Reflexion y refraccion de OEM

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Reflexión y refracción de ondas electromagnéticas planas en régimen senoidal permanente 
rteutle 
23
1. Incidencia oblicua sobre un medio sin pérdidas (en particular dieléctrico sin pérdidas o medio no conductor) 
Consideremos una OEM que inicialmente se propaga en un medio sin pérdidas e incide en dirección oblicua sobre la 
superficie de otro medio sin pérdidas (Figura 1). 
 
 
Medio 2 
 
 
 
 
 
 
Medio 1 
 
Figura 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2. 
 
Como sabemos, cuando una onda incide sobre la frontera que separa dos medios diferentes se divide en dos partes: una 
onda reflejada y una transmitida (excepto cuando el medio 2 es un conductor perfecto, si es el caso no existe la última). 
Por lo tanto, los campos en las dos regiones están dados por: 
 
 
→→→
+= ri EEE1 ,  
→→→
+= ri HHH1 ,  
→→
= tEE2 ,  
→→
= tHH 2 ; (14a,b,c,d) 
 
donde 
( t )
0
i k r
i i
i iE E e
ω
→ →→ → − •= y 1i i i
i
H k E
Z
→ ∧ →
= × son los campos de la onda incidente, (14e,f) 
 
( t )
0
i k r
r r
r rE E e
ω
→ →→ → − •= y 1r r r
r
H k E
Z
→ ∧ →
= × son los campos de la onda reflejada, (14g,h) 
 
( t )
0
i k r
t t
t tE E e
ω
→ →→ → − •= y 1t t t
t
H k E
Z
→ ∧ →
= × son los campos de la onda transmitida. (14i,j) 
 
De la condición de frontera para las componentes tangenciales del campo eléctrico, 2 1n E n E
∧ → ∧ →
× = × , se tiene 
 
0 0 0 0 0 0( t ) ( t ) ( t )
0 0 0( )
i k r i k r i k r
t i r t i r
r rt t i in E n E E n E n E n Ee e e
ω ω ω
→ → → → → →∧ → ∧ → → ∧ → ∧ → ∧ →− • − • − •× = × + ∴ × = × + × 
 
Puesto que la expresión anterior es verdadera para cualquier tiempo 0t y para cualquier vector 
→
0r sobre la interface, 
los argumentos de las exponenciales deben ser iguales y por lo tanto: 
 
ωωωω === tri (i.e. las tres ondas tienen la misma frecuencia) (15a) 
 
1 2 1 2
1 1 1 2 2 2 1 2
1 2
, , , ,i r t i r t
n n
Z Z Z Z Z
c c
ω ω ωµ ωµβ β ω µ ε β β ω µ ε β
β β
= = = = = = = = = = = = (15b,c,d,e) 
 
0 0 0( ) 0, ( ) 0 y ( ) 0t r i r i tk k r k k r k k r
→ → → → → → → → →
− = − = − =i i i (15f,g,h) 
 
Las dos últimas ecuaciones representan las leyes de reflexión y refracción respectivamente, puesto que relacionan a los 
vectores de propagación incidente-reflejado e incidente-transmitido. A partir de éstas se puede probar que los vectores 
de propagación , y( )i r tk k k
→ → →
 se encuentran sobre un mismo plano, el cual es denominado plano de incidencia y es 
definido como aquel que contiene a los vectores normal, 
∧
n , e incidente, 
ik
→
. 
Por simplicidad, y sin pérdida de generalidad, tomaremos el origen del sistema coordenado sobre la superficie de 
separación y expresaremos los vectores involucrados en las leyes de reflexión y refracción como una combinación 
t t tk kβ
→ ∧
= 
r r rk kβ
→ ∧
= 
i i ik kβ
→ ∧
= 
→
ik 
∧
n 
1τ
∧
 
2 1nτ τ
∧ ∧ ∧
= × 
Reflexión y refracción de ondas electromagnéticas planas en régimen senoidal permanente 
rteutle 
24
lineal de los vectores 1 2 1, y n nτ τ τ
∧ ∧ ∧ ∧ ∧
= × , donde 1τ
∧
 es un vector unitario simultáneamente paralelo al plano de 
incidencia y a la interface (ver figura 2). 
 
• 
1 20 0 1 0 2
r r rτ ττ τ
→ ∧ ∧
= + , 
 
• 
1 1i in i
k k n k τ τ
→ ∧ ∧
= + , • 
1 21 2r rn r r
k k n k kτ ττ τ
→ ∧ ∧ ∧
= + + , 
• 
1 21 2t tn t t
k k n k kτ ττ τ
→ ∧ ∧ ∧
= + + , • 1 1 1 2 20 0( ) 0i r rk k r k rτ τ τ τ τ− − = , • 1 1 1 2 20 0( ) 0i t tk k r k rτ τ τ τ τ− − = . 
 
