Guia 07_AQP

Vista previa del material en texto

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y PROBABILIDADES
Probabilidad
1. Introducción: La definición clásica de probabilidad fue dada por Laplace en 1812. Esta definición se basa
en el supuesto de que todos los resultados posibles de un experimento aleatorio son igualmente probables;
es decir, cada uno de los elementos del espacio muestral tienen la misma posibilidad de ocurrir. Por ejemplo
al lanzar un dado no cargado (legal), se debe de considerar que hay igual posibilidad que salga cualquiera
de los números del espacio muestral Ω = {1,2,3,4,5,6}, entonces la probabilidad de que salga cualquier
número será 16 .
2. Probabilidad: La probabilidad de un evento es la razón del número de casos que favorecen al evento entre
el número total de casos posibles, siempre que nada obligue a creer que algunos de estos sucesos tiene
preferencia sobre los demás, lo que hace que todos sean igualmente posibles.
P[A] =
n(A)
n(Ω)
Donde:
• P[A]: Se lee, la probabilidad de que ocurra el evento A.
• n(A): Número de elementos del evento A.
• n(Ω): Número de elementos del espacio muestral omega.
Ejemplo 01: Si se lanza una moneda al aire tres veces. Calcular la probabilidad de que ocurran:
a. Dos caras.
b. Al menos dos caras.
c. A lo más dos cara.
UTP Sede Arequipa 1 Guia 07
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y PROBABILIDADES
2.1. Axiomas de probabilidad: Sea un experimento aleatorio cualquiera, Ω el espacio muestral asociado
a dicho experimento aleatorio y A un evento definido en Ω, entonces la probabilidad del evento A,
denotada por P[A], es aquel número que cumple los siguientes axiomas:
• Axioma 1: 0≤ P[A]≤ 1
• Axioma 2: P[Ω] = 1
• Axioma 3: Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes entonces: P[A∪B] = P[A]+P[B]
2.2. Teoremas básicos de probabilidad: Si A y B son eventos cualesquiera
• Teorema 1: P[φ ] = 0, donde φ es el evento imposible.
• Teorema 2: P[Ac] = 1−P[A], donde Ac es el evento complemento de A.
• Teorema 3: P[A∪B] = P[A]+P[B]−P[A∩B].
• Teorema 4: Si A⊂ B entonces P[A]≤ P[B].
3. Operaciones con eventos: Sea E un experimento aleatorio y Ω el espacio muestral asociado. Si A y B son
dos eventos definidos en Ω, se define las siguientes operaciones con eventos.
3.1. Complemento (Ac): Para un evento A cualquiera se define su complemento, Ac, como el evento
consistente en todos los puntos de Ω que no están en A.
P[Ac] = 1−P[A]
Ejemplo 02:
a. La probabilidad de que una empresa gane una licitación es 0.80, por lo tanto, la probabilidad de que
no la gane es de: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b. La probabilidad de que una persona sea asaltado al salir del banco es de 10%, por lo tanto, la
probabilidad de que no sea asaltado al salir del banco es de: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
UTP Sede Arequipa 2 Guia 07
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y PROBABILIDADES
3.2. Intersección de eventos (A∩B): Para dos eventos A y B, la intersección de los eventos A y B es el
evento que contienen todos los puntos de Ω que pertenecen tanto a A como a B.
3.3. Unión de eventos (A∪B): Para dos eventos A y B, la unión del evento A con el evento B es el evento
que contienen todos los puntos de Ω que pertenecen a A o B o a ambos.
P[A∪B] = P[A]+P[B]−P[A∩B]
Ejemplo 03: La probabilidad de que Juan Diego pase Estadística y Probabilidades es de 2/3, y la
probabilidad de que pase el curso de Modelos y Simulación es 4/9. Si la probabilidad de pasar ambos
cursos es de 1/4, ¿cuál es la probabilidad de que Juan Diego pase, cuando menos uno de estos cursos?
3.4. Diferencia de eventos (A−B): Es el evento que contienen todos los puntos de Ω que pertenecen al
evento A pero no al evento B.
UTP Sede Arequipa 3 Guia 07
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y PROBABILIDADES
3.5. Eventos mutuamente excluyentes: Dos eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos si no tienen
puntos de Ω en común. Los eventos A y B son mutuamente excluyentes si y solo si A∩B = φ
Ejemplo 04: Al lanzar una moneda de un sol, sólo hay dos posibilidades: Cara o Sello, una excluye a
la otra.
Ejemplo 05: Un experimento consiste en lanzar dos dados.
