S16 s2-Material-solucionario

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Bienvenidos estimados y 
estimadas estudiantes.
En breve iniciamos la sesión.
Prof. Ulices Fernandez Apolinario
¿con qué tipo de las manzanas se 
identifican?
¿Hay preguntas acerca del tema de la clase pasada?
¿Que recordamos de la clase anterior?
¿Cómo se transforma la energía del viento en eléctrica?
https://www.youtube.com/watch?v=XyZs1IGbk5s
Utilidad
Las palas hacen rodar un eje que hay dentro
de la góndola, que entra a una caja de
cambios. La caja de cambios incrementa la
velocidad de rotación del eje proveniente del
rotor e impulsa el generador que utiliza
campos magnéticos para convertir la energía
rotacional en energía eléctrica.
Movimiento de un sólido Rígido
Energía de Rodamiento
Semana 16 – Sesión 2
Cálculo aplicado a la física 1
✓Al finalizar la sesión el estudiante evalúa la 
energía cinética de rotación usando el 
principio de conservación de la energía.
Logros
Agenda
✓Energía cinética de rotación
✓Conservación de energía.
✓Ejercicios.
✓Cierre.
¿Qué se le tiene que aplicar a la puerta para esta gire por el 
que pasa por sus bisagras?
Traslación y rotación combinadas: Relaciones de energía
❑ El movimiento de un cuerpo rígido es una combinación de movimiento de 
traslación del centro de masa y de rotación alrededor del centro de masa.
❑ La energía cinética de un cuerpo rígido en rotación y traslación es:
Rodar sin resbalar
La condición para rodar sin resbalar es:
Energía cinética total de un objeto que rueda
La energía cinética total de un objeto rodante es la suma de la energía de traslación de su centro de 
masa y la energía cinética de rotación alrededor de su centro de masa.
𝐾 =
1
2
𝐼𝐶𝑀 𝜔
2 +
1
2
𝑀𝑣𝐶𝑀
2
La ½ ICMw
2 representa la energía cinética de rotación del cilindro en torno a su centro de masa.
La ½ Mv2 representa la energía cinética de traslación del cilindro en torno a su centro de masa.
Conservación de la energía
Conservación de la energía mecánica
Recuerda que esto es para fuerzas conservativas, no puede haber fuerzas disipativas como la fricción
Se podrían añadir las energías potenciales de cualquier otra fuerza conservativa
𝐾𝑡 + 𝐾𝑟 + 𝑈 𝑖 = 𝐾𝑡 + 𝐾𝑟 + 𝑈 𝑓
En el caso de que existan fuerzas disipativas como el rozamiento, utilice el Teorema del Trabajo-
Energía generalizado en lugar de la Conservación de la Energía
𝑊𝐹𝑁𝐶 = ∆𝐾𝑡 + ∆𝐾𝑟 + ∆𝑈
Energía de trabajo en un sistema rotativo
Ejemplo 1
Un cable ligero y flexible está enrollado sobre un cilindro sólido de masa M = 500 g y radio R = 15,0 cm.
El cilindro gira con fricción despreciable sobre un eje horizontal estacionario. Del extremo libre del cable
cuelga un bloque de masa m = 250 g el cual es soltado desde una altura h = 1,00 m.
Conforme el bloque cae, el cable se desenrolla sin estirarse ni resbalar, haciendo girar el cilindro.
Calcule la rapidez del bloque 𝑣 justo antes de que golpee el piso.
Conservación de energía mecánica
𝒉𝒎𝒈 =
𝟏
𝟐
𝒎𝒗𝟐 +
𝟏
𝟐
𝑰𝝎𝟐
𝒉𝒎𝒈 =
𝟏
𝟐
𝒎𝒗𝟐 +
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝑴𝒓𝟐
𝒗
𝒓
𝟐
𝒉𝒎𝒈 =
𝟏
𝟐
𝒎𝒗𝟐 +
𝟏
𝟒
𝑴 𝒗 𝟐
(𝟏)(𝟎, 𝟐𝟓)(𝟏𝟎) =
𝟏
𝟐
(𝟎, 𝟐𝟓)𝒗𝟐 +
𝟏
𝟒
𝟎, 𝟓 𝒗 𝟐
𝟐, 𝟓 = (𝟎, 𝟏𝟐𝟓)𝒗𝟐 + 𝟎, 𝟏𝟐𝟓 𝒗 𝟐
𝟐, 𝟓 = (𝟎, 𝟐𝟓)𝒗𝟐
𝟏𝟎 = 𝒗𝟐
𝟑, 𝟏𝟔 𝒎/𝒔 = 𝒗
𝑬𝒏𝒆𝒓𝒈𝒊𝒂 𝑴𝒆𝒄𝒂𝒏𝒊𝒄𝒂
𝑬𝑴 =
𝟏
𝟐
𝒎𝒗𝟐 + 𝒉𝒎𝒈 +
𝟏
𝟐
𝑰𝝎𝟐
𝑽 = 𝝎. 𝑹 𝑰 =
𝟏
𝟐
𝒎𝒓𝟐
Ejemplo 1 (Versión Dinámica)
Un cable ligero y flexible está enrollado sobre un cilindro sólido de masa M = 500 g y radio R = 15,0 cm.
