Cuadernillo 3

Vista previa del material en texto

1 
El conjunto de los números reales ( ℝ ) 
Todo número que puede ser expresado como cociente de dos números enteros a y b, siendo b≠0, 
y que satisfacen la ecuación b.x=a es un NÚMERO RACIONAL. los números racionales admiten 
representaciones 
 fraccionaria 
𝑎
𝑏
 ;
7
9
 ; −
3
4
 ; etc 
y expresión decimal exacta. 3,25 ; 0,00000004 ; etc 
 Periódicas Puras 3, 35̂ ; 0, 9̂ ; 𝑒𝑡𝑐 
 Mixtas 3,06735̂ ; 0, 45619̂ ; 𝑒𝑡𝑐 
Existen otros números que no pueden ser expresados como cocientes de dos enteros por ejemplo: 
√2, las expresiones decimales infinitas no periódicas, π, e. A estos números los llamamos irracionales. 
¿Cómo podemos representar tales 
números en la recta numérica? 
Supongamos que tenemos un triángulo 
isósceles rectángulo, cuyos catetos 
iguales valen 1. Entonces la hipotenusa 
será:______________ 
Coloquemos este triángulo en la recta 
numérica, como se muestra en la figura, y 
haciendo centro en el origen llevemos la 
longitud de la hipotenusa hacia la recta 
numérica. Queda demostrado así que hay un 
punto de dicha recta numérica que es un número irracional 
El conjunto de los números reales se forma mediante la unión del conjunto de los números 
racionales y el conjunto de los números irracionales.ℛ = ℚ ∪ I 
Propiedades del conjunto ℝ 
1. ℝ es un conjunto infinito 
2. ℝ no tiene ni primer ni último elemento. 
3. Es un conjunto totalmente ordenado: dados dos números reales distintos, siempre 
se puede establecer entre ellos una relación de menor o mayor. 
4. Ley de Tricotomía a < b ; a = b ó a > b Dado cualquier par de números reales a y 
b, se verifica necesariamente una y solamente una de ellas 
5. Los números reales completan la recta numérica. Es decir, a todo número real le 
corresponde un punto sobre la recta y a todo punto sobre la recta le corresponde un 
número real. 
6. Entre dos números reales existen infinitos números reales, es decir, ℝ es un conjunto 
denso. Como además completa la recta, decimos que ℝ es denso y continuo. 
 
 
 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PARA RESOLVER ………..TRABAJO PRÁCTICO N°1 
Radicación, operaciones con radicales 
R
ec
o
rd
a
m
o
s 
 
Definición: Radical es toda expresión de la forma √ 𝑎
𝑛
 
donde 𝑎 es el radicando y 𝑛 es el índice de la raiz, 
siendo 
√ 𝑎
𝑛
= 𝑏 ⟺ 𝑏𝑛 = 𝑎 
Ejemplos: √ 32
5
= 2 ⟺ 25 = 32 
√ 343
3
= 7 ⟺ 73 = 343 
√64 = 8 ⟺ 82 = 64 
P
ro
p
ie
d
a
d
es
: 
Simplificación: Si el exponente del radical y el índice tienen un divisor común 
√𝒂𝒎
𝒏
= √𝒂𝒎:𝒑
𝒏:𝒑
 𝒔𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒑 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒐𝒓 𝒄𝒐𝒎ú𝒏 𝒅𝒆 𝒏 𝒚 𝒎 
Ejemplo: √𝑎6 = √𝑎6:2
2:2
= 𝑎3 
Ampliación: Si multiplicamos el índice por un entero positivo, también se multiplica el exponente del 
radicando 
√𝒂𝒎
𝒏
= √𝒂𝒎𝒑
𝒏𝒑
 𝒔𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒑 𝒖𝒏 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓𝒐 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐 
Ejemplo: √𝒂𝟐
𝟓
= √𝒂𝟐.𝟑.
𝟓.𝟑
= √𝒂𝟔
𝟏𝟓
 
Extracción de Factores del radical: Cuando el exponente del radicando es mayor al índice de la raíz, 
factorizamos los coeficientes para expresarlos como potencia y luego aplicamos propiedades de la 
multiplicación 
Ejemplo: √81𝑎16𝑏5
3
= √34𝑎15𝑎 𝑏3𝑏2
3
= √33
3
√𝑎15
3
√𝑏3 
3
√3𝑎𝑏2
3
= √33
3
√𝑎155
3
√𝑏3 
3
√𝑎𝑏2
3
= 𝟑𝒂𝟓𝒃√𝒂𝒃𝟐
𝟑
 
Operaciones: 
Suma: Sólo se pueden sumar radicales semejantes, 
tienen el mismo índice y el mismo radicando, 
extrayendo como factor común dicho radical 
𝒃 √ 𝒂
𝒏 + 𝒄 √ 𝒂
𝒏 = (𝒃 + 𝒄) √ 𝒂
𝒏
 
Ejemplos: 3√5 + 6√5 = (3 + 6)√5 = 𝟗√𝟓 
4√4
3
− 7√4
3
= (4 − 7)√4
3
= −𝟑√𝟒
𝟑
 
Multiplicación: 
 Si los radicales tienen el mismo índice 
 √𝒂
𝒏 . √𝒃
𝒏
= √𝒂. 𝒃
𝒏
 
Ejemplo: √4
5
. √8
5
= √4.8
5
= √32
5
= 2 
 Si los radicales tienen distinto índice, buscamos 
un índice común, hallando mcm 
Ejemplo: √𝑎
3
. √𝑏
4
= √𝒂𝟒. 𝒃𝟑
𝟏𝟐
 
