CINEMATICA DE LA PARTICULA!

Vista previa del material en texto

FISICA GENERAL
CINEMATICA DE UNA PARTICULA
Prof. Ing. Alberto Pacci
1
I. INTRODUCCIÓN
2
MECANICA
MECÁNICA DE 
FLUIDOS
MECÁNICA DE 
CUERPO 
DEFORMABLE
MECANICA DE 
CUERPO RIGIDOS
DINAMICAESTATICA
CINETICACINEMATICA
II. NOCION DE CINEMATICA
• La cinemática (del griegoκινεω, kineo, movimiento) es la rama de la
mecánica clásica que estudia las leyes del movimiento de los
cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen, limitándose
esencialmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo.
• También se dice que la cinemática estudia la geometría del
movimiento.
• En la cinemática se utiliza un sistema de coordenadas para describir
las trayectorias, denominado sistema de referencia.
3
II. ELEMENTOS BASICOS DE LA CINEMATICA
1. ESPACIO ABSOLUTO.
• Es decir, un espacio anterior a todos los objetos
materiales e independiente de la existencia de estos.
• Este espacio es el escenario donde ocurren todos los
fenómenos físicos, y se supone que todas las leyes de la
física se cumplen rigurosamente en todas las regiones de
ese espacio.
• El espacio físico se representa en la Mecánica Clásica
mediante un espacio puntual euclídeo.
4
II. ELEMENTOS BASICOS DE LA CINEMATICA
2.TIEMPO ABSOLUTO
La Mecánica Clásica admite la existencia de un
tiempo absoluto que transcurre del mismo
modo en todas las regiones del Universo y que
es independiente de la existencia de los objetos
materiales y de la ocurrencia de los fenómenos
físicos.
5
II. ELEMENTOS BASICOS DE LA CINEMATICA
2. MOVIL
 El móvil más simple que podemos considerar es el punto material o
partícula.
 La partícula es una idealización de los cuerpos que existen en la
Naturaleza, en el mismo sentido en que lo es el concepto de punto
geométrico.
 Entendemos por punto material o partícula a un cuerpo de
dimensiones tan pequeñas que pueda considerarse como puntiforme;
de ese modo su posición en el espacio quedará determinada al fijar
las coordenadas de un punto geométrico.
 Naturalmente la posibilidad de despreciar las dimensiones de un
cuerpo estará en relación con las condiciones específicas del
problema considerado.
6
III. RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO
• Estudiar el movimiento de un cuerpo quiere decir
determinar su posición en el espacio en función del
tiempo, para ello se necesita un sistema de
referencia.
• En el espacio euclidiano un sistema de queda
definido por los elementos siguientes.
a. un origen O, que es un punto del espacio físico.
b. una base vectorial del espacio vectorial asociado
a dicho espacio físico.
7
III. RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO
• Decimos que una partícula se encuentra en movimiento con respecto a
un referencial si su posición con respecto a él cambia en el transcurso
del tiempo.
• En caso contrario, si la posición del cuerpo no cambia con respecto al
referencial, el cuerpo está en reposo en dicho referencial.
• De las definiciones que acabamos de dar para el movimiento y el
reposo de un cuerpo, vemos que ambos conceptos son relativos.
8
III. RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO
 En la Figura hemos representado
dos observadores, S y S′, y una
partícula P.
 Estos observadores utilizan los
referenciales xyz y x′y′z′,
respectivamente.
 Si S y S′ se encuentran en reposo
entre sí, describirán del mismo
modo el movimiento de la partícula
P. Pero si S y S′ se encuentran en
movimiento relativo, sus
observaciones acerca del
movimiento de la partícula P serán
diferentes.
9
III. RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO
• Para el observador en ubicado en la tierra la LUNA describirá
una órbita casi circular en torno a la TIERRA.
• Para el observador ubicado en el sol la trayectoria de la luna es
una línea ondulante.
• Naturalmente, si los observadores conocen sus movimientos
relativos, podrán reconciliar sus observaciones
10
IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
Decimos que una partícula tiene un movimiento rectilíneo 
cuando su trayectoria medida con respecto a un 
observador es una línea recta
1. POSICIÓN.
11
 La posición de la partícula
en cualquier instante queda
definida por la coordenada x
medida a partir del origen O.
Si x es positiva la partícula se
localiza hacia la derecha de O y
si x es negativa se localiza a la
izquierda de O.
IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
2. DESPLAZAMIENTO. 
 El desplazamiento se define como el cambio de posición.
 Se representa por el símbolo Δx.
 Si la posición final de la partícula P’ está la derecha de su
posición inicial P, el desplazamiento x es positivo cuando el
desplazamiento es hacia la izquierda ΔS es negativo
12
'
ˆ ˆ' '
x x x
r r r x i xi
  
    
IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
3. VELOCIDAD MEDIA
Si la partícula se mueve de P a P’ experimentando un
desplazamiento Δx positivo durante un intervalo de tiempo
Δt, entonces, la velocidad media será
13
2 2
2 1
ˆ ˆ' '
' '
m
m
x xx
v
t t t
r r r x i xi
v
t t t t t

 
 
  
  
  
IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
3. VELOCIDAD MEDIA
 La velocidad media también
puede interpretarse
geométricamente para ello se
traza una línea recta que une
los puntos P y Q como se
muestra en la figura. Esta
línea forma un triángulo de
altura x y base t.
 La pendiente de la recta es
x/t. Entonces la velocidad
media es la pendiente de la
recta que une los puntos
inicial y final de la gráfica
posición-tiempo 14
IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
4. VELOCIDAD INSTANTÁNEA
 Es la velocidad de la partícula en cualquier instante
de tiempo se obtiene llevando al límite la velocidad
media es decir, se hace cada vez más pequeño el
intervalo de tiempo y por tanto valores más
pequeños de x. Por tanto:
15
0
0
lim( )
ˆlim( )
t
t
x dx
v
t dt
r dr dx
v i
t dt dt
 
