Matematica 1 Cens

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PROFESOR: JORGE DANIEL MARTINEZ 
 
FUNCIÓN LINEAL Y AFÍN 
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MATEMÁTICA CURSO: 2° 2° 
FUNCIÓN 
Formalmente, una función es una relación entre dos variables de manera que, a cada valor 
de la primera, le corresponde un único valor en la segunda. A estas variables se les 
denomina: 
Independiente: Corresponde a la primera variable y se le suele asignar la letra x. 
Dependiente: Es la que se deduce de la variable independiente y se le suele 
designar con la letra y, o como f (x). 
 
ELEMENTOS DE UNA FUNCIÓN 
Una función f ( ) está constituida por: El dominio y el recorrido. 
 
 
 
 
 
Analizaremos cada uno de estos conceptos: 
Llamaremos dominio de la función y lo escribiremos Dom f ( ) al conjunto de todos los 
valores que puede tomar la variable independiente. 
El conjunto formado por los valores que puede tomar la variable dependiente se denomina 
recorrido o imagen de la función y lo escribiremos Rec f ( ) o Im f ( ). 
Una función es una relación que asigna a cada elemento del dominio uno y solo un 
elemento del recorrido. 
PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO 
Un punto del plano cartesiano P (x, y) se dice que 
tiene coordenadas en el eje x (eje de las abscisas) y 
en el eje y (eje de las ordenadas). Al par ordenado (x, 
y), se le denomina 
coordenadas del punto en el plano cartesiano. 
Un punto se ubica en el plano cartesiano en base a 
sus coordenadas. 
 
 
 
 
 
 
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Ejemplos: 
1) El punto de la imagen es el punto P (2, 3), porque su coordenada x es 2 y su coordenada 
y es 3. 
 
 
 
 
 
 
 
2) El punto de la imagen es el punto A (-3, -4), porque su coordenada x es -3 y su 
coordenada y es -4. 
 
 
 
 
IPS 
 
 
FUNCIÓN LINEAL 
La forma algebraica de la función lineal puede 
representarse de la siguiente manera: 
Se llama función lineal porque la potencia de la x es 1. 
Su gráfico es una recta. 
Ejemplo: 
1) Francisco acompañó a su padre a comprar y ha visto que 1 kg de tomates vale $ 500. Al 
preguntar cómo se calcula el precio para diferentes kilos de tomates su padre le explica que 
debe relacionar el número de kilos de tomates con el precio final. 
Las variables en esta situación son «número de kilogramos» (variable independiente) y 
«precio» (variable dependiente). Si llamamos x al número de kilogramos y f (x) al precio, la 
función que las relaciona es la función lineal, que se expresa de la siguiente manera: 
 
 
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FUNCIÓN AFÍN 
Se denomina función afín a aquella de la forma: 
Y en general decimos que es de la forma: 
f(x)= a. x + b 
donde a y b son constantes, a recibe el nombre de “pendiente” nos indica la inclinación que 
tiene la recta b recibe el nombre de “ordenada al origen” y el punto (0; b) es el punto de 
intersección entre la recta y el eje “y” ó eje de ordenadas. 
 
En f (x) = x, también es llamada función identidad, la pendiente es a =1 y la ordenada 
al origen es b = 0. 
En f (x) = 3x, la pendiente es a =3 y la ordenada al origen es b = 0 
En f (x) = 3x - 2 la pendiente es a =3 y la ordenada al origen es b = -2 
En f (x) = -3x - 2 la pendiente es a =-3 y la ordenada al origen es b = -2 
En f(x) = 0.x +3, también es llamada función constante, la pendiente es a = 0 y la ordenada 
al origen es b = 3, y su gráfico es: 
 
La función lineal está definida para todos los números reales, porque x puede ser 
cualquier número. 
http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/polynomial/afin.html 
Graficar una recta (sin tabla) 
Para graficar una recta se deben tener en cuenta la pendiente de la misma y la ordenada 
al origen. 
http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/polynomial/afin.html
 
 
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Grafiquemos la recta: y = 3 x + 1 
La ordenada al origen es b = 1, es decir el punto es (0, 1), el primero que ubicamos en el 
gráfico. 
A partir de ese punto aplicamos el concepto de pendiente, subimos 3 (por que el valor es 
positivo, sentido positivo del eje y; de ser negativo bajaríamos) y corremos 1 hacia la 
derecha (sentido positivo del eje de las x). Por esos dos puntos trazamos la recta. 
Es decir, el numerador de la “x” para arriba si es positivo, para abajo si es negativo y el 
denominador de la “x” para la derecha (siempre). Y Obtenemos el gráfico de la recta al 
unir la ordenada con el último punto: 
 
