Analisis vectorial 2!

Vista previa del material en texto

ANÁLISIS VECTORIAL
1
Prof. Ing. Alberto Pacci
VECTOR
•Ente matemático cuya determinación exige el
conocimiento de un módulo una dirección y un sentido.
•Gráficamente a un vector se representa por un
segmento de recta orientado
•Analíticamente se representa por una letra con una
flecha encima.
OP
2
Elementos de un vector
Dirección: 
Gráficamente viene representada por la recta 
soporte. En el plano por un ángulo y en el espacio 
mediante tres ángulos
3
Elementos de un vector
Sentido: Es el elemento que indica la orientación del 
vector . Gráficamente viene representada por la 
cabeza de flecha.
Magnitud : Representa el valor de la magnitud física a la 
cual se asocia. Gráficamente viene representado por 
la longitud del segmento de recta 
4
Clase de vectores 
Vectores libres : Aquellos que no tienen un aposición fija
en el espacio. Tal cantidad se representa por un
número infinito de vectores que tienen la misma
magnitud, dirección y sentido.
Vectores deslizantes: Aquellos que tienen una y solo una
recta a lo largo de la cual actúan. Pueden representarse
por cualquier vector que tenga sus tres elementos iguales
ubicado en la misma recta.
Vectores fijos. Aquellos que tienen uno y solo un punto
de aplicación
5
Algebra vectorial 
Antes de describir las operaciones de suma, resta, 
multiplicación de vectores es necesario definir:
Vectores iguales. Aquellos que tienen sus tres 
elementos idénticos 
Vector opuesto: Aquel vector que tiene la misma 
magnitud y dirección pero sentido opuesto
6
Algebra vectorial: Suma vectorial 
• Considere dos vectores A y B como se muestra.
• El vector suma se puede determinar mediante la regla del
paralelogramo o del triángulo .
• La magnitud de la resultante R se detemina mediante la ley de
cosenos-
• La dirección mediante la ley de cosenos
2 2
2 cosR A B A B   
( )
AR B
sen sen sen   
 

7
Algebra vectorial: Resta vectorial 
• Considere dos vectores A y B como se muestra.
• El vector suma se puede determinar mediante la regla del
paralelogramo o del triángulo .
• La magnitud del vector diferencia D es
• La dirección mediante la ley de cosenos
2 22 2
2 cos( ) 2 cos( )D A B A B A B A B        
( )
AD B
sen sen sen  
 
8
Leyes del algebra vectorial 
1. Conmutatividad.
2. Asociatividad
9
Multiplicación de un escalar por un vector
Consideremos la multiplicación de un escalar c por un vector
. El producto es un nuevo vector . La magnitud del vector
producto es c veces la magnitud del vector . Si c > 0 el
vector producto tiene la misma dirección y sentido de A. Por
el contrario si c < 0 el vector producto es de sentido opuesto a
cA
10
Propiedades de la Multiplicación de un escalar 
por un vector
1. Les asociativa para la multiplicación.
Si b y c son dos escalares la multiplicación se escribe
2. Ley distributiva para la adición vectorial.
si c es un escalar, cuando este se multiplica por la suma de
dos vectores se tiene
11
Propiedades de la Multiplicación de un escalar 
por un vector
3. Ley distributiva para la suma escalar.
Si b y c son la suma de dos escalares por el vector A
se tiene
12
Suma de varios vectores 
Para sumar varios vectores se utiliza la ley del
polígono. Esto la aplicación sucesiva de la ley del
paralelogramo o del triángulo. Es decir
13
VECTOR UNITARIO 
•Es un vector colineal con el vector original
•Tiene un módulo igual a la unidad
•Se define como el vector dado entre su modulo
correspondiente es decir
ˆ
A
A
e
A

