S13 s2 - Energía del M A S

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CALCULO APLICADO A 
LA FÍSICA 1
Semana 13 - sesión 2
SABERES PREVIOS
¿Qué entiende por movimiento oscilatorio?
Datos/Observaciones
LOGROS DE LA SESIÓN
Al termino dela sesión el estudiante analiza y
aplica el principio de conservación de la
energía con rigurosidad.
Datos/Observaciones
Potencia (P)
Desde un punto de vista práctico no solo es necesario conocer el trabajo que se realiza sobre un objeto,
sino también la rapidez con lo cual se efectúa el trabajo.
Por ejemplo, dos autos con diferentes motores subiendo un cerro. 
Uno llega a la cima en 10 min y el otro 15 min.
¿Cuál hizo más trabajo?
La relación entre el trabajo 𝑊 hecho con el tiempo
∆𝑡 se llama Potencia 𝑃 .
P =
W
∆t
La unidad de la potencia son los Watts (W) donde 1 W = 1J/s.
Por ejemplo, dos autos con diferentes motores subiendo un cerro. Uno llega a la cima en 10,0 min y el 
otro 15,0 min.
¿Cuál tiene mayor potencia?
Datos/Observaciones
Fuerzas conservativas y no
conservativas
🠜 Una fuerza es conservativa si el trabajo
efectuado por ella, es independiente de
la trayectoria seguida. El trabajo es el
mismo a través de los caminos c1, c2 y c3.
🠜 En consecuencia, el trabajo sólo
▶ depende de las posiciones inicial y final.
🠜 El trabajo realizado por la fuerza
conservativa en una trayectoria cerrada
es cero.
🠜 El trabajo se pueden representarse por
de energíamedio de una función
potencial.
🠜 Son fuerzas conservativas:
Fuerza gravitacional (peso)
Fuerza elástica
🠜 Una fuerza es No conservativa si el trabajo efectuado
por ella, es dependiente de la trayectoria seguida. El
trabajo es diferente a través de los caminos c1, c2 y c3
de la figura.
🠜 El trabajo realizado por la fuerza No conservativa en una
trayectoria cerrada es diferente de cero
🠜 El trabajo no pueden representarse por
▶ medio de una función de energía potencial.
🠜 Son fuerzas No conservativas:
Fuerza de fricción,
▶ Fuerza normal,
Fuerza de tensión, etc.
Datos/Observaciones
Sistemas conservativos
𝑊𝑁𝑒𝑡𝑜 = 𝑊𝐹𝐶 = ∆𝐸𝑐
La Energía Mecánica Total de cualquier sistema se mantiene constante si sobre el 
sistema sólo actúan fuerzas conservativas
−∆𝑈 = ∆𝐸𝑐 → − 𝑈𝑓 − 𝑈0 = 𝐸𝑐𝑓 − 𝐸𝑐0
𝐸𝑀0 = 𝐸𝑀𝑓
𝐸𝑀 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝐸𝑐 + 𝑈𝑝 + 𝑈𝑒 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
Es decir la suma 𝐸𝑐 + 𝑈𝑝 + 𝑈𝑒 no cambia durante el movimiento de la partícula
𝐸𝑐0 + 𝑈0 = 𝐸𝑐𝑓 + 𝑈𝑓
Datos/Observaciones
Sistemas no conservativos
El trabajo de las fuerzas No
Conservativas es igual al cambio de la
Energíaía Mecánica
Si el trabajo realizado sobre una partícula se debe al menos a fuerzas No conservativas tendremos
𝑊𝑁𝑒𝑡𝑜 = ∆𝐸𝑐
𝑊𝐹𝑁𝐶 − ∆𝑈 = ∆𝐸𝑐
𝑊𝐹𝑁𝐶 +𝑊𝐹𝑐 = ∆𝐸𝑐
𝑊𝐹𝑁𝐶 = ∆𝑈 + ∆𝐸𝑐
𝑊𝐹𝑁𝐶 = 𝑈𝑓 − 𝑈0 + 𝐸𝑐𝑓 − 𝐸𝑐0 𝑊𝐹𝑁𝐶 = 𝐸𝑐𝑓 + 𝑈𝑓 − 𝐸𝑐0 − 𝑈0→
𝑊𝐹𝑁𝐶 = ∆𝐸𝑀 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒:𝑈 = 𝑈𝑝 + 𝑈𝑒
Datos/Observaciones
Movimiento Armónico Simple
De lo visto en la sesión anterior
Posició
n:
Velocidad:
Aceleración:
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+ 𝜔2𝑥 = 0
𝜔 =
𝑘
𝑚
𝑇 = 2𝜋
𝑚
𝑘
𝑥 = 𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝜙
𝑣 = −𝐴𝜔𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜙
𝑎 = −𝐴𝜔2 cos 𝜔𝑡 + 𝜙
Datos/Observaciones
Energía en un movimiento armónico
simple
Analicemos el sistema masa resorte
Para cualquier posición del bloque
tendremos energía cinética Ec debido a que
el bloque está en movimiento, y energía
potencial elástica Ue , debido a que tenemos
un resorte que se estira o se comprime.
