S11 s1-Material-solucionario

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Bienvenidos estimados y 
estimadas estudiantes.
En breve iniciamos la sesión.
Prof. Ulices Fernandez Apolinario
¿con qué tipo de las manzanas se 
identifican?
¿Hay preguntas acerca del tema de la clase pasada?
¿Que recordamos de la clase anterior?
Responda a la siguiente pregunta:
¿Cómo se calcula la 
magnitud del producto 
vectorial?
a) Ԧ𝐴 𝐵 cos(𝜃)
b) Ԧ𝐴 𝐵 𝑠𝑒𝑛(𝜃)
¿Qué herramientas matemáticas usarías para calcular el área lateral?
https://www.youtube.com/watch?v=Dwiq7DGDkA0
La integral de línea tiene varias aplicaciones en
el área de ingeniería, y una de las
interpretaciones importantes para tales
aplicaciones es el significado que posee la
integral de línea de un campo escalar.
En matemática, una integral de línea o
curvilínea es aquella integral cuya función es
evaluada sobre una curva. En el caso de una
curva cerrada en dos dimensiones o del plano,
se llama también INTEGRAL DE CONTORNO.
Utilidad
Producto Escalar e Integral 
de Línea
Semana 11 – Sesión 1
Cálculo aplicado a la física 1
Al finalizar la sesión de aprendizaje el
estudiante aplica el producto escalar de dos
vectores y determina la integral de línea de
un vector sobre cualquier trayectoria.
Logros
Agenda
Producto escalar.
 Integral de línea.
Ejercicios.
Cierre.
PRODUCTO ESCALAR
El producto escalar de los vectores no nulos Ԧ𝐴 y
𝐵 se denota con Ԧ𝐴 ∙ 𝐵
Debido a esta notación también se le llama
producto punto.
Definición del producto escalar:
A ∙ B = AxBx + AyBy + AzBz
Ԧ𝐴 = 𝐴𝑥 , 𝐴𝑦 , 𝐴𝑧 𝐵 = 𝐵𝑥 , 𝐵𝑦 , 𝐵𝑧
Si se conocen las componentes de cada vector
A ∙ B = AB cos 𝜃
Producto escalar
Propiedades
A ∙ B = B ∙ A
A ∙ B + C = A ∙ B + B ∙ A
A ∙ B > 0, → 𝜃 < 90,0°
A ∙ B = 0, → 𝜃 = 90,0°
A ∙ B < 0, → 90,0° < 𝜃 ≤ 180,0°
Ejemplo 1
Se conocen 2 vectores:
A = 2,0i + 3,0 j − 2,0 k
B = 1,0 i − 2,0j + 2,0k
Determine:
a. El productoescalar A ∙ B
b. El ángulo θ que forman los vectores A y B
𝑨. 𝑩 = 𝟐 −𝟔 −𝟒
𝑨. 𝑩 = −𝟖
𝑨 = 𝑨𝒙
𝟐 + 𝑨𝒚
𝟐+𝑨𝒛
𝟐
𝑨. 𝑩 = 𝑨𝑩𝒄𝒐𝒔𝜽
𝑨. 𝑩
𝑨𝑩
= 𝒄𝒐𝒔𝜽
𝒄𝒐𝒔𝜽 =
𝑨.𝑩
𝑨𝑩
𝑩 = 𝑩𝒙
𝟐 + 𝑩𝒚
𝟐+𝑩𝒛
𝟐
𝑨 = 𝟐𝟐 + 𝟑𝟐 +𝟐𝟐
𝑨 = 𝟏𝟕
𝑩 = 𝟏𝟐 + 𝟐𝟐 +𝟐𝟐
𝑩 = 𝟑
𝜽 = 𝒄𝒐𝒔−𝟏
𝑨.𝑩
𝑨𝑩
𝜽 = 𝒄𝒐𝒔−𝟏
−𝟖
𝟑 𝟏𝟕
𝜽 = 𝟏𝟑𝟎, 𝟑°
Ejemplo 1 (continuación)
Integral de línea
Integral de línea
El diferencial de longitud en una
dimensión puede ser:
Ejemplo 2
𝒓 𝒕 = (𝒕, 𝟐 − 𝒕)
𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏:
න
𝒂
𝒃
𝑭 𝒓 𝒕 .
𝒅𝒓 𝒕
𝒅𝒕
𝒅𝒕
𝑼𝒏 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 𝑭 =
𝒚
𝒙𝟐
Ƹ𝒊 +
𝒚 − 𝒙
𝟐
Ƹ𝒋 𝒎𝒖𝒆𝒗𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂
𝒂 𝒕𝒓𝒂𝒗𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒕𝒓𝒂𝒚𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂 𝒚 + 𝒙 = 𝟐.
𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆 𝒍𝒂 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍 ׬ 𝑭. 𝒅Ԧ𝒍 𝒅𝒆𝒔𝒅𝒆 𝒙 = 𝟏 𝒉𝒂𝒔𝒕𝒂 𝒙 = 𝟒
න
𝟏
𝟒 𝑦
𝑥2
Ƹ𝑖 +
𝑦 − 𝑥
2
Ƹ𝑗 . 𝒕 , 𝟐 − 𝒕 ′𝒅𝒕
න
𝟏
𝟒
2 − 𝑡
𝑡2
− 𝒅𝒕
(2 − 2𝑡)
2
න
𝟏
𝟒 4 − 2𝑡 − 2𝑡2 + 2𝑡3
2𝑡2
𝒅𝒕
න
𝟏
𝟒 𝟐
𝒕𝟐
−
𝟏
𝒕
− 𝟏 + 𝒕 𝒅𝒕
−𝟐
𝒕
− 𝑳𝒏(𝒕) − 𝒕 +
𝒕𝟐
𝟐
𝟒
𝟏
න
𝟏
𝟒
Ԧ𝒊 +
2 − 𝑡
𝑡2
Ԧ𝒋
(2 − 𝑡) −𝑡
2
Ԧ𝒊 Ԧ𝒋𝟏 −𝟏 𝒅𝒕
𝒙 = 𝒕 & 𝒚 = 𝟐 − 𝒕
−𝟒, 𝟔𝟏
Ejemplo 3
𝑬𝒏𝒄𝒖𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒆𝒍 𝒕𝒓𝒂𝒃𝒂𝒋𝒐 𝒓𝒆𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂𝒅𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒆𝒍 𝒄𝒂𝒎𝒑𝒐 𝒅𝒆 𝒇𝒖𝒆𝒓𝒛𝒂
𝑭 = 𝟑 Ƹ𝒊 + 𝟐 Ƹ𝒋 + ෡𝒌 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒎𝒐𝒗𝒆𝒓 𝒖𝒏𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂 𝒅𝒆𝒔𝒕𝒆 𝟎, 𝟎, 𝟎 𝒉𝒂𝒔𝒕𝒂 𝟏, 𝟏, 𝟏
𝒂 𝒍𝒐 𝒍𝒂𝒓𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒖𝒓𝒗𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂 𝒓 = 𝒕 Ƹ𝒊 + 𝟒𝒕 Ƹ𝒋 + 𝒕𝟑෡𝒌
න
𝒂
𝒃
𝑭 𝒓 𝒕 .
𝒅𝒓 𝒕
𝒅𝒕
𝒅𝒕
𝑾 = න
𝟎
𝟏
3Ԧ𝑖 + 2Ԧ𝑗 + 1𝑘 . 𝑡Ԧ𝑖 + 4𝑡Ԧ𝑗 + 𝑡3𝑘
′
𝒅𝒕
𝑾 = න
𝟎
𝟏
. 𝒅𝒕3Ԧ𝑖 + 2Ԧ𝑗 + 1𝑘 1Ԧ𝑖 + 4Ԧ𝑗 + 3𝑡2𝑘
𝑾 = න
𝟎
𝟏
3 + 8 + 3𝑡2 𝒅𝒕
𝑾 = 𝟑𝒕 + 𝟖𝒕 + 𝒕𝟑
𝟏
𝟎
𝑾 = 𝟑 𝟏 + 𝟖 𝟏 + (𝟏)𝟑
𝑾 = 𝟏𝟐 𝑱
Practicando
Alternativas
𝑏) 3
𝑎) 4
𝑐) 5
Encuentre el trabajo realizado por el campo de
fuerza F = Ƹi + Ƹj + ෠k para mover una partícula
desde 0, 0, 0 hasta 1, 1, 1 a lo largo de la
curva paramétrica Ԧr = 2t Ƹi + t Ƹj + t3 ෠k.
Cierre
La integral de línea de un campo vectorial depende del
________________________ .
El producto escalar de dos vectores da como resultado un
________________ .
NO OLVIDAR!
 El producto escalar de dos vectores da como
resultado un número.
 La integral de línea nos permite determinar
magnitudes físicas como el trabajo.
 La integral de línea de un campo vectorial
depende del sentido de recorrido de la
curva.
BÁSICA
 Serway, R. y Jewett, J.W.(2015) Física para ciencias e ingeniería. Volumen I.
México. Ed. Thomson.
 Sears F., Zemansky M.W., Young H. D., Freedman R.A. (2016) Física 
Universitaria Volumen I, Undécima Edición. México. Pearson Educación.
COMPLEMENTARIA
 Tipler, P., Mosca, G. (2010) Física para la ciencia y la tecnología. Volumen I. 
México Ed. Reverté .
 Feynman, R.P. y otros. (2005) Física. Vol. I. Panamá. Fondo Educativo
interamericano.
 Halliday, D., Resnick, R. y Krane, K.S.(2008) Física. Volumen I. México. Ed.
Continental.
BIBLIOGRAFÍA