Cuadernillo 3 Año 1 Semestre Matematica

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PRIMER SEMESTRE 
MATEMÁTICA 3° AÑO 
 
 
2019 
CENS 3 - 474 
B ° SOL Y ESPERANZA 
MATEMÁTICA 3° AÑO | MARTINEZ, JORGE 
 
CENS 3-474 - B° SOL Y SIERRA 1 
 
PROGRAMA 
CICLO LECTIVO 2019 
Área: Matemática 
Curso: 3° Año 
Profesor: Martinez Jorge Daniel 
ESPACIO CURRICULAR: MATEMÁTICA 
AULA SATÉLITAL SOL Y SIERRA 
EJE I 
Ángulo orientado. Medición de ángulos. Razones trigonométricas: seno, coseno, tangente. 
Teorema de Pitágoras. Triángulo rectángulo. Problemas de aplicación. 
EJE II 
 
 Ángulo orientado. Teorema del seno, coseno. Resolución de triángulos rectángulos. 
Identidades trigonométricas. Función trigonométrica. Problema de aplicación. 
 
BIBLIOGRAFÍA DEL PROFESOR: Puerto de Palos 2 Activa. Polimodal 2 Kapeluz 
BIBLIOGRAFÍA DEL ALUMNO: Apuntes de la Asignatura 
 
 
 
CONDICIONES PARA REGULAR LA MATERIA 
Porcentaje de asistencia, Presentación de carpeta completa, Evaluaciones aprobadas, 
Trabajos prácticos realizados y completo. ESPECIFICAR EN ESTE APARTADO SI 
PARTICPARÁ EN EL PROYECTO DE ACCIÓN, YA QUE ES PARA LOS ESTUDIANTES 
UNA CONDICION PARA REGULARIZAR Y APROBAR 
CONDICIONES PARA RENDIR COMO ALUMNO LIBRE 
Porcentaje de asistencia, Presentación de carpeta completa, Evaluaciones aprobadas, 
Trabajos prácticos realizados y completo. ESPECIFICAR EN ESTE APARTADO SI 
PARTICPARÁ EN EL PROYECTO DE ACCIÓN, YA QUE ES PARA LOS ESTUDIANTES 
UNA CONDICION PARA REGULARIZAR Y APROBAR 
 
 
 
 
MATEMÁTICA 3° AÑO | MARTINEZ, JORGE 
 
CENS 3-474 - B° SOL Y SIERRA 2 
 
EJE I 
 
 ÁNGULOS. CLASIFICACIÓN 
 Tener en cuenta que: Para medir ángulos usamos el transportador y usamos las 
siguientes letras griegas para simbolizarlo. 
 
 
 
 
 
 
 
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 ACTIVIDADES. 
 
1) Clasificar cada uno de los siguientes ángulos. 
 
 
 
 
 
2) Clasificar los ángulos marcados en las siguientes figuras. 
 
 
 SISTEMA SEXAGESIMAL. OPERACIONES. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 ACTIVIDADES. 
3) Responder y explicar las repuestas. 
 
 
 
4) Resolver. 
5) Plantear y resolver. 
Un abanico abierto forma un ángulo de 180°. Al abrir otro abanico, al que le faltan algunas 
varillas, he comprobado que solo tiene una abertura de 105°38’ 45’’. ¿Cuál es el ángulo 
que formaban las varillas que se han roto? 
6) Resolver los cálculos combinados. 
 
 
 CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS. 
 ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y SUPLEMENTARIO. 
 
 
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 ACTIVIDADES. 
7) Completar las siguientes frases con el ángulo correspondiente. 
 
 
 
8) Calcular el ángulo pedido en cada caso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) Hallar el valor de cada uno de los siguientes ángulos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Plantear las ecuaciones, resolver e indicar el valor de cada ángulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 ÁNGULOS ADYACENTES Y OPUESTOS POR EL VÉRTICE. 
 
 
 
 ACTIVIDADES. 
11) Completar la tabla teniendo en cuenta el gráfico. 
 
 
12) Calcular el valor de x y la medida de los ángulos. 
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 ÁNGULOS DETERMINADOS POR DOS RECTAS Y UNA TRANSVERSAL. 
 