Del hecho que las dos últimas ecuaciones son válidas en cualquier punto de la interface, se obtiene la coplanariedad de 
los vectores de propagación ( )
2 2
0r tk kτ τ= = y la igualdad de sus componentes tangenciales ( )1 1 1i r tk k kτ τ τ= = 
cuando 
10 0 1
r r τ τ
→ ∧
= y 
20 0 2
r r τ τ
→ ∧
= respectivamente. 
Empleando los ángulos de incidencia, reflexión y refracción que se indican en la figura 3, las direcciones de 
propagación de las ondas incidente, reflejada y transmitida se escriben como 
 
 1 cosi i ik sen nθ τ θ
∧ ∧ ∧
= + , 1 cosr r rk sen nθ τ θ
∧ ∧ ∧
= − , 1 cost t tk sen nθ τ θ
∧ ∧ ∧
= + ; (15i,j,k) 
 
 
 
 
 
 Medio 2 
 
 
 Medio 1 
 
 
 
 
Figura 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4. 
 
Al igualar las componentes tangenciales de los vectores de propagación se consigue la representación más conocida de 
las leyes de reflexión y refracción: 
 
 
1 1 1 1
sen seni r i r i rk kτ τ β θ β θ θ θ = ⇒ = ⇒ =  (15l) 
 
 
1 1 1 2 1 2
sen sen sen seni t i t i tk k n nτ τ β θ β θ θ θ = ⇒ = ⇒ =  (15m) 
 
Observaciones. 
1. Si 12 nn > , tθ es un ángulo real para todo ángulo de incidencia ,iθ siendo t iθ θ< (puesto que 
1sensen)/(sen 21 ≤<= iit nn θθθ ). 
2. Si 12 nn < , tθ es un ángulo real cuando 2 1arcsen( / )i c n nθ θ≤ = ; siendo .it θθ > 
Cuando el ángulo de incidencia es mayor que el ángulo crítico ( )i cθ θ> , el ángulo de transmisión no es una 
cantidad real1; esta situación da lugar al fenómeno denominado reflexión interna total, el cual se analizará más 
adelante. 
 
 
1 1sen)/(sen)/(sen 2112 >=⇒> iti nnnn θθθ , pero el seno de un ángulo es menor o igual que 1. 
→
ik 
→
rk 
∧
n 
rθ 
1τ
∧
 
→
tk 
tθ 
iθ 
2 1e nτ τ
∧ ∧ ∧ ∧
⊥ = = × 
1τ
∧
 
∧
n 
iθ i
θ 
rθ 
tθ 
tθ 
ik
∧
 
rk
∧
 
tk
∧
 
||ie
∧
 
||re
∧
 
||te
∧
 
e
∧
⊥ 
e
∧
⊥ 
Reflexión y refracción de ondas electromagnéticas planas en régimen senoidal permanente 
rteutle 
25
Para determinar las amplitudes de los campos eléctricos reflejado y transmitido en función de las componentes de la 
amplitud del campo eléctrico incidente, es conveniente descomponer estos vectores en sus componentes perpendicular 
y paralela al plano de incidencia, es decir 
 
 0 0 0 || ||i i i iE E e E e
→ ∧ ∧
⊥ ⊥= + 0 0 0 || ||r r r rE E e E e
→ ∧ ∧
⊥ ⊥= + 0 0 0 || ||t t t tE E e E e
→ ∧ ∧
⊥ ⊥= + (16a,b,c) 
 
donde 
∧
⊥e es un vector perpendicular al plano de incidencia y || || ||, , i r te e e
∧ ∧ ∧
 son vectores paralelos al plano de 
incidencia; y son dados respectivamente por 
 
 2e τ
∧ ∧
⊥ = , || 1cos seni i ie nθ τ θ
∧ ∧ ∧
= − + , || 1cos senr r re nθ τ θ
∧ ∧ ∧
= − − , || 1cos sent t te nθ τ θ
∧ ∧ ∧
= − + . 
(16d,e,f,g) 
 
Con las ecuaciones (15i-k) y (16a-g) o por medio de la figura 4 se verifican fácilmente los siguientes resultados 
 
1,n e τ
∧ ∧ ∧
⊥× = − 
 
|| 2cos ,t tn e θ τ
∧ ∧ ∧
× = − || 2cos ,i in e θ τ
∧ ∧ ∧
× = − || 2cos ,r rn e θ τ
∧ ∧ ∧
× = − || ,t tk e e
∧ ∧ ∧
⊥× = 
|| ,t tk e e
∧ ∧ ∧
⊥× = − ||,i ik e e
∧ ∧ ∧
⊥× = || ,i ik e e
∧ ∧ ∧
⊥× = − || ,r rk e e
∧ ∧ ∧
⊥× = − || ;r rk e e
∧ ∧ ∧
⊥× = 
 
y por lo tanto 
 
0 0 || 0 ||
2
1
,t t t tH E e E e
Z
→ ∧ ∧
⊥ ⊥
 = − + 
 
 
 