√𝑥2𝑦1. √𝑥1𝑦3
5
= √𝑥2.5𝑦1.5. 𝑥1.2𝑦3.2
10
 
= √𝑥10+2𝑦5+6
10
= √𝒙𝟏𝟐𝒚𝟏𝟏
𝟏𝟎
 
Resumiendo: 
 los naturales permiten contar, 
 los enteros incorporan la negatividad de ciertas situaciones como deudas o temperaturas bajo cero, 
 los racionales posibilitan la dividir en partes un entero 
 y los irracionales como pi o √2 completan la recta numérica 
 
 
 
3 
División: 
 Si los radicales tienen el mismo índice 
√𝒂
𝒏 : √𝒃
𝒏
= √𝒂: 𝒃
𝒏
 
Ejemplo: √4
5
: √8
5
= √4: 8
5
= √
𝟏
𝟐
𝟓
 
 Si los radicales tienen distinto índice, buscamos 
un índice común, hallando mcm 
Ejemplo: √𝑎
3
: √𝑏
4
= √𝒂𝟒: 𝒃𝟑
𝟏𝟐
= √
𝒂𝟒
𝒃𝟑
𝟏𝟐
 
√𝑥2𝑦1: √𝑥1𝑦3
5
= √𝑥2.5𝑦1.5: 𝑥1.2𝑦3.2
10
 
= √𝑥10−2𝑦5−6
10
= √𝒙𝟖𝒚−𝟏
𝟏𝟎
= √
𝒙𝟖
𝒚
𝟏𝟎
 
Potenciación 
( √𝒂
𝒏
)
𝒎
= √𝒂𝒎
𝒏
 
Ejemplo: (√5
4
)
3
= √53
4
= √𝟏𝟐𝟓
𝟒
 
(√2
4
)
4
= √24
4
= √16
4
=2 
Raiz de Raiz: ( Radicación) 
√ √𝒂
𝒎𝒏
= √𝒂
𝒏.𝒎
 
Ejemplo: √√3
3
= √3
6
 
 
Racionalización 
de denominador: 
Si en una expresión 
fraccionaria en su 
denominador aparece 
un radical, debemos 
hallar una expresión 
semejante pero en la 
cual en su 
denominador ya no 
aparece el radical. 
Se pueden presentar 
tres tipos de 
expresiones: 
 
a) El denominador es un una raíz cuadrada, se multiplica y se divide la expresión 
por la raíz dada: 
𝒂
√𝒃
=
𝒂
√𝒃
.
√𝒃
√𝒃
=
𝒂√𝒃
√𝒃𝟐
=
𝒂√𝒃
𝒃
 
Ejemplo: 
2𝑥
√2
=
2𝑥
√2
 .
√2
√2
=
2𝑥√2
√4
=
2𝑥√2
2
= 𝒙√𝟐 
b) En el denominador aparece una raíz cuyo índice es mayor a dos, se multiplica y se 
divide por una raíz de igual índice pero el exponente de su radicando se calcula 
haciendo la resta entre el índice y el exponente: 
𝑎
√𝑏𝑚
𝑛 =
𝑎
√𝑏𝑚
𝑛 .
𝑎
√𝑏𝑚
𝑛 
Ejemplo 
√32
5
+2
√32
5 =
√33
5
+2
√32
5 .
√33
5
√33
5 =
( √32
5
+2). √33
5
√3233
5 =
√3233
5
+2 √33
5
√35
5 =
3+2 √33
5
3
= 𝟏 +
𝟐
𝟑
√𝟑𝟑
𝟓
 
c) el denominador es un binomio en el cual aparece una raíz cuadrada en sus 
términos, se multiplica y se divide por el binomio recíproco para poder aplicar 
diferencia de cuadrados: 
 
𝒂
𝒄+√𝒃
=
𝒂
𝒄+√𝒃
.
𝒄−√𝒃
𝒄−√𝒃
=
𝒂(𝒄−√𝒃)
𝒄𝟐−√𝒃𝟐
=
𝒂𝒄−𝒂√𝒃
𝒄𝟐−𝒃
 
 
𝒂
𝒄−√𝒃
=
𝒂
𝒄−√𝒃
.
𝒄+√𝒃
𝒄+√𝒃
=
𝒂(𝒄+√𝒃)
𝒄𝟐−√𝒃𝟐
=
𝒂𝒄+𝒂√𝒃
𝒄𝟐−𝒃
 
Ejemplos: 
2
3−√3
=
2
3−√3
.
3+√3
3+√3
=
2(3+√3)
32−√32
=
6+2√3
9−3
=
6+2√3
6
= 𝟏 +
𝟏
𝟑
√𝟑 
PARA RESOLVER ………..TRABAJO PRÁCTICO N°2 
Intervalos – Módulo – Ecuaciones e Inecuaciones con Módulo 
Intervalos: Es un subconjunto de números reales. Su representación gráfica es un segmento de la recta real. 
Se clasifican en los siguientes tipos dependiendo si comprenden o no a los extremos. (𝑎 𝑦 𝑏 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠) 
Abiertos 
(𝑎, 𝑏) = {𝑥 𝑟𝑒𝑎𝑙 /𝑎 < 𝑥 < 𝑏} 
 
Cerrados 
[𝑎, 𝑏] = {𝑥 𝑟𝑒𝑎𝑙 /𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} 
 
Semiabierto o Semicerrado 
[𝑎, 𝑏) = {𝑥 𝑟𝑒𝑎𝑙 /𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏} 
 
(𝑎, 𝑏] = {𝑥 𝑟𝑒𝑎𝑙 /𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏} 
 
Infinitos 
 
 
 