 
 
 
 
 
Ángulos internos (3, 4, 5 y 6) 
Los ángulos internos a un mismo lado de la transversal a dos rectas paralelas son 
suplementarios (suman 180º) 
 
 
 
 
 Ángulos 3 y 5 son suplementarios Ángulos 4 y 6 son suplementarios 
Ángulos externos (1, 2, 7 y 8) 
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Los ángulos externos a un mismo lado de la transversal a dos rectas paralelas son 
suplementarios. (suman 180º) 
 
 
 
 
 
Ángulos 1 y 7 son suplementarios Ángulos 2 y 8 son suplementarios 
Ángulos correspondientes: (son iguales) 
Son aquellos que están al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal. 
 
 
 
 
 
 
1 y 5 son ángulos correspondientes, 1̂ = 5̂ 2 y 6 son ángulos correspondientes, 2̂ = 6̂ 
 
 
 
 
 
3 y 7 son ángulos correspondientes, 3̂ = 7̂ 4 y 8 son ángulos correspondientes, 4̂ = 8̂ 
Ángulos opuestos por el vértice 
Son los ángulos formados por dos rectas que se cortan en un punto llamado vértice (V). 
 
 
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 ACTIVIDADES. 
13) Dibujar los pares de ángulos pedidos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14) Clasificar los ángulos pedidos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15) Calcular la medida de los ángulos. Explicar la respuesta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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16) Calcular el valor de x y la medida de los ángulos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 
El triángulo rectángulo es un polígono de tres lados que tiene uno de sus ángulos 
recto (α=90º). 
Los dos ángulos menores (β y γ) suman 90º. 
Los elementos de un triángulo rectángulo son: los 
dos lados contiguos al ángulo recto, a y b (cada uno 
de ellos es un cateto), y el lado mayor c, opuesto al 
ángulo recto, que es la hipotenusa. 
 
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 RAZONES TRIGONOMETRICAS 
 
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 TEOREMA DE PITÁGORAS 
 
Permite encontrar la longitud de los lados de un triángulo rectángulo, que es un 
triángulo con un ángulo 90° (conocido como ángulo recto). Un ejemplo de un triángulo 
rectángulo se representa a continuación. 
Un triángulo rectángulo se compone de tres partes: dos 
piernas, que están marcados en 
el diagrama como cateto b, cateto c, y una hipotenusa, 
que es el lado opuesto al ángulo 
recto. La hipotenusa es siempre el más largo de los tres 
lados. Típicamente, se denota el 
ángulo recto con un pequeño cuadrado, como se muestra 
arriba, pero esto no es necesario. 
El Teorema de Pitágoras dice que la longitud de la hipotenusa al cuadrado es igual a la 
suma de los cuadrados de los dos catetos. Esto se escribe matemáticamente como: 
h2 = a2 + b2 
Para comprobar esta afirmación vamos a ver un ejemplo 
Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo de 60 cm de cateto menor y 80 cm de 
cateto mayor. 
 
 
 
 
Usando la fórmula del teorema de Pitágoras 
a2 = b2 + c2 
Despejando a tenemos que: 
a = √𝑏2 + 𝑐2 → √802 + 602 → √8400 + 3600 → √10000 = 100 
 EJERCICIOS 
 
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1) Una cancha de fútbol (rectangular como sabemos) 
mide 125 metros de largo. Si la longitud de sus 
diagonales es de 150 metros. ¿Cuál es el anchodel 
campo de juego? 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Una ciudad se encuentra 17 km al oeste y 8 km al 
norte de otra. ¿Cuál es la distancia real lineal entre 
las dos ciudades? 
 
 
 
 
 
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EJE II 
 TEOREMA DEL SENO Y DEL COSENO 
Hasta el momento se han empleado razones trigonométricas para resolver triángulos 
rectángulos. Las funciones trigonométricas se pueden usar también para resolver 
triángulos oblicuos, es decir, triángulos sin ángulos rectos. 
Para hacer esto primero vamos a estudiar el Teorema del Seno para luego comprender el 
Teorema del Coseno. 
 
 TEOREMA DEL SENO 
 
El Teorema del Seno dice que en cualquier triángulo las longitudes de los lados son 
proporcionales a los senos de los ángulos opuestos correspondientes. 
 
 
 
 
 Ejemplos de Aplicación 
Ejemplo 1: Hallar la medida del lado a 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 2: Rastreo de un satélite 
Un satélite que orbita la Tierra pasa directamente arriba de las estaciones de observación 
en Phoenix y Los Ángeles, apartadas 340 millas una de a otra. En un instante cuando el 
satélite está entre estas dos estaciones, su ángulo de elevación es observado de manera 
simultánea como 60° en Phoenix y 75° en Los Ángeles. ¿Qué tan lejos está el satélite de 
Los Ángeles? 
Ejemplo 3: Hallar la medida del ángulo con vértice en B 
 
 
 
 
 
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 TEOREMA DEL COSENO 
 
El Teorema del Seno no se puede usar de manera directa para resolver triángulos si se 
conocen dos lados y el ángulo entre ellos o si se conocen los tres lados. En estos dos 
casos, se aplica el Teorema del Coseno. 
 