0 0 || 0 ||
1
1
,i i i iH E e E e
Z
→ ∧ ∧
⊥ ⊥
 = − + 
 
 0 0 || 0 ||
1
1
,r r r rH E e E e
Z
→ ∧ ∧
⊥ ⊥
 = − 
 
 (16h,i,j) 
0 0 1 0 || 2cos ,t t t tn E E Eτ θ τ
∧ → ∧ ∧
⊥× = − − 
 
0 0 1 0 || 2cos ,i i i in E E Eτ θ τ
∧ → ∧ ∧
⊥× = − − 0 0 1 0 || 2cos ,r r r rn E E Eτ θ τ
∧ → ∧ ∧
⊥× = − − (16k,l,m) 
0 0 || 1 0 2
2
1
cos ,t t t tn H E E
Z
τ θ τ
∧ → ∧ ∧
⊥
 × = − 
 
 
0 0 || 1 0 2
1
1
cos ,i i i in H E E
Z
τ θ τ
∧ → ∧ ∧
⊥
 × = − 
 
 
0 0 || 1 0 2
1
1
cos .r r r rn H E E
Z
τ θ τ
∧ → ∧ ∧
⊥
 × = − + 
 
 (16n,o,p) 
 
Por medio de las condiciones de frontera de las componentes tangenciales de los campos eléctrico e intensidad 
magnética*, 2 1 2 1 y fn E n E n H n H K
∧ → ∧ → ∧→ ∧ → →
× = × × = × +
0
�
, se determina el siguiente sistema lineal de ecuaciones 
 
0 1 0 || 2 0 1 0 || 2 0 1 0 || 2cos cos cost t t i i i r r rE E E E E Eτ θ τ τ θ τ τ θ τ
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
⊥ ⊥ ⊥
 − − = − − − − ⇒  
 
 
• 0 0 0 ,t i rE E E⊥ ⊥ ⊥= + • 0 || 0 || 0 ||cos cos cos ,t t i i r rE E Eθ θ θ= + 
 
 (16q,r) 
 
0 || 1 0 2 0 || 1 0 2 0 || 1 0 2
2 1 1
1 1 1
cos cos cost t t i i i r r rE E E E E E
Z Z Z
τ θ τ τ θ τ τ θ τ
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
⊥ ⊥ ⊥
      − = − + − + ⇒      
      
 
 
• 0 0 0
2 1 1
cos cos cost i r
t i rE E E
Z Z Z
θ θ θ
⊥ ⊥ ⊥= − , • 0 || 0 || 0 ||
2 1 1
1 1 1
t i rE E E
Z Z Z
= − ; 
 
 
 (16s,t) 
 
 
*Las condiciones ɵ ɵ2 1 sfn D n D ρ= +
��� ���
i i ɵ ɵ
0
2 1 y n B n B=
��� ���
i i ya están incluidas en ɵ ɵ ɵ ɵ2 1 2 1 y fn E n E n H n H K× = × × = × +
��� ��� ���� ��� ���� 0
�
, 
esto se puede verificar mediante el uso de la ley de refracción. 
Reflexión y refracción de ondas electromagnéticas planas en régimen senoidal permanente 
rteutle 
26
al resolverlo se obtienen las cuatro ecuaciones de Fresnel: 
 
 0 2 1
0 2 1
cos cos
cos cos
r i t
i i t
E Z Z
E Z Z
θ θρ
θ θ
⊥
⊥
⊥
−≡ =
+
 
 
 
it
it
ti
ti
nn
nn
θµθµ
θµθµ
θµθµ
θµθµ
tantan
tantan
coscos
coscos
12
12
2112
2112
+
−
=
+
−
= (17a,b,c) 
 
 0 2
0 2 1
2 cos
cos cos
t i
i i t
E Z
E Z Z
θτ
θ θ
⊥
⊥
⊥
≡ =
+
 
 
 
it
t
ti
i
nn
n
θµθµ
θµ
θµθµ
θµ
tantan
tan2
coscos
cos2
12
2
2112
12
+
=
+
= (17d,e,f) 
 
 
0 || 2 1
||
0 || 2 1
cos cos
cos cos
r t i
i t i
E Z Z
E Z Z
θ θρ
θ θ
−≡ =
+
 
 
)2()2(
)2()2(
coscos
coscos
12
12
2112
2112
it
it
it
it
sensen
sensen
nn
nn
θµθµ
θµθµ
θµθµ
θµθµ
+
−
=
+
−
= (17g,h,i) 
 
 
0 || 2
||
0 || 2 1
2 cos
cos cos
t i
i t i
E Z
E Z Z
θτ
θ θ
≡ =
+
 
 
 
)2()2(
cos4
coscos
cos2
12
2
2112
12
it
ti
it
i
sensen
sen
nn
n
θµθµ
θθµ
θµθµ
θµ
+
=
+
= (17j,k,l) 
 
donde || ||, , y ρ τ ρ τ⊥ ⊥ son frecuentemente conocidos como coeficientes de reflexión y transmisión bajo 
polarizaciones transversa y paralela, respectivamente. 
 
