Cuadernillo 5 año

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CUADERNILLO DE MATEMÁTICA 
5° AÑO 
 
AÑO 2018 
 
 ESCUELA 4-065 “JOSÉ M. ARGUMEDO” 
 
 
 
CUADERNILLO 5°AÑO | Prof. Scatragli, Celeste y Prof. Morecci, Nery 
2
 EJE I: SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS Y 
TRIGONOMETRÍA EN TRIÁNGULOS 
Definición: Un ángulo AOB, consta de dos rayos 𝑅1 𝑦 𝑅2 con un vértice común O. A menudo se interpreta un 
ángulo como la rotación del rayo 𝑅2 sobre 𝑅1. En este caso, 𝑅1 se llama lado inicial y 𝑅2 se llama el lado terminal 
del ángulo. Si la rotación es en el sentido contrario a las manecillas del reloj, se considera positivo el ángulo, y si 
la rotación es en el sentido de las manecillas del reloj, se considera que el ángulo es negativo. 
 
 
Definición: La medida de un ángulo es la cantidad de rotación respecto al vértice requerida para mover 𝑅2 sobre 
𝑅1. De manera intuitiva, esto es cuánto se “abre” el ángulo. Una unidad de medida para ángulos es el grado. Un 
ángulo de medida 1 se forma al rotar el lado inicial 
1
360
 de una revolución completa. En cálculo y otras ramas de 
las matemáticas, se usa un modo más natural de medir los ángulos, la medida en radianes. La cantidad que se 
abre un ángulo se mide a lo largo del arco de un círculo de radio 1 con su centro en el vértice del ángulo. 
Sistema Sexagesimal: La unidad de medida en este sistema es el grado sexagesimal (1°), que se obtiene al dividir 
a una revolución completa en 360 partes iguales. 
Sitema Circular: La unidad de medida en este sistema es el radián (1 rad), que se obtiene al trazar un circulo de 
radio 1 con el vértice de un ángulo en su centro, entonces la medida de este ángulo en radianes es la longitud de 
arco que subtiene el ángulo. 
 
El circulo tiene un perímetro de 2𝜋 y, por lo tanto, una ángulo de un giro 
completo tiene como medida 2𝜋 𝑟𝑎𝑑, un ángulo llano mide 𝜋 𝑟𝑎𝑑 y por lo tanto 
un ángulo recto mide 
𝜋
2
 𝑟𝑎𝑑. 
 
 
 
 
 
 
 
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3
 Por lo tanto, la equivalencia entre sistemas es: 
Sistema Sexagesimal Sistema Circular 
90° 
𝜋
2
 𝑟𝑎𝑑 
180° 𝜋 𝑟𝑎𝑑 
270° 
3
2
𝜋 𝑟𝑎𝑑 
360° 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 
 
ACTIVIDADES: 
1) Marquen las opciones correctas 
a. ¿Cuál ángulo es equivalente a 
𝜋
3
 𝑟𝑎𝑑? 
⃝ 90° ⃝ 120° ⃝ 60° ⃝ 30° 
 
b. ¿Cuál ángulo es equivalente a 45°? 
⃝ 
𝜋
2
 𝑟𝑎𝑑 ⃝ 
𝜋
4
 𝑟𝑎𝑑 ⃝ 
𝜋
3
 𝑟𝑎𝑑 ⃝ 𝜋 𝑟𝑎𝑑 
 
c. ¿Cuáles ángulos son agudos? 
⃝ 100° ⃝ 
𝜋
8
 𝑟𝑎𝑑 ⃝ 
2
5
𝜋 𝑟𝑎𝑑 ⃝ 10° 
 
2) Calculen en grados sexagesimales 
a. 4𝜋 𝑟𝑎𝑑 = c. 1,5 𝜋 𝑟𝑎𝑑 = e. 2,75 𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 
b. 
𝜋
6
 𝑟𝑎𝑑 = d. 
5
4
𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 
 
3) Expresen los siguientes ángulos en radianes, en función de 𝜋. 
a. 120° = c. 315° = e. 135° = 
b. 225° = d. 100° = f. 330° = 
 
4) Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. Expliquen los casos donde escribieron F. 
a. 90° =
𝜋
2
 𝑟𝑎𝑑 ⃝ 
 
 e. 120° = 𝜋 +
𝜋
2
 𝑟𝑎𝑑 ⃝ 
b. 180° =
𝜋
2
 𝑟𝑎𝑑 ⃝ 
 
 f. 
𝜋
4
 𝑟𝑎𝑑 +
𝜋
6
 𝑟𝑎𝑑 = 75° ⃝ 
c. 4𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 360° ⃝ 
 
 g. 
7
4
𝜋 𝑟𝑎𝑑 − 𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 135° ⃝ 
d. 180 𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 180° ⃝ 
 
 
 
 
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4
 Definición: Se llama Circunferencia Trigonométrica a una circunferencia de radio 1 cuyo centro se encuentra 
ubicado en el origen de coordenadas del plano xy. Sobre esta circunferencia se dibujan los ángulos en posición 
estándar. 
 
Definición: Un ángulo está en posición estandar si se dibuja en el plano xy con su vértice en el origen y su lado 
inicial en el eje x positivo. 
 
