S13 s1-Material-solucionario

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Bienvenidos estimados y 
estimadas estudiantes.
En breve iniciamos la sesión.
Prof. Ulices Fernandez Apolinario
¿con qué tipo de las manzanas se 
identifican?
¿Hay preguntas acerca del tema de la clase pasada?
¿Que recordamos de la clase anterior?
Responda a la siguiente pregunta:
¿Qué operación matemática te 
permite calcular el área bajo 
una curva?
a) Derivada
b) Integral
¿Mencione algunas aplicaciones de la integral definida?
https://www.youtube.com/watch?v=MThAvLsj_sU
Las integrales Definidas son una herramienta
cognitiva poderosa para modelar y resolver
problemas en la ingeniería y económicos. El
cálculo integral tiene infinitas aplicaciones; el
cálculo de área amorfas, longitudes de arco,
puede aplicarse en estructuras de presas
hidráulicas, en el trazo de curvas, entre otros.
Utilidad
Integral definida: Aplicaciones
Semana 13 – Sesión 1
Cálculo aplicado a la física 1
✓Al finalizar la sesión de aprendizaje el
estudiante aplica la integral definida
para resolver ejercicios concretos.
Logros
Agenda
✓ Integral definida.
✓Propiedades.
✓Potencia.
✓Energía de un MAS.
✓Ejercicios.
✓Cierre.
¿Conocen alguna herramienta matemática para calcular el área de 
la región limitada por las rectas amarillas?
Integral definida
Si 𝑓 es positiva, la integral ׬𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 nos da el área de la región comprendida entre la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥)
y el el eje 𝑋, en el intervalo [𝑎; 𝑏]. 
න
𝑐
𝑏
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐴(𝑅)
Si 𝐹 es cualquier antiderivada de 𝑓(𝑥), entonces:
න
𝑐
𝑏
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 = 𝐹(𝑥)|
𝑏
𝑎
A esta expresión se le conoce como la regla de Barrow
Propiedades de la Integral Definida
Se tienen las siguientes propiedades de la integral definida:
න
𝑏
𝑎
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − න
𝑎
𝑏
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
න
𝑎
𝑎
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0
න
𝑎
𝑏
𝑐𝑑𝑥 = 𝑐(𝑏 − 𝑎);
න
𝑎
𝑏
[𝑓(𝑥) + ]𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = න
𝑎
𝑏
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + න
𝑎
𝑏
𝑔(𝑥)𝑑𝑥
න
𝑎
𝑏
𝑐𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑐 න
𝑎
𝑏
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
Ejemplo 1
Determine la integral:
𝐴 = න
1
3
(−𝑥2 + 4𝑥 − 3)𝑑𝑥
𝑨 = −
𝒙(𝟑)
(𝟑)
+
𝟒𝒙(𝟐)
(𝟐)
− 𝟑𝒙
𝟑
𝟏
𝟑
𝟑
2
𝟐
Ejemplo 2
Un móvil se mueve con cierta velocidad que se expresa a través de la siguiente ecuación:
𝑣 = 2,0𝑡 − 𝑡2
Escriba la ecuación de la posición.
𝐱(𝐭) = නቀ𝟐𝐭 − 𝒕
𝟐)𝒅𝒕
𝐱(𝐭) = 𝒕
𝟐 −
𝒕𝟑
𝟑
+ 𝒌
Un hombre quiere cargar un refrigerador en una camioneta con el uso de una
rampa a un ángulo 𝜃, como se muestra en la figura. Él afirma que se debe requerir
menos trabajo para cargar la camioneta si la longitud L de la rampa aumenta por lo
que el ángulo será más pequeño. ¿Esta afirmación es válida? ¿Cuánto tiempo le
toma en subir la refrigeradora?
Potencia
Potencia es la rapidez con que se efectúa trabajo; al igual que el trabajo y la energía, la potencia es 
una cantidad escalar.
El trabajo medio efectuado por unidad de tiempo, o potencia media 𝑷𝒎𝒆𝒅, se define como:
La rapidez con que se efectúa trabajo quizá no sea constante. Podemos definir la potencia instantánea 
P como:
Unidades de potencia
La unidad de potencia en el SI se llama watt.
❑ 1 watt = 1 joule / segundo = 1 kg.m2/s3
La unidad de potencia en el sistema estadounidense es el caballo de vapor.
❑ 1 hp = 746 W
Las unidades de potencia también pueden utilizarse para expresar unidades de trabajo 
o energía.
❑ 1 kWh = (1000 W)(3600 s) = 3,6 x106 J.
Potencia
En mecánica, también expresamos la potencia en términos 
de fuerza y velocidad.
Trabajo y Potencia
100 m plano 𝒗𝒔. Maratón
100 metros planos
Trabajo realizado por el corredor:
2,1 × 104 J
Potencia:
𝑃100 =
2,1 × 104 J
10 𝑠
= 2 100 W
Maratón (42 142 m)
Trabajo realizado por el maratonista:
5,9 × 106 J
Potencia:
𝑃𝑚 =
5,9 × 106 J
2 × 60 × 60 𝑠
= 816 W
Después de comprimir el resorte, ¿que sucede con la bola?