11 1 1 1 2
2 2 2 2 1 2
sen/
Se ha hecho uso de las relaciones 
/ sen
i
t
Z n
Z n
µ θµ ω β µ
µ ω β µ µ θ
 
= = = 
 
 
 
 
Ejercicio. Verificar que 
 
 
 1 ρ τ⊥ ⊥+ = 
 
 1
2
cos
1
cos
t
i
Z
Z
θρ τ
θ⊥ ⊥
− = (18a,b) 
 
 || ||
cos
1
cos
t
i
θρ τ
θ
+ = 1|| ||
2
1
Z
Z
ρ τ− = (18c,d) 
 
De la ley de Snell y/o las ecuaciones de Fresnel se sigue lo siguiente: 
 
1. Si 1 2n n< entonces , , , .iρ τ ρ τ θ⊥ ⊥ ∈ ∀� � ℝ 
 
2. Cuando 1 2n n> , los coeficientes de Fresnel toman valores reales si 21( )
n
i c n
arcsenθ θ≤ = y valores complejos si 
.i cθ θ> 
 
3. En incidencia normal, es decir 0,iθ = 2 1 2 1 1 2
2 1 2 1 1 2
Z Z n n
Z Z n n
µ µρ ρ
µ µ⊥
− −= = =
+ +�
 y 2 2 1
2 1 2 1 1 2
2 2Z n
Z Z n n
µτ τ
µ µ⊥
= = =
+ +�
. 
Por consiguiente la onda se transmite completamente cuando 2 1Z Z= . 
 
4. Cerca de la incidencia rasante, es decir 2/πθ ≈i , la onda se refleja casi en su totalidad (porque 
0 y 0τ τ⊥ ≈ ≈� ). 
 
5. 1 2 1 2 1 2 1 2Si y o y ,Z Z n n Z Z n n> > < < existe un ángulo de incidencia que anula el coeficiente de reflexión 
transverso. Dicho ángulo se denominará ángulo de Brewster transverso y es dado por 
 
( )
( )
2 2 2
2 1 2
2 2 2
1 1 2
tan B
n Z Z
Z n n
θ ⊥
−
=
−
 (18e) 
Reflexión y refracción de ondas electromagnéticas planas en régimen senoidal permanente 
rteutle 
27
Consecuentemente, si i Bθ θ ⊥= el campo eléctrico de la onda reflejada tendrá sólo componente paralela al plano de 
incidencia (y polarización lineal). 
 
 ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1
2
1
21 11 1
2 22 2
11
22
1
2
11
22
2
2 2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 1 1
2
2 22 2
2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 22
2
2 2 2
2 1 2
22
cos cos 0 (1 ) (1 )
1
1 1
1
1
tan
1
B t B t B
B B B
B
n
n
Z
Zn nZ Z
n nZ Z
nZ
nZ
Z
Z
nZ
nZ
Z Z Z sen Z sen Z Z sen
Z Z sen Z Z sen sen
n Z Z
Z
θ θ θ θ θ
θ θ θ
θ
− = ⇒ − = − = −
−   − = − ⇒ − = − ⇒ =   
    −
− −
⇒ = =
 −  
( ) 1 2 1 2 1 2 1 22 2 21 1 2
1 si & o &
B
sen Z Z n n Z Z n n
n n
θ < > > < <
−
 
 
 
6. 1 2 1 2 1 2 1 2Cuando y o y ,Z Z n n Z Z n n> < < > existe un ángulo de incidencia que anula el coeficiente de 
reflexión paralelo. Dicho ángulo se denominará ángulo de Brewster paralelo y es dado por 
 
( )
( )
2 2 2
2 2 1
2 2 2
2 1 2
tan B
n Z Z
Z n n
θ
−
=
−�
 (18f) 
 
Por lo tanto, si i Bθ θ= � el campo eléctrico de la onda reflejada tendrá sólo componente perpendicular al plano de 
incidencia (y polarización lineal). 
 
 ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
1
2
2 2
1 11
2
1 12 2
21 21
2
2 2 2 2 2 2 2
2 1 2 2 2 1
2 2
2 2 2
2 2 2 12 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 2 2 2 22 2
2 1 2
cos cos 0 (1 ) (1 )
1 1
, tan
1 1
t B t B B
i i i
n
n
Z Z
Z Zn
n
n nZ Z
nZ nZ
Z Z Z sen Z Z sen Z sen
n Z Z
Z Z sen Z Z sen
Z n n
θ θ θ θ θ
θ θ θ
− = ⇒ − = − = −
− − − − = − ⇒ = = = 
   −− −  
 
 
 
7. Si los medios tienen la misma permeabilidad magnética, es decir 21 µµ = , 
 
sen( )
,
sen( )
t i
t i
θ θρ
θ θ⊥
−=
+
 
 
2cos sen
.
sen( )
i t
t i
θ θτ
θ θ⊥
=
+
 (18g,h) 
 
||
tan( )
tan( )
t i
t i
θ θρ
θ θ
−=
+
 
 
||
2cos sen
cos( )sen( )
i t
t i t i
θ θτ
θ θ θ θ
=
− +
 (18i,j) 
 
Como se puede notar, el ángulo de Brewster transverso no existe y el paralelo satisface la condición 12t iθ θ π+ = . 
De ésta condición y la ley de refracción se obtiene la expresión más conocida de la ley de Brewster bajo 
polarización paralela: 2
1
tan .B
n
n
θ =
�
 
Para conocer una aplicación del ángulo de Brewster paralelo se sugiere consultar la sección 4.5.3 del Dios Otín, 
Campos electromagnéticos, Alfaomega. 
 
