Estructuras algebraicas

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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD JOSÉ ANTONIO PAEZ
ESCUELA DE INGENIERÍA EN COMPUTACIÓN
Tarea II
Sección: 305C1
Romina Betancourt CI: 16052570
Cátedra: Estructuras Discretas I
MSc. Jetro López
San Diego, mayo, 2017
Tarea II Página 6
1) Dado el conjunto Z, definimos las siguientes operaciones:
 ˄ 
Determinar si (Z,+) es un grupo conmutativo y (Z,*) es un semigrupo conmutativo
1.1. GRUPO ABELIANO (Conmutativo): Es un conjunto Z con una operación + , (Z,+), que verifica las propiedades:
1.1.1. + es una operación interna.
La operación suma + es operación interna siempre para todo el conjunto Z, porque si sumamos dos enteros resulta otro entero, se comprobó.
1.1.2. + es asociativa.
La operación suma + para el conjunto Z es asociativa para (a+b)+c=a+(b+c) siendo a+b+c=a+b-8+c
La asociatividad es igual para
(a+b)+c=(a+b-8)+c=
a+(b+c)=a+(b-8+c) 
como se demuestra con valores en la tabla pertenecientes al conjunto Z
1.1.3. Hay elemento neutro “e” para +.
	
	Para 
Donde e=8, se entiende que el 8 es el elemento neutro
	a+e-8=a
a+e=a+8
e=a-a+8
e=8
	e+a-8=a
e+a=a+8
e=a-a+8
e=8
1.1.4. Todo elemento de Z tiene su inverso para +
	
	Siendo e=8, se entiende el elemento inverso del “a” es: 16 -a.
	a’+a=-8
a’+a-8=8
a’+a=8+8
a’+a=16
a’=16-a
	 a +a’=-8
a +a’-8=8
a +a’=8+8
a +a’=16
a’=16-a
 
1.1.5. + es conmutativa.
Las expresiones a+b=a+b-8 y b+a=b+a-8 son exactamente iguales, se comprueba con los valores de la tabla en donde a+b=b+a y a+b-8=b+a-8, respectivamente.
1.2. SEMIGRUPO: Para el conjunto Z con una operación *, (Z, *), que verifica las propiedades:
1.2.1. * es una operación interna.
La operación suma * es operación interna siempre para todo el conjunto Z, porque si multiplicamos dos enteros resulta otro entero, se comprobó.
1.2.2. * es asociativa.
	a* (b* c)
	(a*b) *c
	=a* ( b + c - b c) 
=a +(b + c - bc) -a.(b + c - bc) 
=a + b + c - bc - ab - ac - abc.
	(a + b - ab) *c 
=(a + b - ab) + c - (a + b - ab).c 
= a + b + c - bc - ab - ac - abc.
=a* ( b + c - b c) =a +(b + c - bc) -a.(b + c - bc) =
=a + b + c - bc - ab - ac - abc.a*b) *c = (a + b - ab) *c = (a + b - ab) + c - (a + b - ab).c =
= a + b + c - bc - ab - ac - abc.
La operación multiplicación * para el conjunto Z es asociativa para (a*b)*c=a*(b*c) siendo 
a+b-ab = b+a-ba
La asociatividad es igual para
(a*b)*c= (a + b - ab) *c
 = a*(b*c)= a* ( b + a - b a)
como se demuestra con valores en la tabla pertenecientes al conjunto Z
2) En el conjunto P de los números pares se definen dos operaciones, una de ellas es la adición ordinaria y la otra está definida por la forma:
Demostrar que (P,+,*) tiene estructura de grupo conmutativo.
GRUPO ABELIANO (Conmutativo): El conjunto de los pares está definido por: 
P= {-2n,…,-4,-2,0,2,4,…,2n}, que verifica las propiedades:
2.1. +,* es una operación interna.
La operación suma + y multiplicación * resultan operación interna siempre para todo el conjunto P, porque si sumamos y/o multiplicamos dos enteros resulta otro entero, se comprobó.
2.2. +,* es asociativa.
La operación suma + y multiplicación * para el conjunto P es asociativa como se demuestra con valores en la tabla pertenecientes al mismo conjunto.
2.3. Hay elemento neutro “e” para +,*.
Entonces se asigna el valor de “a” tanto para X, Y del Conjunto P, e=0, se entiende que el 8 es el elemento neutro.
	