A: Obtener una suma de seis =⇒ A = {(5,1);(4,2);(3,3);(2,4);(1,5)}
B: Obtener una suma de cinco =⇒ B = {(4,1);(3,2);(1,4)}
C: Obtener un número par en la suma de los dados =⇒C = {(1,1);(1,3); · · · ;(6,6)}
• ¿A y B son eventos mutuamente excluyentes?
• ¿B y C son eventos mutuamente excluyentes?
Si A y B son evento mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de que A o B suceda es
equivalente a la probabilidad del evento A más la probabilidad del evento B, esto es:
P[A∪B] = P[A]+P[B]
Ejemplo 06: Una MAC genera aleatoriamente el último dígito de un dispositivo TOKEN para las
transacciones de e-commerce. Encontrar la probabilidad de que el resultado sea 7 o 9.
UTP Sede Arequipa 4 Guia 07
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y PROBABILIDADES
Ejemplo 07: Un sistema está formado por dos componentes A y B cuyas probabilidades de falla son
1
6 y
2
15 respectivamente. Si la probabilidad de que al menos una de las dos componentes falle es
7
30 ,
calcular la probabilidad de que:
a) Ninguno de las dos componentes fallen.
b) Sólo una de las componentes falle.
Ejemplo 08: El cuadro indica las promociones en los últimos dos años de los agentes de policía.
Hombre Mujer Total
Promovido 288 36 324
No promovido 672 204 876
Total 960 240 1200
Si se selecciona uno de estos agentes de la policía para realizar una encuesta. Calcule a probabilidad de
que:
a) Sea hombre y haya sido promovido.
b) Sea mujer y no haya sido promovido.
c) Sea hombre.
d) Sea mujer.
e) Haya sido promovido.
f) No haya sido promovido.
Ejemplo 09: El cuerpo humano puede contener uno o dos antígenos, A y B. A la sangre que contiene
sólo el antígeno A se le denomina tipo A, a la que contiene sólo el B se le conoce como tipo B, a la que
contiene a ambos se le llama tipo AB y a la sangre que no contiene ninguno se le denomina tipo O. En
cierto banco de sangre, 35% de los donantes de sangre tiene el tipo de sangre A, 10% el tipo B y 5%
el tipo AB.
a) ¿Cuál es la probabilidad que se elija aleatoriamente a un donante de sangre de tipo O?
b) Un receptor con sangre tipo A puede recibir sin ningún peligro de un donante sangre que no tenga
el antígeno B. ¿Cuál es la probabilidad de que un donante elegido aleatoriamente pueda donar al
receptor con sangre tipo A?
UTP Sede Arequipa 5 Guia 07
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y PROBABILIDADES
Ejercicios:
1. ¿Cuáles de los siguientes son parejas de eventos mutuamente excluyentes al sacar una carta de un mazo de
52 barajas?
a) Un corazón y una reina.
b) Una espada y una carta roja.
c) Un número par y una espada.
d) Un as y un número impar.
2. En una biblioteca que consta de 250 libros, 20 de ellos están escritos en inglés y el resto en español. ¿Cuál
es la probabilidad de que un libro elegido al azar, entre los 250 libros de dicha biblioteca, esté escrito en
inglés?
3. En un grupo de alumnos de una licenciatura en documentación, el 25% desaprobó la asignatura Análisis
Documental, el 15% la asignatura Documentación General y el 10% ambas asignaturas. ¿Cuál es la
probabilidad de que un alumno desapruebe Análisis Documental o Documentación General?
4. Una biblioteca dispone de tres empleados (A, B y C) para atender a los usuarios. El 20% de las ocasiones
está disponible (para atender a cualquier usuario) el empleado A, el 30% de las veces está disponible el
empleado B y el 25% de las ocasiones está disponible el empleado C. Además, el 10% de las veces están
disponibles A y B, el 12% están disponibles A y C, el 14% están disponibles B y C, y el 8% de las ocasiones
están disponibles los tres empleados. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea atendida en el mismo
momento en que llegue a la biblioteca?
5. Consideremos el lanzamiento de dos dados. Calcular la probabilidad de:
a) Obtener suma siete.
b) Obtener suma 6.
c) Obtener sumamayor que 5.
d) Que el resultado del primer dado sea mayor que del segundo.
6. Una muestra de estudiantes de la maestría en administración de negocios, arrojó la siguiente información
sobre la principal razón que tuvieron los estudiantes para elegir la escuela en donde hacen sus estudios. Si
se escoge un estudiante al azar.
UTP Sede Arequipa 6 Guia 07
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y PROBABILIDADES
a) Calcule la probabilidad de que el estudiante se de tiempo completo.
b) Calcule la probabilidad de que el estudiante esté estudiando por la calidad de la escuela.
c) Calcule la probabilidad de que sea un estudiante de medio tiempo y estudie la carrera por otras razones.
UTP Sede Arequipa 7 Guia 07