P_Sem07_Ses26_Regresión Lineal

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SESIÓN 26
Estadística Inferencial
SUMARIO
Regresión Lineal simple
LOGRO
Al finalizar la clase los alumnos aplican los conceptos de regresión lineal simple ,
en diferentes contextos de la vida real
REGRESIÓN LINEAL
Por lo tanto, el análisis de regresión involucra el estudio la relación entre variables
Frecuentemente resulta de interés conocer el efecto que una o varias variables pueden causar
sobre otra, es decir nos encontramos en la vida real y científica con modelos en los que el
comportamiento de una variable, Y, se puede explicar a través de una variable X;
Representación 𝑌 = 𝑓(𝑥) +ε
La regresión lineal es un modelo estadístico usado para aproximar la relación de una variable
dependiente llamada Y, y una o mas variables independientes llamadas Xi y un
término aleatorio muchas veces llamado error ε
REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
Se prueban cinco trozos experimentales del material bajo diferentes presiones. Los valores de x ( en
Newton ) y las magnitudes de compresión y resultantes (en unidades de cm)
Presión 
(N)
Compresión
(Cm)
X Y
1 1
2 1
3 2
4 2
5 4 X
y
0 1 2 3 4
1
2
3
4
Y tiende a aumentar de forma lineal conforme X aumenta
Regresión Lineal simple: Ejemplo Demostrativo
Gráfica de 
dispersión
REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
La solución es construir un modelo probabilístico que relacione y con x; uno que contemple la
variación aleatoria de los puntos de datos a los lados de una línea recta.
Un tipo de modelo probabilístico, el modelo de regresión lineal simple, supone que el valor
medio de Y para un valor dado de X se grafica como una línea recta y que los puntos se
desvían de esta línea de medias en una cantidad aleatoria (positiva o negativa) igual a , es
decir:
0 1y x    
Valor medio de y
para una x dada
Error
aleatorio
Donde 0 y 1 son los coeficientes desconocidos del modelo.
Regresión Lineal simple: 
E() = 0
Condición:
REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
Regresión Lineal simple: Interpretación de coeficientes 
Supuestos Regresión Lineal:
El coeficiente de regresión: es el cambio (aumento o disminución) en promedio en Y cuando X varía en una unidad.
 Supuesto de Linealidad
Existe linealidad si se presenta una relación significativa entre la variable que se quiere predecir y las otras variables. 
Puede usarse el coeficiente "R cuadrado ajustado", para saber si existe linealidad (mayor o igual a 0.7 suele ser "indicio" 
de linealidad). El ANOVA es una prueba para saber la linealidad
 Los residuos tienen media 0.
 La varianza de los residuos no depende de xi (homocedasticidad)
 Los residuos son normales.
 Los residuos son aleatorios.
ො𝑦 = መ𝛽0 + መ𝛽1𝑋
https://www.youtube.com/watch?v=QWLK9thmDI8 https://www.youtube.com/watch?v=r8lM3Zl0P54
Si b >0 , esto nos indica que al aumentar el valor 
de X, también aumenta el valor de Y (promedio).
Si b <0 , esto nos indica que al aumentar el valor 
de X, el valor de Y disminuye (promedio).
https://www.youtube.com/watch?v=QWLK9thmDI8
https://www.youtube.com/watch?v=r8lM3Zl0P54
REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
X
y
0
1 2 3 4
1
2
3
4
0
ˆ ordenada al origen 
1
ˆ pendiente 
0 1
ˆ ˆY x   ො𝑦 =
መ𝛽0 + መ𝛽1𝑋
Donde:
y = variable dependiente
X = variable independiente
Modelo de regresión lineal simple estimado
෡𝜷𝟏 =
𝒏σ𝑿𝒀 − σ𝑿σ𝒀
𝒏σ𝑿2 − σ𝑿 2
෡𝜷𝟎 =
σ𝒀 − ෡𝜷𝟏 σ𝑿
𝒏
Paso1:
Paso2:
Cálculo de coeficientes práctico
Regresión Lineal simple: 
Para estimar la recta de regresión utilizaremos el método de mínimos cuadrados. 
Este método consiste en minimizarla suma de los cuadrados de los errores:
La Propina que se le otorga a un mozo en un restaurante depende de muchos factores, por ejemplo la 
cordialidad del personal, Tipo de ambiente, Satisfacción por el servicio, etc. 
En el siguiente cuadro se tiene la cantidad de propina (s/.) que los clientes de un restaurant dan a los 
mozos en función al tiempo en que se demora en servir una orden(minutos).