 
 
 
 
Ejemplos de Aplicación 
Ejemplo 1: Longitud de un túnel 
Se construirá un túnel por una montaña. Para estimar la longitud del túnel, un topógrafo 
hace las mediciones mostradas en la figura. Use los datos del topógrafo para aproximar las 
longitudes del túnel. 
 
 
 
 
 
Ejemplo 2: Hallar la medida del ángulo con vértice en C 
 
 
 
 
 ACTIVIDADES: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3) Vuelo de un avión. Un piloto vuela sobre una carretera recta. Determina los ángulos de 
depresión hasta dos postes de medición de millaje apartados 5 millas, como 32° y 48°, 
según se ilustra en la figura. 
a) Encuentra la distancia del avión al punto a. 
b) Encuentra la elevación del avión. 
 
 
 
 
 
 RESOLUCION DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULO 
Resolver un triángulo consiste en calcular seis elementos: los tres lados y los tres 
ángulos. Para ello necesitamos conocer tres de estos seis elementos y uno de los datos 
por lo menos sea un lado. Si el triángulo es rectángulo (un ángulo es 90º) basta conocer 
dos de sus elementos, uno de los cuales debe ser un lado. 
 
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 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 
Una identidad trigonométrica es una ecuación que contiene funciones trigonométricas que 
se cumplen para todos los valores de la variable. Por ejemplo, de acuerdo con las 
definiciones de seno y coseno se infiere que para cualquier x tenemos: 
𝑠𝑒𝑛2𝑥+𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 
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Al aplicar las identidades podemos simplificar una expresión complicada que contenga 
funciones trigonométricas a una expresión mucho más simple, con lo que podemos 
entender mejor lo que significa la expresión. 
Empezamos por listar las identidades trigonométricas básicas: 
 
 
 
 
 
 Identidades Fundamentales 
Las funciones trigonométricas se relacionan entre sí mediante ecuaciones llamadas 
identidades trigonométricas. Presentamos las más importantes en el recuadro 
siguiente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Simplificación de expresiones trigonométricas 
Las identidades permiten plantear la misma expresión de diferentes maneras. Con 
frecuencia es posible volver a escribir de una manera mucho más simple una expresión que 
se ve complicada. Para simplificar las expresiones algebraicas, usamos la factorización, 
denominadores comunes y las fórmulas de productos especiales. Para simplificar 
expresiones trigonométricas usamos estas mismas técnicas junto con las identidades 
trigonométricas fundamentales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ACTIVIDADES. 
Verifica las siguientes identidades trigonométricas. 
 
 
 
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Funciones trigonométricas 
Las funciones trigonométricas asocian a cada número real, x, el valor de la razón 
trigonométrica del ángulo cuya medida en radianes es x. 
Función seno 
f(x) = sen x 
 
 
Propiedades de la función seno 
Dominio: 
Imagen: [−1, 1] 
Período: 
Creciente en: 
Decreciente en: 
Máximos: 
Mínimos: 
Impar: sen(−x) = −sen x 
Cortes con el eje OX: 
Función coseno 
f(x) = cosen x 
 
Propiedades de la función coseno 
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Dominio: 
Imagen: [−1, 1] 
Período: 
Creciente en: 
Decreciente en: 
Máximos: 
Mínimos: 
Par: cos(−x) = cos x 
Cortes con el eje OX: 
Función tangente 
f(x) = tg x 
 
Propiedades de la función tangente 
Dominio: 
Imagen: 
Período: 
Creciente en: 
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Máximos: No tiene. 
Mínimos: No tiene. 
Impar: tg(−x) = −tg x 
Cortes con el eje OX: 
Signos de las funciones trigonométricas en los cuatro cuadrantes: 
 La circunferencia se divide en 4 cuadrantes comenzando por el primero que es el superior 
izquierdo y continuando en el sentido contrario al de las agujas del reloj hasta el cuarto. Cada 
cuadrante tiene unas coordenadas y ordenadas y según los grados del ángulo estas serán 
positivas o negativas dependiendo del cuadrante en el que se encuentren. Las razones 
trigonométricas también variarán dependiendo del cuadrante. 
 En este cuadro se pueden ver las razones trigonométricas y sus correspondientes signos 
en cada cuadrante: 
 
