S06 s1 - PPT Producto de Vectores

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Cálculo aplicado a la 
Física 1
Semana 6 – Sesión 1
Datos/Observaciones
Recogemos nuestros Saberes Previos
¿Se pueden multiplicar dos vectores?
¿Al multiplicar dos vectores se obtiene, un vector o un escalar?
¿Conoce la regla de la mano derecha?
Inicio
Datos/Observaciones
Logro
Al término de la sesión, el estudiante
resuelve problemas de productos
entre vectores de manera vectorial;
además determina volúmenes
utilizando las propiedades del
producto vectorial para presentar sus
resultados siguiendo una secuencia
lógica.
Datos/Observaciones
II. Producto Vectorial ( Ԧ𝐴 𝑥 𝐵)
Dados dos vectores 𝒂 𝑦 𝒃, el producto vectorial o producto cruz se define
como:
𝒂 × 𝒃 = 𝑎 𝑏 sen𝜃 ො𝑢
Donde su módulo es: 𝒂 × 𝒃 = 𝑎 𝑏 sen 𝜃
Geométricamente, el módulo del producto vectorial es el área del
paralelogramo formado por los vectores Ԧ𝑎 y 𝑏.
Ԧ𝑎
𝑏
𝜃
𝒂 × 𝒃
𝒂𝒃𝒔𝒆𝒏𝜽
Datos/Observaciones
Propiedades del producto vectorial
1. La dirección del vector se define por la regla de mano derecha.
2. No posee propiedad conmutativa:
3. Es válida la propiedad distributiva:
4. Su módulo es 0 si los vectores forman 0° ó 180°.
5. Su módulo es máximo si los vectores forman 90°.
Ԧ𝑎 × Ԧ𝑏 = −Ԧ𝑏 × Ԧ𝑎
Ԧ𝑎 + Ԧ𝑐 × Ԧ𝑏 = Ԧ𝑎 × Ԧ𝑏+ Ԧ𝑐 × Ԧ𝑏
Datos/Observaciones
Como sabemos el producto
vectorial no es conmutativo,
puesto que:
𝒂 × 𝒃 = −𝒃 × 𝒂
De lo anterior se verifica que:
Ƹ𝑖 × Ƹ𝑗 = ෠𝑘; Ƹ𝑗 × ෠𝑘 = Ƹ𝑖
෠𝑘 × Ƹ𝑖 = Ƹ𝑗; Ƹ𝑗 × Ƹ𝑖 = −෠𝑘
෠𝑘 × Ƹ𝑗 = − Ƹ𝑖; Ƹ𝑖 × ෠𝑘 = − Ƹ𝑗
Ƹ𝑖 × Ƹ𝑖 = 0; Ƹ𝑗 × Ƹ𝑗 = 0
෠𝑘 × ෠𝑘 = 0
Si multiplicamos ambos vectores y
utilizamos las propiedades antes
mencionadas tenemos:
Ԧ𝑎 × 𝑏 = 𝑎𝑦𝑏𝑧 − 𝑎𝑧𝑏𝑦 Ƹ𝑖 +
𝑎𝑧𝑏𝑥 − 𝑎𝑥𝑏𝑧 Ƹ𝑗 +
𝑎𝑥𝑏𝑦 − 𝑎𝑦𝑏𝑥 ෠𝑘
Cuyo resultado equivale a
desarrollar el determinante de 3 x 3.
Ԧ𝑎 × 𝑏 =
Ƹ𝑖 Ƹ𝑗 ෠𝑘
𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧
𝑏𝑥 𝑏𝑦 𝑏𝑧
¿Cómo efectuar un producto vectorial?
Datos/Observaciones
II. Producto Vectorial ( Ԧ𝐴 𝑥 𝐵)
Dados dos vectores 𝒂 𝑦 𝒃, el producto vectorial o producto cruz se
define como:
𝒂 × 𝒃 = 𝑎 𝑏 sen 𝜃 ො𝑢
Donde su módulo es: 𝒂 × 𝒃 = 𝑎 𝑏 sen𝜃
Ԧ𝑎
𝑏
𝜃
𝒂 × 𝒃
Datos/Observaciones
Ejemplo
Calcule el producto vectorial de los vectores y determine al área que forman
ambos vectores en el plano que los contiene.
𝑚 = −3 Ƹ𝑖 − 2 Ƹ𝑗 + 5෠𝑘
𝑛 = 6 Ƹ𝑖 − 10 Ƹ𝑗 − ෠𝑘
Datos/Observaciones
Ejemplo
Calcule el producto vectorial de los vectores y determine al área que forman 
ambos vectores en el plano que los contiene.
𝒂 = −𝟐 Ƹ𝒊 + 𝟔 Ƹ𝒋 + ෡𝒌
𝒃 = 𝟑 Ƹ𝒊 − 𝟕 Ƹ𝒋 + 𝟏𝟎෡𝒌
Datos/Observaciones
Ejemplo
Calcule el producto vectorial de los vectores y determine al área que forman 
ambos vectores en el plano que los contiene.
𝒂 = 5 Ƹ𝒊 + 2 Ƹ𝒋 + 𝟐෡𝒌
𝒃 = 3 Ƹ𝒊 − 5 Ƹ𝒋 − 10෡𝒌
Datos/Observaciones
¿Qué hemos aprendido hoy?
Para culminar nuestra sesión respondemos a:
Cierre