 

 


  

16
IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
17
4. VELOCIDAD INSTANTÁNEA 
• Si una partícula se mueve de P a Q. A medida que Q se aproxima más y
más a P los intervalos de tiempo se hacen cada vez menores. A medida
que Q se aproxima a P el intervalo de tiempo tiende a cero tendiendo de
esta manera las pendientes a la tangente. Por tanto, la velocidad
instantánea en P es igual a la pendiente de la recta tangente en el punto
P. La velocidad instantánea puede ser positiva (punto P), negativa
(punto R) o nula (punto Q) según se trace la pendiente correspondiente
IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
5. RAPIDEZ MEDIA. 
La rapidez media se define como la distancia total
de la trayectoria recorrida por una partícula ST,
dividida entre el tiempo transcurrido t, es decir,
18
( ) Trap
S
v
t


IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
6. ACELERACIÓN MEDIA . 
Si la velocidad de la partícula al pasar por P es v y cuando
pasa por P’ es v’ durante un intervalo de tiempo Δt, entonces:
19
La aceleración media se define como:
'
'
med
v v v
a
t t t
 
 
 
IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
6. ACELERACIÓN INSTANTANEA . 
La aceleración instantánea se obtiene llevando al límite la
aceleración media cuando t tiende a cero es decir:
20
0
2
2
lim( )
( )
t
v dv
a
t dt
d dx d x
a
dt dt dt
 

 

 
Ejemplo 01
• La posición de una partícula que se mueve en línea 
recta está definida por la relación 
Determinar: 
• (a) La posición, velocidad y aceleración en t = 0; 
• (b) La posición, velocidad y aceleración en t = 2 s; 
(c) La posición, velocidad y aceleración en t = 4 s ; 
(d) El desplazamiento entre t = 0 y t = 6 s; 
21
2 36x t t 
Solución
• La ecuaciones de movimiento son:
• Las cantidades solicitadas son:
22
326 ttx 
2312 tt
dt
dx
v 
t
dt
xd
dt
dv
a 612
2
2

• En t = 0, x = 0, v = 0, a = 12 m/s2
• En t = 2 s, x = 16 m, v = vmax = 12 m/s, a = 0
• En t = 4 s, x = xmax = 32 m, v = 0, a = -12 m/s
2
• En t = 6 s, x = 0, v = -36 m/s, a = -24 m/s2
V. DETERMINACIÓN DEL MOVIMEINTO DE 
UNA PARTÍCULA 
1. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DEL TIEMPO a = f(t).
Se sabe que a = dv/dt, entonces podemos escribir
23
DETERMINACIÓN DEL MOVIMEINTO DE UNA 
PARTÍCULA 
2. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DE LA POSICIÓNa = f(x).
Se sabe que a = vdv/ds, entonces podemos escribir
24
V. DETERMINACIÓN DEL 
MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA 
2. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DE LA VELOCIDAD a = 
f(v).
Se sabe que a = dv/dt o también a = vdv/ds, entonces podemos 
escribir
25
V. DETERMINACIÓN DEL MOVIMIENTO DE UNA 
PARTÍCULA 
4. LA ACELERACIÓN ES CONSTANTE a = constante
A este caso se le denomina movimiento rectilíneo 
uniforme y las ecuaciones obtenidas son:
26
Ejemplo
El auto mostrado en la figura se mueve en línea recta 
de tal manera que su velocidad para un período 
corto de tiempo es definida por 
pies/s, donde t es el tiempo el cual está en segundos
. Determinar su posición y aceleración cuando t =
3,0 s. Considere que cuando t = 0. S = 0
27
Solución
POSICIÓN Para el sistema de
referencia considerado y
sabiendo que la velocidad es
función del tiempo v = f(t). La
posición es
Cuando t = 3 s, resulta
• ACELERACIÓN. Sabiendo
que v = f(t), la aceleración
se determina a partir de a =
dv/dt
• Cuando t = 3 s
28
Ejemplo 02
Un proyectil pequeño es disparado verticalmente
hacia abajo dentro de un medio fluido con una
velocidad inicial de 60 m/s. Si resistencia del fluido
produce una desaceleración del proyectil que es igual
a donde v se mide en m/s.
Determinar la velocidad v y la posición S cuatro
segundos después de que se disparó el proyectil.
29
Solución
Velocidad: Usando el sistema de
referencia mostrado y sabiendo
que a = f(v) podemos utilizar la
ecuación a = dv/dt para
determinar la velocidad como
función del tiempo esto es
POSICIÓN: Sabiendo que v =
f(t), la posición se determina
a partir de la ecuación v =
dS/dt
30
Ejemplo 03
• Una partícula metálica está sujeta
a la influencia de un campo
magnético tal que se mueve
verticalmente a través de un
fluido, desde la placa A hasta la
placa B, Si la partícula se suelta
desde el reposo en C cuando S =
100 mm, y la aceleración se
mide como donde S
está en metros. Determine; (a) la
velocidad de la partícula cuando
llega a B (S = 200 mm) y (b) el
tiempo requerido para moverse
de C a B
31
Solución
• Debido a que a = f(S), puede
obtenerse la velocidad como
función de la posición usando
vdv = a dS. Consideramos
además que v = 0 cuando S =
100 mm
• La velocidad cuando S = 0,2 m
es
• El tiempo que demora en
viajar la partícula de C a B
se determina en la forma
• Cuando S = 0,2 m el
tiempo es
32
33
MOVIMIENTO RECTILÉNEO UNIFORMEMENTE 
VARIADO MRUV ( a = CTE)
34
EJERCICIOS:
1. Un móvil parte del reposo y alcanza una velocidad de 100 
km/h en 10 segundos en un MRUV. Determinar:
a) La aceleración
b) El espacio total recorrido
c) El espacio que recorre en el cuarto segundo de movimiento
t = 0 s t = 1 s t = 2 s t = 3 s t = 4 s
t = 5 s
v0 = 0
1°Seg. 2°Seg. 3°Seg. 4°Seg. 5°Seg.
MOVIMIENTO DE CAÍDA LIBRE (MRUV a=g)
35
36
EJERCICIOS
1. Desde el borde de la terraza de un edificio de 60 metros es 
lanzada verticalmente hacia arriba una piedra con una 
velocidad de 25 m/s. Determinar:
a) La altura máxima alcanzada respecto a la base del 
edificio
b) El tiempo que permanece en el aire considerando que 
se estrella finalmente con la base del edificio
c) El espacio que recorre en el segundo segundo de su 
movimiento
Ejemplo 04 
Desde una ventana situada a 20 m
sobre el suelo se lanza una bola
verticalmente hacia arriba con una
velocidad de 10 m/s. Sabiendo que
la bola todo el tiempo se encuentra
sometida a un campo gravitacional
que le proporciona una aceleración
g = 9,81 m/s2 hacia abajo.
Determine: (a) la velocidad y la
altura en función del tiempo, (b) el
instante en que la bola choca con el
piso y la velocidad correspondiente
37
 