 
En las figuras 5-8 (página 28) se ilustra el comportamiento de los coeficientes de Fresnel. 
 
Reflexión y refracción de ondas electromagnéticas planas en régimen senoidal permanente 
rteutle 
28
 
Ángulo de Incidencia 
 
 
Ángulo de Incidencia 
 
Figura 5. Gráfica de los coeficientes de reflexión y transmisión cuando n1=6.32, n2= 1.48, Z1= 595.80Ω, Z2= 279.45Ω 
 
 
 
Ángulo de Incidencia 
 
 
Ángulo de Incidencia 
 
Figura 6. Gráfica de los coeficientes de reflexión y transmisión cuando n1=2.1, n2= 4.47, Z1= 197.61Ω, Z2= 842.59Ω 
 
 
 
Ángulo de Incidencia 
 
 
Ángulo de Incidencia 
 
Figura 7. Gráfica de los coeficientes de reflexión y transmisión cuando n1=2.77, n2= 2.45, Z1= 149.38Ω, Z2= 307.67Ω 
 
 
 
Ángulo de Incidencia 
 
 
Ángulo de Incidencia 
 
Figura 8. Gráfica de los coeficientes de reflexión y transmisión cuando n1=1, n2= 1.5, Z1= 376.82Ω, Z2= 251.21Ω 
( )
( )
( )
( )
Re
Im
Re
Im
ρ
ρ
τ
τ
⊥
⊥
⊥
⊥
 
( )
( )
( )
( )
Re
Im
Re
Im
ρ
ρ
τ
τ
⊥
⊥
⊥
⊥
 
( )
( )
( )
( )
Re
Im
Re
Im
ρ
ρ
τ
τ
⊥
⊥
⊥
⊥
 
( )
( )
( )
( )
Re
Im
Re
Im
ρ
ρ
τ
τ
⊥
⊥
⊥
⊥
 
( )
( )
( )
( )
Re
Im
Re
Im
ρ
ρ
τ
τ
�
�
�
�
 
( )
( )
( )
( )
Re
Im
Re
Im
ρ
ρ
τ
τ
�
�
�
�
 
( )
( )
( )
( )
Re
Im
Re
Im
ρ
ρ
τ
τ
�
�
�
�
 
( )
( )
( )
( )
Re
Im
Re
Im
ρ
ρ
τ
τ
�
�
�
�
 
Reflexión y refracción de ondas electromagnéticas planas en régimen senoidal permanente 
rteutle 
29
1.1 Reflexión interna total 
Anteriormente se mencionó que si una OEM incide sobre un dieléctrico a un ángulo mayor que el ángulo crítico, el 
ángulo tθ no es una cantidad real. De hecho, satisface las condiciones 
2 2
sen sen
sen sen
sen
sen & cos 1 o cos1
sen
i
t t t
c
i i
c c
i i
θ θ
θ θ
θθ θ θ
θ
   
= = + − = − −   
   
 (19a,b,c) 
 
Definiendo 2
2
sen
1
sen
i
c
K
θ
θ
β − =  
 
, los vectores de propagación y los campos eléctricos incidente, reflejado y 
transmitido son dados por 
 
1 1 1 cosi i ik sen nβ θ τ β θ
→ ∧ ∧
= + , 
 
 1 1 1 cosr i ik sen nβ θ τ β θ
→ ∧ ∧
= − , 2 1it
c
sen
k iK n
sen
θβ τ
θ
→ ∧ ∧
= ± , 
 
1[ t ( cos ) ]
0
1 1i sen r n r
i i
i iE E e
ω β θ τ β θ
∧ → ∧ →→ → − += i i , 1[ t ( sen cos ) ]0 1 1
i r n r
r r
i iE E e
ω β θ τ β θ
∧ → ∧ →→ → − −= i i , 2 1[ t ]0
i
c
sen
K n r i r
sen
t tE E e e
θω β τ
θ
∧ → ∧ →→ → ± −= i i . 
 
De la expresión del campo eléctrico transmitido es inmediata la validez de la ecuación (19c) y no de la (19b). Dicho 
campo representa una onda evanescente que viaja en la dirección de 1τ
∧
 y se atenúa en la dirección de n
∧
. Su velocidad 
y profundidad de penetración respectivamente son 
 
2 2 2
sen
v v v
sen
c
x
i
θ
θ
= < y ( )[ ] 2/122
2
1sen/sen
)2/(1
−
==
ci
z
K θθ
πλδ , 
 
donde 2v y 2λ corresponden a los valores de velocidad y periodo espacial de una onda plana uniforme en el medio 2. 
 