ˆ
AA A e
14
VECTOR UNITARIOS RECTANGULARES 
•A cada uno de los ejes coordenado se le asigna
vectores unitarios
•Cada uno de estos vectores unitario a tiene módulos
iguales a la unidad y direcciones perpendiculares
entre sí.
ˆˆ ˆ, ,i j k
ˆˆ ˆ 1i j k  
15
DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 
Cualquier vector puede descomponerse en infinitas componentes.
El único requisito es que La suma de esta componentes nos de le
vector original. La descomposición pude ser en un plan o en el
espacio.
1. EN DOS DIRECIONES PERPENDICULARES EN EL PLANO
16
DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 
1. EN DOS DIRECIONES PERPENDICULARES EN EL PLANO
ˆ ˆ
ˆ ˆcos
ˆ ˆ(cos )
ˆ
ˆ ˆˆ (cos )
x y
x y
A
A
A A A
A A i A j
A A i Asen j
A A i sen j
A Ae
e i sen j
 
 
 
 
 
 
 

 
2 2
x yA A A 
y
x
A
A
tg 
17
DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 
2. EN DOS DIRECIONES NO PERPENDICULARES EN EL PLANO.
Para ello trace rectas paralelas y a las originales que pasen
por el extremo del vector original formándose un
paralelogramo cuyos lados son las componentes
a a b bA A A  
18
DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 
3. En el espacio. Cualquier vector puede descomponerse en tres
componentes
19
DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 
3. En el espacio.
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆcos cos cos
ˆˆ ˆ(cos cos cos )
ˆ
ˆˆ ˆˆ (cos cos cos )
x y z
x y z
A
A
A A A A
A A i A j A k
A A i A j A k
A A i j k
A Ae
e i j k
  
  
  
  
  
  
  

  
2
2 2 2
x y zA A A A  
cos x
A
A
 
cos y
A
A
 
cos Az
A
 
20
VECTOR POSICIÓN
ˆˆ ˆr OP xi yj zk   
21
VECTOR POSICIÓN RELATIVO
1 2 1 2 1 2
ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )r x x i y y j z z k      
22
PRODUCTO ESCALAR
El producto escalar o producto punto de dos vectores
denotado por y expresado A multiplicado
escalarmente B, se define como el producto de las
magnitudes de los vectores A y B por el coseno del
ángulo que forman ellos.
A y B
.A B
23
Propiedades del producto escalar
1. El producto escalar es conmutativo
2. El producto escalar es distributivo
3. Producto de un escalar por el producto escalar
4. Producto escalar entre la suma de dos vectores por un
tercer vector
24
Propiedades del producto escalar
4. Producto escalar de dos vectores unitarios iguales
5. Producto escalar de dos vectores unitarios diferentes.
6. Producto escalar de dos vectores
25
Propiedades del producto escalar
7. Producto escalar de dos vectores en forma de
componentes .
Entonces tenemos
8. Si el producto escalar de dos vectores es nulo.
Entonces dichos vectores son perpendiculares
. 0A B A B  
26
INTERPRETACIÓN DEL PRODUCTO ESCALAR
Geométricamente esta situación se muestra en la
figura
27
VECTOR PROYECCIÓN ORTOGONAL
2 2
2
.( ) 0 ( ). 0
( . ) 0
.
c rb a rb rb
r a b r b
a b
r
b
   
 

2
.
Pr ( ) [ . ]
ˆ ˆPr [ . ]
b
b bb
a b b b
oy a rb b a
b b b
oy a a e e
  

28
PRODUCTO VECTORIAL
El producto vectorial o producto cruz de dos vectores A y B, es un
tercer vector el cual es perpendicular al plano formado por los
dos vectores y cuya magnitud es igual al producto de sus
magnitudes multiplicado por el seno del ángulo entre ellos y su
sentido se determina mediante la regla de la mano derecha. La
notación del producto cruz es
C
29
REGLA DE LA MANO DERECHA
a. Primera forma: Tome la mano derecha y oriente el dedo índice con
el primer vector y el dedo corazón el segundo vector, el dedo
pulgar extendido nos da el vector producto de ambos.
b. Segunda forma: curve los dedos de la mano derecha tendiendo a
hacer girar al primer vector hacia el segundo; el dedo pulgar
extendido nos da el vector producto.
30
PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL
1. El producto vectorial no es conmutativo
2. El producto vectorial es distributivo
31
PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL
3. Multiplicación de un escalar por el producto vectorial.
4. Multiplicación vectorial de vectores unitarios
32
PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL
5. El producto vectorial de dos vectores en componentes es
6. La magnitud del producto vectorial es igual al área del
paralelogramo que tiene a los vectores A y B
7. Si el producto vectorial es nulo entonces los dos vectores son
paralelos.
ˆˆ ˆ 
 