  tvtvdtdv
a
dt
dv
ttv
v
81.981.9
sm81.9
0
0
2
0



  ttv 






2s
m
81.9
s
m
10
 
   
0
21
0 2
0
10 9.81
10 9.81 10 9.81
y t t
y
dy
v t
dt
dy t dt y t y t t
  
     
  2
2s
m
905.4
s
m
10m20 ttty 












Solución
38
Solución
  0
s
m
81.9
s
m
10
2






 ttv
s019.1t
• Remplazando el valor del tiempo obtenido se 
tiene. 
 
   2
2
2
2
s019.1
s
m
905.4s019.1
s
m
10m20
s
m
905.4
s
m
10m20


























y
ttty
m1.25y
Cuando la bola alcanza su altura máxima 
su velocidad es cero, entonces se tiene
39
Solución
• Cuando la bola choca contra el suelo y = 0 
Entoces tenemos:
  0
s
m
905.4
s
m
10m20 2
2












 ttty
s28.3
 s243.1


t
t
 
   s28.3
s
m
81.9
s
m
10s28.3
s
m
81.9
s
m
10
2
2














v
ttv
s
m
2.22v
40
SOLUCION:
• Remplazando la posición, velocidad
inicial y el valor de la aceleración de la
bola en las ecuaciones generales se tiene.
2
2
2
2
1
00
20
s
m
905.4
s
m
18m12
s
m
81.9
s
m
18
ttattvyy
tatvv
B
B




















• La posición y la velocidad del ascensor 
será: 
ttvyy
v
EE
E








s
m
2m5
s
m
2
0
41
Resolución gráfica de problemas en el movimiento 
rectilíneo
• La velocidad y la aceleración en el movimiento rectilíneo 
están dadas por las ecuaciones,
• La primera ecuación expresa que la velocidad instantánea es 
igual a la pendiente de la curva en dicho instante.
• La segunda ecuación expresa que la aceleración es igual a la 
pendiente de la curva v-t en dicho instante
42
/
/
v dx dt
a dv dt


VII. Resolución gráfica de problemas en el 
movimiento rectilíneo
• Integrando la ecuación de la velocidad tenemos
• El área bajo la gráfica v-t entre t1 y t2 es igual al
desplazamiento neto durante este intervalo de tiempo
• El área bajo la gráfica a-t entre t1 y t2 es igual al cambio neto
de velocidades durante este intervalo de tiempo 43
2 2
1 1
2 1 2 1; 
t t
t t
A x x vdt A v v adt      
44
Otros métodos gráficos
• El momento de área se puede utilizar para
determinar la posición de la partícula en
cualquier tiempo directamente de la curva v-
t:
 
1
0
1 0
0 1 1
area bajo la curva 
v
v
x x v t
v t t t dv
  
  
usando dv = a dt ,
  
1
0
11001
v
v
dtatttvxx
  
1
0
1
v
v
dtatt Momento de primer orden de
área bajo la curva a-t con
respecto a la línea t = t1
  1 0 0 1 1área bajo la curva 
abscisa del centroide 
x x v t a - t t t
t C
   

45
Otros métodos gráficos
• Método para determinar la 
aceleración de una partícula de la 
curva v-x
tan
 a BC
dv
a v
dx
AB
a BC subnormal



 
EJEMPLO 10
• Un ciclista se mueve en línea recta tal que su
posición es descrita mediante la gráfica mostrada.
Construir la gráfica v-t y a-t para el intervalo de
tiempo 0≤ t ≤ 30 s
46
EJEMPLO 11
Un carro de ensayos parte del reposo y viaja a lo
largo de una línea recta acelerando a razón
constante durante 10 s. Posteriormente desacelera a
una razón constante hasta detenerse. Trazar las
gráficas v-t y s-t y determinar el tiempo t’ que
emplea en detenerse
47
Solución: Gráfica v - t
La gráfica velocidad-tiempo puede ser determinada
mediante integración de los segmentos de recta de
la gráfica a-t. Usando la condición inicial v = 0
cuando t = 0
Cuando t = 10 s, v = 100 m/s usando esto como
condición inicial para el siguiente tramo se tiene
48
tvdtdvast
tv
10,10;10100
00
 
1202,2;2;10
10100
  tvdtdvatts
tv
Cuando t = t´, la velocidad
nuevamente es cero por tanto se
tiene
0= -2t’ + 120
t’ = 60 s
Solución: Grafica s - t
La gráfica posición-tiempo puede ser determinada
mediante integración de los segmentos de recta
de la gráfica v-t. Usando la condición inicial s = 0
cuando t = 0
Cuando t = 10 s, S = 500 m usando esto como
condición inicial para el siguiente tramo se tiene
49
Cuando t = t´, la posición
S = 3000 m
2
00
5,10;10;100 tsdttdstvst
ts
 