4 
[𝑎, ∞) = {𝑥 𝑟𝑒𝑎𝑙 /𝑥 ≥ 𝑎} (𝑎, ∞) = {𝑥 𝑟𝑒𝑎𝑙 /𝑥 > 𝑎} 
(−∞; 𝑎] = {𝑥 𝑟𝑒𝑎𝑙 /𝑥 ≤ 𝑎} (−∞; 𝑎) = {𝑥 𝑟𝑒𝑎𝑙 /𝑥 < 𝑎} 
Ejemplos: Completar el siguiente cuadro 
Intervalo Desigualdad Representación Gráfica 
(−3; 4) −3 < 𝑥 < 4 
 
 4 ≤ 𝑥 < 7 
 
 
[−5; 2) 
 
Módulo o Valor Absoluto: Se define como la distancia de un número real al cero. |𝑎| = {
𝑎 𝑠𝑖 𝑎 ≥ 0
−𝑎 𝑠𝑖 𝑎 < 0
} 
Ejemplos |5| = 5 |−7| = 7 
 |𝑥| = 4 → 
𝑥 = 4
𝑥 = −4
 
Propiedades: 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑎 𝑠𝑒𝑎𝑛 𝑎 𝑦 𝑥 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 
a) El módulo siempre es positivo. → |𝑥| ≥ 0 
b) El módulo de un número y el de su opuesto son iguales → |𝑥| = |−𝑥| 
c) El módulo de un producto es el producto de los módulos → |𝑎𝑥| = |𝑎|. |𝑥| 
d) Desigualdad triangular:El módulo de una suma es menor o igual a la suma de los módulos →
|𝑥 + 𝑎| ≤ |𝑥| + |𝑎| 
Ecuaciones con Módulo 
Es una igualdad en la que en uno o en ambos miembros figura la incógnita afectada por un módulo. Este tipo de 
ecuaciones tienen dos soluciones. Para resolverla se procede algebraicamente en ambos miembros hasta obtener 
una igualdad entre un módulo y un valor numérico. 
Ejemplos: 
 |𝑥 − 3| = 6 {
𝑥 − 3 = 6 → 𝑥 = 6 + 3 → 𝑥 = 9
𝑥 − 3 = −6 → 𝑥 = −6 + 3 → 𝑥 = −3
} 
𝑠𝑢 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝑺 = {𝟗; −𝟑} 
 3|𝑥 + 3| − 15 = |𝑥 + 3| − 5 
3|𝑥 + 3| − |𝑥 + 3| = 15 − 5 
2|𝑥 + 3| = 10 → |𝑥 + 3| =
10
2
 → |𝑥 + 3| = 5 
|𝑥 + 3| = 5 {
𝑥 + 3 = 5 → 𝑥 = 5 − 3 → 𝑥 = 2
𝑥 + 3 = −5 → 𝑥 = −5 − 3 → 𝑥 = −8
} 
𝑠𝑢 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝑺 = {𝟐; −𝟖} 
Inecuaciones con Módulo 
 
 
 
5 
Al igual que las ecuaciones con módulos son desigualdades en la que en uno o en ambos miembros figura la 
incógnita afectada por un módulo. Tienen infinitas soluciones que se expresan a través de intervalos. 
Para resolverla se procede algebraicamente en ambos miembros hasta obtener una desigualdad entre un módulo y 
un valor numérico. 
Ejemplos: 
 ⌈𝑥 − 2⌉ < 5 → {
𝑥 − 2 < 5 → 𝑥 < 5 + 2 → 𝑥 < 7
𝑥 − 2 > −5 → 𝑥 > −5 + 2 → 𝑥 > −3
} 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 − 3 < 𝑥 < 7 
𝑠𝑢 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝑺 = (−𝟑; 𝟕) 
su representación gráfica: 
 
 ⌈𝑥 − 2⌉ ≥ 5 → {
𝑥 − 2 ≥ 5 → 𝑥 ≥ 5 + 2 → 𝑥 ≥ 7
𝑥 − 2 ≤ −5 → 𝑥 ≤ −5 + 2 → 𝑥 ≤ −3
} 
𝑠𝑢 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑢𝑛𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜𝑠 𝑺 = (−∞; −𝟑] ∪ [𝟕; ∞) 
Su representación gráfica: 
 
 3|𝑥 − 4| − 20 > |𝑥 − 4| − 2 
3|𝑥 − 4| − |𝑥 − 4| > 20 − 2 
2|𝑥 − 4| > 18 
|𝑥 − 4| >
18
2
→ |𝑥 − 4| > 9 {
𝑥 − 4 > 9 → 𝑥 > 9 + 4 → 𝑥 > 13
𝑥 − 4 < −9 → 𝑥 < −9 + 4 → 𝑥 < −5
} 𝑺 = (−∞; −𝟓) ∪ (𝟏𝟑; ∞) 
 
PARA RESOLVER TRABAJO PRÁCTICO N°3 
 
 
 
 
6 
TRABAJO PRÁCTICO N°1 
1) Escribe V (verdadero) o F (falso) según corresponda en cada caso. Justifica tu respuesta. 
a) –3 es un número natural 
b) Todo número natural es entero. 
c) Todo número entero es natural. 
d) Los múltiplos de 11 son números enteros. 
e) El inverso multiplicativo de todo número entero distinto de cero es un número entero. 
f) Los números pares son racionales 
g) Los números impares son irracionales. 
h) La raíz cuadrada de cinco es un número racional. 
i) √2 es un número irracional. 
j) A todo punto sobre la recta le corresponde un número racional. 
k) A todo número irracional le corresponde un punto sobre la recta. 
2) Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales 
a) √6 
b) −
1
7
 
c) 
√4
3
 
d) e 
e) - 𝜋 
f) 7 
g) 
√3
3
 
h) -5 
i) √13 
j) 0 
k) 
4
5
 
l) 12 
 
TRABAJO PRÁCTICO N°2 
Resolver aplicando propiedades 
a) 
 
b) 
c) 
 
d) 
 
e) = f) 
 
g) 
 
h) 
 