 
 
 
 
Signo de las razones trigonométricas 
A continuación, vamos a dar los signos que toman el seno y el coseno en la circunferencia 
Goniométrica: 
 
 
 
 
 
 
 
en los extremos de cada 
cuadrante: 
http://4.bp.blogspot.com/-OOpbavgeSl0/Tel19Aa1VNI/AAAAAAAAABQ/jM0bOaPpHNw/s1600/funciones2.jpg
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Anexo 
Juego del Teorema de Pitágoras 
El juego del teorema de Pitágoras es un juego de mesa que necesita preparación previa. 
Cada grupo de 2 a 4 estudiantes necesita una pizarra y 2 hojas de preguntas que deben 
eliminarse. Todos estos deben estar impresos en cartulina para que duren. 
 
Cada grupo necesitará un dado para rodar en su turno. Siga las instrucciones de la pizarra. 
Cuando unjugador cae en un signo de interrogación, otro jugador robará una carta y la leerá. 
Si el primer jugador responde correctamente, esa persona avanza dos espacios; de lo 
contrario, el jugador retrocede dos espacios. El juego continúa hasta que un jugador cruza la 
línea de meta. 
TABLERO DEL JUEGO DEL TEOREMA DE PITÁGORAS 
En este juego, en grupos de cuatro, los estudiantes tirarán un par de dados para moverse por el 
tablero que se muestra en la figura. Podemos partir de un tablero ya hecho o como trabajo 
cooperativo, los propios alumnos realizarán el tablero y las preguntas. 
 Una vez tirados los dados, se sumará el cuadrado del número de cada dado, y posteriormente, 
obtendrán la raíz cuadrada de dicha suma (Teorema de Pitágoras a2 + b2 = c2). En caso de que 
el resultado no sea un número entero, se redondeará al número entero más cercano. Por 
ejemplo, si los dados han resultado 1 y 2, entonces c2 = 12 + 22 = 5. Y por tanto c = raíz cuadrada 
(5) = 2.236., por lo que moverán el botón dos casillas. 
DETALLE DEL TABLERO 
A lo largo del tablero observaremos distintas instrucciones. Si la casilla tiene los signos de 
interrogación "¿?", un miembro del grupo escogerá una carta al azar y responderá a la 
pregunta planteada. Si responde correctamente, tirará de nuevo uno de los dados y moverá el 
número de casillas que muestre el dado. Una respuesta incorrecta significará permanecer en 
la casilla hasta el próximo turno. El primer grupo que consiga dar dos vueltas completas al 
tablero, ganará la partida. 
 
 
Encontrar el número 
faltante de la terna 
pitagórico (7, ___ , 25) 
Respuesta: 24 
 
Si caminaste 3 km al oeste 
y luego 4 km al norte, 
¿cómo estás desde tu 
punto de partida? 
Respuesta: 5 km 
 
¿Verdadero o falso? los 
egipcios usaron el 
triángulo rectángulo para 
medir la tierra 
Respuesta: cierto 
 
El cuadrado de la________ 
de un triángulo rectángulo 
es igual a la suma de las 
longitudes de los catetos 
Respuesta: hipotenusa 
 
 
Si la longitud de los 
catetos de un triángulo es 
8 y 8√𝟑, ¿Cuál es la 
longitud de la hipotenusa? 
Respuesta: 16 
Si el largo de un cateto y la 
hipotenusa de un triángulo 
rectángulo son 5 y 10, 
respectivamente, ¿cuál es 
la longitud del otro cateto? 
Respuesta: 5√𝟑 
 
Halla la longitud de la 
diagonal de un cuadrado a 
la centésima más cercana 
si el área del cuadrado es 
81 cm2 
Respuesta: 12,72 cm 
 
Si las longitudes de los 
catetos de un triángulo 
son, 3 y 4 ¿cuál es la 
longitud de la hipotenusa? 
Respuesta: 5 
Si la diagonal de un 
cuadrado tiene una 
longitud de 8, ¿cuál es la 
longitud de un lado? 
Respuesta: 4√𝟒 
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CENS 3-474 - B° SOL Y SIERRA 1 
 
 
Avanzar 
hacia el 
vértice C 
Mal Inicio 
vuelva a 
la Salida 
Mueva 
sobre la 
línea de 
Flecha 
V
o
lv
e
r 
a
 la
 
S
a
lid
a
 
V
o
lv
e
r 
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l 
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e
 
C
 
SALIDA 
FINAL 
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