SESIÓN 8

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Estadística Descriptiva y Probabilidades
SESIÓN 8
TEMARIO
1. Técnicas de conteo.
2. Introducción a la probabilidad.
LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión de clase, aplica las técnicas de
conteo y los conceptos de probabilidad clásica.
Las técnicas de conteo son un conjunto de
procedimientos, formas o maneras que permiten
conocer la cantidad de arreglos o selecciones que
se pueden formar con los elementos de un conjunto
dado. Estas herramientas son de mucha utilidad
para poder resolver y comprender los casos de
probabilidades.
Técnicas de conteo 
Técnicas de conteo 
Señalar las maneras diferentes de vestir de una persona, 
utilizando un número determinado de prendas de vestir
Contestar 7 preguntas de un examen de 10
Técnicas de conteo 
Ordenar 5 artículos en 7 casilleros
Designar 5 personas de un total 50 para integrar una 
comisión
Para dichos casos es útil conocer determinadas técnicas o estrategias de conteo que facilitarán
el cálculo señalado estas son:
Técnicas de conteo 
Reglas de la 
adición
Reglas de la 
multiplicación
Diagrama de 
árbol
Análisis 
combinatorio
Regla de la adición
Técnicas de conteo 
El evento A o el evento B se realizarán de (m + n) maneras.
Un evento A se puede realizar de “m” maneras diferentes
Un evento B se puede realizar de “n” maneras diferentes 
Además, no es posible que ambos eventos se realicen juntos (A  B = )
Entonces: 
Un Ingeniero de Sistemas desea comprar un disco duro externo
de marca Toshiba. Dicho dispositivo es vendido en 5 tiendas de
computo en Lince, 10 tiendas de computo en San Isidro y 12
tiendas de computo en Miraflores. ¿De cuántas maneras el
Ingeniero de Sistemas puede comprar el disco externo?
Caso: Compra de un disco externo
Técnicas de conteo 
Regla de la adición
Solución:
Por el principio de adición:
N° maneras = N° tiendas (Lince) + N° tiendas (San Isidro) + N° tiendas (Miraflores)
N° maneras = 5 + 10 + 12 = 27
.
Caso: Compra de un disco externo
Técnicas de conteo 
Regla de la adición
El Ingeniero de Sistemas puede comprar el disco 
externo Toshiba de 27 maneras diferentes
El número de maneras distintas en que 
pueden suceder ambos sucesos es : “m . n”.
Regla de la multiplicación
Técnicas de conteo 
Un evento “A” puede ocurrir , en forma independiente, de “m” maneras diferentes 
Un evento “B” puede ocurrir, en forma independiente, de “n” maneras diferentes
Entonces: 
Para el desarrollo de un sistema de información el Ministerio de la Producción
ha realizado una convocatoria de personal y para ello requiere 2 analistas de
sistemas. Luego de una serie de etapas en el proceso de selección han quedado
5 postulantes. ¿De cuántas maneras diferentes estos postulantes pueden
ubicarse en el primer y segundo puesto de orden de mérito? Teniendo en
cuenta que los dos primeros lugares serán aceptados para dicho proyecto.
Caso: Selección de personal
Regla de la multiplicación
Técnicas de conteo 
Solución:
1. El primer lugar puede ser ocupado por cualquiera de los cinco postulantes.
2. El segundo lugar puede ser ocupado por cualquiera de los otros cuatro postulantes restantes.
3. Por la regla de la multiplicación, se observa que el evento para ocupar el primer lugar puede darse de 5
maneras y el segundo lugar de 4 maneras distintas.
Regla de la multiplicación
Técnicas de conteo 
Existen 20 maneras en que los postulantes pueden ubicarse 
en el primer y segundo puesto de orden de mérito.
Entonces: N° total de maneras = 5 x 4 = 20 
¿Cuántas placas para automóviles pueden fabricarse si cada placa consta de
tres letras diferentes seguidas de tres dígitos diferentes? (Considerar 26 letras
del alfabeto)
Letras Dígitos
26 25 24 10 9 8
Placa
1° 2° 3° 4° 5° 6°
Técnicas de conteo 
Caso: Placa de auto
Regla de la multiplicación
Solución:
1. El primer casillero puede ser ocupado por cualquiera de las 26
letras.
2. El segundo casillero puede ser ocupado por cualquiera de las 25
letras que restan.