¿Cómo graficar ángulos en radianes? 
Ejemplo 1: Graficar sobre la circunferencia trigonométrica el ángulo |�̂�| =
𝜋
4
 𝑟𝑎𝑑 . 
 
Ejemplo 2: Graficar sobre la circunferencia trigonométrica el ángulo |�̂�| =
7
4
𝜋 𝑟𝑎𝑑. 
 
 
 
 
 
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5
 Ejemplo 3: Graficar sobre la circunferencia trigonométrica el ángulo |𝛾| = −
3
5
𝜋 𝑟𝑎𝑑. 
 
ACTIVIDAD: 
Graficar sobre la circunferencia trigonométrica, de la manera más aproximada posible, los siguientes ángulos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 
Definición: Consideremos al ángulo agudo α dibujado en posición estándar en la circunferencia trigonométrica y 
a la recta L, tangente a la circunferencia en el punto (1; 0). 
Sea P el punto de intersección entre el ángulo y la circunferencia y O el punto de intersección entre el ángulo y la 
recta L. 
 
Se define: 
 El coseno de α (cos 𝛼) como la coordenada x del punto P. 
 El seno de α (𝑠𝑒𝑛 𝛼) como la coordenada y del punto P. 
 La tangente de α (tan 𝛼) como la coordenada y del punto O. 
 
Observaciones: 
 El ángulo α se encuentra en el primer cuadrante. 
 Las tres razones trigonométricas toman valores positivos. 
 
 
 
 
Ahora, sea β un ángulo en posición estándar sobre la circunferencia trigonométrica perteneciente al segundo 
cuadrante: 
 
 
 
 
Observaciones: 
 En este caso coseno toma un valor ………….. 
 En este caso seno toma un valor ………….. 
 En este caso tangente toma un valor ………….. 
 
 
 
 
 
 
ACTIVIDAD: 
Analizar con un dibujo, que sucede con las razones trigonométricas si consideramos un ángulo γ en posición 
estándar del tercer cuadrante y δ del cuarto cuadrante. 
 
 
 
 
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 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 
Como el ángulo inscripto en la circunferencia trigonométrica forma un triángulo rectángulo cuando se consideran 
las coordenadas de su intersección, se puede generalizar las razones trigonométricas a cualquier triángulo 
rectángulo. 
Definición: Se llaman razones trigonométricas en un triángulo rectángulo a las que relacionan las longitudes de 
los lados de un triángulo rectángulo con los ángulos agudos del mismo. 
Consideremos a un triángulo rectángulo genérico con un ángulo interno θ. Sus tres lados toman nombres 
específicos que pueden ir variando de acuerdo al ángulo que se considere. 
Se define: 
Coseno de θ → cos 𝜃 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
Seno de θ → 𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
Tangente de θ → tan 𝜃 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒
 
Observación: Las razones trigonométricas dependen únicamente del ángulo agudo interno del triángulo 
rectángulo que se considere, veamos un ejemplo: 
 
Ejemplo 1: Hallar la medida del lado indicado 
 
 
 
 
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 Ejemplo 2: Hallar la medida del ángulo indicado 
 
 
 
APLICACIONES EN SITUACIONES PROBLEMÁTICAS 
Para el análisis de los problemas siguientes se necesita de cierta terminología. 
Definición: Si un observador está mirando un objeto, entonces la línea del ojo del observador al objeto se llama 
línea de visión. Si el objeto que está siendo observado está arriba de la horizontal, entonces el ángulo entre la 
línea de visión y la horizontal se llama ángulo de elevación. Si el objeto está debajo de la horizontal, entonces el 
ángulo entre la línea de visión y la horizontal se llama ángulo de depresión. En mucho de los ejemplos y ejercicios 
de esta unidad, los ángulos de elevación y depresión se dan para un observador hipotético al nivel del suelo. 
 
En el ejemplo siguiente se da una aplicación importante de la trigonometría al problema de medición: se mide la 
altura de un árbol alto sin tener que subirse a él. Aunque el ejemplo es simple, el resultado es fundamental para 
entender cómo se aplican las razones trigonométricas a tales problemas. 
 
 
 
 
 
 
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 Ejemplo 3: Hallar la altura de un árbol 
Una secoya proyecta una sombra de 532 pies de largo. Encuentre la altura del árbol si el ángulo de elevación del 
Sol es 25,7°. 
 
Nota: La unidad de medida pies es usado casi únicamente en los países anglosajones, donde equivale a 30,48 cm. 
 
Ejemplo 4: Un problema relacionado con triángulos rectángulos 
Desde un punto sobre el suelo a 500 pies de la base de un edificio, un observador encuentra que el ángulo de 
elevación hasta la parte superior del edificio es 24° y que el ángulo de elevación a la parte superior de un asta de 
bandera sobre el edificio es 27°. Determine la altura del edificio y la longitud del asta. 
 