 
ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )
x y z
x y z
y z z y x z z x x y y z
i j k
AxB A A A
B B B
AxB i A B A B j A B A B k A B A B

     
( ) ( )
Area AxB
Area A Bsen A h

 
33
Ejemplo 01
• La figura muestra un cubo en dondese han trazado
distintos desplazamientos de un abeja cuando cambia
de la posición 1, 2, 3 y 1.¿Cuanto vale cada uno de los
desplazamientos?. ¿Cual es el desplazamiento total?.
34
Ejemplo 02
En la figura se muestra dos fuerzas actuando sobre un
cuerpo puntual. Si los módulos de ellas son 200 N y
100 N, respectivamente. ¿Cuál es la magnitud y la
dirección de la fuerza resultante?.
35
Ejemplo 03
•Un avión viaja en la dirección Este con una velocidad
de 480 km/h y entra a una región donde el viento
sopla en la dirección 30° Norte del este con una
velocidad de 160 km/h. Determine la magnitud y
dirección de la nave
SOLUCION
36
EJEMPLO O2
La resultante FR de las dos fuerzas que actúan sobre el tronco
de madera está dirigido a lo largo del eje x positivo y tiene una
magnitud de 10 kN. Determine el ángulo θ que forma el cable
unido a B tal que la magnitud de la fuerza FB en este cable sea
un mínimo. ¿Cuál sería la magnitud de la fuerza en cada cable
para esta situación?
37
Ejemplo
• La camioneta es remolcada usando dos cables como se muestra
en la figura. Determine las magnitudes de las fuerzas FA y FB que
actúa sobre cada uno de los cables, sabiendo que la
superposición de ambas dan una resultante de 90N de módulo
dirigida a lo largo de el eje x. Considere que =50°
38
Ejemplo 04
La figura muestra un triángulo cuyos lados son
Demuestre el teorema de los cosenos
SOLUCION
39
Ejemplo 05
Sabiendo que el módulo de los vectores D y G son 10 y
unidades respectivamente. Determine el vector
unitario del vector
20 2
W A B C D E F G      
40
Ejemplo 06
En la figura mostrada, determine el vector x, en
función de los vectores A y B. Si PQRS es un cuadrado
y PORQ es un cuadrante de círculo
41
Ejemplo 07
Descomponga el vector fuerza de 400 kN
representado en la figura en dos componentes, una
según la dirección AB y la otra perpendicular a ella
42
EJEMPLO O1
Determine el ángulo θ para conectar
el elemento a la placa tal que la
resultante de las fuerzas FA y FB esté
dirigida horizontalmente a la
derecha. Determine además la
magnitud de la fuerza resultante
43
EJEMPLO O1
Un cable ejerce una fuerza F en el
soporte del miembro estructural. Si
la componente x de F es 4 kN. Halle
su componente y y su módulo
44
Ejemplo
•Utilizar el método de las componentes rectangulares para
determinar el módulo R de a resultante y los ángulos que
forma su recta soporte con los semiejes x, y, z de
coordenadas.
45
Ejemplo 08
La resultante de la tres fuerzas mostradas en la figura
es vertical. Determine: (a) la magnitud de la fuerza A y
(b) la resultante del sistema
46
Ejemplo
• Exprese la fuerza en componentes i, j y k y determine la proyección de F = 
800 N sobre BC
47
Ejemplo
(a) Exprese la fuerza de 250 N de 
módulo en componentes i, j y k .
(b) halle la proyección ortogonal 
del vector fuerza sobre la línea 
CA
48
EJEMPLO O2
(a) Expresar el vector fuerza F de 400 N en función de los
vectores unitarios i, j y k. (b) Hallar la proyección sobre la recta
OA.
49
Ejemplo
•A un punto de un cuerpo se aplican dos fuerzas en la forma que