De las ecuaciones (17a,d,g,j) se tiene 
 
( )
( )
22 1 20 2 1
0 2 1 2 1 2
cos / | |cos cos
cos cos cos / | |
i
iir i t
i
i i t i
Z Z iK AE Z Z
E Z Z Z Z iK A
e
e
e
ϕ
ϕ
ϕ
θ βθ θ
θ θ θ β
⊥
⊥
⊥
⊥⊥
−
⊥ ⊥
− −−= = = =
+ + −
 
 
( )
( )
||
||
||
20 || ||2 2 12 1
0 || 2 1 2 2 1 ||
| |/ coscos cos
cos cos / cos | |
i
ir it i
i
i t i i
E AZ iK ZZ Z
E Z Z Z iK Z A
e
e
e
ϕ
ϕ
ϕ
β θθ θ
θ θ β θ −
− −−= = = − = −
+ − +
 
 
( )
0 2 2 2 2
0 2 1 2 1 2
2 cos 2 cos 2 cos 2 cos
cos cos cos / | || |
it i i i i
i
i i t i
E Z Z Z Z
E Z Z Z Z iK AA
e
e
ϕ
ϕ
θ θ θ θ
θ θ θ β
⊥
⊥
⊥
−
⊥ ⊥⊥
= = = =
+ + −
 
 
( )
||
||
0 || 2 2 2 2
0 || 2 1 2 2 1 ||||
2 cos 2 cos 2 cos 2 cos
cos cos / cos | || |
it i i i i
i
i t i i
E Z Z Z Z
E Z Z Z iK Z AA
e
e
ϕ
ϕ
θ θ θ θ
θ θ β θ −
= = = =
+ − +
 
 
donde 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2
2 1 2 || 1 2 2 ||
2 1
/ /
| | cos / , | | cos / , arctan , arctan
cos cosi i i i
Z K Z K
A Z Z K A Z Z K
Z Z
β βθ β θ β ϕ ϕ
θ θ⊥ ⊥
   
= + = + = =   
   
. 
 
Como ||tan tanϕ ϕ⊥ ≠ (excepto si Z1=Z2) y ||tan tan 1ϕ ϕ⊥ ≠ − , cuando una onda con polarización lineal incida con un 
ángulo mayor que el ángulo crítico, las ondas reflejada y transmitida tendrán polarización elíptica (excepto si Z1=Z2). 
Se recomienda revisar las secciones ¿? y ¿? del Wangsness y Dios Otín respectivamente. 
Reflexión y refracción de ondas electromagnéticas planas en régimen senoidal permanente 
rteutle 
30
2. Incidencia oblicua sobre un conductor perfecto 
Consideremos que una OEM inicialmente se desplaza en un medio sin pérdidas y después incide en dirección oblicua 
sobre la superficie de un conductor perfecto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En el caso presente no existe OEM transmitida pues la profundidad de 
penetración es 0=δ . Por lo tanto, los campos en las dos regiones 
están dados por: 
 
→→→
+= ri EEE1 
→→→
+= ri HHH1 2 0E
→ →
= 2 0H
→ →
= 
 
donde 
( t )
0
i k r
i i
i iE E e
ω
→ →→ → − •= y 1i i i
i
H k E
Z
→ ∧ →
= × 
 
( t )
0
i k r
r r
r rE E e
ω
→ →→ → − •= y 1r r r
r
H k E
Z
→ ∧ →
= × 
 
De la condición de frontera para las componentes tangenciales del campo eléctrico, 2 1n E n E
∧ → ∧ →
× = × , se tiene 
 
0 0 0 0( t ) ( t )
0 00 ( ) 0
i k r i k r
i r i r
r ri in E E n E n Ee e
ω ω
→ → → →→ ∧ → → → ∧ → ∧ →− • − •= × + ∴ = × + × 
 
Un análisis y consideraciones similares a los realizados en la sección 1 (Incidencia oblicua sobre un medio sin 
pérdidas) nos permitiría verificar la validez de las ecuaciones (15a,b,d,g,i,j,l), (16a,b,d,e,f,i,j,l,m,o,p) en el caso actual. 
 
• i rω ω ω= = • 11 1 1,i r
n
c
ωβ β ω µ ε β= = = = 
 
• 1
1
1
,i rZ Z Z
ωµ
β
= = = • 0( ) 0i rk k r
→ → →
− =i (15a,b,d,g) 
• 1 cosi i ik sen nθ τ θ
∧ ∧ ∧
= + 
 
• 1 cosr r rk sen nθ τ θ
∧ ∧ ∧
= − 
 
• i rθ θ= (15,i,j,l) 
• 0 0 0 || ||i i i iE E e E e
→ ∧ ∧
⊥ ⊥= + 
 
• 0 0 0 || ||r r r rE E e E e
→ ∧ ∧
⊥ ⊥= + (16a,b) 
• 2e τ
∧ ∧
⊥ = 
 
• || 1cos seni i ie nθ τ θ
∧ ∧ ∧
= − + • || 1cos senr r re nθ τ θ
∧ ∧ ∧
= − − (16d,e,f) 
• 0 0 || 0 ||
1
1
,i i i iH E e E e
Z
→ ∧ ∧
⊥ ⊥
 = − + 
 
 
 