 
6001201202;1202;6010
2
10500

 
tts
dttdstvsts
ts
Ejemplo 12
La gráfica v-t, que describe el movimiento de un
motociclista que se mueve en línea recta es el
mostrado en la figura. Construir el gráfico a-s del
movimiento y determinar el tiempo que requiere el
motociclista para alcanzar la posición S = 120 m
50
Solución
Grafico a-s.
Debido a que las ecuaciones de los segmentos de
la gráfica están dadas, la gráfica a-t puede ser
determinada usando la ecuación dv = a ds
51
0
;15;12060
6.004.0
32.0;600




ds
dv
va
vmsm
s
ds
dv
va
svms
Solución
Calculo del tiempo.
El tiempo se obtiene usando la gráfica v-t y la ecuación
v = ds/dt. Para el primer tramo de movimiento, s = 0, t = 0
Cuando s = 60 m, t = 8,05 s
52
3ln5)32.0ln(5
32.0
32.0
;32.0;600
0






st
s
ds
dt
ds
v
ds
dtsvms
st
o
Solución
Calculo del tiempo.
Para el segundo tramo de movimiento
Cuando S = 120 m, t´= 12 s
53
05.4
15
15
15
;15;12060
6005.8




s
t
ds
dt
ds
v
ds
dtvms
st
Ejemplo 13
Una partícula parte del reposo y se mueve
describiendo una línea recta, su aceleración de 5
m/s2 dirigida hacia la derecha permanece invariable
durante 12 s. A continuación la aceleración adquiere
un valor constante diferente tal que el
desplazamiento total es 180 m hacia la derecha y la
distancia total recorrida es de 780 m. Determinar:
(a) La aceleración durante el segundo intervalo de 
tiempo, 
(b) El intervalo total de tiempo.
54
55
Solución
En la figura se muestra el gráfico velocidad-tiempo
, ya que a = constante.
La distancia total es la suma de las áreas en valor absoluto
Como la aceleración es la
pendiente de la curva v-t, tenemos
2 1
1
1
2 2
1 1
1
5 /
5 / ( ) 5 / (12 )
60 / (1)
v
tg a m s
t
v m s t m s s
v m s
   

  

1 2 1 2 1 3 3
2 3 3
1 1
780 ( ) ( )
2 2
1 1
(12 )60 / ( ) 780 (2)
2 2
Td A A m t t v t v
s t m s t v m
        
    
56
Solución
El desplazamiento viene expresado por:
1 2 1 2 1 3 3
2 3 3
1 1
180 ( ) ( )
2 2
1 1
(12 )60 / ( ) 180 (3)
2 2
x A A m t t v t v
s t m s t v m
         
    
Sumando las ecuaciones (2) y (3), resulta
2
2
(12 )60 / 960
4 (4)
s t m s m
t s
  
 
La aceleración en el segundo intervalo tiempo es:
1
2
2
2
60 /
4
15 / (5)
v m s
a tg
t s
a m s
  

 
57
Solución
Se determina t3
23
2
3
2
3 3
15 /
15 / ( ) (6)
v
a tg m s
t
v m s t
  

 
Remplazando la ec. (4) y (6) en (3) se tiene 
3 3
2
2
3
3
1 1
(12 4 )60 / ( )(15 ) 180
2 2
15 /
480 ( ) 180
2
6,32
s s m s t t m
m s
m t m
t s
    
  
 
El intervalo total de tiempo será:
1 2 3 12 4 6,33
22,33
t t t t s s s
t seg
         
 
Ejemplo 14
Un cuerpo se mueve en línea recta con una velocidad
cuyo cuadrado disminuye linealmente con el
desplazamiento entre los puntos A y B los cuales
están separados 90 m tal como se indica. Determine
el desplazamiento Δx del cuerpo durante los dos
últimos segundos antes de llegar a B.
58
Problemas propuestos 
1. El movimiento de una partícula se define por la
relación donde x se expresa en metros
y t en segundos. Determine el tiempo, la posición
y la aceleración cuando la velocidad es nula.
2. El movimiento de una partícula se define
mediante la relación donde x se expresa
en pies y t en segundos. Determine: (a) el tiempo
en el cual la velocidad es cero, (b) La posición y la
distancia total recorrida cuando t = 8 s
59
3 22 6 15x t t  
22 20 60x t t  
Problemas propuestos 
3. La aceleración de una partícula se define mediante
la relación . La partícula parte de x =
25 pulg en t = 0 con v = 0. Determine: (a) el tiempo en
el cual la velocidad de nuevo es cero; (b) la posición
y la velocidad cuando t = 5 s, (c) La distancia total
recorrida por la partícula desde t = 0 a t = 5 s.
4. La aceleración de una partícula está definida por la
relación a = -3v, con a expresada en m/s2 y v en m/s.
Sabiendo que para t = 0 la velocidad es 60 m/s,
determine: (a) la distancia que la partícula viajará
antes de detenerse, (b) el tiempo necesario para que
la partícula se reduzca al1% de su valor inicial
60
2 2(64 12 ) /a t pul s 
VIII. MOVIMIENTO CURVILÍNEO
Se dice que una partícula tiene un movimiento curvilíneo cuando 
su trayectoria descrita esta es una línea curva.
61
VIII. MOVIMIENTO CURVILÍNEO
62
OBJETIVOS
1. Describir el movimiento de
una partícula que viaja a lo
largo de una trayectoria
curva
2. Expresar las cantidades
cinemáticas en coordenadas
rectangulares, componentes
normal y tangencial, así
como radial y transversal
MOVIMIENTO CURVILÍNEO
1. Vector Posición: Es aquel vector dirigido desde el
origen de un sistema coordenado hacia el punto de
ubicación instantánea P la partícula. Se representa
por r = r(t).
63
MOVIMIENTO CURVILÍNEO
64
2. Vector Desplazamiento: Supongamos ahora que la
partícula se mueve durante un pequeño intervalo de
tiempo t hasta el punto P’, entonces su posición será r’
(t + ). El desplazamiento es vector dirigido desde P a
P’ y se expresa
'( ) ( )r r t t r t    
VIII. MOVIMIENTO CURVILÍNEO
65
3. Velocidad Media: Cuando la partícula se mueve de P a P’
experimenta un desplazamiento r en un intervalo de tiempo
t. la velocidad media se define como
'
'
m
r r r
v
t t t
 