Propina(S/) 1 3 3 2 6 1 2 3 4
Tiempo de Atención 
(minutos)
3 2 2 4 1 4 3 2 2
a) Identifique las variables de Interés y clasifique cada uno de ellos ¿Cómo se relacionan ambas variables?
b) Estime el modelo de Regresión lineal estimada 
c) Pronosticar: ¿Cuánto en Promedio recibirá de propina un mozo que se ha demorado en atender 3.5 minutos?
Ejercicio:
REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
Las variables de Interés 
 Variable Independiente: Tiempo de Atención( minutos )(X)
 Variable dependiente: Propina (s/) (Y)
Solución a.
La propina que se otorga a un 
mozo depende del tiempo de 
atención en servir el orden.
Relación inversa
REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5
P
ro
p
in
a
Tiempo
Gráfica de 
dispersión
REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
Solución b. Modelo de Regresión Estimada
Y (propina) X (tiempo)
1 3
3 2
3 2
2 4
6 1
1 4
2 3
3 2
4 2
ො𝑦 = መ𝛽0 + መ𝛽1𝑥
σ𝑌 = 25 σ𝑋 =23 σ𝑋2 =67 σ𝑌
2 =89 σ𝑋𝑌 =53
𝑋2
9
4
4
16
1
16
9
4
4
𝑌2
1
9
9
4
36
1
4
9
16
𝑋𝑌
3
6
6
8
6
4
6
6
8
Pr𝑜𝑝
⌢
𝑖𝑛𝑎 = መ𝛽0 + መ𝛽1𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
෡𝜷𝟏 =
𝒏σ𝑿𝒀 − σ𝑿σ𝒀
𝒏σ𝑿2 − σ𝑿 2
෡𝜷𝟏 =
9 ∗ 53 − 23 ∗ 25
9 ∗ 67 − 232
= −1.32
Paso1
෡𝜷𝟎 =
σ𝒀 − ෡𝜷𝟏σ𝑿
𝒏
=
𝟐𝟓 − −𝟏, 𝟑𝟐 ∗ 𝟐𝟑
𝟗
෡𝜷𝟎 = 𝟔. 𝟏𝟓
Pr𝑜𝑝
⌢
𝑖𝑛𝑎 = 6.15 − 1.32𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
Modelo de Regresión Estimada
Paso2:
REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
σ𝑌 = 25 σ𝑋 =23 σ𝑋2 =67 σ𝑌2 =89 σ𝑋𝑌 =53
Solución C: Pronóstico de la propina cuando el tiempo de atención es 3.5 minutos
Pr𝑜𝑝
⌢
𝑖𝑛𝑎 = 6.15 − 1.32 3.5
Pr𝑜𝑝
⌢
𝑖𝑛𝑎 = 1.53 soles
Pr𝑜𝑝
⌢
𝑖𝑛𝑎 = 6.15 − 1.32𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
¿Cómo se interpreta 𝜷𝟏?
Cuando el tiempo de atención se 
incrementa en un minuto la 
propina disminuye en 1.32 soles
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5
P
ro
p
in
a
Tiempo
Y (propina) X (tiempo)
1 3
3 2
3 2
2 4
6 1
1 4
2 3
3 2
4 2
Resumen
y = 6.16 - 1.3243x 
Pr𝑜𝑝
⌢
𝑖𝑛𝑎 = 6.16 − 1.324𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
R² = 0.7374
REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
Gráfica de 
dispersión
Y (propina) X (tiempo)
1 3
3 2
3 2
2 4
6 1
1 4
2 3
3 2
4 2
Resumen
REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
https://www.youtube.com/watch?v=0qkh8NJroos
https://www.youtube.com/watch?v=4_WO31Dapv0
Comprueba tus resultados usando la calculadora!
Recuerda interpretar el
coeficiente de regresión,
https://www.youtube.com/watch?v=0qkh8NJroos
https://www.youtube.com/watch?v=4_WO31Dapv0
EJERCICIO ADICIONAL
Fuerza (Newton) 1 0 2 3 4 2 3 4
Compresión (cm) 2 1 2 2 3 2 1 1
La compresión de un resorte depende de la fuerza con que se aplique 
a aquel según los valores del siguiente cuadro.
a) Identifique las variables de Interés y clasifique cada uno de ellos ¿Cómo se 
relacionan ambas variables?
b) Estime el modelo de Regresión lineal simple estimado
c) Pronosticar: ¿Cuánto en Promedio se comprimirá un resorte al cual se le aplicó una 
fuerza de 3.5 Newton?
CIERRE
¿QUÉ HEMOS APRENDIDO?
1. ¿Cuándo se usa la regresión lineal y
que supuestos debe cumplir?
2. ¿Cómo se interpreta el coeficiente de
una regresión lineal?