Considerando los siguientes irracionales: 
𝑎 = √2 𝑏 = √2 + 3 𝑐 = 1 − √2 
Analizar la validez de las siguientes 
afirmaciones 
a) 𝑎 + 𝑐 es un número irracional 
b) 2𝑏 es un número real 
c) 𝑎 − 𝑐 es un número racional 
d) 𝑎2 es un número irracional 
Considera los siguientes irracionales: 
𝑚 = 2 − 3√5 𝑦 𝑝 = 2 + 3√5 
Calcula las siguientes operaciones: 
a) 𝑚 + 𝑝 
 b) 𝑝 − 𝑚 
c)𝑚2 
d)𝑝2 − 𝑚2 
Racionalizar las siguientes expresiones: 
a) 
1
√8
= b) 
2√x4y5
√32 x3y
= c) 
2
3√2y
= d) 
y√x
√y2
3 = e) 
y
√y7
6 = f) 
a−1
1−√a
= 
 
TRABAJO PRÁCTICO N°3 
 
 
 
7 
1- 
Representar 
gráficamente 
los 
siguientes 
intervalos 
a) (-1;1) 
b) [-8; 
6)∪[9; 
+∞) 
c) (-3; +∞) 
d) (-∞; 
4)∪[7; 
+∞) 
a) 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
2- Expresar como desigualdad y como intervalo y representar gráficamente 
a) 𝑥 𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 − 5 
b) 3 𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥 
c) 𝑥 𝑒𝑠𝑡á 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 − 5 𝑦 1 
d) 𝑥 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 − 2 𝑦 0, 𝑦 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑎 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 
3- Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar cada respuesta 
a) Todo número entero es racional. 
b) Hay números irracionales que son enteros. 
c) Todo número irracional es real. 
d) Algunos números enteros son naturales. 
e) Hay números racionales que no pueden ser expresados como fracción 
f) Todos los números racionales se pueden expresar en forma decimal 
g) Entre dos números enteros siempre hay otro entero 
h) Entre dos números racionales hay infinitos números irracionales. 
i) Los números racionales completan la recta numérica 
j) Los números irracionales completan la recta númérica 
4- Resolver: 
a) |𝑥 − 2| = 10 
b) 3|𝑥 + 2| − 3 =
2|𝑥 + 2| + 15 
c) |2𝑥 − 1| + 5 =
|6𝑥 − 3| − 17 
d) 4|𝑥 − 2| − 7 = |𝑥 −
2| + 8 
e) |𝑥| = 3|𝑥| − 15 
f) |14𝑥| − 5 = |−8𝑥| + 15 
g) |𝑥 − 2| + 3 < 10 
h) |
3
5
+
6
5
𝑥| ≥
4
5
 
i) |𝑥| ≥ −|2𝑥| + 15 
j) |3𝑥 + 1| + |9𝑥 + 3| < 16 
k) 2|𝑥 − 3| − 6 ≤ |𝑥 − 3| + 9 
l) |3𝑥| + 7 > |−2𝑥| + 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
FUNCIÓN AFIN 
Llamamos función afín a la función polinómica de grado uno que tiene la siguiente ecuación 
explicita: 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 (𝑎 y 𝑏 son números reales tales que 𝑎 ≠ 0) 
Es importante tener en cuenta que esta función está definida de la siguiente manera: 𝑓: ℝ → ℝ 
Esto quiere decir que la función afín tiene como Dominio y Codominio a todos los números 
reales, es decir: 
 
𝐷𝑜𝑚𝑓 = ℝ y 𝐶𝑜𝑑𝑓 = ℝ 
El coeficiente principal (𝒂) y el término independiente (𝒃) de esta función reciben el nombre de 
pendiente y ordenada al origen respectivamente. 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 Ordenada al origen 
 Pendiente 
Representación grafica 
 La representación gráfica de esa función es siempre una recta. 
 
 Si en particular, la recta pasa por el origen de coordenadas, es decir por el punto (0,0) del plano, la 
función recibe el nombre de “función lineal”. Esto sucede cuando 𝒃 = 0, es decir cuando la 
ecuación explicita tiene es de la siguiente forma: 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 
 
 
 
 
 
 
 Como toda función, podemos representarla utilizando la “tabla de valores” (xIy), pero cuando 
tenemos la ecuación explicita de una función afín, también podemos representarla utilizando 𝒂 y 𝒃 
, teniendo en cuenta las siguientes características de cada uno de ellos: 
 
 La pendiente (𝒂) de una recta es el cociente entre la variación de la variable "𝑦" 
(∆𝑦) y la variación de la variable "𝑥" (∆𝑥): 
𝒂 =
∆𝑦
∆𝑥
 
 
 La ordenada al origen (𝒃) es el valor donde la recta intersecta al eje "𝑦" 
Por lo tanto, conociendo 𝒂 y 𝒃 procedemos de la siguiente manera: 
 
 
1º) Marcamos el punto 𝒃 sobre el eje "𝑦", ya tenemos uno de los puntos por donde pasará la 
recta. 
 
 
 
9 
2º) Para buscar otro punto, “partimos” desde 𝒃 teniendo en cuenta: 
 
𝒂 =
∆𝑦
∆𝑥
 
 
 
 
 
 
3º) Luego de ambos “movimientos” ya podemos marcar un segundo punto por el que pasa 
la recta, al unir estos puntos, tenemos la representación gráfica buscada. 
 
