Matematica 4 Cens

Vista previa del material en texto

PROFESOR: JORGE DANIEL MARTINEZ 
 
USEMOS NÚMEROS 
P
á
g
in
a
1
 
MATEMÁTICA CURSO: 2° 2° 
LOS NÚMEROS REALES 
 
“Los números enteros son útiles para contar y ordenar, pero hay veces en las que es 
necesario dividir la unidad en partes iguales para poder expresar una medida: la mitad, la 
tercera parte, etc. Estas cantidades se expresan por medio de fracciones, las que se 
escriben de la forma 
𝑎
𝑏
 con a, b ∈ ℤ y b ≠ 0, donde a se llama numerador y b denominador. 
El denominador indica las partes iguales en que se divide el entero; el numerador indica 
cuántas de esas partes se consideran. El resultado de dividir numerador por denominador de 
una fracción es la representación decimal de la fracción. Al conjunto de todas las fracciones 
también se le llama conjunto de números racionales. 
CARACTERÍSTICAS DE LOS NÚMEROS REALES 
Además de las características particulares de cada conjunto que compone el supe conjunto 
de los números reales, mencionamos las siguientes características. 
ORDEN 
Todos los números reales tienen un orden: 
1 > 2 > 3 > 4 > 5 …. 
….. -5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 
En el caso de las fracciones y decimales: 
0,550 < 0,560 < 0,565 
3
15
 
4
17
 
5
18
 
6
19
 
7
20
 … 
INTEGRAL 
La característica de integridad de los números reales es que no hay espacios vacíos en este 
conjunto de números. Esto significa que cada conjunto que tiene un límite superior, tiene un 
límite más pequeño. Por ejemplo, 
INFINITUD 
Los números irracionales y racionales son infinitamente numerosos, es decir, no tienen final, 
ya sea del lado positivo como del negativo. 
EXPANSIÓN DECIMAL 
Un número real es una cantidad que puede ser expresada como una expansión decimal 
infinita. Se usan en mediciones de cantidades continuas, como la longitud y el tiempo. 
 
 
PROFESOR: JORGE DANIEL MARTINEZ 
 
USEMOS NÚMEROS 
P
á
g
in
a
2
 
MATEMÁTICA CURSO: 2° 2° 
Cada número real se puede escribir como un decimal. Los números irracionales tienen cifras 
decimales interminables e irrepetibles, por el ejemplo, el número pi π es aproximadamente 
3,14159265358979... 
ESQUEMA DE LOS NÚMEROS 
 
 
 
CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES 
 
Los números reales son el conjunto que incluye los números naturales, enteros, 
racionales e irracionales. Como se ve en la siguiente figura. 
 
 
 
 
 
PROFESOR: JORGE DANIEL MARTINEZ 
 
USEMOS NÚMEROS 
P
á
g
in
a
3
 
MATEMÁTICA CURSO: 2° 2° 
NÚMEROS NATURALES 
De la necesidad de contar objetos surgieron los números naturales. Estos son los números 
con los que estamos más cómodos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...hasta el infinito. El conjunto de los 
números naturales se designa con la letra mayúscula N. 
Todos los números están representados por los diez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 7, 8, y 9, 
que reciben el nombre de dígitos. 
Ejemplo 
Los números naturales nos sirven para decir cuántos compañeros tenemos en clases, la 
cantidad de flores que hay en un ramo y el número de libros que hay en una biblioteca. 
NÚMEROS ENTEROS 
El conjunto de los números enteros comprende los números naturales y sus números 
simétricos. Esto incluye los enteros positivos, el cero y los enteros negativos. Los números 
negativos se denotan con un signo "menos" (-). Se designa por la letra mayúscula Z y se 
representa como: 
ℤ = { … . −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, … } 
Un número simétrico es aquel que sumado con su correspondiente número natural da cero. 
Es decir, el simétrico de n es -n, ya que: 
n + (- n) = 0 
5 + (- 5) = 0 
27 + (- 27) = 0 
Los enteros positivos son números mayores que cero, mientras que los números menores 
que cero son los enteros negativos. 
Los números enteros nos sirven para: 
 representar números positivos: ganancias, grados sobre cero, distancias a la derecha; 
 representar números negativos: deudas, pérdidas, grados bajo cero y distancias a la 
izquierda. 
Recordemos que el conjunto de los números enteros (ℤ), incluye a los números naturales 
(ℕ ), los números negativos y el cero. Para diferenciar los números positivos de los 
Negativos, se escribe un signo “menos” delante del número. Veamos el esquema y la recta 
numérica: 
 