Recordemos que estas energías son dadas
por lasa expresiones
Como la fuerza que mueve al bloque es conservativa y
no hay fricción, la energía mecánica del sistema se
conserva.
𝐸𝑐 =
1
2
𝑚𝑣2 𝑈𝑒 =
1
2
𝑘𝑥2
𝐸𝑀 = 𝐸𝑐 + 𝑈𝑒 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
Datos/Observaciones
Energía en un movimiento
armónico simple
Reemplacemos las expresiones de la
posición y la velocidad en las ecuaciones de
las energías, entonces
Sumemos estas ecuaciones para obtener la
energía total
Ecualquier posición = Eextremo
La amplitud de oscilación determina la energía
del oscilador armónico.
De esta expresión se deduce :
Si 𝑥 = 0 e n t o n c e s 𝑣 = 𝐴𝜔, que es 
la máxima rapidez del bloque que
oscila.
𝐸𝑐 =
1
2
𝑚 −𝐴𝜔𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜙
2
𝑈𝑒 =
1
2
𝑘 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙
2
En la ecuación de la energía cinética
consideremos que: 𝑚𝜔2 = 𝑘
𝐸𝑐 =
1
2
𝑘𝐴2𝑠𝑒𝑛2 𝜔𝑡 + 𝜙
𝑈𝑒 =
1
2
𝑘𝐴2𝑐𝑜𝑠2 𝜔𝑡 + 𝜙
𝐸𝑀 =
1
2
𝑚𝑣2 +
1
2
𝑘𝑥2 =
1
2
𝑘𝐴2
𝑣 = 𝜔 𝐴2 − 𝑥2
Datos/Observaciones
Energía en un movimiento armónico
simple
Observen que en los extremos (x = ± A) la energía
cinética es cero, es decir para estos instantes el
bloque está en un estado de reposo momentáneo.
En la posición de equilibrio la energía potencial
elástica es cero, que es un resultado obvio si
pensamos que para esta posición el resorte no
esta deformado.
Datos/Observaciones
Energía en un movimiento armónico
simple
𝐸 =
1
2
𝑚𝑣𝐴
2
𝐸 =
1
2
𝑚𝑣𝐵
2 +
1
2
𝑘𝑥𝐵
2
𝐸 =
1
2
𝑘𝑥𝑚á𝑥
2
𝐸 =
1
2
𝑚𝑣𝐷
2 =
1
2
𝑚𝑣𝐴
2
Datos/Observaciones
EJEMPLO
Un objeto de 1.40 kg de masa se une a un muelle de constante elástica 15.0 N/m.
a) Calcule la velocidad máxima del objeto cuando el sistema vibra con una amplitud de 2.0 cm.
b)¿Cuál es el valor de las energías cinética y potencial elástica cuando el objeto se encuentra 
a 1.0 cm de la posición central de vibración?
Datos/Observaciones
EJEMPLO
Un objeto cae desde una altura de 3.00 m. Calcule la rapidez del objeto cuando se ubica a 1.00m sobre
el suelo.
Datos/Observaciones
EJEMPLO
Un cubo de 0.500 kg conectado a un resorte con k = 20.0 N/m oscila en una superficie
horizontal sin roce.
a) Calcule la energía total del sistema y la velocidad máxima del cubo si la amplitud del
movimiento es 3.00 cm.
b) Encuentre la energía potencial y cinética del sistema para x = 2.00 cm.
c) Encuentre la frecuencia angular, el período y la frecuencia del movimiento.
Datos/Observaciones
EJEMPLO
0.69s
0
0.43cm
0.82cm0.82cm
En la figura se muestra la gráfica de posición versus tiempo de una pequeña masa m
en el extremo de un resorte. En t = 0, x = 0,43 cm.
a) Si m = 9,5 g. calcule la constante elástica del resorte k.
b) Escriba la ecuación de posición x en función del tiempo.
x
t
Datos/Observaciones
¿Qué hemos aprendido hoy?
Para culminar nuestra sesión respondemos a:
Cierre