• 0 0 || 0 ||
1
1
,r r r rH E e E e
Z
→ ∧ ∧
⊥ ⊥
 = − 
 
 (16i,j) 
• 0 0 1 0 || 2cos ,i i i in E E Eτ θ τ
∧ → ∧ ∧
⊥× = − − 
 
• 0 0 1 0 || 2cos ,r r r rn E E Eτ θ τ
∧ → ∧ ∧
⊥× = − − (16l,m) 
• 
0 0 || 1 0 2
1
1
cos ,i i i in H E E
Z
τ θ τ
∧ → ∧ ∧
⊥
 × = − 
 
 • 
0 0 || 1 0 2
1
1
cos .r r r rn H E E
Z
τ θ τ
∧ → ∧ ∧
⊥
 × = − + 
 
 (16o,p) 
 
Es inmediato que la condición 0 00 i rn E n E
→ ∧ → ∧ →
= × + × implica que 
 
0 0 0 || 0 || y r i r iE E E E⊥ ⊥= − = . (20a,b) 
 
Por lo tanto las expresiones para los campos eléctrico e intensidad magnética en el medio 1 son respectivamente 
1τ
∧
 
∧
n 
iθ iθ 
rθ 
ik
∧
 
rk
∧
 
||ie
∧
 
||re
∧
 e
∧
⊥ 
e
∧
⊥ 
1 2n τ τ
∧ ∧ ∧
× = 
Reflexión y refracción de ondas electromagnéticas planas en régimen senoidal permanente 
rteutle 
31
1 1 1
1 1 1
1
( t cos )
1 0 2 0 || 1
( t cos )
0 2 0 || 1
cos
0 2 0 || 1
cos sen
cos sen
cos
i i
i i
i
i sen r n r
i i i i
i sen r n r
i i i i
i n r
i i i
E E E n
E E n
E E
e
e
ω β θ τ β θ
ω β θ τ β θ
β θ
τ θ τ θ
τ θ τ θ
τ θ τ
∧ → ∧ →
∧ → ∧ →
∧ →
→ ∧ ∧ ∧ − • − •
⊥
∧ ∧ ∧ − • + •
⊥
∧ ∧ − •
⊥
  = + − + +    
  + − − − − =    
 = − 
 
1 1 1 1 1
1
cos cos cos ( t )
0 ||
( t
0 2 0 || 1 1 0 || 12 cos cos 2 cos cos
i i i ii n r i n r i n r i sen r
i i
i
i i i i i i i
E sen n
i E E sen n r E sen n n r
e e e e e
β θ β θ β θ ω β θ τ
ω β
θ
τ θ τ β θ θ β θ
∧ → ∧ → ∧ → ∧ →∧+ • − • + • − •
∧ ∧ ∧ → ∧ ∧ → −
⊥
    − + + =    
    
      = − − +            
i i 1
)
 (20c)i
sen r
e
θ τ
∧ →
•
 
 
 
1 1 1
1 1 1
( t cos )
1 0 || 2 0 1
1
( t cos )
0 || 2 0 1
1
0 || 2 0 1
1
1
cos sen
1
cos sen
1
cos
i i
i i
i sen r n r
i i i i
i sen r n r
i i i i
i
i i i
H E E n
Z
E E n
Z
E E
Z
e
e
ω β θ τ β θ
ω β θ τ β θ
β
τ θ τ θ
τ θ τ θ
τ θ τ
∧ → ∧ →
∧ → ∧ →
→ ∧ ∧ ∧ − • − •
⊥
∧ ∧ ∧ − • + •
⊥
∧ ∧ −
⊥
  = − + − + +    
  + − + − − =    
 = − − 
 
1 1 1 1 1 1cos cos cos cos ( t )
0
0 || 2 0 1 1 0 1
1
sen
1
2 cos cos cos 2 sen cos
i i i i in r i n r i n r i n r i sen r
i i
i i i i i i i
E n
E E n r iE n sen n r
Z
e e e e e
θ β θ β θ β θ ω β θ τθ
τ θ τ β θ θ β θ
∧ → ∧ → ∧ → ∧ → ∧ →∧• • − • • − •
⊥
∧ ∧ ∧ → ∧ ∧ →
⊥ ⊥
    + + − =    
    
      = − − −           
i i 1 1
( t )
 (20d)i
i sen r
e
ω β θ τ
∧ →
− •


 
Al sustituir estos resultados en las condiciones de frontera que representan las discontinuidades de la componente 
tangencial de la intensidad magnética y de la componente normal del desplazamiento eléctrico en medios ihl, 
2 1( ) fn H H K
∧ → → →
× − = y 2 2 1 1( ) s fE E nε ε ρ
→ → ∧
− =i , se hallan las expresiones de las densidades de corriente y de carga 
inducidas en la superficie del conductor 
 
01 1( t )
1 0 0 || 1 0 2
1
2
( , ) cos i
i sen r
f i i iK n H r t E E
Z
e
ω β θ ττ θ τ
∧ →→ ∧ → → ∧ ∧ − •
⊥
  = − × = − +    
 (20e) 
 
01 1( t )
1 1 1 0 ||2
ii sen r
s f i iE n E sen e
ω β θ τρ ε ε θ
∧ →→ ∧ − • = − = −   
i(20f) 
 
De las ecuaciones (20c,d,e,f) se siguen las siguientes observaciones: 
1. La superposición de las ondas incidente y reflejada es una onda viajera en la dirección de 1τ
∧
 y estacionaria en 
la dirección de n
∧
. 
 