 
 
 
ACTIVIDADES: 
 
 
 
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0
 
 
2) Distancia al mar. Desde la parte superior de un faro de 200 pies, el ángulo de depresión respecto a un barco en 
el océano es de 23°. ¿Qué tan lejos está el barco desde la base del faro? 
3) Escalera apoyada. Una escalera de 20 pies se apoya sobre un edificio. Si la base de la escalera está a 6 pies de 
la base del edificio, ¿cuál es el ángulo de elevación de la escalera? ¿Qué altura alcanza la escalera sobre el edificio? 
4) Ángulo del Sol. Un árbol de 96 pies proyecta una sombra de 120 pies de largo. ¿Cuál es el ángulo de elevación 
del Sol? 
5) Altura de una torre. Un cable de sujeción de 600 pies se une a la parte superior de una torre de comunicaciones. 
Si el alambre forma un ángulo de 65° con el suelo, ¿cuál es la altura de la torre de comunicaciones? 
6) Cálculo de una distancia. Un aeroplano vuela a una altura de 5150 pies directamente arriba de una carretera 
recta. Dos automóviles conducen en la carretera en lados opuestos del avión, y el ángulo de depresión respecto a 
un automóvil es 35° y respecto al otro es 52°. ¿Cuál es la distancia que separa a los automóviles? 
7) Elevación de una cometa. Una persona yase sobre la playa, volando una cometa. Mantiene el extremo de la 
cuerda de la cometa al nivel del suelo, y estima que el ángulo de elevación de la cometa es de 50°. Si la cuerda 
mide 450 pies de largo, ¿cuál es la altura de la cometa arriba del nivel del suelo? 
8) Altura de una estatua. Una estatua está colocada sobre una columna de 15 metros. Desde un punto del suelo 
situado en la misma horizontal que el pie de la columna, vemos la columna bajo un ángulo de 15°, y la estatua 
bajo un ángulo de 45° más. ¿Cuál es la altura de la estatua? 
9) Otro problema de cometas. El ángulo de elevación de una cometa es de 30° y la cuerda que lo sujeta tiene una 
longitud de 80 m, el viento tensa la cuerda y la hace chocar con otra cometa que tiene un ángulo de elevación de 
60°. ¿Cuál es la altura que tienen las cometas en ese instante? ¿Y la longitud de la cuerda de la segunda cometa? 
10) Fondo del mar. El sonar de un barco de salvamento localiza los restos de un naufragio en un ángulo de 
depresión de 12°. Un buzo es bajado en línea recta 40 metros hasta el fondo del mar. ¿Cuánto necesita avanzar el 
buzo por el fondo para encontrar los restos del naufragio? 
11) Altura del asta de bandera. Una mujer parada sobre una colina ve un asta de bandera que sabe se encuentra 
a 100 m. El ángulo de depresión respecto de la parte inferior del asta es 14° y el ángulo de elevación respecto de 
la parte superior del asta es de 18°. Encuentre la altura del asta de bandera. 
12) Altura de la torre. Una torre de agua se localiza a 99 m de 
un edificio. Desde una ventana en el edificio, un observador 
nota que el ángulo de elevación de la parte superior de la 
torre es de 39° y que el ángulo de depresión respecto a la 
base de la torre es de 25°. ¿Qué tan alta es la torre? ¿A qué 
altura está la ventana? 
 
 
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1
 TEOREMA DEL SENO Y DEL COSENO 
Hasta el momento se han empleado razones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos. Las funciones 
trigonométricas se pueden usar también para resolver triángulos oblicuos, es decir, triángulos sin ángulos rectos. 
Para hacer esto primero vamos a estudiar el Teorema del Seno para luego comprender el Teorema del Coseno. 
TEOREMA DEL SENO 
El Teorema del Seno dice que en cualquier triángulo las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de 
los ángulos opuestos correspondientes. 
 
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴
=
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐶
 
 
 
 
Ejemplos de Aplicación 
Ejemplo 1: Hallar la medida del lado a 
 
Ejemplo 2: Rastreo de un satélite 
Un satélite que orbita la Tierra pasa directamente arriba de las estaciones de observación en Phoenix y Los 
Ángeles, apartadas 340 millas una de a otra. En un instante cuando el satélite está entre estas dos estaciones, su 
ángulo de elevación es observado de manera simultánea como 60° en Phoenix y 75° en Los Ángeles. ¿Qué tan 
lejos está el satélite de Los Ángeles? 
Ejemplo 3: Hallar la medida del ángulo con vértice en B 
 
 
 
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 TEOREMA DEL COSENO 
El Teorema del Seno no se puede usar de manera directa para resolver triángulos si se conocen dos lados y el 
ángulo entre ellos o si se conocen los tres lados. En estos dos casos, se aplica el Teorema del Coseno. 
En cualquier triángulo ΔABC se tiene 
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐. cos 𝐴 
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐. cos 𝐵 
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏. cos 𝐶 
 
Ejemplos de Aplicación 
Ejemplo 1: Longitud de un túnel 
Se construirá un túnel por una montaña. Para estimar la longitud del túnel, un topógrafo hace las mediciones 
mostradas en la figura. Use los datos del topógrafo para aproximar las longitudes del túnel. 
 
Ejemplo 2: Hallar la medida del ángulo con vértice en C 
 
NAVEGACIÓN: DIRECCIÓN Y RUMBO 
En navegación una dirección con frecuencia se da como un rumbo, es decir, como un ángulo agudo medido a 
partir del Norte o del Sur. El rumbo N 30° E, por ejemplo, indica una dirección que apunta 30° al este del norte. 
Veamos estos otros ejemplos: 
 
 
 
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3
 Ejemplo 3: Navegación 
Un piloto parte de un aeropuerto y se dirige en dirección N 20° E, volando a 200 millas/h. Después de una hora, 
hace una corrección de curso y se dirige en la dirección N 40°E. Media hora después, un problema en el motor lo 
obliga a hacer un aterrizaje de emergencia. Encuentra la distancia entre el aeropuerto y su punto de aterrizaje 
final. 
 
