P_Sem08_Ses22_GEOMETRIAII_REFLEXIÓN_REFRACCIÓN_SUPERFICIE_ESFÉRICA

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Cálculo aplicado a la física 2 
Repaso de Geometría
Semana 08 – Sesión 01
LOGROS
✓Al finalizar la sesión el estudiante
aplica las propiedades de algunas
figuras planas para resolver ejercicios
concretos.
AGENDA
✓Polígonos.
✓Clasificación de triángulos.
✓Áreas de figuras planas.
✓Ejercicios.
✓Cierre.
RECORDANDO
Polígonos. 
Un polígono es la región interior de una línea poligonal cerrada y no
cruzada. Sus elementos son: los lados, los vértices y las diagonales. A la
longitud de la línea poligonal se le llama perímetro del polígono.
Los polígonos pueden ser regulares (con todos sus lados y ángulos
iguales) o irregulares (lo contrario). Pero también se pueden clasificar por
su número de lados. Así, según sus lados, los polígonos pueden ser:
Triángulo
Cuadrilátero Pentágono Hexágono
Heptágono Octógono
Eneágono
Decágono
Polígonos
ANGULOS INTERIORES DE UN POLÍGONO
La suma de los ángulos interiores se obtiene multiplicando 180º por el número de lados del polígono 
menos dos.
S = 180º ( n - 2 )
DIAGONALES
El número de diagonales que se pueden trazar en un polígono de n lados, desde un mismo vértice se 
obtiene restando tres al número de lados.
d = n - 3
NÚMERO TOTAL DE DIAGONALES.
El número total de diagonales que se pueden trazar en un polígono de n lados se obtiene según la 
siguiente fórmula:
D = ( n - 3)
Clasificación de triángulos
Clasificación según sus lados
Equilátero:
los tres lados iguales.
Isósceles:
solo dos lados 
iguales.
Escaleno:
los tres lados 
diferentes.
Clasificación según sus ángulos
Rectángulo:
un ángulo recto.
Acutángulo:
los tres ángulo agudos.
Obtusángulo:
un ángulo obtuso.
Triangulo
Bisectrices:
La bisectriz divide un ángulo en
dos de igual medida. Las tres
bisectrices se cortan en un
mismo punto llamado incentro.
Medianas:
La mediana pasa por un ángulo
del triángulo y divide en dos
partes iguales el lado que se
opone a dicho ángulo. Las tres
medianas se cruzan en el
baricentro o centro de gravedad.
Alturas:
La altura es un segmento que
pasa por un ángulo del triángulo
y es perpendicular el lado que se
opone a dicho ángulo. Las tres
medianas se cruzan en el
ortocentro.
Cuadrilátero
Los cuadriláteros pueden clasificarse como:
Paralelogramo:
lados paralelos dos a dos
Trapecio:
sólo dos lados paralelos 
Trapezoide:
ningún lado paralelo a otro
Cuadrado:
ángulos y lados iguales
Rectángulo:
ángulos iguales y lados
iguales dos a dos
Rombo:
lados iguales y ángulos 
iguales dos a dos
Romboide:
ángulos y lados iguales
dos a dos
A su vez, un paralelogramo puede ser:
Cálculo de las áreas de figuras planas 
Área del triángulo
𝑎𝑟𝑒𝑎 =
𝑏ℎ
2
Área del trapecio
𝑎𝑟𝑒𝑎 =
(𝑏 + 𝐵)ℎ
2
Area del Cuadrado:
𝑎𝑟𝑒𝑎 = 𝑎2
𝑎𝑟𝑒𝑎 =
𝑑𝐷
2
Área del rombo
Area del Romboide:
𝑎𝑟𝑒𝑎 = 𝑏ℎ
𝐴𝑝
Area del poligono regular:
𝑎𝑟𝑒𝑎 =
𝑝𝐴𝑝
2
P = Perímetro
Ap = Apotema (línea que une el 
centro con la mitad de un lado)
La circunferencia y el círculo
Se llama circunferencia al conjunto de puntos cuya
distancia a otro punto llamado centro es siempre la
misma. Los puntos de la circunferencia y los que se
encuentran dentro de ella forman una superficie
llamada círculo.