 
 
PROFESOR: JORGE DANIEL MARTINEZ 
 
USEMOS NÚMEROS 
P
á
g
in
a
4
 
MATEMÁTICA CURSO: 2° 2° 
 
 
OPUESTO DE UN NÚMERO ENTERO 
 
Cada número entero tiene un opuesto en la recta numérica que está al otro lado de 0, 
exactamente a igual unidades de distancia. Así, el opuesto de 3 es – 3 y el opuesto de – 5 
es 5. Por supuesto de 0 es 0, por lo que es que el opuesto evidente que – 0 es igual a 0. 
 
ORDEN EN LOS NÚMEROS ENTEROS 
 
Los números enteros, al igual que los naturales, son un conjunto de números ordenado, es 
decir, al considerar dos números distintos, es menor el que queda a la izquierda en la recta 
numérica. Así, por ejemplo: 
2 es menor que 5 porque 2 está a la izquierda de 5; 
–5 es menor que –2 porque –5 está a la izquierda de –2. 
De otro modo, también se puede decir que es mayor el número que queda a la derecha en la 
recta numérica, por ejemplo, 0 es mayor que –1 y también, mayor que –4. 
 
Ejemplos 
En el polo Norte la temperatura está por debajo de 0ºC durante casi todo el año, entre -43 ºC 
y -15ºC en invierno. Una persona compra un vehículo por 10.000 pesos, pero solo tiene 
3.000 pesos. 
3000 – 10000 = - 7000 
Esto significa que queda debiendo 7.000 pesos. 
NÚMEROS RACIONALES 
Los números fraccionarios surgen por la necesidad de medir cantidades continuas y las 
divisiones inexactas. Medir magnitudes continuas tales como la longitud, el volumen y el 
peso, llevó al hombre a introducir las fracciones. El conjunto de números racionales se 
designa con la letra Q: 
ℚ = {
𝑝
𝑞
𝑝⁄ , 𝑞 ∈ ℤ, 𝑞 ≠ 0} 
 
 
PROFESOR: JORGE DANIEL MARTINEZ 
 
USEMOS NÚMEROS 
P
á
g
in
a
5
 
MATEMÁTICA CURSO: 2° 2° 
Esto puede dar lugar a dos tipos de expresiones decimales, las exactas y las periódicas. 
Éstas últimas pueden a su vez dividirse en periódicas puras o periódicas mixtas. 
 Expresión decimal exacta, es aquélla que tiene un número finito de términos. 
 Expresión decimal periódica es aquélla que tienen un número infinito de cifra 
decimales, pero de modo que un grupo finito de ellas se repite infinitamente, de forma 
periódica. 
La parte que no se repite se denomina ante período y la que se repite, período. 
 Periódica pura es aquélla que no tiene ante período. 
 Periódica mixta es aquélla que sí tiene ante período. 
Podría considerarse que las expresiones decimales exactas son periódicas mixtas, pero con 
período 0. 
 