ACTIVIDADES: 
 
 
 
 
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4
 3) Vuelo de un avión. Un piloto vuela sobre una carretera recta. Determina los ángulos de depresión hasta dos 
postes de medición de millaje apartados 5 millas, como 32° y 48°, según se ilustra en la figura. 
a) Encuentra la distancia del avión al punto a. 
b) Encuentra la elevación del avión. 
 
4) Agricultura. Para hallar la distancia a través de un pequeño lago, un agrimensor ha tomado las mediciones 
mostradas. Encuentre la distancia a través de un lago por medio de esta información. 
 
5) Cálculo de una distancia. Dos carreteras rectas divergen en un ángulo de 65°. Dos automóviles salen de la 
intersección a las 2:00 pm, uno viaja a 50 millas/h y otro a 30 millas/h. ¿Qué tan apartados están los dos 
automóviles a las 2:30 pm? 
6) Cálculo de una distancia. Un automóvil viaja a lo largo de una carretera, con rumbo Este durante 1 h, luego 
viaja durante 30 minutos en otra carreta que se dirige al Noreste. Si el automóvil ha mantenido una velocidad 
constante de 40 millas/h, ¿qué tan lejos está de su posición de partida? 
7) La torre inclinada de Pisa. El campanario de la catedral en Pisa, Italia, se inclina 5,6° desde la vertical. Una 
turista se para a 105 m de su base, con la inclinación de la torre directamente hacia ella. Ella mide el ángulo de 
elevación hasta la parte superior de la torre como 29,2°. Encuentre la longitud de la torre hastael metro más 
próximo. 
8) Remolque de una barcaza. Dos remolcadores separados 120 pies jalan una barcaza, según se ilustra. Si la 
longitud de un cable es 212 pies y la longitud del otro es 230 pies, encuentre el ángulo formado por los dos cables. 
 
9) Distancia a través de un río. Para hallar la distancia a través de un río, una topógrafa elige los puntos A y B, que 
están separados 200 pies sobre un lado del río (véase la figura). La topógrafa elige entonces un punto de referencia 
C sobre el lado opuesto del río y encuentra que |𝐵𝐴�̂�| ≈ 82° y |𝐴𝐵�̂�| ≈ 52°. Aproxime la distancia de A a C. 
 
 
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5
 
 
10) Cometas. Un niño vuela dos cometas al mismo tiempo. Tiene 380 pies de línea hasta una cometa y 420 pies 
hasta la otra. El niño estima el ángulo entre las dos líneas como 30°. Aproxime la distancia entre las dos cometas. 
11) Altura de una antena. Una antena de radio de onda corta está apoyada por dos cables cuyas longitudes son 
165 y 180 pies. Cada alambre está fijo a la parte superior de la antena y anclado en el suelo, en dos puntos de 
anclaje en lados opuestos de la antena. El cable más corto forma un ángulo de 67° con el suelo. ¿Qué tan apartados 
están los puntos de anclaje? 
12) Navegación. Un pescador sale de su puerto de origen y se dirige en la dirección N 70° O. Viaja 30 millas y 
llega a Egg Island. El siguiente día navega en dirección N 10° E durante 50 millas y llega a Forrest Island. Encuentre 
la distancia entre el puerto de origen del pescador y Forrest Island. 
 
13) Navegación. El aeropuerto B está a 300 millas del aeropuerto A a un rumbo N 50° E (véase la figura). Un piloto 
que desea volar de A a B vuela erróneamente al Este a 200 millas/h durante 30 minutos, cuando nota su error. 
¿Qué tan lejos está el piloto de su destino al momento de notar su error? 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 EJE II: “SIGNOS EN LOS CUADRANTES, IDENTIDADES 
TRIGONOMÉTRICAS Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS” 
 
ANÁLISIS DE SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN LOS DIFERETES 
CUADRANTES 
Puntos sobre la circunferencia trigonométrica 
Supongamos que t es un ángulo. Recorramos una distancia t a lo largo de la circunferencia trigonométrica, 
empezando en el punto (1;0) y desplazándonos en sentido contrario al de las manecillas del reloj si t es positivo, 
o bien, en el sentido de las manecillas del reloj si t es negativo (véase figura). Así llegamos al punto P(x,y) sobre la 
circunferencia trigonométrica. 
El punto P(x,y) obtenido de esta manera se llama punto sobre la circunferencia determinado por el ángulo t. 
 
 
Demostración: 
 
 
 
 
Todo punto P(x,y) que se encuentra sobre la circunferencia trigonométrica, cumple con la siguiente 
relación: 
𝑥2 + 𝑦2 = 1 
 
 
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 ACTIVIDADES: 
1) Determine cuáles de los siguientes puntos están sobre la circunferencia trigonométrica, cuáles 
pertenecen al círculo unitario y cuáles se hallan fuera de la circunferencia. 
 
