Sem05-Clase02

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Óptica Clásica – CF-2B2B
2021 - 1
Óptica Geométrica
 
 Reflexión en una superficie esférica
● Formación de imagen en un espejo cuya abertura es grande
● Si un espejo esférico tiene gran abertura y puede aceptar rayos muy inclinados, la 
aproximación hecha para obtener la ec. (21) ya no es válida, ya que reemplazar α por tg(α) 
no es una buena aproximación.
● Aplicando la ley del seno a los triángulos ACP y ACQ, se obtiene
Como sen(π-β)=sen(β)
 
Ó 
Luego, … (23)
 
 Reflexión en una superficie esférica
● Sl α1 y α2 son muy pequeños, podemos hacer la aproximación p=AP y q=AQ, 
obteniéndose la ec. (21).
● Del triángulo ACP, aplicando la ley de cosenos
 
 
Usando 
Para lo cual se usó 
… (24)
… (24a)
 
 Reflexión en una superficie esférica
● Del triángulo AQC, aplicando la ley de cosenos
 
 Sustituyendo (24) y (25) en (23) 
De (21) 
… (25)
… (26)
 
 Reflexión en una superficie esférica
● La distancia h está determinada por la 
inclinación de los rayos, cuanto mayor 
es h menor es q. 
● Por lo tanto, todos los rayos que salen 
de un punto P sobre el eje principal no 
se interceptan en el mismo punto, sino 
sobre un segmento QQ'. 
● Obtenemos Q empleando la ec. (21) ó 
haciendo h =0 en (26). 
● El punto Q' se obtiene haciendo h=H, 
donde H es el radio de la base de la 
superficie esférica.
 
 Reflexión en una superficie esférica
Aumento producido por un espejo esférico.
● El aumento M de un sistema óptico está definido como el cociente entre el tamaño de la 
imagen y el del objeto. Esto es, M = ab/AB. 
● El aumento puede ser positivo o negativo, según que la imagen esté erecta o invertida con 
respecto al objeto.
● De la figura 
● El signo menos debido a que ab es negativo
 (la imagen está invertida). Como θi=θ’r
M=
−q
p
… (27)
 
 Reflexión en una superficie esférica
Aumento producido por un espejo esférico.
● Un espejo cóncavo tiene un radio de 0,600 m. Se coloca un objeto a 1,000 m del espejo. 
Encontrar las imágenes más próxima y más lejana producidas por el espejo, suponiendo 
que la abertura es 20°.
● Tenemos que, r = + 0,600 m y p = + 1,000 m. De la ec. (21), para rayos paraxiales se tiene 
que
Los rayos de máxima inclinación producen una imagen que se obtiene empleando (26), con h 
= r senβ y β=(1/2)(abertura) =(1/2)(20°) = 10°. Luego, h= 0,600 sen 10° = 0,104 m y h2= 
0,0108. Luego, 
Obteniéndose q= + 0,427 m. En consecuencia las imágenes ocupan un pequeño segmento de 
aprox 0,002m = 2 mm de longitud a lo largo del eje principal.
1
1,000
+
1
q
=
2
0,600
+
0,011
0,600
(
1
0,600
−
2
1,000
)
2
 
 Refracción en superficies esféricas
● Consideraremos la refracción en una superficie esférica que separa dos medios cuyos 
índices de refracción son n1 y n2. Los elementos geométricos fundamentales son los 
definidos en la sección precedente. 
● Un rayo incidente PA se refracta según AD el cual, prolongado hacia atrás en el primer 
medio, intercepta el eje principal en Q. 
● De la figura y 
● De la ley de Snell 
●
● Suponiendo rayos con inclinación pequeña
● Ángulos pequeños y
 La ley de Snell
Además
… (28)
… (29)
 
 Refracción en superficies esféricas
● De (28) y (29) 
… (30)
Fórmula de Descartes para la 
refracción en una superficie esférica
 
 Refracción en superficies esféricas
● El foco objeto F0, primer punto focal de una superficie esférica refringente. 
Posición de un objeto puntual sobre el eje principal tal que los rayos refractados 
son paralelos al eje principal, lo cual equivale a tener la imagen del punto en el 
infinito (q=∞). 
● La distancia del objeto a la superficie esférica se denomina distancia focal objeto 
(fo). 
● En (30), para p=fo y q= ∞, se tiene n1/fo = (n1 – n2)/r, ó
● Si los rayos incidentes son paralelos al eje principal, lo cual es equivalente a 
tener el objeto a una distancia muy grande de la superficie esférica (p =∞), los 
rayos refractados pasan por el punto Fi sobre el eje principal llamado foco 
imagen o segundo punto focal. 
… (31)
 
 Refracción en superficies esféricas
● En este caso, la distancia de la imagen a la superficie esférica se llama distancia 
focal imagen (fi). Haciendo p=∞ y q =fi en la ec. (30), 
● Obsérvese que fo + fi = r. Al combinar las ecuaciones (30), (31) y (32)
… (33)
… (32)
 
 Refracción en superficies esféricas
● Rayos principales para el caso en el cual r> 0 y n1> n2.
Fo: foco objeto
fo: distancia focal objeto
Fi: foco imagen
fi: distancia focal imagen
 
 Refracción en superficies esféricas
● Construcción de la imagen de un objeto para el caso en el cual r> 0 y n1> n2.
 
 Refracción en superficies esféricas
● Cuando fo es positivo, el sistema se denomina convergente. 
● Cuando fo es negativo, se denomina divergente. 
● En la tabla se da la lista de convenciones empleadas.
 