 ¿Qué almacena el resorte al comprimirse?
Energía mecánica en el MAS
La energía mecánica de un objeto en movimiento armónico simple es:
𝐸 =
1
2
𝑚𝑣2 +
1
2
𝑘𝑥2
❖ Si la masa está en el límite de su movimiento, la energía es toda 
potencial.
❖ Si la masa está en el punto de equilibrio, la energía es toda cinética.
La energía cinética se puede encontrar mediante
𝐾 =
1
2
𝑚𝑣2 =
1
2
𝑚𝜔2 𝐴2 s𝑒n2 (𝜔𝑡 + 𝜙)
La energía potencial elástica se puede encontrar mediante
𝑈 =
1
2
𝑘𝑥2 =
1
2
𝑘𝐴2 cos2 (𝜔𝑡 + 𝜙)
La energía total es: 
𝐸 = 𝐾 + 𝑈 =
1
2
𝑘𝐴2
Energía mecánica en el MAS
La energía mecánica total es constante.
En todo momento, la energía total es 
1
2
𝑘 𝐴2
La energía mecánica total es proporcional al 
cuadrado de la amplitud.
La energía se transfiere continuamente entre la 
energía potencial almacenada en el muelle y la 
energía cinética del bloque.
En el diagrama, Φ = 0.
También se pueden observar las variaciones 
de K y U con respecto a la posición.
La energía se transforma continuamente 
entre la energía potencial almacenada en el 
muelle y la energía cinética del bloque.
La energía total sigue siendo la misma.
𝐸 = 𝐾 + 𝑈 =
1
2
𝑚𝑣2 +
1
2
𝑘𝑥2 =
1
2
𝑘𝐴2
𝑣 = ±
𝑘
𝑚
𝐴2 − 𝑥2
= ±𝜔 𝐴2 − 𝑥2
Velocidad en una posición determinada
Energía mecánica en el MAS
Ejemplo 1
Un cubo de 0,500 kg conectado a un resorte con k = 20,0 N/m oscila en una superficie horizontal sin fricción.
a) Calcule la energía total del sistema y la velocidad máxima del cubo si la amplitud del movimiento es 3,00 cm.
b) Encuentre la energía potencial y cinética del sistema para x = 2,00 cm.
c) Encuentre la frecuencia angular, el período y la frecuencia del movimiento.
𝒂) 𝑬𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 =
𝟏
𝟐
𝒌𝑨𝟐
𝐬𝐢𝐧 𝒇𝒓𝒊𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏
𝒌
𝑬𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 =
𝟏
𝟐
(𝟐𝟎)(𝟎, 𝟎𝟑)𝟐
𝑬𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟗 × 𝟏𝟎
−𝟑𝑱
𝒃) 𝑬𝒆𝒍𝒂𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂 =
𝒌𝒙𝟐
𝟐
𝑬𝒄𝒊𝒏𝒆𝒕𝒊𝒄𝒂 = 𝑬𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 − 𝑬𝒆𝒍𝒂𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂
𝒄)
𝝎 =
 𝒌
 𝒎
=
 𝟐𝟎
 𝟎, 𝟓
𝑬𝒆𝒍𝒂𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂 =
(𝟐𝟎)(𝟎, 𝟎𝟐)𝟐
𝟐
𝑬𝒆𝒍𝒂𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂 = 𝟒 × 𝟏𝟎
−𝟑𝑱
𝑻 =
𝟐𝝅
𝝎
=
𝟐𝝅
𝟔, 𝟑𝟐
= 𝟏 𝒔
𝒇 =
𝝎
𝟐𝝅
=
𝟔,𝟑𝟐
𝟐𝝅
= 𝟏 𝑯𝒛
𝑬𝒄𝒊𝒏𝒆𝒕𝒊𝒄𝒂 = 𝟗 × 𝟏𝟎
−𝟑 − 𝟒 × 𝟏𝟎−𝟑
𝑬𝒄𝒊𝒏𝒆𝒕𝒊𝒄𝒂 = 𝟓 × 𝟏𝟎
−𝟑 𝑱
𝝎 = 𝟔, 𝟑𝟐 𝒓𝒂𝒅 /𝒔
Ejemplo 2
Un objeto de 1,40 kg de masa se une a un muelle de constante elástica 15,0 N/m.
a) Calcule la velocidad máxima del objeto cuando el sistema vibra con una amplitud de 2,0 cm.
b) ¿Cuál es el valor de las energías cinética y potencial elástico cuando el objeto se encuentra a
1,0 cm de la posición central de vibración?