 
2) Determine la coordenada faltante de P, si se sabe que P es un punto de la circunferencia trigonométrica 
ubicado en el cuadrante indicado. 
 
 
3) Calcule el punto P(x,y) sobre la circunferencia trigonométrica definido por el valor dado de t. 
 
 
 
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8
 Funciones Trigonométricas 
 
 
Valores de las Funciones Trigonométricas 
Para calcular otros valores de las funciones trigonométricas primero determinaremos los signos. Los signos de las 
funciones trigonométricas dependen del cuadrante en el cual se encuentre el punto determinado por t. Por 
ejemplo, si el punto P(x,y) determinado por t está en el cuadrante III, entonces las coordenadas son negativas y 
los signos de las funciones trigonométricas dependen de esto. 
Haciendo un análisis de todos podemos concluir: 
 
Ejemplo: Si cos 𝑡 < 0 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑡 > 0, entonces el punto determinado por t tiene que estar en el cuadrante II 
 
 
 
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9
 Identidades Fundamentales 
Las funciones trigonométricas se relacionan entre sí mediante ecuaciones llamadas identidades trigonométricas. 
Presentamos las más importantes en el recuadro siguiente: 
 
Demostración: 
(Realizarla en la carpeta) 
 
Ejemplo: Cálculo de todas las funciones trigonométricas a partir del valor de una. 
Si cos 𝑡 =
3
5
 y t está en el cuadrante IV, calcule los valores de las funciones trigonométricas en t. 
 
 
 
 
 
 
ACTIVIDADES: 
1) Determine los valores de las funciones trigonométricas de t a partir de la información proporcionada. 
a) 𝑠𝑒𝑛 𝑡 = 
3
5
 , el punto definido por t está en el cuadrante II 
b) tan 𝑡 = −
3
4
 , cos 𝑡 > 0 
c) sec 𝑡 = 3 , el punto definido por t está en el cuadrante IV 
d) 𝑠𝑒𝑛 𝑡 = −
1
4
 , sec 𝑡 < 0 
 
 
 
 
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2
0
 2) A parir de la información dada encuentre el cuadrante en el cual está el punto determinado por t. 
 
3) Encuentre el signo de la expresión si el punto determinado por t está en el cuadrante indicado. 
 
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 
Una identidad trigonométrica es una ecuación que contiene funciones trigonométricas que se cumplen para todos 
los valores de la variable. Por ejemplo, de acuerdo con las definiciones de seno y coseno se infiere que para 
cualquier x tenemos: 
𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 
Al aplicar las identidades podemos simplificar una expresión complicada que contenga funciones trigonométricas 
a una expresión mucho más simple, con lo que podemos entender mejor lo que significa la expresión. 
Empezamos por listar las identidades triginométricas básicas: 
 
 
 
 
 
 
 
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2
1
 Simplificación de expresiones trigonométricas 
Las identidades permiten plantear la misma expresión de diferentes maneras. Con frecuencia es posible volver a 
escribir de una manera mucho más simple una expresión que se ve complicada. Para simplificar las expresiones 
algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes y las fórmulas de productos especiales. Para 
simplificar expresiones trigonométricas usamos estas mismas técnicas junto con las identidades trigonométricas 
fundamentales. 
 
Ejemplo 1: Desde el primer miembro llegamos al segundo. 
Compruebe la identidad: cos 𝑥 . (sec 𝑥 − cos 𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 2: Desde el segundo miembro llegamos al primero. 
 Verifique la identidad: 2 . tan 𝑥 . sec 𝑥 =
1
1−𝑠𝑒𝑛 𝑥
− 
1
1+𝑠𝑒𝑛 𝑥
 
(Resolver en carpeta) 
 
 
 
 
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2
2
 Ejemplo 3: Demostración llegando a un punto intermedio 
Verificar la identidad: 
cos 𝑥
1−𝑠𝑒𝑛 𝑥
= sec 𝑥 + tan 𝑥 
 
(Resolver en carpeta) 
ACTIVIDADES: 
Verificar las siguientes identidades trigonométricas 
1) 
𝑠𝑒𝑛 𝑥
tan 𝑥
= cos 𝑥 
2) 
𝑐𝑜𝑠𝑥 . 𝑠𝑒𝑐𝑥
tan 𝑥
= cot 𝑥 
3) 
cos 𝑥
sec 𝑥
+
𝑠𝑒𝑛 𝑥
csc 𝑥
= 1 
4) 
sec 𝑥−cos 𝑥
sec 𝑥
= 𝑠𝑒𝑛2𝑥 
5) 
tan 𝑥
csc 𝑥
= sec 𝑥 − cos 𝑥 
6) csc 𝑥 [csc 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 (−𝑥)] = 𝑐𝑜𝑡2𝑥 
7) tan 𝑥 + cot 𝑥 = sec 𝑥 . csc 𝑥 
8) (𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos 𝑥)2 = 1 + 2 𝑠𝑒𝑛𝑥 cos 𝑥 
9) (1 − cos 𝑥) . (1 + cos 𝑥) =
1
𝑐𝑠𝑐2𝑥
 