	
	-4+e=-4
e=-4+4
e=0
	e+-4=-4
e=-4+4
e=0
Ahora se demuestra asignando valores del conjunto P como muestra en el caso de las valores para X,Y e incluso Y2, siempre el elemento neutro e=0 para todos
2.4. Todo elemento de Z tiene su inverso para +,*
	
	
Siendo e=0, se entiende el elemento inverso del “a” es: Para -4 ES 4, entonces para cualquier valor -2n es 2n y viceversa.
	a’+a=0
a’+4=0
a’=0-4
a’=-4
	 a +a’=0
4 +a’=0
a’=0-4
a’=-4
Ahora se demuestra asignando valores del conjunto P como muestra en el caso de las valores para X,Y e incluso Y2, siempre el elemento neutro e=0 para todos
2.5. +,* es conmutativa.
Las expresiones X+Y=Y+X ; X*Y=Y*X son exactamente iguales que en X+Y2=Y2+X ; X*Y2=Y2*X, se comprueba con los valores de la tabla.
a ba+ba ba+b-8
-4-4-8-4-4-16
-3-3-6-3-3-14
-2-2-4-2-2-12
-1-1-2-1-1-10
00000-8
11211-6
22422-4
33633-2
448440
Hoja1
	a 	b	a+b		a 	b	a+b-8
	-4	-4	-8		-4	-4	-16
	-3	-3	-6		-3	-3	-14
	-2	-2	-4		-2	-2	-12
	-1	-1	-2		-1	-1	-10
	0	0	0		0	0	-8
	1	1	2		1	1	-6
	2	2	4		2	2	-4
	3	3	6		3	3	-2
	4	4	8		4	4	0
abc(a+b)+ca+(b+c)(a+b-8)+ca+(b-8+c)
-4-4-4-12-12-20-20
-3-4-4-11-11-19-19
-2-4-4-10-10-18-18
-1-4-4-9-9-17-17
0-4-4-8-8-16-16
1-4-4-7-7-15-15
2-4-4-6-6-14-14
3-4-4-5-5-13-13
a+b=a+b-8(a+b)+c=a+(b+c)(a+b-8)+c=a+(b-8+c)
Hoja1
	a+b=a+b-8			(a+b)+c=a+(b+c)		(a+b-8)+c=a+(b-8+c)
	a	b	c	(a+b)+c	a+(b+c)	(a+b-8)+c	a+(b-8+c)
	-4	-4	-4	-12	-12	-20	-20
	-3	-4	-4	-11	-11	-19	-19
	-2	-4	-4	-10	-10	-18	-18
	-1	-4	-4	-9	-9	-17	-17
	0	-4	-4	-8	-8	-16	-16
	1	-4	-4	-7	-7	-15	-15
	2	-4	-4	-6	-6	-14	-14
	3	-4	-4	-5	-5	-13	-13
	4	-4	-4	-4	-4	-12	-12
abca+b a+b-8b+ab+a-8
-4-4-4-8-16-8-16
-3-4-4-7-15-7-15
-2-4-4-6-14-6-14
-1-4-4-5-13-5-13
0-4-4-4-12-4-12
1-4-4-3-11-3-11
2-4-4-2-10-2-10
3-4-4-1-9-1-9
a+b=a+b-8b+a=b+a-8
Hoja1
				a+b=a+b-8		b+a=b+a-8
	a	b	c	a+b 	a+b-8	b+a	b+a-8
	-4	-4	-4	-8	-16	-8	-16
	-3	-4	-4	-7	-15	-7	-15
	-2	-4	-4	-6	-14	-6	-14
	-1	-4	-4	-5	-13	-5	-13
	0	-4	-4	-4	-12	-4	-12
	1	-4	-4	-3	-11	-3	-11
	2	-4	-4	-2	-10	-2	-10
	3	-4	-4	-1	-9	-1	-9
	4	-4	-4	0	-8	0	-8