 
 
La velocidad media es un 
vector que tiene la misma 
dirección que el 
desplazamiento es decir es 
secante a la curva.
La velocidad media depende 
del intervalo de tiempo.
VIII. MOVIMIENTO CURVILÍNEO
66
4. Velocidad Instantánea: Si el intervalo de tiempo se hace
cada ves más pequeño (t0), el desplazamiento también
tiende a cero. Llevando al límite la velocidad media se obtiene
la velocidad instantánea. Es decir.
La velocidad instantánea es 
un vector tangente a la 
trayectoria.
0 0
'
lim lim
't t
r r r dr
v
t t t dt   
 
  
 
VIII. MOVIMIENTO CURVILÍNEO
3. Velocidad Instantánea: 
Multiplicando y dividiendo la expresión anterior por la
longitud del arco s = acrPQ, obtenemos
67
0 0 0
lim lim lim
t t t
r s r s
v
s t s t     
   
 
   
A medida que Q se acerca a P la
magnitud de r se aproxima a
s, entonces se tiene:
Además se tiene
0
lim t
t
dr r
e
ds s 

 

0
lim
t
s ds
v
t dt 

 

t
ds
v e
dt

VIII. MOVIMIENTO CURVILÍNEO
5. Aceleración media: En la figura se observa las velocidades 
instantáneas de la partícula en P y Q. El cambio de velocidades 
durante t es v. La aceleración media es el cambio de 
velocidades en el intervalo de tiempo. Es decir:
68
La aceleración media es
un vector paralelo a v y
también depende de la
duración del intervalo de
tiempo
Q P
m
Q P
v vv
a
t t t

 
 
VIII. MOVIMIENTO CURVILÍNEO
3. Aceleración media: En la figura se observa las velocidades
instantáneas de la partícula en P y Q. El cambio de velocidades
durante t es v. La aceleración media es el cambio de velocidades
en el intervalo de tiempo. Es decir
69
La aceleración media es
un vector paralelo a v y
también depende de la
duración del intervalo de
tiempo
Q P
m
Q P
v vv
a
t t t

 
 
VIII. MOVIMIENTO CURVILÍNEO
6. Aceleración instantánea: Se obtiene llevando al límite la
aceleración media es decir haciendo cada ves mas y mas
pequeños los intervalos de tiempo
70
La aceleración 
instantánea es un vector 
que tiene misma dirección 
que el cambio instantáneo 
de la velocidad es decir 
apunta hacia la 
concavidad de la curva 
0
2
2
lim
t
v dv
a
t dt
d dr d r
a
dt dt dt
 

 

 
  
 
MOVIMIENTO CURVILINEO PLANO
Es aquel movimiento que se realiza en un solo plano.
71
     r t x t i y t j 
   
   
2 1
2 1 2 1
r r t r t
r x x i y y j
  
    
     
     
x yv t v t i v t j
v t x t i yt j
 
 
     
     
     
x y
x y
a t a t i a t j
a t v t i v t j
a t x t i y t j
 
 
 
8.3. MOVIMIENTO PARABÓLICO
Es caso mas simple del movimiento plano, en el
cual ax = 0 y ay = - g = - 9,81 m/s2 =-32,2 pies/s2. En
la figura se muestra este movimiento y su
trayectoria
72
MOVIMIENTO PARABÓLICO: Hipótesis
Para analizar este movimiento se usa las siguientes
hipótesis:
(a) El alcance del proyectil es suficientemente pequeño como
para poder despreciar la curvatura de la superficie terrestre (la
aceleración gravitatoria g es normal a dicha superficie);
(b) La altura que alcanza el proyectil es suficientemente
pequeña como para poder despreciar la variación del campo
gravitatorio (aceleración de la gravedad) terrestre con la altura;
(c) La velocidad del proyectil es suficientemente pequeña
como para poder despreciar la resistencia que presenta el aire
al movimiento del proyectil y
(d) No tendremos en cuenta el efecto de rotación de la Tierra
que, como veremos más adelante, tiende a desviar el proyectil
hacia la derecha de su trayectoria cuando el movimiento tiene
lugar en el hemisferio Norte. 73
74
DIAGRAMA DEL MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL
MOVIMIENTO PARABÓLICO: ecuaciones 
Movimiento horizontal. Debido a que ax = 0
75
0
2
0 0
2 2
0 0
;
1
;
2
2 ( );
x
x
x
v v a t
x x v t a t
v v a x x
 
  
  
0
0 0
0
( )
( )
( )
x x
x
x x
v v
x x v t
v v

 

MOVIMIENTO PARABÓLICO: ecuaciones 
Movimiento vertical: Debido a que ay = - g = -9,81
m/s2
76
0
2
0 0
2 2
0 0
;
1
;
2
2 ( );
y y y
y y
y y y
v v a t
y y v t a t
v v a y y
 
  
  
0
2
0 0
2 2
0 0
( )
1
( )
2
( ) 2 ( )
y y
y
y y
v v gt
y y v t gt
v v g y y
 
  
  
