Ley de induccion y corriente de desplazamiento

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LEY DE INDUCCIÓN DE FARADAY, CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO 
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27. Ley de inducción de Faraday 
Después de que Oersted observó, en 1820, que una corriente eléctrica produce un campo magnético, Faraday demostró 
en 1831 que un campo magnético puede producir una corriente. Para esto conectó los extremos de una bobina de 
alambre a un galvanómetro y observó que al empezar a desplazar un imán hacia la bobina, se producía una deflexión en 
el galvanómetro; si el imán permanecía estacionario con respecto a la bobina no obtenía ninguna lectura, pero al mover 
el imán alejándose de la bobina, el medidor se desviaba nuevamente, solo que ahora en dirección opuesta. También se 
registraba una corriente en la bobina si esta se movía en la presencia del campo magnético. 
Los resultados de Faraday se pueden sintetizar en el enunciado siguiente: “La fem inducida en un circuito es igual al 
negativo de la variación con el tiempo del flujo magnético”, es decir: 
 
dt
d
fem m
Φ
−= (49a) 
 
o equivalentemente, puesto que la fem esta relacionada con un campo eléctrico: 
 
∫∫
→→→→
•−=•
SC
adB
dt
d
ldE (49b) 
 
Observación. El signo negativo en la ley de Faraday está relacionado con la dirección de la fem inducida (Ley de Lenz) 
 
28. Densidad de corriente de desplazamiento 
Como sabemos, una polarización eléctrica que cambia en el tiempo produce una corriente de polarización cuya 
densidad de corriente es P
P
J
t
→
→ ∂=
∂
. De aquí, en condiciones no estacionarias la ecuación 
→→
=×∇ fJH no es 
totalmente correcta; más aún, contradice el principio de conservación de la carga (
→→
•∇==×∇•∇ fJH 0 implica 
0=
∂
∂
t
fρ
 lo cual en general no es cierto). 
Fue Maxwell el primero en observar y en corregir esta contradicción, para ello supuso que la ley de Gauss sigue siendo 
válida y que la ecuación que satisface la intensidad magnética es 
 
 
→→→
+=×∇ df JJH (50a) 
 
El valor de 
→
dJ se determina al aplicar la divergencia a la expresión anterior y utilizar la ecuación de continuidad, así 
como la ley de Gauss (se asume que es válida en el caso dependiente del tiempo): 
00 =








∂
∂−•−∇=•∇+
∂
•∂∇−=•∇+
∂
∂
−=•∇+•∇==×∇•∇
→
→→
→
→→→→
t
D
JJ
t
D
J
t
JJH ddd
f
df
ρ
 
t
D
Jd ∂
∂=∴
→
→
 (50b) 
(
→
dJ recibe el nombre de corriente de desplazamiento). 
De (50a,b) se tiene que todo campo eléctrico dependiente del tiempo puede generar un campo magnético. 
 
 
Ejemplos. 
 
1. Espira fija en una inducción alterna 
Consideré una inducción magnética 
∧→
+= xtBB )cos( 00 αω , con 0y, Bαω constantes, y una espira estacionaria 
plana de forma arbitraria cuya normal se encuentra sobre el plano xy y forma un ángulo ϕ con el eje x. Determine la 
fem inducida. 
Sol. 
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)sen(coscos)cos(cos 00 αωωϕϕϕϕ +=−=−=−=•−= ∫∫∫
→→
tBAB
dt
d
AdaB
dt
d
daB
dt
d
adB
dt
d
fem x
S
x
S
x
S
 
 
 
2. Espira en rotación 
Una espira plana de forma arbitraria, cuya normal se encuentra sobre el plano xy y forma un ángulo 0α con el eje x al 
tiempo t=0, gira alrededor del eje z con una velocidad constante ω y está inmersa en una inducción magnética 
constante 
∧→
= xBB 0 . Determine la fem inducida de la espira. 
Sol. 
)sen()cos(coscos 000000 αωωαωϕϕ +=+−=−=−=•−= ∫∫
→→
tABt
dt
d
AB
dt
d
ABdaB
dt
d
adB
dt
d
fem
SS
 
 
3. Circuito rectangular 
Una barra conductora se mueve hacia la derecha a velocidad constante (
∧→
= yvv ), y descansa sobre otro conductor en 
forma de U (ver figura 1). Si existe una inducción magnética constante que es normal a la página y sale de ella 
(
∧→
= xBB ), determine la fem inducida en el circuito. 
Sol. 
Considerando el recorrido por la curva C en el sentido antihorario, entonces: 
 
 
v 
) v ( 
Bl 
dt 
t l d 
B 
dt 
dA 
B da 
dt 
d 
B da x x B 
dt 
d 
a d B 
dt 
d 
r d E fem 
S S S C 
− = − = − = − = • − = • − = • = ∫ ∫ ∫ ∫ 
∧ ∧ → → → → 
 
 
como la fem es negativa, entonces la dirección de la corriente inducida es la del sentido horario. Esto concuerda con la 
ley de Lenz: puesto que el flujo aumenta a medida que y aumenta, la corriente inducida producirá líneas de campo en 
la dirección de y− que tenderán a disminuir el flujo. 
 
Observación. A medida que el circuito se hace más largo la resistencia aumenta, en consecuencia la corriente inducida disminuye. 
 
4. Barra conductora en movimiento 
En la figura 2a se muestra una barra conductora de longitud l moviéndose a una velocidad constante perpendicular a la 
barra (
∧→
= yvv ). Si la barra está inmersa en una inducción magnética perpendicular a ella y a su velocidad (
∧→
= xBB ), 
demuestre que existe una diferencia de potencial en los extremos de la barra. 
Sol. 
Cuando inicia el movimiento las cargas libres de la barra se someten a la acción de la fuerza magnética (dirigida hacia 
abajo si la carga es positiva y hacia arriba si la carga es negativa) y se desplazan; estas cargas separadas producen un 
campo eléctrico que se dirige hacia arriba, el cual tiende a disminuir la fuerza total sobre cualquier carga en el interior 
de la barra. Por último, cuando cierto número de cargas se ha separado, el campo 
→
E producido por ellas se equilibra 
con la fuerza magnética y se llega a un estado final de equilibrio (Figura 2b); es decir, la fuerza de Lorentz sobre una 
carga es igual a cero, 0E BF F
→ → →
+ = , y en consecuencia vE B
→ → →
= − × . 
Como 
∧→→→
=×−= zBBE vv , la diferencia de potencial en los extremos de la barra será vE d l El Blφ
− → →
+
∆ = • = =∫ 
 
Figura 1. 
 d r
→
 
 
→
v l 
 
 y 
Figuras 2a,b. 
 - - 
 
 l 
→
E 
→
v 
 
 + + 
 
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Referencias. 
1. Campos Electromagnéticos | Wangsness | Limusa. 
2. Fundamentos de la Teoría Electromagnética | Reitz, Milford, Christy |Addison Wesley.