3. El tercer casillero puede ser ocupado por cualquiera de las 24 letras
que restan.
4. El cuarto casillero puede ser ocupado por cualquiera de los 10
dígitos (del 0 al 9)
4. El quinto casillero lo pueden ocupar los 9 dígitos restantes.
5. El sexto casiller puede ser ocupado por cualquiera de los 8 dígitos
restantes.
6. Por la regla de multiplicación:
Número de placas = 26x25x24x10x9x8 = 11 232 000 placas
Caso: Placa de auto
Letras Dígitos
26 25 24 10 9 8
Placa
1° 2° 3° 4° 5° 6°
Regla de la multiplicación
Técnicas de conteo 
Análisis combinatorio
En diferentes casos se tomará de algún conjunto parte de sus elementos
o todos ellos, para formar diferentes agrupaciones, que se van a
distinguir por el orden de sus elementos o por la naturaleza de algunos
de ellos. Si los elementos que forman una agrupación son diferentes
entre si, serán llamados agrupaciones sin repetición y si alguno de ellos
son iguales se dirá que son agrupaciones con repetición. Entre los
métodos de conteo más conocidos tenemos :
• Permutaciones
• Combinaciones
Permutaciones
Combinaciones
Técnicas de conteo 
• Permutaciones
Es un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos considerando el
orden en su ubicación; cuando en el arreglo solo entran parte de los
elementos del conjunto se llama variación . Es importante resaltar que el
orden es una característica importante en la permutación, cuando
variamos el orden de los elementos se dice que permutamos dichos
elementos.
Ejemplo: El código numérico de una cerradura electrónica es 
524. Interesa el orden, porque con el valor de 254 o 542 no 
funcionaría. Tiene que ser necesariamente 5-2-4.
Análisis combinatorio
Técnicas de conteo 
Solución:
Sea el conjunto C definido por todos los caracteres a utilizar para generar
un código de 2 caracteres: C = {a, b, 1}
Los arreglos que se pueden formar para generar los códigos son:
Caso: Generación de códigos
• Permutaciones
Análisis combinatorio
Técnicas de conteo 
Determinar los diferentes arreglos o permutaciones de 3 caracteres que se pueden formar con las letras a, b
y el número 1 para generar códigos de lotes mercadería de 2 caracteres.
Arreglos posibles (Códigos) = { ab, a1, ba, b1, 1a, 1b}
El número de permutaciones de “n” objetos diferentes,
tomados en grupos de k elementos (siendo k n) y
denotado por está dado por:
Donde: n, k  N y 0  k  n
• Permutación lineal con elementos diferentes:
Análisis combinatorio
Técnicas de conteo 
Caso: Competencia de atletismo
En una carrera de atletismo de 100 metros planos
participan 8 atletas. ¿De cuántas formas distintas podrán
ser premiados los tres primeros lugares con medalla de oro,
plata y bronce?
• Permutación lineal con elementos diferentes:
Análisis combinatorio
Técnicas de conteo 
Caso: Competencia de atletismo
3
Solución:
Se busca las diferentes ternas (k=3) que se pueden formar
con los 8 atletas que participan en la carrera de 100
metros planos (n=8).
• Permutación lineal con elementos diferentes:
Análisis combinatorio
Técnicas de conteo 
• Permutación lineal con elementos repetidos:
Análisis combinatorio
Técnicas de conteo 
El número de permutaciones (P) distintas de “n” elementos tomados de “n” en “n” en donde hay un primer
grupo de n1 objetos iguales entre sí; n2 objetos iguales entre sí de un segundo tipo y así sucesivamente hasta nk
objetos iguales entre sí de un último tipo, está dado por:
Donde: n1+n2+n3…+nk=n
c
Donde:
n: número de objetos ordenados de forma circular
c: permutación circular
• Permutación circular:
Análisis combinatorio
Técnicas de conteo 
Son agrupaciones donde no hay primero ni último elemento, por hallarse todos en una línea cerrada. Para hallar el número de
permutaciones circulares que se pueden formar con “n” objetos distintos de un conjunto, hay que considerar fija la posición de un
elemento, los n-1 restantes podrían cambiar de lugar de (n-1)! formas diferentes tomando todas las posiciones sobre la
circunferencia relativa al primer punto. El número de permutacionescirculares será:
¿De cuántas formas diferentes puede sentarse alrededor de una mesa
circular un jefe de proyecto y su equipo formado por un analista de
sistemas, un analista de procesos y 3 programadores?