2. Si 0 || 0iE = (incidencia bajo polarización perpendicular al plano de incidencia) la onda electromagnética es TE (porque 
el campo eléctrico es perpendicular a la dirección de propagación pero la intensidad magnética no). 
 
3. Si 0 0iE ⊥ = (incidencia bajo polarización paralela) la onda electromagnética es TM (porque el campo intensidad 
magnética es perpendicular a la dirección de propagación pero el campo eléctrico no). 
 
4. Si 0iθ = el campo eléctrico se anula en aquellos puntos en los que 1 con .2
n r m n r m m
λβ π
∧ → ∧ →
= ∴ = ∈i i ℤ 
 
5. Si 0iθ = la intensidad magnética se anula cuando 1
2 1 (2 1)
 con .
2 2 2
m m
n r n r m
λβ π
∧ → ∧ →− −= ∴ = ∈i i ℤ 
Reflexión y refracción de ondas electromagnéticas planas en régimen senoidal permanente 
rteutle 
32
 
6. Como resultado de la discontinuidad en la componente tangencial de la intensidad magnética se produce una 
onda de densidad de corriente superficial que se propaga en la dirección de 1τ
∧
. 
 
7. Como resultado de la discontinuidad en la componente normal del campo eléctrico se induce una onda de 
densidad de carga superficial que se propaga en la dirección de 1τ
∧
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Reflexión y refracción de ondas electromagnéticas planas en régimen senoidal permanente 
rteutle 
33
3. Incidencia normal sobre un medio con pérdidas (en particular dieléctrico con pérdidas o conductor imperfecto) 
Cuando una OEM se propaga en un medio sin pérdidas e incide perpendicularmente sobre la superficie de un medio 
con pérdidas (dieléctrico con pérdidas o conductor imperfecto), se puede demostrar que los coeficientes de reflexión y 
transmisión están dados por las ecuaciones (17a) y (17d) para el caso en que 0=iθ , es decir: 
 
12
12
0
0
ZZ
ZZ
E
E
normali
r
n +
−=





=ρ , 
 
12
2
0
0 2
ZZ
Z
E
E
normali
t
n +
=





=τ 
 
Como 
12
21
22
11
2
1
/
/
k
k
k
k
Z
Z
µ
µ
ωµ
ωµ
== , 11 β=k y 222 αβ ik −= , entonces 
 
)(
)(
22112
22112
2112
2112
αβµβµ
αβµβµ
µµ
µµρ
i
i
kk
kk
n −+
−−
=
+
−
= (21a) 
 
)(
22
22112
12
2112
12
αβµβµ
βµ
µµ
µτ
ikk
k
n −+
=
+
= (21b) 
 
 
El campo eléctrico en la región 1 será: 
 
1 1 1 1 1 1( t ) ( t ) ( t ) ( t ) t
1 0 0 0 0 0
i n r i n r i n r i n r i i n r i n r
i r i n i i nE E u E u E u E u E ue e e e e e e
ω β ω β ω β ω β ω β βρ ρ
∧ → ∧ → ∧ → ∧ → ∧ → ∧ →→ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ −− + − +  = + = + = + 
 
i i i i i i
 
 
puesto que nn τρ =+1 , 
 
[ ] 1 1 1 1t t1 0 0 11 2 ( )i i n r i n r i n r i i n ri n n i n nE E u E u i sen n re e e e e e
ω β β β ω βρ ρ τ ρ β
∧ → ∧ → ∧ → ∧ →→ ∧ ∧ ∧ →− − −    = + + − = +    
    
i i i i
i 
 
Esta última expresión corresponde a la de una onda parcialmente estacionaria (el primer término representa una onda 
que se propaga en la dirección de n
∧
 y el segundo una onda estacionaria en la dirección de n
∧
). Este tipo de onda suele 
caracterizarse por medio de una cantidad denominada relación o razón de onda estacionaria (ROE), definida como la 
razón entre las magnitudes máxima y mínima del campo eléctrico en el medio 1, es decir: 
 
min1
max1
||
||
→
→
=
E
E
ROE (21c) 
 
 
 
Ejercicio. Probar que: 
 
(a) 21 0 1| | | | 1 2 | | cos 2 | |i n nE E n rρ β ρ
→ ∧ → = + + Ψ + 
 
i 
 
(b) 
||1
||1
n
nROE
ρ
ρ
−
+
= 
 
Reflexión y refracción de ondas electromagnéticas planas en régimen senoidal permanente 
rteutle 
34
Bibliografía. 
1. Campos Electromagnéticos | Wangsness | Limusa. 
2. Campos Electromagnéticos | Dios Otín et al | Alfaomega. 
3. Fundamentos de Electromagnetismo para Ingeniería | Cheng | Addison Wesley. 
4. Fundamentos de la Teoría Electromagnética | Reitz, Milford, Christy |Addison Wesley.