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Se denominan expresiones algebraicas, a la vinculación de constantes y variables 
mediante un número finito de operaciones conocidas (suma, resta, multiplicación, 
división, potenciación y radicación). 
Las expresiones algebraicas se clasifican en: 
a) Expresiones algebraicas racionales: las variables están ligadas por las 
operaciones de suma, resta, multiplicación, potencias de exponente entero y 
división. 
Las expresiones algebraicas racionales pueden subdividirse a su vez en: 
i) Expresiones algebraicas enteras o polinómicas: son aquellas en las 
cuales solo intervienen las siguientes operaciones: suma, resta, 
multiplicación y potencias de exponente natural. 
Ej. 623 2 −+ xx 
 
ii) Expresiones algebraicas no enteras: además de las operaciones de las 
expresiones algebraicas enteras, alguna de las variables puede tener 
exponente negativo o formar parte del divisor. 
Ej. 1 22 582 −−+− xxx Ej. 2 
2
132 2
−
+−
x
xx
 
b) Expresiones algebraicas irracionales: además de las operaciones de las 
expresiones algebraicas racionales, alguna de las variables se encuentra bajo 
el signo radical o lo que es equivalente alguna variable con exponente 
fraccionario. 
Ej. xxx 323 3
1
−− 
 
 A diferencia de las descriptas, las expresiones del tipo ex; sen x ; log x , no son 
algebraicas; las denominamos expresiones trascendentes 
 
EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES ENTERAS O 
POLINOMIOS: 
Ejemplos. 
 
Cada uno de los términos de un polinomio tiene una constante que se denomina 
coeficiente(si es el número 1 se omite)y una parte variable que se denomina parte 
literal. Cuando la variable está elevada a la potencia cero, el término 
correspondiente es una constante y se denomina término independiente. 
 
Según el número de términos que los componen, los polinomios de uno, dos, tres y 
cuatro términos se denominan monomios, binomios, trinomios y cuatrinomios 
respectivamente; cuando el número de términos supera a cuatro se habla de un 
UNIDAD Nº 2 
Expresiones algebraicas: definición y clasificación. Expresiones 
algebraicas racionales enteras Operaciones: adición, sustracción, 
multiplicación, división, potenciación. Factorización de polinomios. 
Mínimo común múltiplo y máximo común divisor. Raíces de un 
polinomio. Teorema fundamental del álgebra. Ecuaciones racionales. 
 20 
polinomios de n términos (ej si tiene 8 lo denominamos polinomio de ocho 
términos). 
 
Términos semejantes de un polinomio 
Dos términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal. 
 Ej. ( )
2
, 2xyP yx = ( )
2
, 5xyQ yx −= 
 
Grado de un polinomio 
Sea el polinomio ( ) xyyxxyP yx −+=
322
, 32 
En el primer término hay 3 variables, en el segundo término cinco variables, y en 
el tercer término hay dos variables, como el mayor grado es cinco, decimos que 
el grado del polinomio es cinco. 
 
Polinomio nulo 
Tiene todos sus coeficientes nulos y en consecuencia carece de grado. 
 
Polinomios en una variable 
De aquí en adelante trabajaremos con polinomios de una sola variable, un 
polinomio de este tipo se expresa: 
( ) 0
1
1
2
2
2
2
1
1 ......... axaxaxaxaxaP
n
n
n
n
n
nx ++++++=
−
−
−
− 
Con las siguientes condiciones: 
a) El coeficiente principal an es distinto de cero. Si an es igual a 1 el 
polinomio se denomina reducido, normal o mónico. 
b) Todos los coeficientes son números reales. 
c) Los exponentes son números naturales incluido el cero. 
 