Solución:
Se trata de un caso de permutación circular. Vamos a ordenar a 6
personas alrededor de una mesa circular. Reemplazando en la fórmula:
Caso: Equipo de proyecto
• Permutación circular:
Análisis combinatorio
Técnicas de conteo 
P c
6
= (6 -1)! = 5! = 5x4x3x2x1 = 120 formas diferentes
Pc = (n – 1)!
n
Es cada uno de los diferentes arreglos que se pueden hacer con
parte o todos los elementos de un conjunto dado, sin considerar el
orden en su ubicación. El número de combinaciones de “n”
elementos diferentes tomados de “k” en “k” , con k  n ,está dada
por:
Ejemplo: En una ensalada de frutas no importa en qué orden o ubicación
en el plato o recipiente están las frutas, porque seguirá siendo la misma
ensalada de frutas.
• Combinaciones:
Análisis combinatorio
Técnicas de conteo 
C k
n n!
(n - k)! k!
=
La empresa ASESOR ONE, realiza servicios de consultoría a
empresas que han implementado sistemas ERP. Para ello
cuenta con un equipo de trabajo formado por 8
colaboradores, los cuales son especialistas en dicho tema. Si
la empresa solo enviará un equipo de 2 consultores.
¿Cuántos grupos posibles podrían realizar la consultoría?
Caso: Servicio de consultoría
• Combinaciones:
Análisis combinatorio
Técnicas de conteo 
Solución:
Se trata de un caso de combinación, debido a que solo nos interesa formar agrupaciones de 2 colaboradores.
Reemplazando en la fórmula:
Caso: Servicio de consultoría
Análisis combinatorio
Técnicas de conteo 
C 
2
8
= 8! / (6! x 2!) = 28 grupos de 2 colaboradores
C k
n n!
(n - k)! k!
=
Recuerda que:
Si se desea que se realicen 
los eventos A y B, 
entonces se utiliza el 
principio de multiplicación 
(x).
Si se desea que se 
realicen los eventos A o 
B, entonces se utiliza el 
principio de adición (+).
En las permutaciones 
interesa el orden, se 
buscan ordenaciones.
En las combinaciones 
no interesa el orden, se 
buscan agrupaciones.
Técnicas de conteo 
Ejercicios resueltos:
https://www.youtube.com/watch?v=_3aOsueffUw
https://www.youtube.com/watch?v=_3aOsueffUw
Introducción a la probabilidad
Es una medida de la posibilidad de ocurrencia de un evento.
n (A) Número de casos favorables del evento A 
n (S) Número total de casos 
¿Qué es la probabilidad?
P(A) = = 
Sea un experimento aleatorio Ω, el espacio muestral asociado a dicho experimento aleatorio y, A un evento
definido en Ω, entonces la probabilidad del evento A, denotada por P(A), es aquel número que cumple los
siguientes axiomas:
• Axioma 1: 0 ≤ P(A) ≤ 1 
• Axioma 2: P(Ω) = 1 
• Axioma 3: Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes.
Introducción a la probabilidad
Axiomas de probabilidad
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) 
Entonces: 
• P(φ) = 0, donde φ es el evento imposible. 
• P(A
c
) = 1 – P(A) 
• Si A y B son eventos cualesquiera
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Entonces: 
Introducción a la probabilidad
Teoremas de probabilidad
Es toda prueba o conjunto de pruebas, cuyo resultado no puede predecirse antes de realizarse.
El experimento aleatorio se suele simbolizar como ε. 
Ejemplo 2: Comprar un ticket de rifa navideña para el sorteo de un
televisor LCD con un total de 2000 números. Hay 2000 resultados
posibles y no sabemos cual de ellos saldrá.
Ejemplo 1: Consideremos el experimento que consiste en lanzar un
dado. Hay 6 resultados posibles y no sabemos cual de ellos saldrá.
Introducción a la probabilidad
Experimento aleatorio (ε)
Conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Se le suele simbolizar
como S.
Ejemplo 1: Si lanzamos un dado y anotamos el número que muestra la cara superior,
entonces el espacio muestral es:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
.
Espacio muestral (S)
Ejemplo 2: Si lanzamos una moneda y
anotamos si sale cara o sello, entonces el
espacio muestral es:
S = { Cara, Sello }.