El diámetro de una circunferencia es igual al doble del 
radio. d = 2 · r
De esta forma, la longitud de una circunferencia es:
L = 2 π r
A = π r2
NO OLVIDAR!
Recuerda
✓ Los polígonos son figuras planas que
se caracterizan con varios parámetros
como ángulo, lados.
✓ Los polígonos pueden ser regulares.
✓ Las medianas de un triángulo se
intersecan en el baricentro
✓ La bisectriz divide un ángulo en dos de
igual medida.
✓ La altura es un segmento que pasa por
un ángulo del triángulo y es
perpendicular el lado que se opone a
dicho ángulo
BIBLIOGRAFÍA
BÁSICA
✓ Serway, R. y Jewett, J.W.(2015) Física para ciencias e ingeniería. Volumen I. México. 
Ed. Thomson. 
✓ Sears F., Zemansky M.W., Young H. D., Freedman R.A. (2016) Física Universitaria 
Volumen I Undécima Edición. México. Pearson Educación. 
COMPLEMENTARIA
✓ Tipler, P., Mosca, G. (2010) Física para la ciencia y la tecnología. Volumen I. México Ed. 
Reverté .
✓ Feynman, R.P. y otros. (2005) Física. Vol. I. Panamá. Fondo Educativo interamericano. 
✓ Halliday, D., Resnick, R. y Krane, K.S.(2008) Física. Volumen I. México. Ed. Continental.
Óptica Geométrica
Formación de imágenes
Cálculo aplicado a la física 2
Semana 08 – Sesión 01
LOGROS
✓Al finalizar la clase el
estudiante comprenderá los
fenómenos fundamentales de la
óptica geométrica.
AGENDA
✓Definición de óptica geométrica
✓Reflexión de una superficie
plana.
✓Reflexión de una superficie
esférica.
✓ Imágenes formados por
refracción.
✓ Lentes delgadas.
✓Ejercicios
✓Cierre.
Óptica Geométrica
La óptica geométrica estudia la formación de imágenes
en sistemas ópticos (espejos, lentes y dioptrios) usando
el modelo de rayo de luz y las leyes de la reflexión y la
refracción.
Un espejo es un sistema óptico que produce reflexión de
la luz. Una lente es un sistema óptico que puede desviar
rayos de luz. Un dioptrio es una superficie que separa
dos medios con diferente índice de refracción.
Reflexión en superficies planas (espejos planos)
Se tiene un objeto de altura h, delante de un espejo
plano. Para obtener el lugar donde se forma la
imagen se usaron dos rayos que provienen de la
parte mas alta del objeto. Uno de los rayos incide
perpendicular a la superficie del espejo (PQ), y el otro
formando un ángulo θ com la normal (PR).
=
= '
p q
h h
Espejo plano Mas adelante explicaremos por que la
necesidad de usar valor absoluto.
𝑝: 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜
𝑞: 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒𝑛
ℎ: 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜
ℎ´: 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒𝑛
Reflexión en superficies esféricas (espejos esféricos)
Espejo esférico
Reflexión en superficies esféricas (espejos esféricos)
Espejo Cóncavo: Se tiene una superficie esférica
cóncava reflectora, que tiene un radio de curvatura R,
medido desde el centro de curvatura C. El punto V es el
centro de la sección esférica.
A
B
 =
−
tan
h
p R
En el triángulo AOC
 =
−
'
tan
h
R q
En el triángulo BIC
−
=
−
'h R q
h p R
En los triángulos AOC y BIV
=
'h q
h p
+ =
1 1 2
p q R
Ecuación del
espejo
Reflexión en superficies esféricas (espejos esféricos)
Si rayos que son paralelos al eje principal, inciden sobre el espejo cóncavo se
observa que al reflejarse pasan todos por un punto. Este punto F se llama foco.
La distancia de este punto al centro de la superficie es la distancia focal como la
mitad del radio de curvatura.
𝑓 =
𝑅
2
Teniendo esto en cuenta, se puede escribir la ecuación del espejo como
+ =
1 1 1
p q f
Aumento lateral: 
=
'h
M
h
En el caso de un espejo plano M = 1. En el caso de un
espejo esférico, el valor de M dependerá de la posición de
la imagen y el objeto.