Polinomio completo 
Un polinomio de grado n está completo si en él figuran todos los términos de grado 
menor que n. 
Ej. Polinomio completo: 2635 23 +−− xxx 
 Polinomio incompleto: 523 35 −− xx 
Para completar un polinomio se agregan todos los monomios que faltan con 
coeficientes cero. 
 Polinomio completo: 500203 2345 −++−+ xxxxx 
 
Operaciones entre polinomios de una variable 
Suma y resta de polinomios 
Para sumar polinomios, se agrupan los monomios que son del mismo grado. 
Ej. ( ) ( ) 384734358 23323 +++−=+++++− xxxxxxxx 
 
Para restar dos polinomios, al primero de ellos se le resta el opuesto del otro. 
Ej. ( ) ( ) ( ) ( ) 32493435834358 23323323 ++−−=−−−+++−=++−++− xxxxxxxxxxxxx 
 
Multiplicación de polinomios 
Para multiplicar dos monomios multiplicamos sus coeficientes y aplicamos las 
propiedades de la potenciación para obtener el grado. 
Ej. ( ) ( ) 1725 1243 xxx = 
 
Para multiplicar dos polinomios aplicamos la propiedad distributiva. 
Ej. 
( ) ( ) xxxxxxxxxxxxxxx 9272024329121520243234358 23452234523 +++−−=++++−−=+++−
 
 21 
Casos particulares: 
a) Cuadrado de un binomio: 
( ) ( ) ( ) 222 2 bababababa ++=++=+ 
( ) ( ) ( ) 222 2 bababababa +−=−−=− 
b) Cubo de un binomio: 
( ) ( ) ( ) ( ) 32233 33 babbaababababa +++=+++=+ 
( ) ( ) ( ) ( ) 32233 33 babbaababababa −+−=−−−=− 
c) Suma por diferencia de binomio 
( ) ( ) 22 bababa −=−+ 
 
División de polinomios 
Dados los polinomios ( ) xxxP x 1372
43 −++= y ( ) xQ x 23+−= 
Si queremos dividir ( ) ( )xQxP  , se procede de la siguiente manera 
a) Se ordenan ambos polinomios en potencias decrecientes de x 
( ) 7132
34 +−+= xxxP x y ( ) 32 −= xQ x 
b) Se completa el polinomio dividendo 
( ) 71302
234 +−++= xxxxP x 
c) Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor 
obteniéndose así el primer término del cociente. 
 71302 234 +−++ xxxx 32 −x 
 3x 
d) Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y se resta del 
dividendo, obteniéndose un nuevo dividendo. 
 71302 234 +−++ xxxx 32 −x 
 34 32 xx +− 3x 
 71304 23 +−+ xxx 
e) Se reitera el procedimiento explicado en c) y d) hasta que el resto sea un 
polinomio de grado menor que el divisor, o bien un polinomio nulo. 
 
 71302 234 +−++ xxxx 32 −x 
 34 32 xx +− 232 23 −++ xxx 
 71304 23 +−+ xxx 
 23 64 xx +− 
 7136 2 +− xx 
 xx 96 2 +− 
 74 +− x 
 64 −− x 
 1 
En el cociente entre dos polinomios ( ) ( )xyQxP , siendo se verifica ( )xQ distinto del 
polinomio nulo, existen dos polinomio ( ) ( )xyRxC , donde ( )xC es el cociente y ( )xR 
el resto, se verifica: 
 ( ) ( ) ( ) ( )xxxx RCQP += 
En nuestro ejemplo sería: 
71302 234 +−++ xxxx =( 32 −x )( 232 23 −++ xxx )+1 
 
 
 
 
REGLA DE RUFFINI 
La regla de Ruffini es un método abreviado de efectuar la división de polinomios, 
que se puede usar cuando el divisor de de la forma (x – a) siendo a un número real. 
 22 
El mecanismo del cálculo es el siguiente: 
Si dividimos los polinomios: 
( ) 123
23 +−−= xxxP x y ( ) 2−= xQ x 
a) Escribimos en una fila (previo completarlo y ordenarlo) los coeficientes del 
polinomio dividendo. 
 1 -3 -2 1 
 
b) Conformamos el diagrama siguiente colocando en la posición que se indica 
el opuesto del término independiente del polinomio divisor. 
 1 -3 -2 1 
 2 
 
c) Debajo de la línea horizontal y a la derecha de la vertical, encolumnados con 
los coeficientes de P(x) escribimos los coeficientes del cociente C(x) el primero 
de los cuales coincide con el primero de P(x). 
 1 -3 -2 12 
 1 
 
d)El segundo coeficiente de C(x) se calcula, multiplicando el primero obtenido 
por el término independiente del divisor cambiado de signo, colocando este 
producto en la segunda fila bajo el segundo coeficiente de P(x) y sumándolo 
luego en la tercera fila. 
 1 -3 -2 1 
 2 2 
 1 -1 
 
e)Reiterando la operatoria explicada se realiza el cálculo de los siguientes 
coeficientes de C(x); el último número que se obtiene es el resto. 
 