10) 
1−𝑠𝑒𝑛 𝑥
1+𝑠𝑒𝑛𝑥
= (sec 𝑥 − tan 𝑥)2 
11) 
(𝑠𝑒𝑛 𝑥+cos 𝑥)2
𝑠𝑒𝑛2𝑥−𝑐𝑜𝑠2𝑥
=
𝑠𝑒𝑛2𝑥−𝑐𝑜𝑠2𝑥
(𝑠𝑒𝑛 𝑥−cos 𝑥)2
 
12) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 2 . 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 1 
13) sec 𝑥 . csc 𝑥 . (tan 𝑥 + cot 𝑥) = 𝑠𝑒𝑐2𝑥 + 𝑐𝑠𝑐2𝑥 
14) 
1+𝑠𝑒𝑐2𝑥
1+𝑡𝑎𝑛2𝑥
= 1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 GRAFICAS TRIGONOMÉTRICAS 
La gráfica de una funciónnos proporciona una mejor idea de su comportamiento. De este modo comenzaremos 
graficando las funciones seno, coseno y tangente, y luego analizaremos algunas transformaciones. 
Grafica de la función Seno 
Para ayudarnos a graficar la función seno vamos a ayudarnos con la circunferencia trigonométrica y sus 
particularidades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Grafica de la función Coseno 
Para graficar esta función nuevamente utilizaremos la circunferencia trigonométrica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Grafica de la función Tangente 
Para hacer esta gráfica tenemos que tener en cuenta que el dominio de la función tangente es: 
ℝ − {
𝜋
2
+ 𝑛𝜋 𝑐𝑜𝑛 𝑛 𝜖 ℤ} 
Utilizamos la circunferencia trigonométrica adaptada para la tangente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 TRANSFORMACIONES DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO 
Cambio en la Amplitud 
Definición: Dadas las funciones 𝑦 = 𝑎. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ; 𝑦 = 𝑎. 𝑐𝑜𝑠 𝑥 se llama amplitud al número |𝑎| y es el valor máximo 
que alcanza la función. 
Vemos algunos ejemplos: 
 
Cambio en el Periodo 
Definición: Las funciones completan un periodo cuando comienzan a repetir sus valores en el eje y. Dadas las 
funciones: 𝑦 = 𝑎. 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 ; 𝑦 = 𝑎. 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 con 𝑘 > 0 tienen amplitud |𝑎| y periodo 
2𝜋
𝑘
. 
Veamos algunos ejemplos: 
 
Desplazamiento de fase 
Las gráficas de las funciones de la forma 𝑦 = 𝑎. 𝑠𝑒𝑛 𝑘(𝑥 − 𝑏); 𝑦 = 𝑎. 𝑐𝑜𝑠 𝑘(𝑥 − 𝑏) son simplemente curvas seno 
y coseno desplazadas en el sentido horizontal por una cantidad |𝑏|. Se desplaza a la derecha si 𝑏 > 0, o bien, a la 
izquierda si 𝑏 < 0. El número 𝑏 es el desplazamiento de fase. 
Veamos algunos ejemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
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7
 Ahora resumimos todas las propiedades de estas funciones en el siguiente recuadro: 
 
ACTIVIDADES: 
1) Grafica un periodo de la función 𝑦 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Grafica la función 𝑦 = cos 2𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 3) Grafica la función 𝑦 = cos (𝑥 −
𝜋
4
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Grafica un periodo de las siguientes funciones: 
1) 𝑦 = 5 cos 𝑥 
2) 𝑦 =
1
2
 𝑠𝑒𝑛 4𝑥 
3) 𝑦 = 3 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 −
𝜋
3
) 
4) 𝑦 = cos
1
2
(𝑥 +
𝜋
2
) 
5) 𝑦 = 4 𝑠𝑒𝑛 2 (𝑥 −
𝜋
6
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 EJE III: “FUNCIONES POLINÓMICAS, RACIONALES, 
EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS” 
FUNCIONES POLINOMICAS 
Definición: Una función polinómica de grado n es una función de la forma: 
P(x)=an. xn + an-1 . xn-1 + …..+a1 . x + a0 donde n es un entero no negativo . 
Los números a0,a1,a2,…..,an se llaman coeficientes del polinomio. El número a0 es el coeficiente constante o término 
independiente. El número an, el coeficiente de la mayor potencia, es el coeficiente principal, y el término an xn es 
el término principal. 
Ejemplo: P(x) tiene grado 5, coeficiente principal 3 y término independiente -6. 
P(x)=3x5+6x4-2x3+x2+7x-6. 
Características generales de las funciones polinómicas 
1) El dominio de estas funciones es el conjunto de los números reales (ℝ). 
2) Son siempre continuas. 
3) No tienen asíntotas. 
4) Cortan al eje x, como máximo, un número de veces igual que el grado del polinomio. 
5) Cortan el eje y en el punto (0, a0). 
6) El número de máximos y mínimos relativos es, a lo sumo, igual al grado del polinomio menos uno. 
 