Ejemplos: 
a) 𝑦 =
1
3
𝑥 + 2 b) 𝑦 = −2𝑥 − 1 c) 𝑦 = 𝑥 − 3 
𝒂 =
1
3
 𝒃 = 2 𝒂 = −2 𝒃 = −1 𝒂 = 1 𝒃 = −3 
 
 
 
 
 
 
𝑦 =d) 
 f) 𝑦 =
1
2
𝑥 −𝑥 − 1 e) 𝑦 = 2 
𝒂 = −1 𝒃 = −1 𝒂 = 0 𝒃 = 2 𝒂 =
1
2
 𝒃 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
l observar estos ejemplos podemos sacar una importante conclusión: 
“El valor de la pendiente (𝒂) determina que una función afín sea creciente, constante o 
decreciente.” 
 
 Si 𝒂 > 0 la función es creciente. 
 Si 𝒂 = 𝟎 la función es constante. 
 Si 𝒂 < 0 la función es decreciente. 
 
Movimiento 
Vertical 
Movimiento 
Horizontal 
 
 
 
1
0 
IMPORTANTE: 
Cuando queremos graficar cualquier tipo de función, podemos buscar las intersecciones de las 
gráficas con cada uno de los ejes del plano de coordenadas,teniendo en cuenta lo siguiente: 
 Intersección con eje “x” (raíces de la función): Esto es buscar el punto perteneciente a la función, 
cuya valor en “y” sea 0 (cero), por lo tanto reemplazamos en la ecuación de la función 𝒚 = 𝟎 
En particular si la ecuación de la función es: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
 0 = 𝑎𝑥 + 𝑏 de donde despejamos “x” 
 
 Intersección con eje “y” (ordenada al origen de la función): Esto es buscar el punto perteneciente 
a la función, cuya valor en “x” sea 0 (cero), por lo tanto reemplazamos en la ecuación de la 
función 𝒙 = 𝟎 
En particular si la ecuación de la función es: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
 𝑦 = 𝑎. 0 + 𝑏 
 𝑦 = 𝑏 Podemos ver que 
coincide con 
 el término independiente. 
 
Perpendicularidad y paralelismo 
 Dos rectas son paralelas (//) si y solo si sus pendientes son iguales. 
Supongamos que tenemos dos rectas: 
𝑀: 𝑦 = 𝑎1𝑥 + 𝑏1 y 𝑃: 𝑦 = 𝑎2𝑥 + 𝑏2 M//P si y solo si 𝑎1 = 𝑎2 
 
Ejemplo: 
𝑀: 𝑦 =
1
2
𝑥 + 3 y 𝑃: 𝑦 =
1
2
𝑥 − 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Dos rectas son perpendiculares (⊥) si y solo si sus pendientes son inversas y opuestas. 
Supongamos que tenemos dos rectas: 
𝑆: 𝑦 = 𝑎1𝑥 + 𝑏1 y 𝑁: 𝑦 = 𝑎2𝑥 + 𝑏2 S ⊥ N si y solo si 𝑎1 = −
1
𝑎2
 
 
 
 
 
1
1 
Ejemplo: 
𝑀: 𝑦 =
2
3
𝑥 + 1 y 𝑃: 𝑦 = −
3
2
𝑥 + 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fórmulas para hallar la ecuación explicita de una recta 
 
 Conociendo la pendiente y un punto por el que pasa: 
 
Ejemplo: 
Hallar la ecuación de la recta que tiene como pendiente 2 y pasa por el punto (1,3) 
a=2, 𝑥1 = 1 , 𝑦1 = 3 
𝑦 − 𝑦1 = 𝑎 (𝑥 − 𝑥1) 
𝑦 − 3 = 2 (𝑥 − 1) 
𝑦 − 3 = 2𝑥 − 2 
𝑦 = 2𝑥 − 2 + 3 
 
 
 Conociendo dos puntos por los que pasa: 
 
Ejemplo: 
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2,1) y (5,3) 
𝑥1 = 2 , 𝑦1 = 1 , 𝑥2 = 5 , 𝑦2 = 3 
𝑦 − 𝑦1
𝑦2 − 𝑦1
=
𝑥 − 𝑥1
𝑥2 − 𝑥1
 
𝑦 − 1
3 − 1
=
𝑥 − 2
5 − 2
 
 
𝑦 − 1
2
=
𝑥 − 2
3
 
𝑦 − 𝑦1 = 𝑎 (𝑥 − 𝑥1) 
 
𝑦 − 𝑦1
𝑦2 − 𝑦1
=
𝑥 − 𝑥1
𝑥2 − 𝑥1
 
 
𝑦 = 2𝑥 + 1 
 
 
 
 
1
2 
 
3(𝑦 − 1) = 2(𝑥 − 2) 
 
3𝑦 − 3 = 2𝑥 − 4 
 
3𝑦 = 2𝑥 − 4 + 3 
 
3𝑦 = 2𝑥 − 1 
 
𝑦 =
2𝑥 − 1
3
 
 
 
TRABAJO PRÁCTICO 
 
1) Representa graficamente las siguientes funciones afÍn. 
a) 𝑦 =
1
2
𝑥 b) 𝑦 =
2
3
𝑥 − 1 c) 𝑦 = −𝑥 + 2 d) 𝑦 = −
1
4
𝑥 + 3 
2) En cada una de las siguientes gráficas, identifica a y b y luego escribe la ecuación explicita de 
la recta. 
a) b) c) 
 
 
 
 
 
: 
3) Realizar los calculos necesarios para hallar la ecuacion explicita de cada recta y luego 
graficarlas. 
a) Una recta que pase por el punto (2,1) y sea paralela a la recta 𝑦 = 5𝑥 + 1 
b) Una recta que pase por el punto (-1,3) y sea perpendicular a la recta 𝑦 = −2𝑥 + 4 
c) Una recta que pase por los puntos (-2,3) y (0,-1) 
d) Una recta que pase por los puntos (-1,4) y (3,1) 
 