se indica en al figura. Determine: (a) El módulo dirección y
sentido de la fuerza resultante R; (b) El ángulo α que forman las
fuerzas F1 y F2.
50
Ejemplo 09
Determine la resultante del sistema de vectores fuerza
mostrados en la figura
51
EJEMPLO O2
Calcular las componentes rectangulares de la fuerza de 110
N, representada en la figura, una es paralela a AB y la otra
es perpendicular a esta línea.
52
Ejemplo
• La fuerza F tiene una intensidad de 2 kN
y está dirigida de A hacia B. Determine:
(a) La proyección FCD de La fuerza F
sobre la recta CD (b) el ángulo que θ
que forma la fuerza F y la recta CD.
53
Ejemplo 10
Hallar la distancia del punto P(4, -1, 5) a la línea recta
que pasa por los puntos P1(-1, 2, 0) y P2(1, 1, 4)
54
Ejemplo 10
Calcular la distancia desde el punto P de coordenadas (4, 5, -6) cm, a la
recta que pasa por Q(-3, 5, 7) cm y es paralela al vector
ˆˆ ˆ4 3A i j k  
55
Ejemplo 10
Halle el vector unitario perpendicular al plano
formado por los vectores
Usando (a) el producto escalar y (b) el producto
vectorial.
ˆ ˆ ˆ ˆ2 6 3 4 3A i j k B i j k     
56
Ejemplo 11
Halle la ecuación del plano perpendicular al vector
y que pasa por el extremo del vector
ˆ ˆ2 3 A i j k  
ˆ ˆ5 3B i j k  
57
Ejemplo 11
Demostrar que los vectores
pueden ser los lados de un triángulo y hallar las
longitudes de las medianas de dichos triangulo
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 2 ; 3 4 4 2 6A i j k B i j k y C i j k         
58
Ejemplo 11
Hallar el área del paralelogramo cuyas diagonales son
los vectores
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ3 2 ; 3 4A i j k y B i j k     
59
Ejemplo 12
(a) Halle los vectores de posición r1 r2 de los puntos
P(2,4,3) Q(1,-5,2) en un sistema de coordenadas
trirectangulares en función de los vectores unitarios i,
j, k. (b) Determine grafica y analíticamente la
resultante de dichos vectores.
60
Ejemplo 13
Halle un vector unitario con la dirección y sentido de
la resultante de los vectores
1
ˆˆ ˆ2 4 5r i j k  
2
ˆˆ ˆ 2r i j k  
61
Ejemplo 14
•Demostrar que el área de un paralelogramo de lados A y B
es igual al módulo del producto vectorial
62
Ejemplo 14
•Determine el vector unitario perpendicular al plano formado
por los vectores A = 2i - 6j - 3k y B = 4i + 3j - k
63
Ejemplo
Halle el vector unitario paralelo al plano xy y perpendicular al vector
ˆˆ ˆ4 3B i j k  
64
Ejemplo
Descomponga la fuerza de 1000 N en dos direcciones no
perpendiculares a lo largo de las rectas l1 y l2 mostrada en la
figura.
65
Ejemplo
Descomponga la fuerza de 250 N en dos
direcciones no perpendiculares a lo largo
de las rectas PR y QR mostrada en la
figura.
66
Problemas de aplicación
1) Si F1 = 5i + 6j y F2 = 2i – 3j -4k. Determine F3 tal que la suma 
de las tres fuerzas sea nula.
2) ¿Cuál es el vector unitario en la dirección de la fuerza F = 
(2000i - 3000j +600k)lb?.
3) Halle una fuerza a lo largo de y otra fuerza 
normal a que sumadas resulten en la fuerza 
4) Dados los vectores 
y : Determine:
5) Halle los cosenos directores de la fuerza 
y úselos para determinar los ángulos que forma la fuerza con 
los ejes coordenados.
ˆ ˆˆ 0,8 0.6e i j 
ê
ˆˆ ˆ(5 10 3 )F i j k N  
ˆˆ ˆ(2 4 0 )A i j k lb   ˆˆ ˆ(0 3 48 )B i j k lb  
ˆˆ ˆ0 5 0C i j k   ( . )C AC B
ˆˆ ˆ(30 40 120 )F i j k N  
67