Cuanto mayor sea el grado de un polinomio, más complicada puede ser su gráfica. No obstante, la gráfica de una 
función polinómicas es continua, esto significa que la gráfica no tiene puntos singulares ni huecos. Además, la 
gráfica de una función polinómicas es una curva sin irregularidades; esto es, no tiene esquinas ni puntos agudos 
(cúspides). 
Comportamiento final de un polinomio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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0
 Raíces o Ceros de una Función Polinómica 
Definición: Una raíz o cero de la función es un número 𝑎 ∈ ℝ tal que 𝑓(𝑎) = 0 
En otras palabras, las raíces de la función polinómica P(x) son las soluciones de la ecuación P(x)=0. Observe que si 
P(a)=0, entonces la gráfica de P tiene un punto de intersección con el eje x en x = a, de modo que los puntos de 
intersección con el eje x de la gráfica son las raíces o ceros de la función. 
Ejemplo de gráfico de una función polinómica 
Realizar la gráfica de la función: 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 3𝑥 
 
PASO 1: CEROS 
 
 
 
 
PASO 2: PUNTOS DE PRUEBA 
 
 
 
 
PASO 3: COMPORTAMIENTO EXTREMO 
 
 
 
 
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1
 PASO 4: GRAFICA 
 
 
 
 
 
 
 
Análisis de la Función Polinómica 
Dominio: 
Imagen: 
Raíces: 
Ordenada al origen: 
Conjunto de Positividad: 
Conjunto de Negatividad: 
NOTA: El Conjunto de positividad (𝑪+) está formado por todos los valores del dominio para los cuales la función 
es positiva (la gráfica se encuentra sobre el eje x), y el Conjunto de Negatividad (𝑪−) está formado por todos los 
valores del Dominio para los cuales la función es negativa (la gráfica se encuentra por debajo del eje x) 
ACTIVIDADES: 
1) Grafique y analice las siguientes funciones polinómicas. 
a) P(X) = (x+2).(x -1).(x -3) b) Q(X)= X 3 – 2x2 - 3x 
c) H(x) =x 3 -2x 2 -4x +8 
2) Compare y analice cada gráfica con las ecuaciones dadas, y una con flechas. 
𝑎) 𝑃(𝑥) = 𝑥. (𝑥 + 2) . (𝑥 − 2) 𝑏) 𝑄(𝑥) = −𝑥5 + 5𝑥3 − 4𝑥 𝑐) 𝑇(𝑥) = 𝑥4 + 2𝑥3 
𝑑) 𝑅(𝑥) = −𝑥 . (𝑥 + 2). (𝑥 − 2) 𝑒) 𝑆(𝑥) =
1
2
𝑥4. (𝑥 + 2) . (𝑥 − 2) 
 
 
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2
 
 
 
FUNCIONES RACIONALES 
Definición: Una función racional es una función de la forma R(x)= 
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
 donde P y Q son funciones polinómicas. 
Suponemos que P(x) y Q(x) no tienen factor en común. Aun cuando las funciones racionales se construyen a partir 
de polinomios, sus gráficas tienen un aspecto muy diferente del de las gráficas de funciones polinómicas. 
El dominio de una función racional está formado por todos los números reales excepto aquellos para los cuales el 
denominador es cero. 
Ejemplo: Graficar la función f(x)= 
1
𝑥
 
(Realizar en carpeta) 
 
 
 
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3
 
 
Búsqueda de asíntotas de una Función Racional 
 
Gráfica de Funciones Racionales 
Ejemplo: Graficar la función 𝑓(𝑥) =
3𝑥+5
𝑥+2
 
 
 
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4
 
 
PASO 1: FACTORIZAR 
 
PASO 2: INTERSECCIONES 
 
 
PASO 3: ASÍNTOTAS VERTICALES 
 
PASO 4: ASÍNTOTAS HORIZONTALES 
 
PASO 5: BOSQUEJE LA GRÁFICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5
 Análisis de la Función Racional 
Dominio: 
Raíces: 
Ordenada al origen: 
Conjunto de Positividad: 
Conjunto de Negatividad: 
ACTIVIDADES: 
1) Grafique cada función racional, y exprese el dominio y rango. 
 a) f(x)= 
2
𝑥−3
 b) g(x)= 
2𝑥2−4𝑥+5
𝑥2−2𝑥+1
 c) h(x)= 
3𝑥2−2𝑥−1
2𝑥2+3𝑥−2
 d) i(x)=
2𝑥2+7𝑥−4
𝑥2+𝑥−2
 
 e) j(X)=
5𝑥+21
𝑥2+10𝑥+25
 
2) De las gráficas, determine las intersecciones x e y y las asíntotas verticales y horizontales. 
 
 
 
 
 
FUNCIONES EXPONENCIALES 
Definición: La función exponencial con base a está definida para todos los números reales por f(x)=𝑎𝑥 donde 
 a ˃ 0 y a ≠ 1. 
NOTA: Suponemos que a≠1 porque la función f (x) = 1𝑥 = 1 es precisamente una función constante. 
Ejemplos: 
f(x)=2𝑥 (Base 2) g(x)= 3𝑥 (Base 3) h(x)= 10𝑥 (Base 10) 
Observación: Sea f(x)= 2𝑥 una función exponencial con base 2. Observe con la rapidez que aumentan los valores 
de esta función 
f(2)= 22 = 4 f(10)= 210 = 1.024 f(30)= 230= 1.073.741.824 
El punto es que cuando la variable está en el exponente, incluso un pequeño cambio en la variable puede causar 
un cambio muy grande en el valor de la función. 
 