MOVIMIENTO PARABÓLICO: Altura máxima y alcance 
alcanzado por el proyectil
77
Cuando se estudia el movimiento
de proyectiles, dos características
son de especial interés.
1. El alcance R, es la máxima
distancia horizontal
alcanzada por el proyectil
2. La altura máxima h
alcanzada por el proyectil


2 2sin
2
i ivh
g


2 sin2i ivR
g
MOVIMIENTO PARABÓLICO: alcance alcanzado por el 
proyectil
El máximo alcance es logrado cuando el ángulo de
lanzamiento es 45°
78
79
Ejercicio 1.- Se lanza un proyectil con una velocidad 
inicial de 200 m/s y una inclinación, sobre la horizontal, 
de 30°. Suponiendo despreciable la pérdida de velocidad 
con el aire, calcular:
a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la bala?.
b) ¿A qué distancia del lanzamiento alcanza la altura 
máxima?.
c) ¿A qué distancia del lanzamiento cae el proyectil?.
80
Ejercicio 2.- Una persona arroja una pelota a una velocidad de 25,3 m/s y un 
ángulo de 42º arriba de la horizontal directa hacia una pared como se muestra 
en la figura. La pared está a 21,8 m del punto de salida de la pelota. 
a) ¿Cuánto tiempo estará la pelota en el aire antes de que golpee a la pared?;
b) ¿A qué distancia arriba del punto de salida golpea la pelota a la pared?; 
c) ¿Cuáles son las componentes horizontales y verticales de su velocidad cuando 
golpea a la pared?; 
d)¿Ha pasado el punto más elevado de su trayectoria cuando la golpea?
81
Ejercicio 2.- Una persona arroja una pelota a una velocidad de 25,3 m/s y un ángulo 
de 42º arriba de la horizontal directa hacia una pared como se muestra en la figura. 
La pared está a 21,8 m del punto de salida de la pelota. 
a) ¿Cuánto tiempo estará la pelota en el aire antes de que golpee a la pared?;
b) ¿A qué distancia arriba del punto de salida golpea la pelota a la pared?; 
c) ¿Cuáles son las componentes horizontales y verticales de su velocidad cuando 
golpea a la pared?; 
d)¿Ha pasado el punto más elevado de su trayectoria cuando la golpea?
SOLUCIÓN
a) Vx = (25.3 m/s) cos (42º) = 18,80 m/s
El tiempo de vuelo está dado por:
b) La distancia que se pide se mide en el eje y. Analizando el movimiento en ese eje, se puede 
encontrar la velocidad final, en y, antes de golpear la pared:
Voy = (25,3 m/s) sen (42º) = 16,93 m/s La velocidad final, en y, es:
Vfy = Voy + g*t = (16,93 m/s) + (-9,8 m/s^2)*(1,16 s) = 5,56 m/s
82
c) Las componentes verticales y horizontales de la velocidad final se calcularon en literales 
anteriores:
Vfx = 18.80 m/s
Vfy = 5.56 m/s
d) El punto h se puede comparar con el punto más alto del movimiento, tomando como Vfy = 0 m/s:
Ejemplo
Un saco desliza por una rampa saliendo de su
extremo con una velocidad de 12 m/s. Si la altura de
la rampa es 6 m desde el piso. Determinar el tiempo
necesario para que saco impacte contra el piso y la
distancia horizontal R que avanza
83
Ejemplo 
84
La máquina de picar está diseñada para extraer madera
en trozos y lanzarlos con una velocidad vo = 7,5 m / s. Si el
tubo se orienta a 30° respecto a la horizontal como se
muestra en la figura, determinar qué tan alto se apilarán
los trozos de madera, si la distancia del apilamiento a la
salida es 6 m
Ejemplo 
85
La pista de carreras de este evento fue diseñado para que
los pilotos puedan saltar de la pendiente de 30°, desde una
altura de 1m. Durante la carrera, se observó que el
conductor permaneció en el aire 1,5 s. Determinar la
velocidad de salida de la pendiente, la distancia horizontal
alcanzada y la altura máxima que se eleva el piloto y su
moto. Desprecie el tamaño de ambos.
Ejemplo 
Un jugador de basquetbol lanza una pelota de
baloncesto según el ángulo de θ = 50° con la
horizontal. Determine la rapidez v0 a la cual se suelta
la pelota para hacer el enceste en el centro del aro.
¿Con qué rapidez pasa la pelota a través del aro?.
86
Ejemplo
Un bombero desea saber la altura máxima de la
pared a la cual puede proyectar el agua mediante el
uso de la manguera. ¿A qué ángulo, θ, respecto de
la horizontal debe inclinar la boquilla para lograr el
objetivo?
87
Ejemplo
La moto de nieve mostrada en la figura sale de la 
rampa con una rapidez de 15 m/s bajo un ángulo de 
40°respecto a la horizontal y aterriza en el punto B. 
Determine la distancia horizontal R que viaja y el 
tiempo que permanece en el aire
88
Ejemplo
El esquiador sale de la rampa formando un ángulo de 
θA = 25° y aterriza en el punto B de la pendiente. 
Determine la velocidad inicial del esquiador y el 
tiempo que permanece en el aire
89
Ejemplo
• El hombre lanza una pelota con una velocidad
inicial v0 = 15 m/s . Determine el ángulo θ bajo el
cual podría lanzar la pelota del tal manera que
choque contra la valla en un punto de máxima
altura posible. El gimnasio tiene una altura de 6 m.
90
COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL
OBJETIVOS
• Determinar las componentes normal y tangencial de
la velocidad y la aceleración de una partícula que se
encuentra moviéndose en un trayectoria curva.
91
COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL
APLICACIONES
92
Cuando un auto se mueve en una 
curva experimenta una aceleración, 
debido al cambio en la magnitud o 
en la dirección de la velocidad.
¿Podría Ud. preocuparse por la 
aceleración del auto?.
Si el motociclista inicia su
movimiento desde el reposo e
incrementa su velocidad a razón
constante. ¿Cómo podría determinar
su velocidad y aceleración en la
parte más alta de su trayectoria.
COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL
POSICIÓN
93
Cuando la trayectoria de una 
partícula es conocida, a veces es 
conveniente utilizar las 
coordenadas normal (n) y 
tangencial (t) las cuales actúan 
en las direcciones normal y 
tangencial a la trayectoria.
En un movimiento plano se 
utilizan las vectores unitarios ut
y un
El origen se encuentra ubicado 
sobre la trayectoria de la 
partícula.
El eje t es tangente a la 
trayectoria y positivo en la 
dirección del movimiento y 
el eje n es perpendicular al 
eje t y esta dirigido hacia el 
centro de curvatura
COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL
POSICIÓN
94
En un movimiento plano las
direcciones n y t se encuentran
definidas por los vectores
unitarios ut y un
El radio de curvatura ρ,es la
distancia perpendicular desde
curva hasta el centro de curvatura
en aquel punto.
La posición es la distancia S
medida sobre la curva a partir de
un punto O considerado fijo
COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL
VELOCIDAD
95
Debido a que la partícula se esta
moviendo, la posición S está
cambiando con el tiempo.
La velocidad v es un vector que
siempre es tangente a la
trayectoria y su magnitud se
determina derivando respecto
del tiempo la posición S = f(t).
Por lo tanto se tiene:
/
tv vu
v s dS dt