 Refracción en superficies esféricas
● Formación de una imagen por una superficie refringente de gran abertura
● Aplicando la ley de senos a los triángulos ACP y ACQ.
● sen(θi) y sen(θr) en la Ley de Snell 
● Sl α1 y α2 son muy pequeños, podemos hacer la aproximación p=AP y q=AQ, obteniéndose 
la ec. (21).
 
 Refracción en superficies esféricas
● Usando las aproximaciones usadas para obtener (24a)y (24)
● Utilizando (30) para eliminar q en el último término de corrección.
● La posición de la imagen depende 
del valor de h o de la inclinación del 
rayo incidente. Por lo tanto, la 
imagen de un punto no es otro punto 
sino un segmento sobre el eje 
principal.
… (34)
 
 Refracción en superficies esféricas
● Aumento producido por una superficie esférica refringente
● Considerando que AB es el objeto y ab es su imagen (virtual)
● M = ab/AB.
● El aumento será (para ángulos pequeños)
● Usando la ley de Snell
 
… (35)
 
 Lentes
● Una lente es un medio transparente limitado por dos superficies curvas 
(generalmente esféricas), aunque una de las caras de la lente puede ser plana. 
● Una onda incidente sufre dos refracciones al pasar a través de la lente.
● Se considerará que a ambos lados de la lente el medio es el mismo y que su 
indice de refracción es la unidad (como el aire), y que el índice de refracción de 
la lente es n. 
● Se considerarán además sólo lentes delgadas, aquellas lentes cuyo espesor es 
muy pequeño comparado con los radios.
 
 Lentes
● El eje principal es la recta determinada 
por los dos centros C1 y C2.
● Sea el rayo incidente PA que pasa por P. 
 
 En la primera superficie:
● El rayo incidente se refracta según el 
rayo AB. La prolongación del rayo AB 
pasaría por Q', que es por lo tanto la 
imagen de P producida por la primera 
superficie refringente. 
● La distancia q' de Q' a O1 se obtiene de 
(30), es decir
 
 Lentes
● El eje principal es la recta determinada 
por los dos centros C1 y C2.
● Sea el rayo incidente PA que pasa por P. 
 
 En la primera superficie:
● El rayo incidente se refracta según el 
rayo AB. La prolongación del rayo AB 
pasaría por Q', que es por lo tanto la 
imagen de P producida por la primera 
superficie refringente. 
● La distancia q' de Q' a O1 se obtiene de 
(30), 
● Así
… (36)
 
 Lentes
● En B, el rayo sufre una segunda 
refracción saliendo como rayo BQ.
● Luego Q es la imagen final de P 
producida por el sistema de dos 
superficies refringentes que constituye 
la lente. 
● Para la refracción en B, el objeto 
(virtual) es Q' y la imagen es Q a una 
distancia q de la lente. 
● De (30) 
 con q' en vez de p, se tiene
… (37)
*Lente delgada, espesor t=O2O1 pequeño
 
 Lentes
● Combinando (36) y (37) para eliminar 
q’ , se obtiene:
 
Fórmula de Descartes para lentes delgadas.
 
… (38)Lentes
● En la figura, el punto O se elige de modo que coincida con el centro óptico de la 
lente, que está definido como el punto donde cualquier rayo que pase a través de 
este emerge en una dirección paralela al rayo incidente.
●
 
 
 Lentes
Como en el caso de una única superficie refringente:
● El foco objeto FO, o primer punto focal de una lente, es la posición del objeto para 
la cual los rayos emergen paralelamente al eje principal (q=∞) después de 
atravesar la lente.
● La distancia de FO a la lente se denomina distancia focal objeto y se denota con f.
● Luego, si p = f y q=∞ en (38), se obtiene para la distancia focal del objeto
 
● Combinando (38) y (39) se tiene
… (39)
 Ecuación del fabricante de lentes
 
 Lentes
● Para un rayo incidente paralelo al eje principal (p = ∞), el rayo emergente pasa a 
través de un punto Fi que tiene q = −f y se le llama foco de la imagen o segundo 
punto focal.
● Así, en una lente delgada, los dos focos están ubicados simétricamente a ambos 
lados de la misma. 
● Si f es positivo, la lente se llama convergente, y si es negativa, divergente.
● Las convenciones de signos son las mismas que se dan para una superficie esférica 
refringente.
 
 Lentes
● Rayos principales para lentes convergentes (a) y divergentes (b), a los fines del 
trazado de rayos, se puede representar una lente delgada por un plano 
perpendicular al eje principal que pasa por O.
lentes convergentes lentes divergentes
 
 Lentes
● Formación de imágen para lentes convergentes (a) y divergentes (b), a los fines del 
trazado de rayos, se puede representar una lente delgada por un plano 
perpendicular al eje principal que pasa por O.
lentes convergentes lentes divergentes
 
 Lentes
● Esta teoría es válida en tanto los rayos tengan una inclinación muy pequeña, de modo 
que la aberración esférica sea despreciable. 
● Para lentes de gran diámetro, la imagen de un punto no será un punto, será un 
segmento del eje principal. 
● En particular, los rayos incidentes paralelos al eje principal se interceptan en puntos 
diferentes cuya posición depende de la distancia de los rayos al eje. 
● La aberración esférica se mide entonces por la diferencia f' - f entre la distancia focal 
para un rayo marginal y la de un rayo axial.
● Los rayos refractados se interceptan sobre una superficie cónica (cáustica de 
refracción).
 
 Lentes
El Aumento producido por una lente se define como: M = ab/AB. 
● De la figura, si O es el centro óptico de la lente
tan α = AB/OA y 
tan α = ab/Oa
Luego, ab/AB = Oa/OA