TABULACIÓN DE VALORES DE UNA FUNCIÓN 
Para realizar una tabla de valores de una función debemos elegir un conjunto de valores de 
la variable independiente y evaluar la función en cada uno de esos valores. Esta tabla nos 
ayudará a organizar datos y a graficar, pues con ella obtendremos los puntos que debemos 
ubicar en el plano cartesiano para realizar la gráfica de la función. 
https://www.geogebra.org/m/YJ7rnmSD 
Ejemplos: 
1) Realizaremos una tabla de valores para la función f (x) = 5x + 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.geogebra.org/m/YJ7rnmSD
 
 
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Habitualmente verá esta tabla resumida, con las columnas x y f (x), en este caso: 
 
 
 
 
 
 
 
Te mostramos algunos gráficos, con sus correspondientes tablas, por si te resulta muy 
difícil el método anterior, guíate por los colores, para saber cuál es cuál. 
 
Recordemos algunas definiciones: 
El valor máximo es el valor numérico más alto que toma la función. 
El valor mínimo es el valor numérico más pequeño que toma la función. 
Se llaman ceros o raíces a los valores de “x” que tienen por imagen el cero, es decir 
cuando tocan al eje “x”. 
Llamamos dominio a los valores que puede tomar “x”. 
Llamamos conjunto imagen al conjunto de los resultados posibles. 
Decimos que la función crece cuando al movernos de izquierda a derecha por eje “x” sus 
 
 
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resultados aumentan. 
Decimos que la función decrece cuando sus resultados disminuyen, siempre al movernos 
de izquierda a derecha por eje “x”. 
Alguna Función Afín es Función Lineal 
La función lineal es una función de grado uno y corresponde a la ecuación de una línea recta 
y tiene la forma: 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥+𝑏, 
donde m es la pendiente o razón de cambio constante y b la ordenada en el origen o 
intersección con el eje y. 
https://www.geogebra.org/m/EnMtzwbK 
Decir que los puntos (2; 5) y (0; -3) pertenecen al gráfico de una función lineal 
significa que: 
(2; 5) son las coordenadas del punto esto es x =2 e y =5 
(0; -3) son las coordenadas del punto esto es x = 0 e y =5 
Averigüemos cuál es la función lineal que los contiene: 
Una recta es y = ax + b 
Por el (2; 5) 5 = a.2 + b 
Por el (0; -3) - 3 = a.0 + b 
Si - 3 = a.0 + b entonces, resolviendo el producto - 3 = b 
que reemplazamos en la ecuación 
5 = a.2 + b 
y tendremos 
5 = a.2 + (-3) o sea 5 = a.2 - 3 
despejamos 
a 5 + 3 = a.2 
8 = a.2 ⇒ 
8
2
 = a ⇒ 4 = a 
 
por lo tanto, la función es 
f (x) = 4x – 3 
 
 
 
 
https://www.geogebra.org/m/EnMtzwbK
 
 
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ACTIVIDADES I 
Realice los siguientes ejercicios: 
1) Escriba las coordenadas de los puntos que aparecen en el siguiente plano cartesiano. 
 
2) Ubica en el plano cartesiano los puntos dados. 
 
 
 
 
 
 
 
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ACTIVIDADES II 
1 ACTIVIDAD 
Observa atentamentelos gráficos anteriores y completa: 
1. Son estrictamente crecientes las funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
2. Es estrictamente decreciente la función. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
3. Entonces si el número que multiplica a la x es positivo será.......................en cambio si 
se multiplica por un número negativo será ......................... 
4. Cruzan por el (0;0) las funciones.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . que se no tienen 
término independiente, es decir no hay término con número sólo, sin x. 
5. Cuando la función tiene término independiente, número solo, se desplaza hacia abajo 
si es negativo y hacia arriba si es positivo. 
Complete cada tabla de valores para las siguientes funciones: 
a) f (x) = 3x + 4 
 
b) f (x) = 7x – 2 
 
 
 
 
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c) f (x) = -3x – 10 
 
2 ACTIVIDAD 
a) Representa gráficamente las funciones: 
f (x) = - x 
f (x) = - x + 1 
f (x) = 2x - 3 
f (x) = -3x + 2 
b) Indicó pendiente y ordenada en cada una de las funciones anteriores. 
 
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