cual la enerǵıa del ĺıquido es mı́nima. Se verá en quinto año que estas excitacio-
nes son en śı mismas bosones libres, esto es, las excitaciones vibracionales pueden tratarse como
part́ıculas y tienen propiedades bosónicas. Además, están en equilibrio termodinámico, y toda
la información relativa a las propiedades del ĺıquido está contenida en la relación de dispersión
ω(q) o �(q) de estas excitaciones. Por tanto, un cuerpo que se mueve a través de helio ĺıquido a
T = 0 no excita átomos individuales sino que produce excitaciones cuánticas, como por ejemplo
fonones. Estas excitaciones tienen momento y enerǵıa. Entonces, para temperaturas por debajo
de Tc, una fracción finita de todos los átomos, los que estén en el condensado, debe decidir de
manera cooperativa cuál de los posibles estados cuantificados ocuparán todos. Por ejemplo si
el recipiente que contiene el ĺıquido está girando a una velocidad suficientemente lenta, estos
átomos condensados ocuparán el estado no rotatorio - es decir, estarán en reposo con respecto
al laboratorio - mientras que el resto se comportará con normalidad y se distribuirá de tal forma
que en promedio giran con el contenedor. Como resultado, a medida que se baja la temperatura
y aumenta la fracción de átomos condensados, el ĺıquido parecerá detenerse gradualmente con
respecto al laboratorio. De manera similar, cuando el ĺıquido fluye a través de un pequeño ca-
pilar, los átomos condensados no pueden ser dispersados por las paredes de uno en uno, ya que
las estad́ıstica de Bose los obliga a ocupar el mismo estado. Deben ser dispersados, si es que
lo hacen, simultáneamente. Dado que este proceso es extremadamente improbable, el ĺıquido,
o más precisamente la fracción condensada del mismo, fluye sin ninguna fricción aparente.
Veamos esto más en detalle, suponiendo que tenemos un cuerpo que se mueve por el ĺıquido
produciendo algún tipo de exitación colectiva que en nuestro caso serán fonones. El fonón tiene
momento ~q y enerǵıa �(q) a expensas del movimiento del cuerpo. La conservación de enerǵıa
y momento implican:
8

p = p′ + ~q,
p2
2M
= p
′2
2M
+ �(q),
(10)
donde M es la masa del cuerpo, p es su momento inicial y p’ es su momento después de la
excitación del fonón. Resulta que las dos ecuaciones en 10 se pueden satisfacer simultáneamente
solo en un rango estrecho de p o, de manera equivalente, solo en un rango estrecho de velocidades
del cuerpo. Esto significa que en el rango de velocidades en el que las dos ecuaciones
10 no se satisfacen, el cuerpo se mueve en el ĺıquido sin poder dar lugar a una
excitación, que recordemos son exitaciones colectivas. Por tanto, el cuerpo no puede
perder enerǵıa y se moverá a través del ĺıquido sin fricción. Esto es equivalente
a viscosidad cero o superfluidez. Para ver cuando las dos ecuaciones 10 se satisfacen
simultáneamente, sustituimos p′ = p− ~q en la segunda ecuación y obtenemos
~ q.v =
(~q)2
2M
+ �(q) (11)
v = p/M es la velocidad inicial del cuerpo. q tiene un valor máximo de 2π/a, donde a es la
distancia interatómica, del orden de 1 Å, y si suponemos un cuerpo de masa 1 gr, obtenemos
que el primer término a la derecha del igual es del orden de 10−55eV , mientras que una enerǵıa
t́ıpica de un fonón es de 10−2eV . Por ello el mencionado término se puede despreciar y con muy
buena aproximación tenemos:
~ q.v = �(q) (12)
Vemos entonces que para dar lugar a una excitación con momento ~q, la velocidad del cuerpo
debe satisfacer 11 o 12. El lado derecho de estas ecuaciones es positiva. Por tanto, el ángulo θ
entre v y q debe ser agudo. Además, el estado más ’eficiente’ es aquel en el que θ = 0, es decir,
el fonón excitado se propaga en la misma dirección que el cuerpo. En este caso la velocidad del
cuerpo alcanza el mı́nimo valor que todav́ıa permite la excitación de un fonón con impulso ~q.
Todos los demás ángulos requieren una mayor velocidad. La velocidad mı́nima requerida para
la excitación de un fonón con momento ~q depende de q de la siguiente manera:
vmin =
�(q)
~q
(13)
¿Qué forma tiene �(q)? �(q) podŕıa describir ondas sonorasordinarias que se propagan a
una velocidad vs. Para el helio ĺıquido las medidas dan vs = 237 m/s. Para ondas sonoras,
�(q) = ~ω(q) = ~vs|q|, (14)
y si sustituimos esto en 12 encontramos que la velocidad mı́nima requerida para la excitación
de un fonón de cualquier longitud de onda es la velocidad del sonido en el helio, vs. De ah́ı
se deduciŕıa que cualquier cuerpo que se moviese a través del helio ĺıquido con una velocidad
9
Figura 6: Relación de dispersión medida mediante dispersión de neutrones de longitud de onda
4,04Å en helio ĺıquido superfluido a 1,12 K. El mı́nimo se encuentra en q = 1,94Å−1, donde
�/kB = 8,67K. D. G. Henshaw y A. D. B. Woods, Phys. Rev. 121, 1260 (1961)
menor que vs, se moveŕıa sin viscosidad. Pero esta conclusión no concuerda con los resultados
experimentales, que dan una velocidad cŕıtica bastante menor.