 
COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL
ACELERACIÓN 
96
Consideremos el movimiento de
una partícula en una trayectoria
curva plana
En el tiempo t se encuentra en P
con una velocidad v en dirección
tangente y una aceleración a
dirigida hacia la concavidad de la
curva. La aceleración puede
descomponerse en una
componente tangencial at
(aceleración tangencial) paralela a
la tangente y otra paralela a la
normal an (aceleración normal)
La aceleración tangencial es 
la responsable del cambio 
en el modulo de la velocidad
La aceleración normal es la 
responsable del cambio en 
la dirección de la velocidad
COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL
ACELERACIÓN 
97
Tracemos en A un vector 
unitario . La aceleración será:
Si la trayectoria es una recta, el 
vector sería constante en 
magnitud y dirección, por tanto
Pero cuando la trayectoria es 
curva la dirección de cambia 
por lo tanto
ˆ ˆ( )
ˆt t
t
d ve dedv dv
a e v
dt dt dt dt
   
ˆ
0t
de
dt

t̂e
t̂e
ˆ
0t
de
dt

COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL
ACELERACIÓN 
98
Introduzcamos el vector unitario
normal a la curva y dirigido
hacia el lado cóncavo de la
curva. Sea β el ángulo que forma
la tangente en A con el eje x.
Entonces se tiene:
La derivada del vector unitario
tangente será
ˆ
ne
ˆˆ cos
ˆˆ cos( ) ( )
2 2
ˆˆ cos
t
n
n
e i sen j
e i sen j
e sen i j
 
 
 
 
 
   
  
ˆ
ˆ( ) cos
ˆ
ˆ
t
t
n
de d d
sen i j
dt dt dt
de d
e
dt dt
 
 

  

COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL
ACELERACIÓN 
 Por otro lado se tiene que
 Donde dS es el pequeño arco
a lo largo del movimiento en
un dt.
 Las normales a la curva en A y
A´ se intersecan en C.
Entonces
 La razón de cambio del vector
unitario tangencial es
99
d d dS d
v
dt dS dt dS
  
 
1
dS d
d
dS
 




ˆ 1
ˆt
n
de
e
dt 

COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL
ACELERACIÓN 
Remplazando esta ecuación 
en la aceleración se tiene:
Es decir las 
aceleraciones tangencial y 
normal se escriben 
• La magnitud de la 
aceleración total será
100
2
ˆ
ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
t
t
t n
t t n n
dedv
a e v
dt dt
dv v
a e e
dt
a a e a e

 
 
 
2
ˆ ˆ: t t t n
dv v
a e a e
dt 
 
2 2
t na a a 
CASOS ESPECIALES
1. La partícula se mueve a lo largo de una línea recta
   => an = v
2/  0 > a = at = v
La componente tangencial representa la razón 
de cambio de la magnitud de la velocidad
2. La partícula se mueve en la curva a velocidad
constante
at = v = 0 => a = an = v
2/ 
La componente normal representa la razón de 
cambiode la dirección de la velocidad
101
3) La componente tangencial de la aceleración es constante,
at = (at)c.
So y vo son la posición y la velocidad de la partícula en t = 0 
4. La partícula se mueve a lo largo de la rayectoria dada por y 
= f(x). Entonces el radio de curvatura es:
2
0 0
0
2 2
0 0
1
( )
2
( )
2( ) ( )
c c
c c
c c
s s v t a t
v v a t
v v a s s
  
 
  
2 3/ 2
2 2
[1 ( / ) ]
/
dy dx
d y dx



CASOS ESPECIALES
102
Ejemplo 01
• Un esquiador viaja con una rapidez de 6 m/s la se está
incrementando a razón de 2 m/s2, a lo largo de la trayectoria
parabólica indicada en la figura. Determine su velocidad y
aceleración en el instante que llega a A. Desprecie en los
cálculos el tamaño del esquiador.
103
Solución
• Estableciendo los ejes n y t
mostrados se tiene.
• La velocidad de 6 m/s es
tangente a la trayectoria y
su dirección será
• Por lo tanto en A la
velocidad forma 45° con el
eje x
1,
20
1
10
2 
xdx
dy
xy
104
Solución
• La aceleración se determina
aplicando la ecuación
• Para ello se determina el
radio de curvatura
105
2
ˆ ˆ
t n
dv v
a e e
dt 
 