4) Representa graficamente las siguientes funciones afÍn. 
a) 𝑦 = 2𝑥 − 1 b) 𝑦 = −
3
4
𝑥 − 1 c) 𝑦 = −𝑥 − 2 d) 6𝑥 + 2𝑦 = −2 
e) 𝑦 = 2𝑥 + 3 e) 3𝑦 = −𝑥 + 6 f) 𝑦 = −𝑥 + 2 g) 𝑥 − 𝑦 = 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
3 
5) En cada una de las siguientes gráficas, identifica a y b y luego escribe la ecuación explicita de 
la recta. 
 a) b) c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
6) Realizar los calculos necesarios para hallar la ecuacion explicita de cada recta y luego 
graficarlas. 
a) Una recta que pase por el punto (-3,2) y sea paralela a la recta 𝑦 =
1
3
𝑥 + 1 
b) Una recta que pase por el punto (-2,-1) y sea perpendicular a la recta 𝑦 = 2𝑥 − 3 
c) Una recta que pase por los puntos (-2,-1) y (1,5) 
d) Una recta que pase por los puntos (5,3) y (-2,-4) 
e) Una recta que pase por el punto (1,3) y sea paralela a la recta 𝑦 = 2𝑥 + 7 
f) Una recta que pase por el punto (3,0) y sea perpendicular a la recta 𝑦 =
1
2
𝑥 +
1
2
 
 
Función Cuadrática 
Desde un barco que se halla en una situación de emergencia se efectúa un disparo, en forma 
vertical, con una pistola de señales. El destello podrá verse desde la base naval más cercana 
únicamente mientras se encuentre a una altura no menor de 195 m sobre el nivel del mar. 
Los técnicos que integran la tripulación estiman que la altura del destello está dada por la 
siguiente fórmula: h (t) = 80 t – 5 t2 donde h es la altura sobre el nivel mar, en metros, 
cuando hayan transcurrido t segundos desde el momento del disparo. 
 
1) Completa la tabla y realiza 
un gráfico cartesiano: 
 
Tiempo 
(segundos) 
Altura 
(metros) 
0 
2 
4 
8 
12 
14 
16 
 
 
 
 
 
 
1
4 
 
El destello estará en el aire por …………….. segundos 
Alcanzará una altura máxima de ………….. m a los …………………. segundos 
La curva trazada se llama …………………………….……….. y corresponde a la 
representación gráfica de una función …………………………………..… 
Los elementos principales que tiene toda representación gráfica de este tipo son: 
 
EJE DE SIMETRÍA: 
………………………………………………………………………………………… 
VÉRTICE: 
………………………………………………………………………………………… 
RAÍCES: 
………………………………………………………………………………………… 
ORDENADA AL ORIGEN: 
………………………………………………………………………………………… 
 
Llamamos función cuadrática a toda función de la forma f(x) = ax2 + bx + c , donde los 
coeficientes a, b y c son números reales cualesquiera siendo a distinto de cero. Consideraremos 
que su dominio y codominio es lR. La representación gráfica de una función cuadrática es una 
curva llamada parábola. 
DEFINICIÓN SIMBÓLICA: f: lR lR / f(x) = ax2 + bx + c ; a, b, c Є lR a = 0 
Ejemplo: Identifica cuáles de las siguientes fórmulas corresponden a funciones cuadráticas 
y para ellas indica el valor de a, b y c. 
 
y = 4x2 – 5 +0,5x f(x) = 8 – x2 g(x) = 5x3 -3x2 +6 Y = 5x + 9 
 
 
h(x) = 2. (x-1) .(x+2) 
 
 
 
 
t(x) = (x-5)2 
m(x) = -3x. (x +
1
4
 ) 
 
 
s(x) = -4 + (x-1).x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
5 
ACTIVIDAD: Señala cuáles de las siguientes fórmulas corresponden a funciones 
cuadráticas, y en ellas indica los valores de los coeficientes a, b y c. 
a) f(x)=2.x – 1 b) m(x) = x2 + x 
 
 
 
c) g(x) = x2 -1 d) q(x) = (x + 3)2 
 
 
 
 
e) y = x3 + x2 
 
 
 
 
 
 
 
f)s(x)=-12.x+12-
3x2 
 
 
 
 
g) y=(x– 1).(x+3) 
 
 
 
 
h) t(x)=2.x+x2+2 
 
La representación gráfica de toda función cuadrática recibe el nombre de “parábola”. 
Toda parábola tiene dos ramas simétricas respecto a una recta llamada “eje de simetría”. 
Se llama “vértice” de la parábola al único punto de intersección entre la parábola y el eje 
de simetría. El vértice “v” es el punto de coordenadas: v = ( xv ; yv ) 
Para determinar las coordenadas del vértice utilizaremos las siguientes fórmulas: 
 
 
 Vértice: 
 
 
 yv = f(xv) se reemplaza la variable de la fórmula por el valor 
 
encontrado xv 
 
 Ordenada al origen: es la ordenada del punto de intersección de la parábola con el eje 
de ordenadas (y). El valor de la ordenada al origen de una función cuadrática está dado 
por el término independiente de la misma. 
 La ecuación del eje de simetría es: 
 
 ó 
 x1 y x2 son las raíces 
 Raíces: Las raíces correspondientes a una función cuadrática pueden ser raíces reales 
distintas, raíces complejas o bien raíces reales iguales. 
 
xv = 
−𝒃
𝟐𝒂
 
𝒙 =
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐
𝟐
 𝒙 = 
−𝒃
𝟐𝒂
 
 
 