Introducción a la probabilidad
También denominado suceso. Un evento es cada tipo posible de
ocurrencia o conjunto de ocurrencias del experimento ε estudiado.
Ejemplo 1: Si lanzamos un dado al aire, un evento sería el obtener un
valor de 5, es decir:
A = { 5 }
Ejemplo 2: Si lanzamos un dado al aire, un evento sería el obtener un
valor par, es decir:
B = { 2, 4, 6 }
Ejemplo 3: Si lanzamos una moneda, un evento sería obtener una cara,
es decir:
C = { Cara }
Introducción a la probabilidad
Evento
Operaciones con eventos
Sea ε un experimento aleatorio y S el espacio muestral asociado. Si A y B son dos eventos definidos en S, se
define las siguientes operaciones con eventos:
Complemento (Ac):
Para un evento A cualquiera se define su
complemento, Ac, como el evento consistente en
todos los puntos de S que no están en A.
Unión de eventos (A U B):
Para dos eventos A y B, la unión del evento A con el
evento B es el evento que contienen todos los
puntos de S que pertenecen al evento A o al evento
B, o ambos.
P(Ac) = 1 – P(A) 
Introducción a la probabilidad
Intersección de eventos (A ∩ B):
Para dos eventos A y B, la intersección de los eventos A y B es el evento que contienen todos los puntos
de S que pertenecen tanto a A como a B.
Operaciones con eventos
Introducción a la probabilidad
Cecilia realiza el experimento de lanzar al aire un dado.
a. Calcular la probabilidad de obtener un valor de 4.
b. Calcular la probabilidad de obtener un valor impar.
c. Calcular la probabilidad de obtener un valor menor a 3.
Caso: Lanzamiento de un dado
2. Calculando las probabilidades:
a. P(A) = n(A) / n(S) = 1 / 6 = 0.1667
b. P(B) = n(B) / n(S) = 3 / 6 = 0.5
c. P(C) = n(C) / n(S) = 2 / 6 = 0.3333
Introducción a la probabilidad
Espacio muestral: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } => Número de casos totales = 6 => n(S) = 6
1. Se definen los siguientes eventos:
A: Obtener un valor de 4. A = { 4 } A=> n(A) = 1
B: Obtener un valor de impar. B = { 1, 3, 5 } => n(B) = 3
C: Obtener un valor menor a 3. C = { 1, 2} => n(C) = 2
Solución:
Dos eventos son independientes si la probabilidad de que ocurran ambos eventos
simultáneamente es igual al producto de las probabilidades de que ocurra cada uno
de ellos. Es decir:
Eventos independientes
Los eventos A y B son independientes si y solo si:
Nota: Si los eventos son independientes sus complementos también.
P [Ac ∩ Bc] = P [Ac] x P [Bc]
P [A ∩ B] = P [A] x P [B]
El éxito de un proyecto de inversión depende del trabajo de un
Ingeniero de Software, un administrador y un contador. Se sabe
que la probabilidad de que el Ingeniero de Software falle en su
labor es de 2%, la probabilidad de que el administrador falle es de
5% y la probabilidad de que el contador falle es de 7%. Para que el
proyecto sea exitoso, ninguno de los 3 debe fallar. Asuma que las
labores de los tres integrantes son independientes entre sí.
1. ¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto tenga éxito?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto no tenga éxito?
Caso: Éxito de un proyecto
Eventos independientes
Solución:
Se definen los siguientes eventos:
A = El ingeniero de software falle en su labor.
B = El administrador falle en su labor.
C = El contador falle en su labor
D = El proyecto no tenga éxito.
P(A) = 2% = 0.02 => P(Ac) = 1 - 0.02 = 0.98
P(B) = 5% = 0.05 => P(Bc) c = 1 - 0.05 = 0.95
P(C) = 7% = 0.07 => P(Cc) = 1 - 0.07 = 0.93 
La probabilidad de que el proyecto tenga éxito es de 0.86583
La probabilidad de que el proyecto no tenga éxito es de 0.13417
Caso: Éxito de un proyecto
Eventos independientes
1. ¿Cuál es la diferencia entre
permutación y combinación?
2. ¿Qué es un experimento
aleatorio?
3. ¿Por qué es importante en la
Ingeniería, el estudio de la
probabilidad?
CIERRE
¿QUÉ HEMOS APRENDIDO?