2 3/ 2
2 2
2 3/ 2
[1 ( / ) ]
/
[1 ( /10) ]
1/10
28.28
dy dx
d y dx
x
m








2
2
ˆ ˆ
6
ˆ ˆ2
28,3
ˆ ˆ2 1,27
A t n
A t n
A t n
dv v
a e e
dt
a e e
a e e

 
 
 
Solución
• La magnitud y la dirección de la
aceleración serán:
106
   
2 2 2
1
2 1.237 2.37 /
2
tan 57.5
1.327
a m s
 
  
 
Ejemplo 02
• Un carro de carreras C viaja alrededor de una pista
horizontal circular que tiene un radio de 90 m. Si el
carro incrementa su rapidez a razón constante de 2,1
m/s2 partiendo desde el reposo, determine el tiempo
necesario para alcanzar una aceleración de 2,4 m/s2.
¿Cuál es su velocidad en ese instante.
107
Solución
• Se sabe que la aceleración
tangencial es constante e
igual a:
• La aceleración normal será
• La aceleración total será
• La velocidad en este
instante será
108
2
0
2,1 /
0 2,1
t
t
a m s
Entonces
v v a t
v t

 
 
2 2
2 2(2,1 ) 0.049 /
90
n
v t
a t m s

  
2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ2,1 0.049
2,1 [0.049 ]
2,4 2,1 [0.049 ]
4,87
t t n
t n
v
a a e e
a e t e
a t
t
t

 
 
 
 

2.1 10.2 /v t m s 
Ejemplo 03
Una caja parte del reposo en A 
e incrementa su rapidez a 
razón de at = (0.2t) m/s
2 y 
viaja a lo largo de la pista 
horizontal mostrada. Determine 
la magnitud y dirección de la 
aceleración cuando pasa por B
109
Ejemplo 03
La posición de la caja en
cualquier instante es S
medida a partir del punto fijo
en A.
La velocidad en cualquier
instante se determina a partir
de la aceleración tangencial,
esto es:
110
0 0
2
0.2 (1)
0.2
0.1 (2)
t
v t
a v t
dv tdt
v t
 


 
Ejemplo 03
Para determinar la velocidad en
B, primero es necesario
determinar S = f(t), después
obtener el tiempo necesario
para que la caja llegue a B. es
decir
De la geometría se tiene sB = 3 + 
2π(2)/4 = 6.142 m. 
Entonces tenemos:
111
2
2
0 0
3
0.1
0.1
0,0333 (3)
S t
ds
v t
dt
ds t dt
S t
 


 
36,142 0,0333
5,69
t
t s


Ejemplo 03
Remplazando el tiempo en las
ecuaciones (1) y (2) resulta:
En el punto B el radio de
curvatura es ρ = 2 m, entonces la
aceleración será:
La aceleración total será:
Su modulo y dirección
serán:
112
2
2
( ) 0.2(5.69) 1.138 /
0.1(5.69) 3.238 /
B t B
B
a v m s
v m s
  
 
2
2( ) 5.242 /BB n
B
v
a m s

 
2
,
ˆ ˆ
ˆ ˆ1,138 5,242
B
B t B t n
B t n
v
a a e e
a e e

 
 
2 2 2
2
1,138 [5,242]
5,36 /
a
a m s
 

1 5.242[ ] 77,75
1,138
tg   
Ejemplo 04
113
Una partícula se mueve en una trayectoria curva 
de tal manera que en cierto instante tiene una 
velocidad v y una aceración a. Demuestre que el 
radio de curvatura puede obtenerse a partir de la 
ecuación: 
3
1 vxa
v

Ejemplo 04
Sabemos que la aceleración
en cualquier instante es
Multiplicando ambos
miembros por la velocidad v
tenemos
Debido a que la aceleración
tangencial son colineales su
producto vectorial es nulo.
Entonces tenemos
Remplazado la aceleración
normal tenemos:
114
t na a a 
 
t n
t n
t n
a a a
vxa vx a a
vxa vxa vxa
 
 
 
0
90
n
n n
n
n
vxa vxa
vxa vxa
vxa vxa va sen va
 

   
2
3
( )
1
v
vxa v
vxa
v




Ejemplo
115
Ejemplo
116
Ejemplo
117
Ejemplo
• Partiendo desde el reposo, un bote a motor 
viaja alrededor de una trayectoria circular de 
radio r = 50 m con una velocidad . Determine la 
magnitud de la velocidad y de la aceleración del 
bote en t = 3 s.
118
Ejemplo
• Un avión viaja a lo largo de una
trayectoria parabólica vertical
. En el punto A el avión tiene
una velocidad de 200 m/s la cual
se incrementaa razón de 0,8
m/s2. Determine la magnitud de
la aceleración del avión cuando
pase por A.
119
20,4y x
Ejemplo 
• El jugador de béisbol lanza una pelota con una
velocidad inicial de v0 = 30 m/s a un ángulo θ = 30°
como se muestra en la figura. Hallar el radio de
curvatura de la trayectoria: (a) inmediatamente
después del lanzamiento y (b) en el vértice. Calcular
en cada caso, la variación de celeridad por unidad de
tiempo.
120
ANALISIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PARTICULAS 
USANDO EJES EN TRASLACIÓN
 Hasta ahora se ha estudiado el movimiento absoluto de una
partícula usando un marco de referencia fijo.
 Sin embargo, existen ejemplos en el que la trayectoria del
movimiento de una partícula es complicada, de modo que es
más factible analizar el movimiento en partes usando dos o
más marcos de referencia.
 Por ejemplo, el movimiento de una partícula localizada en la
hélice de un avión , mientras éste está en vuelo , es más fácil
describirlo si observamos primero el movimiento del avión a
partir de un sistema de referencia fijo y después se superpone
vectorialmente el movimiento circular de la partícula medida a
partir de un marco de referencia móvil unido al aeroplano. 121