𝒂) 𝒗𝒎𝒂𝒙 = 𝝎𝑨
𝒗𝒎𝒂𝒙 =
 
𝑨𝒌
𝒎
𝐬𝐢𝐧 𝒇𝒓𝒊𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏
𝒌
𝒗𝒎𝒂𝒙 = 𝟎, 𝟎𝟐
 𝟏𝟓
𝟏, 𝟒
𝒗𝒎𝒂𝒙 = 𝟎, 𝟎𝟔𝟓 𝒎/𝒔
𝒗 = 𝝎 𝑨𝟐 − 𝒙𝟐𝒃) 𝑬𝒄𝒊𝒏𝒆𝒕𝒊𝒄𝒂 =
𝒎𝒗𝟐
𝟐
𝑬𝒆𝒍𝒂𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂 =
𝒌𝒙𝟐
𝟐
𝑬𝒆𝒍𝒂𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂 =
𝟏𝟓 × 𝟎, 𝟎𝟏𝟐
𝟐
𝑬𝒆𝒍𝒂𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂 = 𝟕, 𝟓 × 𝟏𝟎
−𝟒 𝑱
𝑬𝑴 = 𝑬𝒄 + 𝑼𝒆 =
𝒌𝑨𝟐
𝟐
𝑬𝒄 =
𝒌𝑨𝟐
𝟐
− 𝑼𝒆
𝑬𝒄 =
𝟏𝟓 × 𝟎, 𝟎𝟐𝟐
𝟐
− 𝟕, 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟒
𝑬𝒄 = 𝟐, 𝟐𝟓 × 𝟏𝟎
−𝟑 𝑱
Ejemplo 3
Para la oscilación armónica simple donde: k=19,6N/m, A=0,100 m, x = -(0,100 m)cos(8,08t) y 
v = (0,808 m/s)sen(8,08t), determine (a) la energía total, (b) las energías cinética y potencial 
en función del tiempo, (c) la velocidad cuando la masa está a 0,050 m del equilibrio, (d) las 
energías cinética y potencial a media amplitud (x = ± A/2).
(a) 
(b)
(c)
(d) 
𝐸 =
1
2
𝑘𝐴2 =
1
2
19,6 0,1 2 = 0,098 𝐽
𝐾 =
1
2
𝑚𝑣2 =
1
2
𝑚 𝜔𝐴 s 𝑒 n 𝜔𝑡 + 𝜑 2 =
1
2
0,3 0,808 s 𝑒 n 8,08𝑡 2 = 0,098 s 𝑒 n2 8,08𝑡
𝑈 =
1
2
𝑘𝑥2 =
1
2
𝑘 𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝜑 2 =
1
2
19,6 0,808 cos 8,08𝑡 2 = 0,098 cos2 8,08𝑡
𝑣 = 𝑣𝑚𝑎𝑥 1 −
𝑥2
𝐴2
= 0,808 1 −
1
2
2
= 0,7 𝑚/𝑠
𝑈 =
1
2
19,6 0,05 2 = 0,024 5 𝐽; 𝐾 = 𝐸 − 𝑈 = 0,098 − 0,024 5 = 0,073 5 𝐽.
𝒎 =
𝒌
𝝎𝟐
 =
19,6
8,082
= 0,30 𝑘𝑔
Practicando
Alternativas
a) 𝐴 = 7,07 𝑐m
𝑏) 𝑣 = 8,25 𝑐𝑚/𝑠
a) 𝐴 = 7,07 𝑐𝑚
𝑏) 𝑣 = 9,68 𝑐𝑚/𝑠
a) 𝐴 = 8,07 𝑐𝑚
𝑏) 𝑣 = 8,25 𝑐𝑚/𝑠
Un bloque de 10 kg está unido a un muelle con una constante de
muelle de 20 N/m. Mientras el bloque está en reposo, un
estudiante lo golpeacon un martillo y casi instantáneamente le da
una velocidad de 10 cm/s.
a. ¿Cuál es la amplitud de las oscilaciones posteriores?
b. ¿Cuál es la velocidad del bloque en el punto donde 𝑥 =
1
4
𝐴?
Cierre
Geométricamente a la integral definida se le conoce como__________________.
La energía mecánica en el MAS es _______________.
La potencia es la __________________ con la cual se realiza trabajo.
NO OLVIDAR!
✓La integral definida nos permite
describir varios fenómenos de la
mecánica.
BÁSICA
✓ Serway, R. y Jewett, J.W.(2015) Física para ciencias e ingeniería. Volumen I.
México. Ed. Thomson.
✓ Sears F., Zemansky M.W., Young H. D., Freedman R.A. (2016) Física 
Universitaria Volumen I, Undécima Edición. México. Pearson Educación.
COMPLEMENTARIA
✓ Tipler, P., Mosca, G. (2010) Física para la ciencia y la tecnología. Volumen I. 
México Ed. Reverté .
✓ Feynman, R.P. y otros. (2005) Física. Vol. I. Panamá. Fondo Educativo 
interamericano.
✓ Halliday, D., Resnick, R. y Krane, K.S.(2008) Física. Volumen I. México. Ed. 
Continental.
BIBLIOGRAFÍA
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