 1 -3 -2 1 
 2 2 -2 8 
 1 -1 -4 -7 resto 
 
El cociente es un polinomio de un grado menor que el dividendo y el resto es una 
constante o bien el polinomio nulo. Resulta entonces, para nuestro caso: 
( ) 4
2 −−= xxC x R= -7 
Debe verificarse: 
123 23 +−− xxx =( 2−x )( 42 −− xx ) – 7 
 
Valor de un polinomio para x = a. Raíz de un polinomio 
Llamamos valor de un polinomio para x = a y lo escribimos P(a), al número que 
resulta al reemplazar a la variable del polinomio por el número a y resolver todas 
las operaciones indicadas. 
Si P(a) es cero, decimos que a es raíz de P(x). 
 
 
Ej.1- ( ) 523
2 −+= xxP x Ej. 2- ( ) 523
2 −+= xxP x 
 ( ) ( ) ( ) 51213
2
1 −−+−=−P ( ) 51213
2
1 −+=P 
 ( ) 41 −=−P ( ) = 01P 1 es raíz de P(x) 
 
 23 
Teorema del resto: 
“El resto de la división de un polinomio por otra de la forma x – a, es igual al valor 
que toma el polinomio dividendo para x igual a a, o sea, el resto es P(a). 
Para demostrar el teorema, recordaremos: 
 ( ) ( ) ( ) ( )xxxx RCQP += 
Siendo ( ) axQ x −= reemplazando 
 ( ) ( ) ( ) RCaxP xx +−= 
Y haciendo P(a) 
 ( ) ( ) ( ) +−= RCaaP aa ( ) RPa = 
El teorema del resto es muy útil porque nos permite calcular el resto sin hacer la 
división y, en particular, anticipar si una división es exacta. 
 
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 
Polinomio primo 
Es el polinomio de grado no nulo que no puede descomponerse como producto de 
otros polinomios de grado menor. 
Un polinomio que no es primo, es compuesto. 
 
Se llama factorización de polinomios al proceso de transformar un polinomio en 
un producto de otros polinomios, del menor grado posible. 
 
Para factorizar polinomios se aplican diversos recursos algebraicos, algunos de los 
cuales veremos a continuación. 
 
Factor común: 
Conviene aplicarlo cuando la variable x figura en todos los términos de P(x). 
Observen como extraemos la variable x como factor común: la extraemos elevada a 
la menor de sus potencias, también se puede extraer un número que es factor en 
todos los coeficientes. Después dividimos cada término del polinomio por el factor 
común. 
Ej.1 ( ) ( )15757 23345 ++=++= xxxxxxP x 
Ej.2 ( ) ( )232462 22234 +−=+−= xxxxxxP x 
 
Diferencia de cuadrados: 
Cuando se nos presenta la resta de dos términos y cada uno de ellos está elevado a 
una potencia par.El polinomio tiene la forma: 22 ba − 
Estos polinomios tienen la ventaja de expresarse como producto de la suma de las 
bases a y b por la diferencia de las bases a y b, es decir: 
 ( )( )bababa −+=− 22 
Ej. 1 ( )( )2242 −+=− xxx 
Ej. 2 ( ) ( )( )66636 222224 −+=−=− xxxx 
 
Trinomio cuadrado perfecto: 
Llamamos trinomio cuadrado perfecto a un polinomio de tres términos que 
proviene de haber desarrollado el cuadrado de un binomio. 
Reconocemos que un trinomio es cuadrado perfecto cuado tiene esta forma: 
 22 2 bbaa ++ 
Y lo factorizamos expresándolo como el cuadrado del binomio del cual proviene. 
 ( )222 2 babbaa +=++ 
Ej. 1 ( )2222 55522510 +=++=++ xxxxx 
Ej. 2 ( ) ( ) ( ) ( )23232336 333296 −=−+−+=+− xxxxx 
 24 
 
A continuación estudiaremos como pueden factorizarse polinomios a través de sus 
raíces reales. 
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA 
 
 
 
Consecuencias del teorema fundamental del álgebra: 
a) Un polinomio de grado n tiene como máximo n raíces reales. 
b) Las raíces no reales siempre se presentan en pareja, por eso, un polinomio de 
grado impar tiene por lo menos una raíz real. 
 