 
1
6 
Para calcular el valor numérico de “x” (raíces) que anula o hace cero el valor de la función 
utilizaremos la “fórmula resolvente”:La expresión b2 – 4.a.c recibe el nombre de “discriminante” de la función cuadrática. El 
análisis del mismo permite determinar la naturaleza de las raíces. 
 Δ = b2 – 4ac (discriminante) 
Si: Δ > 0 (positivo) tendrá dos raíces reales distintas 
 Δ = 0 tendrá raíces reales iguales 
 Δ < 0 (negativo) tendrá dos raíces imaginarias 
Representación gráfica de una función cuadrática. 
x1, x2 = 
−𝒃 ± √𝒃𝟐− 𝟒.𝒂.𝒄
𝟐.𝒂
 
 
 
 
1
7 
EJEMPLOS: Calcular los elementos y graficar las funciones cuadráticas cuyas fórmulas 
son: 
1) 5
2
7
2
1
)( 24  xxxf 3) y = 9x
2 + 6x + 1 5) y = x2 – 4.x + 5 
2) g(x) = 2x2 -4x – 6 4) h(x) = x2 – 2x + 1 
 
Luego indica para cada gráfico, dominio, imagen, raíces, ordenada al origen, intervalos de 
positividad y negatividad, intervalos de crecimiento y decrecimiento. 
 
TRABAJO PRÁCTICO 
1) Grafica las siguientes funciones cuadráticas, calculando previamente sus elementos. 
Luego, determina intervalos de crecimiento y de decrecimiento, intervalos de positividad y 
negatividad, conjunto dominio e imagen, eje de simetría. 
 q(x) = x2 + 6.x + 9 g(x) = x2 + x k(x) = x2 – 9 
 f(x) = - x2 - 2.x + 3 m(x) = - 
1
2
 x2 
2) Completa el siguiente cuadro realizando todos los cálculos en el cuaderno, luego grafica 
cada función en distintos sistemas cartesianos: 
 Fórmula de la 
función 
cuadrática. 
Coeficientes Vértice Raíces Eje de 
simetría 
Ordenada 
al origen 
 a b c 
A y = x2 – 5.x + 6 
B -4 4 -1 
C y = x2 -2.x -8 
F 1 0 -4 
 
3) Completa el siguiente cuadro realizando todos los cálculos en tu cuaderno: 
Fórmula de la 
función 
cuadrática. 
Coeficientes Vértice Raíces Eje de 
simetría 
Ordenada al 
origen 
a b c 
y = −
1
2
x2 -2x 
 3 -12 12 
 1 -4 7 
 
 
 
 
 
 
 
1
8 
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS- 
FUNCIÓN Y ECUACIÓN CUADRÁTICA 
1- Los ingresos mensuales de un fabricante de zapatos están dados por la función 
f(z)= 1000z – 2 z2 ; donde z es la cantidad de pares de zapatos que fabrica en el mes. 
 ¿Qué cantidad de pares de zapatos debe fabricar mensualmente para obtener el mayor ingreso? 
 ¿Cuáles son los ingresos si se fabrican 125 pares de zapatos? ¿Y 375 pares? 
 ¿A partir de que cantidad de pares comienza a tener pérdidas? 
 
2- En una isla se introdujeron 112 iguanas. Al principio se reprodujeron rápidamente, pero los recursos 
de la isla empezaron a escasear y la población decreció. El nº de iguanas a los t años de haberlas dejado 
en la isla está dado por la función 
 I(t) = -t2 + 22 t + 112 ( con t > 0 ) 
 Calcula la cantidad de años en los cuales la población de iguanas aumentó. 
 ¿Cuántos años transcurrieron para que la población de iguanas sea máxima? 
 ¿En qué momento la población de iguanas se extingue? 
 Realiza una representación gráfica de la situación. 
 
3- Se lanza una pelota hacia arriba desde el suelo y la altura alcanzada está dada en función del tiempo 
por la siguiente fórmula: h(t) = 20 t - 5 t2 
 ¿Cuál es la altura máxima alcanzada? 
 ¿Después de cuánto tiempo la pelota cae al piso? 
 Realiza una gráfica. 
 ¿Cómo quedaría la función si se la pelota se lanzara desde una altura de 25 m?. Realiza la gráfica. 
 
4- Una fábrica de bombas de agua tiene ingresos mensuales dados por la función: 
f(b) = 801 b – 3/2 b2 ; donde b es la cantidad de bombas de agua fabricadas por mes. 
 ¿Qué cantidad de bombas de agua se deben fabricar mensualmente para obtener la máxima ganancia? 
 ¿Cuántas bombas deben fabricar para que la ganancia sea cero? 
 ¿A partir de que cantidad de bombas fabricadas la empresa tiene pérdidas? 
 ¿En qué intervalo natural debe oscilar el nº de bombas fabricadas para que las ganancias sean 
crecientes? 
 Representa gráficamente la situación y explica que significado tienen los ceros de la función y las 
coordenadas del vértice 
 
 
 
1
9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5- Desde un tejado situado a 80 metros de altura, se lanza una bola verticalmente hacia arriba con una 
velocidad inicial de 20 m/s. La altura, y, de la bola sobre el nivel del suelo viene dada por: y =-5x2+20x 
+80; donde x es el número de segundos que han transcurrido desde el instante que se lanzó la bola. 
 
 ¿Qué altura alcanza la bola para x = 0, x = 2 y x = 5? 
 ¿Cuándo alcanzará el punto más alto? ¿A qué altura está ese punto? 
 Haz una representación gráfica que se aproxime a esta situación. 
 
6- Supongamos que un jugador de fútbol patea un tiro libre de modo tal que la trayectoria de la pelota, 
mientras se encuentra en el aire , es la parábola correspondiente a la función 
y =-0,05x2+0,7x ; donde y es la altura en metros de la pelota cuando ésta se encuentra a x metros 
de distancia horizontal desde el en el que fue lanzada. 
 ¿Cuál será el alcance del tiro libre.? 
 ¿Cuál es la máxima altura alcanzada por la pelota? 
 