Lo primero a observar entonces es que la relación de dispersión que se mide en el helio ĺıquido
superfluido no es la de fonones puros. Las mediciones se hacen con dispersión de neutrones, y
el resultado del experimento se puede observar en la figura 6
Para número de onda pequeño (o sea longitud de onda grande), la relación de dispersión de
hecho se parece a la de ondas sonoras ordinarias 14, y está representada por la ĺınea discontinua
en la figura. Pero en números de onda mayores, la tendencia cambia y �(q) comienza a disminuir,
alcanza un mı́nimo en q = 1, 94Å−1, �/kB = 8, 67K, y luego aumenta de nuevo.
Para entender cómo esta relación de dispersión medida afecta a la mı́nima velocidad re-
querida para crear una excitación en el ĺıquido, usaremos un enfoque gráfico: de la ecuación
13 llegamos a la conclusión de que la mı́nima velocidad requerida para crear una excitación
con el número de onda q se da cuando �(q) = ~vminq, o sea vmin es la pendiente de la ĺınea
recta que va desde el origen hasta la curva �(q) correspondiente al número de onda q - ver Fig.
7. Se requiere una velocidad mı́nima diferente para cada q y, como se puede ver en el figura,
debido a la desviación de la relación de dispersión de la ĺınea recta, vmin tiene un valor mı́nimo
que se obtiene cuando la ĺınea recta es tangente a la curva de dispersión. En este estado el
cuerpo se mueve a través del ĺıquido a la velocidad cŕıtica vc, y sólo puede producir excitaciones
correspondientes al punto tangente que es (casi exactamente) el mı́nimo local de la curva de
dispersión. Si la velocidad del cuerpo es menor que vc, el cuerpo no producirá excitaciones, ya
que no pueden satisfacerse simultáneamente la conservación de momento y enerǵıa, y se moverá
sin fricción. Si la velocidad es mayor a vc podrán producirse excitaciones de mayor enerǵıa.
Si aplicamos entonces la condición para obtener la velocidad cŕıtica
vc = min
[
�(q)
~q
]
, (15)
10
Figura 7: Solución gráfica a la ecuación 13
denominada condición de Landau, y usamos los datos del mı́nimo de la relación de dis-
persión antes mencionados, obtenemos una vc ≈ 60m/s. Esta velocidad cŕıtica se alcanza en
circunstancias muy especiales en experimentos. En condiciones más usuales, la velocidad cŕıtica
es mucho menor, del orden de 1cm/s, por lo que vemos que nuestro modelo no funciona y debe
haber otro tipo de excitaciones distintas a las medidas con neutrones que fueron mostradas en
la figura 6, que pueden ser producidas por el movimiento del cuerpo. Estas excitaciones son
los denominados vórtices, que se pueden visualizar como remolinos, y se pueden generar de
manera controlada en He II y estudiarlos experimentalmente, pero dejaremos el tema aqúı.
Es importante remarcar que que el fenómeno de la superfluidez sólo puede entenderse te-
niendo en cuenta las fuerzas interatómicas entre los átomos de helio, ya que su existencia es
responsable por la existencia de las excitaciones colectivas en el ĺıquido, sean fonones o vórtices.
En ausencia de fuerzas interatómicas el ĺıquido se comportaŕıa como un gas de part́ıculas libres
y sus excitaciones seŕıan las excitaciones de los propios átomos libres. La relación de dispersión
de una part́ıcula libre es la habitual �(q) = (~q)2/2m, y aplicándole la condición de Landau 15,
encontraŕıamos vc = 0, ya que el mı́nimo de la función �(q)/q para part́ıculas libres es 0.
La discusión hasta ahora ha considerado la superfluidez a T = 0. A T > 0 lo que se excitan
son justamente fonones, o sea la temperatura excita vibraciones de la red, y es posible tratar el
helio ĺıquido como una colección de excitaciones por encima del estado fundamental. De ah́ı que
un cuerpo que se mueva en helio ĺıquido a T > 0 perderá enerǵıa de dos formas. La primera es
creando excitaciones desde el estado fundamental, exactamente como a T = 0, y esto sólo puede
ocurrir por encima de la velocidad cŕıtica. La segunda es chocar con las excitaciones existentes
en el ĺıquido debido a las fluctuaciones térmicas. Estas últimas excitaciones desaparecen cuando
T −→ 0 y, por lo tanto, se han ignorado hasta ahora.
Las excitaciones térmicas se comportan como un gas ideal de fonones (con su particular re-
lación de dispersión) que se propagan en un fondo de átomos de helio en el estado fundamental.
El movimiento de un cuerpo a través del gasde fonones, que implica colisiones con los fonones
creados por la temperatura, no puede ocurrir sin pérdida de enerǵıa. En esta imagen el origen
de la viscosidad del helio ĺıquido a temperaturas superiores al cero absoluto son las propias
excitaciones, no los átomos de helio que ocupan los estados excitados de una sola part́ıcula.
Estos últimos perdieron su significado en el momento en que tomamos en cuenta las fuerzas
interatómicas.
La descripción de dos componentes de He II toma, por lo tanto, un sentido distinto. La
11
componente superfluida está compuesta por los propios átomos, mientras que la componente
normal está compuesta por el gas de fonones, que están excitados sobre el estado fundamental
de los átomos.
En el flujo superfluido a T > 0, como el flujo de helio ĺıquido a través de un capilar de un
recipiente, los átomos de helio fluyen a través del tubo capilar sin llevar excitaciones con ellos.
La mayoŕıa de los fonones se quedan dentro del recipiente, ya que su viscosidad no les permite
pasar a través del tubo.
12
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	Modelo de la superfluidez desde la condensación de Bose-Einstein
	Temperatura Crítica
	Experimento de Andronikashvili.
	Calor específico.
	Por debajo de Tc
	Por encima de Tc
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