Recíprocamente, dada una expresión decimal exacta o periódica, puede encontrarse una 
expresión racional para la misma siguiendo la siguiente norma: 
 Si la expresión es exacta se coloca como numerador el número entero que resulta de 
suprimir el punto decimal y como denominador la unidad seguida de tantos ceros 
como cifras se encontraran a la derecha del punto decimal en la expresión decimal 
original. 
 Si la expresión es periódica, se coloca como numerador el resultado de restar al 
número entero formado por el ante período seguido de la primera repetición del 
período, el entero formado por el ante período, todo ello multiplicado por la unidad 
seguida de tantos ceros como cifras significativas se encuentren a la izquierda del 
punto decimal. Como denominador tantos nueves como cifras tenga el período 
seguidos de tantos ceros como cifras tenga el ante período. 
 
 
PROFESOR: JORGE DANIEL MARTINEZ 
 
USEMOS NÚMEROS 
P
á
g
in
a
6
 
MATEMÁTICA CURSO: 2° 2° 
 
Ejemplos 
Un pastel dividido entre tres personas se representa como 
1
3
 un tercio para cada persona; 
una décima parte de un metro es 
1
10
 m = 0,1m. 
NÚMEROS IRRACIONALES 
Los números irracionales comprenden los números que no pueden expresarse como la 
división de enteros en el que el denominador esdistinto de cero. Se representa por la letra 
mayúscula I. 
Aquellas magnitudes que no pueden expresarse en forma entera o como fracción que son 
inconmensurables son también irracionales. Por ejemplo, la relación de la circunferencia al 
diámetro el número 𝜋 = 3,141592 … 
Las raíces que no pueden expresarse exactamente por ningún número entero ni 
fraccionario, son números irracionales: 
√2 , √3 , √5 , √7 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROFESOR: JORGE DANIEL MARTINEZ 
 
USEMOS NÚMEROS 
P
á
g
in
a
7
 
MATEMÁTICA CURSO: 2° 2° 
ACTIVIDADES 
Resuelva cada situación según lo indicado: 
 
1) Temperaturas de Puerto Natales en una semana de invierno. 
 
 
 
a) ¿qué día la temperatura mínima fue más alta? 
cada situación según lo indicado: 
b) ¿qué día la temperatura máxima fue menor? 
 
c) ¿Cuál es la diferencia entre la temperatura mínima y máxima el 
día viernes? 
 
d) Si la temperatura mínima del sábado, baja 4 grados respecto de la 
mínima del viernes, ¿cuál fue la temperatura mínima del sábado? 
Educación Matemática 
e) El domingo la temperatura mínima fue de 6 grados y se produjo a las 7 
A.M. Luego subió 1 grado cada 2 horas ¿Cuál fue la temperatura a las 11 
A.M.? 
 
Complete los cuadros de la recta numérica usando las fracciones en rojo: 
 
 
 
 
 
PROFESOR: JORGE DANIEL MARTINEZ 
 
USEMOS NÚMEROS 
P
á
g
in
a
8
 
MATEMÁTICA CURSO: 2° 2° 
Transformando decimales de período cero a fracción: 
 
Resuelva los siguientes ejercicios: 
 
Resuelva los siguientes ejercicios: 
 
Trabajemos Con Los Números Racionales 
 
Resuelva las siguientes preguntas y explique su respuesta 
1) ¿En cuántas bolsas de medio kilogramo se pueden repartir 80 kilogramos de 
azúcar? 
 
Cálculos: 
 
Explicación: 
 
2) ¿Cuántas cajas de litro y medio de jugo se necesitan para envasar 80 litros? 
 
Cálculos: 
 
Explicación: 
 
3) Sabemos que el número 
𝑎
𝑏
 es una fracción que se puede expresar como un número 
decimal realizando la división a : b. 
Escriba en forma decimal las siguientes fracciones. 
 
 
 
 
PROFESOR: JORGE DANIEL MARTINEZ 
 
USEMOS NÚMEROS 
P
á
g
in
a
9
 
MATEMÁTICA CURSO: 2° 2° 
4) María tiene un registro del peso que tuvieron sus hijos al nacer (corregir donde 
corresponda): 
 
 
 
Dada la recta numérica de la figura: 
 
 
 
Determine la longitud del segmento 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ en unidades de la recta numérica y escríbala como el 
valor absoluto de un número.