a ba*ba ba+b-ab
-4-416-4-4-24
-3-39-3-3-15
-2-24-2-2-8
-1-11-1-1-3
000000
111111
224220
33933-3
441644-8
Hoja1
	a 	b	a*b		a 	b	a+b-ab
	-4	-4	16		-4	-4	-24
	-3	-3	9		-3	-3	-15
	-2	-2	4		-2	-2	-8
	-1	-1	1		-1	-1	-3
	0	0	0		0	0	0
	1	1	1		1	1	1
	2	2	4		2	2	0
	3	3	9		3	3	-3
	4	4	16		4	4	-8
abc(a*b)*ca*(b*c) (a + b - ab) *ca* ( b + c - b c) 
-4-4-4-64-6400
-3-3-3-27-2700
-2-2-2-8-800
-1-1-1-1-100
0000000
1111100
2228800
333272700
a*b=a+b-ab(a*b)*c=a*(b*c) (a + b - ab) *c = a+ ( b-ab*c)
Hoja1
	a*b=a+b-ab			(a*b)*c=a*(b*c)		 (a + b - ab) *c = a+ ( b-ab*c)
	a	b	c	(a*b)*c	a*(b*c)	 (a + b - ab) *c	a* ( b + c - b c) 
	-4	-4	-4	-64	-64	0	0
	-3	-3	-3	-27	-27	0	0
	-2	-2	-2	-8	-8	0	0
	-1	-1	-1	-1	-1	0	0
	0	0	0	0	0	0	0
	1	1	1	1	1	0	0
	2	2	2	8	8	0	0
	3	3	3	27	27	0	0
	4	4	4	64	64	0	0
XYX+YX*YX*Y
2
-4-4-8-8-64
-2-2-4-4-8
00000
22448
448864
Hoja1
	X	Y	X+Y	X*Y	X*Y2
	-4	-4	-8	-8	-64
	-2	-2	-4	-4	-8
	0	0	0	0	0
	2	2	4	4	8
	4	4	8	8	64
XYc(X+Y)+cX+(Y+c)(X*Y)*cX*(Y*c)(X+Y2)+cX+(Y
2
+c)(X*Y
2
)*cX*(Y
2
*c)
-4-4-4-12-12-64-6488256256
-2-2-2-6-6-8-8001616
00000000000
2226688881616
444121264642424256256
Hoja1
	X	Y	c	(X+Y)+c	X+(Y+c)	(X*Y)*c	X*(Y*c)	(X+Y2)+c	X+(Y2+c)	(X*Y2)*c	X*(Y2*c)
	-4	-4	-4	-12	-12	-64	-64	8	8	256	256
	-2	-2	-2	-6	-6	-8	-8	0	0	16	16
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	2	2	2	6	6	8	8	8	8	16	16
	4	4	4	12	12	64	64	24	24	256	256
XYe=-X+Xe=-Y+Ye=-Y
2
+Y
2
-4-4000
-2-2000
00000
22000
44000
Hoja1
	X	Y	e=-X+X	e=-Y+Y	e=-Y2+Y2
	-4	-4	0	0	0
	-2	-2	0	0	0
	0	0	0	0	0
	2	2	0	0	0
	4	4	0	0	0
e
XYa=e-Xa=e-Y
a=e-Y
2
0-4-444-16
0-2-222-4
000000
022-2-2-4
044-4-4-16
Hoja1
	e	X	Y	a=e-X	a=e-Y	a=e-Y2
	0	-4	-4	4	4	-16
	0	-2	-2	2	2	-4
	0	0	0	0	0	0
	0	2	2	-2	-2	-4
	0	4	4	-4	-4	-16
XYX+YY+XX*YY*XX+Y
2
Y
2
+XX*Y
2
Y
2
*X
-4-4-8-8-8-81212-64-64
-2-2-4-4-4-422-8-8
0000000000
2244446688
44888820206464
Hoja1
	X	Y	X+Y	Y+X	X*Y	Y*X	X+Y2	Y2+X	X*Y2	Y2*X
	-4	-4	-8	-8	-8	-8	12	12	-64	-64
	-2	-2	-4	-4	-4	-4	2	2	-8	-8
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	2	2	4	4	4	4	6	6	8	8
	4	4	8	8	8	8	20	20	64	64