7- La siguiente fórmula determina la cantidad de pacientes que ingresan en un hospital después de x días 
del 1° de julio en que empieza una epidemia de gripe: 
 
 Representa gráficamente la fórmula hallando analíticamente las raíces y el vértice. 
 ¿Cuál es el día en que ingresan más pacientes? 
 ¿Cuál es la cantidad máxima de pacientes que ingresaron durante la epidemia? 
 ¿Cuánto duró la epidemia? 
 
 
31953005)( 2  xxxP
 
 
 
2
0 
Vectores 
 
 
Un vector fijo es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B 
(extremo). 
Elementos de un vector 
1 Dirección de un vector: La dirección del vector es la dirección de la recta que 
contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella. 
2 Sentido de un vector: El sentido del vector es el que va desde el origen 
A al extremo B. 
3 Módulo de un vector: 
 
El módulo del vector es la longitud del segmento AB, se representa por . 
El módulo de un vector es un número siempre positivo o cero. 
 
 
3.1. Módulo de un vector a partir de sus componentes: 
 
 
 
2
1 
 
 
 
3.2. Módulo a partir de las coordenadas de los puntos: 
 
 
 
4 Coordenadas de un vector: 
 
Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son: 
 
Las coordenadas del vector son las coordenadas del extremo menos las 
coordenadas del origen. 
 
 
 
 
2
2 
 
Clases de vectores 
1 Vectores equipolentes: 
 
Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido. 
2 Vectores libres: 
 
El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Cada vector 
fijo es un representante del vector libre. 
3 Vectores fijos: 
 
 
 
 
2
3 
Un vector fijo es un representante del vector libre. Es decir, los vectores fijos tienen el 
mismo módulo, dirección, sentido y origen. 
4 Vectores ligados: 
 
Los vectores ligados son vectores equipolentes que actúan en la misma recta. Es decir, 
los vectores fijos tienen el mismo módulo, dirección, sentido y se encuentran en la 
misma recta. 
5 Vectores opuestos: 
 
Los vectores opuestos tienen el mismo módulo, dirección, y distinto sentido. 
 
 
6 Vectores unitarios: 
 
Los vectores untario tienen de módulo, la unidad. 
 
 
 
2
4 
Para obtener un vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado 
se divide éste por su módulo. 
 
7 Vectores concurrentes: 
 
Los vectores concurrentes tienen el mismo origen. 
8 Vectores de posición: 
 
El vector que une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector de 
posición del punto P. 
9 Vectores linealmente dependientes: 
 
 
 
 
2
5 
Varios vectores libres del plano son linealmente dependientes si existe 
una combinación lineal de ellos que sea igual al vector cero, sin que sean cero todos 
los coeficientesde la combinación lineal. 
 
10 Vectores linealmente independientes: 
 
Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos se puede 
expresar como combinación lineal de los otros. 
 
a1 = a2 = ··· = an = 0 
 
 
 
11 Vectores ortogonales: 
 
Dos vectores son ortogonales o perpendiculares si su producto escalar es cero. 
 
 
 
2
6 
 
12 Vectores ortonormales: 
 
Dos vectores son ortonormales si: 
1. Su producto escalar es cero. 
2. Los dos vectores son unitarios. 
 
Ejercitación 
Escribe las componentes de cada vector: 
1A = (2, 1), B = (3, 5) 
, 
2C = (3, 7), D = (4, 5) 
, 
3A = (2, 8), B = (6, 0) 
; , 
4B = (−2, 1), C = (8, 1) 
, 
 
 
 
2
7 
5P = (0, 3), Q = (3, 1) 
, 
6A = (5, 9), B = (1, 4) 
, 
Completa las coordenadas de los siguientes puntos usando los 
datos proporcionados: 
7A = (5, 9), = (2, 7) 
B = , 
8B = (0, 7), = (3, 1) 
A = , 
9A = (2, −4), = (3, 5) 
B = , 
10B = (7, −3), = (−2, −5) 
A = , 
Elige la opción correcta (Módulo): 
1 
 5 −5 
2 
 
 
 
2
8 
 12 13 
3Dados los puntos A = (−3, 0) y B = (1, 2) 
 20 
4Dados los puntos A = (−3, 5) y B = (7, 5) 
 10 −10 
 
10 
 a = 2 a = −2 
 Las dos respuestas anteriores son correctas 
11 
 a = −3, a = 7 a = 3, a = 7 a = 3, a = −7 
12 
 a = 1, a = 11 a = 1, a = −11 a = −1, a = 11 
 
 
Suma de vectores 
 
Para sumar dos vectores libres y se escogen como representantes dos vectores 
tales que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector. 
 
 
 
2
9 
 
Regla del paralelogramo 
Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas 
paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma 
de los vectores. 
Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes. 
 
 
Resta de vectores 
 
Para restar dos vectores libres y se suma con el opuesto de . 
Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores. 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
3
0 
 
 
 
Producto de vectores 
El producto de un número k por un vector es otro vector: 
1 De igual dirección que el vector . 
2 Del mismo sentido que el vector si k es positivo. 
3 De sentido contrario del vector si k es negativo. 
4 De módulo 
 
Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes 
del vector. 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
3
1 
 
Ejercitación 
Escribe las componentes de cada vector: 
1 (5, 8), (2, 3) 
, 
2 (3, −5), (1, −1) 
, 
3 (−2, 5), (0, −3) 
, 
4 (8, 2), (10, 1) 
, 
Completa las coordenadas de los siguientes puntos usando los 
datos proporcionados: 
5 (1, 5), (4, 7) 
, 
6 (3, −5), (1, −8) 
 
 
 
3
2 
, 
7 (−1, 9), (4, −6) 
, 
8 (4, −2), (1, 7) 
, 
13 , 
14 , 
15 , 
16 ,