Cálculo de raíces de un polinomio 
Recordamos que un número a es raíz de un polinomio, si el polinomio se anula para 
ese valor, o sea, P(a)=0 
1- Cálculo de la raíz de un polinomio de grado 1 
a
b
xbaxbax −=−==+ 0 
Ej. Hallar la raíz del polinomio ( ) 43 −= xP x 
3
4
43043 ===− xxx 
2- Cálculo de las raíces de un polinomio de grado 2 
Sus raíces x1 y x2 se obtienen igualando a cero el polinomio de forma 
02 =++ cbxax y aplicando la fórmula resolvente 
a
cabb
x

−−
=
2
42
2,1 
Ej. 1 Dado el polinomio ( ) 86
2 −+= xxP x hallar sus raíces. 
Igualamos a cero el polinomio 0862 =−+ xx y aplicamos la fórmula resolvente: 
8
6
1
−=
=
=
c
b
a
 reemplazamos en la fórmula 
( )
2
2
26
2
46
12
81466
1
2
2,1 −=
−
=
−
=

−−−
= xx y 42 −=x 
Las raíces del polinomios son -2 y -4. Estas raíces se denominan raíces simples. 
Ej.2 Dado el polinomio ( ) 96
2 +−= xxPx hallar sus raíces. 
 
Igualamos a cero el polinomio 0962 =+xx y aplicamos la fórmula 
resolvente: 
9
6
1
=
−=
=
c
b
a
 reemplazamos en la fórmula 
3
2
06
2
06
12
91466
21
2
2,1 ==

=

=

−
= xxx 
La raíz del polinomio es 3 y es una raíz doble. 
 
Ej.3 Dado el polinomio ( ) 862
2 +−= xxP x hallar sus raíces. 
Igualamos a cero el polinomio 0862 2 =+− xx y aplicamos la fórmula resolvente: 
8
6
2
=
−=
=
c
b
a
 reemplazamos en la fórmula 

−
=
−
=

−
=
4
286
4
64366
22
82466 2
2,1x no tiene raíces reales 
Un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces reales e imaginarias 
 25 
 
3- Cálculo de las raíces del polinomio de la forma: ( ) bxaP
n
x += 
a y b son números reales distintos de cero; sus raíces se obtienen despejando x de la 
ecuación : 0=+ bxa n . 
Si P(x) es de grado impar, tiene una sola raíz real, y si es de grado par, tiene dos, 
que son opuestas, o no tiene ninguna 





− 0
a
b
si . 
Ej. 1 Hallar las raíces del polinomio ( ) 22
7 −= xP x 
Igualamos a cero al polinomio 11
2
2
22022 7777 =====− xxxxx 
La raíz del polinomio es 1 y es simple. 
Ej. 1 Hallar las raíces del polinomio ( ) 22
7 −= xP x 
Igualamos a cero al polinomio 11
2
2
22022 7777 =====− xxxxx 
La raíz del polinomio es 1 y es simple. 
 
Raíces de un polinomio con coeficientes enteros. Teorema de Gauss 
Teorema de Gauss 
 
 
 
En consecuencia: 
 Para hallar las raíces de un polinomio se siguen los siguientes pasos. 
1- Hallar los divisores p del término independiente y los divisores q del 
coeficiente principal. 
2- Formar con ellos fracciones irreducibles 
q
p
 , que son las posibles raíces. 
3- Especializar el polinomio en estas fracciones para comprobar si alguna es 
raíz o no. 
Ej. Dado el polinomio ( ) 132
23 −+= xxP x , hallar sus raíces. 
1- Hallamos los divisores de -1 y de 2 
-1/ 1 
 2/ 2,1 
2- Formamos las fracciones irreducibles. 
1 , 
2
1
 
3- Hallamos ( )1P , ( )1−P , 






2
1
P , 






−
2
1
P 
( ) ( ) ( ) 411312
23
1 =−+=P 1no es raíz 
( ) ( ) ( ) 011312
23
1 =−−+−=−P -1 es raíz 
01
2
1
3
2
1
2
23
2
1
=−





+





=






P 
2
1
es raíz 
2
1
1
2
1
3
2
1
2
23
2
1
−=−





−+





−=






−
P 
2
1
− no es raízLas raíces del polinomio son -1 que es doble y 
2
1
 que es simple. 
 