Reflexión en superficies esféricas (espejos esféricos)
Reflexión en superficies esféricas (espejos esféricos)
Espejo Convexo: Se tiene una superficie esférica convexa reflectora, que tiene un radio de
curvatura R, medido desde el centro de curvatura C.
Espejo de coche
Espejo redondo
amplio ángulo
convexo punto
ciego para el
estacionamiento
del espejo
retrovisor
https://www.linio.com.pe/p/espejo-de-coche-espejo-redondo-amplio-a-ngulo-convexo-punto-ciego-
para-el-estacionamiento-del-espejo-retrovisor-oo3iho
Reflexión en superficies esféricas (espejos esféricos)
Diagrama de rayos:
• El rayo 1, parte de la superficie superior del objeto, es paralelo
al eje principal, y su reflejo pasa a través del foco.
• El rayo 2, desde la parte superior del objeto, a través del foco
(o como si viniera del foco) y se refleja paralelo al eje principal.
• El rayo 3, desde la parte superior del objeto a través del centro
de curvatura y se refleja de regreso sobre sí misma.
La posición y el tamaño de las imágenes formadas por los espejosse
determinan convenientemente mediante diagramas de rayos.
Reflexión en superficies esféricas (espejos esféricos)
Imágenes formadas por refracción
Consideremos una interfaz esférica entre dos medios que tiene diferente índice de refracción. Un objeto
colocado en uno de los dos medios podrá formar una imagen por refracción bajo ciertas condiciones.
Para obtener la ecuación que describa la relación entre la distancia del objeto y la imagen consideremos
un objeto puntual.
De la ley de Snell
 =
1 1 2 2
sen senn n  sen
En los triángulos OPC y PIC se tiene
  
  
= −
= −
1
2
( ) ( )   − = −1 2n n
          tan , tan , tan
d d d
p R q
−
+ =1 2 2 1
n n n n
p q R
Imágenes formadas por refracción
Refracción en superficies esféricas
Lentes delgadas
Una lente es un sistema óptico con dos
superficies refractoras. Las lentes mas
comunes son las lentes delgadas tienen
dos superficies esféricas que están lo
suficientemente próximas para
despreciar la distancia entre ellas.
(convergente)
(divergente)
Biconvexo Convexo - Cóncavo Plano - Convexo
Bicóncavo Convexo - Cóncavo Plano - Convexo
Lentes delgadas
Propiedades de lentes delgadas:
Lentes delgadas
Propiedades de lentes delgadas:
Lentes delgadas
Lentes delgadas
Ecuación de una lente delgada:
( )
 
+ = − − 
 
1 1 1 1
1
1 2
n
p q R R
Lentes delgadas
Cámara Fotográfica
El Ojo
Ojo emétrope (visión normal)
Ojo miope (imagen formada delante de la 
retina)
Ojo hipermétrope (imagen formada detrás de 
la retina)
Defectos visuales: miopía e hipermetropía
Corrección: lente divergente Corrección: lente convergente
NO OLVIDAR!
Recuerda
✓ Para comprender la formación de imágenes
utilizamos el modelo de rayo de luz, las leyes de
reflexión y refracción.
✓ Cuando la luz se refleja en una superficie plana, el 
ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia. 
Un espejo cóncavo amplia el tamaño de las 
imágenes
✓ Un espejo convexo reduce el tamaño de las
imágenes.
BIBLIOGRAFÍA
BÁSICA
✓ Serway, R. y Jewett, J.W.(2015) Física para ciencias e ingeniería. Volumen II. 
México. Ed. Thomson. 
✓ Halliday, D., Resnick, R. y Krane, K.S.(2008) Física. Volumen II. México. Ed. 
Continental. 
✓ Sears F., Zemansky M.W., Young H. D., Freedman R.A. (2016) Física Universitaria 
Volumen II Undécima Edición. México. Pearson Educación. 
COMPLEMENTARIA
✓ Tipler, P., Mosca, G. (2010) Física para la ciencia y la tecnología. Volumen II. 
México Ed. Reverté .
✓ Feynman, R.P. y otros. (2005) Física. Vol. II. Panamá. Fondo Educativo 
interamericano.