 
 
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 Gráfico de Funciones Exponenciales 
Realiza la tabla de valores y luego el grafico de 𝑓(𝑥) = 2𝑥 
 
 
 
 
 
 
Grafica de la Función Exponencial 
 
• El dominio es ℝ y la imagen es ℝ+ 
• Es continua en todo el dominio 
• Si a>1 la función es creciente en todo su dominio 
• Si 0<a<1 la función es decreciente 
• Corta al eje y en el punto (0,1) 
• El eje x es una asíntota horizontal 
 
 
 
 
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 ACTIVIDADES: 
1) Realice el gráfico de las siguientes funciones. 
a) f(x)= 3𝑥 b) g(x)= 
1
3
𝑥
 c) h(x)= 5𝑥 d) i(X) =10𝑥 e) j(x)= 
1
2
𝑥
 
2) Use la gráfica f(x) =2𝑥 para trazar las siguientes graficas y analice (dominio, imagen, asíntota, ordenada al 
origen, crecimiento y decreciemiento) 
a) g(x)= 1 + 2𝑥 b) h(x)= −2𝑥 c) k(x)= 2𝑥−1 
Para obtener la gráfica de g(x)= 1 + 2𝑥 , empezamos con la gráfica de f(x)= 2𝑥 y la desplazamos 1 unidad hacia 
arriba. Observe de la figura que la recta y = 1 es ahora una asíntota horizontal, (b) De nuevo empezamos con la 
gráfica de f(x)= 2𝑥, pero aquí reflejamos en el eje x para obtener la gráfica de h= −2𝑥 , (c) Esta vez empezamos 
con la gráfica de f(x)= 2𝑥 y la desplazamos a la derecha 1 unidad para obtener la gráfica de k(x)= 2𝑥−1 . 
3) Encuentre la función exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 cuya gráfica se muestra. 
 
FUNCIÓN LOGARÍTMICA 
Definición: Sea a un número positivo con a ≠ 1. La función logarítmica con base a, denotada por log 𝑎 está 
definida por: 
log𝑎 𝑥 = y ↔ 𝑎
𝑦 = x 
Por lo tanto, log𝑎 𝑥, es el exponente al cual la base (a) debe ser elevado para obtener x. 
NOTA: Cuando usamos la definición de logaritmos para pasar entre la forma logarítmica log𝑎 𝑥=y y la forma 
exponencial 𝑎𝑦=x es útil observar que, en ambas formas, la base es la misma: 
Forma logarítmica log𝑎 𝑥 = y a es la base e y exponente 
Forma exponencial 𝑎𝑦= x a es la base e y exponente 
 
Graficas de funciones logarítmicas 
Antes de comenzar a graficar, recordemos que, 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 al ser una función logarítmica no está definida para 
argumentos negativos, por lo tanto, 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = (0; ∞] 
 Además, desde la definición, la función logarítmica está ligada a la función exponencial. Para observar mejor su 
relación, resolvamos la siguiente actividad: 
 
 
 
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 Ejemplo: Utilizando tabla de valores, grafique la función 𝑓(𝑥) = log2 𝑥. En los mismos ejes coordenados grafique 
𝑔(𝑥) = 2𝑥. 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusiones a partir de la actividad: 
Análisis de Función Logarítmica Análisis de Función Exponencial 
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = 
𝐼𝑚(𝑓) = 𝐼𝑚(𝑔) = 
𝑅𝑎í𝑧: 𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛: 
𝐴𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙: 𝐴𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 𝐻𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙: 
 
La Figura muestra el caso a > 1. El hecho de que y =𝑎𝑥 (para a > 1) sea una función muy rápidamente creciente 
para x > 0 implica que y = log𝑎 𝑥 es una función muy rápidamente creciente para x > 1. 
 
ACTIVIDADES: 
1) Dada las siguientes funciones represente todas en los mismos ejes coordenados. (Utilice diferentes colores para 
diferenciar las funciones) 
a) f(x)= log2 𝑥 b) g(X)= log1/2 𝑥 c) h(x)= log 𝑥 
 
 
 
 
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 Ejemplo: Grafique la función y = log 10 ( x – 1) + 2. 
Comience con la gráfica logarítmica básica y = log𝑎 𝑥 . Luego cambie la gráfica 1 unidad a la derecha y 2 unidades 
hacia arriba. 
La función logarítmica, y =log𝑎 𝑥 , puede ser cambiada en k unidades verticalmente y h unidades horizontalmente 
con la ecuación y = log𝑎(𝑥 + ℎ) + 𝑘 
 
 
Cambio Vertical 
Si k > 0, la gráfica se desplazaría k unidades hacia arriba. Si k < 0, la gráfica se desplazaría k unidades hacia abajo. 
Cambio Horizontal 
Si h > 0, la gráfica se desplazaría h unidades a la izquierda .Si h < 0, la gráfica se desplazaría h unidades a la derecha. 
ACTIVIDADES: 
1) Dada las siguientes funciones, estudie todas sus características e indique sus asíntotas. Represente. 
a) F(x)= log2 𝑥 b) G(X)= log1/2 𝑥 c) h(x)= log 𝑥 d) 2+ log2(𝑥 − 3) 
e) J(x)= -3 + log1/2(𝑥 + 2) 
2) Encuentre la función del tipo 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 cuya gráfica se da.