Cuando una fracción irreducible 
q
p
es raíz de un polinomio con coeficientes 
enteros, p divide al coeficiente independiente y q divide al coeficiente principal 
de dicho polinomio. Si el polinomio es mónico sus posibles raíces son los 
divisores del término independiente. 
 26 
 
Factorización de polinomios 
Un polinomio queda factorizado mediante sus raíces de la siguiente forma: 
( ) ( ) ( ) ( )nnx xxxxxxaP −−−= .........21 
an es el coeficiente principal 
x1, x2, ……, xn son las raíces reales de P(x) 
Ej. El polinomio ( ) 132
23 −+= xxP x queda factorizado de la siguiente forma: 
( )( ) ( ) 





−+=





−++=−+
2
1
12
2
1
112132
223 xxxxxxx 
 
 
 
 
 
1- Dados los polinomios: 
 ( ) 23523
234 −+−+= xxxxP x ( ) 532
3 +−= xxQ x 
 ( ) 232
2 −+= xxR x ( )
23 45 xxS x += 
 Realizar las siguientes operaciones, determinar el grado del polinomio, el 
coeficiente principal y el término independiente. 
a) P+Q-R b)P-2/3(3Q-2S) c) 2Q.3S d) P:S e) (Q:R).S f) Q:(R.S) 
 
2- Efectuar las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini, expresando el 
polinomio cociente y el resto, si lo hubiere. 
a) ( ) ( )=+−−+− 4171713 24 xxxx b) ( ) ( ) =−− 12132 5 xx 
 c) ( ) ( ) =−−+− 221147 23 xxxx d) ( ) ( ) =−−+ 32181112 2 xxx 
 e) ( ) ( ) =+− 133 xx 
 
3- Sin efectuar la división, determinar: 
a) 8126 23 −+− xxx es divisible por x-2 
b) 8126 23 −++ xxx es divisible por x+2 
c) xxx −+ 23 62 es divisible por x+3 
d) 143 234 −+−− xxxx es divisible por x-1 
e) 442 +− xx es divisible por x+2 
 
4- Extraer factor común. 
a) =− 23 273 xx b) =−− 234 62 xxx d) =−+ 234
20
3
25
9
5
3
xxx 
 
5- Factorizar los siguientes polinomios (Trinomio cuadrado perfecto) 
 a) =+− 25102 xx b) =+− 4129 2 xx c) =++− 244928 xx 
 
6- Factorizar los siguientes polinomios (Diferencia de cuadrados) 
a) 254 2 −x b) =−
4
1
16
1 2x c) =− 6425 6x 
 
7- Factorizar binomios de la forma bxa n + 
a) =−164 2x b) =+162 3x c) =− 483 4x 
 
8- Factorizar aplicando el teorema de Gauss. 
a) =−+− 526265 34 xxx b) =−++ 3272 23 xxx c) =−+− 653 23 xxx 
 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº2 
 27 
9- Factorizar los siguientes polinomios 
a) =+− xxx 23 34 b) =+−−− xxxx 16484 234 
 c) =−+−
4
3
33 2 xx d) =+−− 652 23 xxx 
 e) =− 26 546 xx f) =−+− 105105 23 xxx 
g) =−− 43 24 xx h) =−+ 567 532 xxx 
i) =−− xxx 862 35 j) =+++ xxxx 234 356 
k) =− xx
9
43 l) =+ xx
2
243
2
1 6 
 
10- Hallar las raíces de los siguientes polinomios e indicar si son simples o 
múltiples. 
a) =− xx 123 2 b) =+ 25 8xx 
c) =−−+ xxxx 1243 234 d) =++ 234 48 xxx