El cilindro gira con fricción despreciable sobre un eje horizontal estacionario. Del extremo libre del cable
cuelga un bloque de masa m = 250 g el cual es soltado desde una altura h = 1,00 m.
Conforme el bloque cae, el cable se desenrolla sin estirarse ni resbalar, haciendo girar el cilindro.
Calcule la rapidez del bloque 𝑣 justo antes de que golpee el piso.
a) Para m:
𝑭𝟏 − 𝑻𝟏 = 𝒎𝒂 
𝑭𝟏
𝑻𝟏
𝑻𝟏
𝒎𝒈 − 𝒎𝒂 = 𝑻𝟏 … (𝟏)
𝒎𝒈 − 𝑻𝟏 = 𝒎𝒂
𝑻𝟏𝒓 = 𝑰𝜶 
𝑻𝟏 =
𝑰𝜶
𝐫
𝑻𝟏 =
𝟏
𝟐 𝑴𝒓
𝟐 𝒂
𝒓
𝐫
𝑻𝟏 =
𝑴 𝒂
𝟐
… (𝟐)
c) Igualando (1) y (2):
(𝟎, 𝟐𝟓)(𝟏𝟎) − (𝟎, 𝟐𝟓)𝒂 =
𝟎, 𝟓 𝒂
𝟐
𝒎𝒈 − 𝒎𝒂 =
𝑴 𝒂
𝟐
𝟐, 𝟓 − 𝟎, 𝟐𝟓𝒂 = 𝟎, 𝟐𝟓𝒂
𝟐, 𝟓 = 𝟎, 𝟓𝒂
𝟓 Τ𝒎 𝒔𝟐 = 𝒂
𝒗𝒊
𝒗𝒇
𝒉 𝒂 𝒕𝒗𝒇
𝟐 = 𝒗𝒊
𝟐 + 𝟐𝒂𝒅
𝒗𝒇
𝟐 = (𝟎)𝟐+𝟐(𝟓)(𝟏)
𝒗𝒇
𝟐 = 𝟏𝟎 𝒎/𝒔
𝒗𝒇 = 𝟑, 𝟏𝟔 𝒎/𝒔
b) Para M:
Ejemplo 2
Un aro y un cilindro sólido, ambos de masa m y radio r, ruedan sin resbalar por un plano inclinado desde 
una altura h. Determine cuál de los dos cuerpos llega con mayor rapidez a la base del plano inclinado si 
parten desde el reposo. Utilice solamente conceptos de conservación de energía.
Conservación de energía mecánica – 
cilindro
𝒉𝑴𝒈 =
𝟏
𝟐
𝑴𝒗𝟐 +
𝟏
𝟐
𝑰𝝎𝟐
𝒉𝑴𝒈 =
𝟏
𝟐
𝑴𝒗𝟐 +
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝑴𝒓𝟐
𝒗
𝒓
𝟐
𝒉𝒈 =
𝟏
𝟐
𝒗𝟐 +
𝟏
𝟒
𝒗 𝟐
Conservación de energía mecánica - aro
𝒉𝑴𝒈 =
𝟏
𝟐
𝑴𝒗𝟐 +
𝟏
𝟐
𝑰𝝎𝟐
𝒉𝑴𝒈 =
𝟏
𝟐
𝑴𝒗𝟐 +
𝟏
𝟐
𝑴𝒓𝟐
𝒗
𝒓
𝟐
𝒉𝒈 =
𝟏
𝟐
𝒗𝟐 +
𝟏
𝟐
𝒗 𝟐
𝒉𝒈 =
𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟒
𝒗 𝟐
𝒉𝒈 =
𝟒 + 𝟐
𝟖
𝒗 𝟐
𝟖𝒉𝒈
𝟔 
= 𝒗 𝟐
𝒉𝒈 =
𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟐
𝒗 𝟐
𝒉𝒈 = 𝟏 𝒗 𝟐
𝒉𝒈 = 𝒗 𝟐
𝑬𝒏𝒆𝒓𝒈𝒊𝒂 𝑴𝒆𝒄𝒂𝒏𝒊𝒄𝒂
𝑬𝑴 =
𝟏
𝟐
𝒎𝒗𝟐 + 𝒉𝒎𝒈 +
𝟏
𝟐
𝑰𝝎𝟐
𝒗 = 𝝎. 𝑹
Datos/Observaciones
La esfera de la figura gira por el suelo con una velocidad angular 𝞈=6 s-1 ¿Qué trabajo tendrá 
que realizar un tipo para frenarla? 
Ejemplo
𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠:
𝜔𝑖 = 6 𝑠
−1
𝑅 = 0,5 𝑚
m = 10 𝑘𝑔
𝐸𝑐 =
1
2
𝐼𝜔2
𝑊 = −
1
2
(
2
5
𝑚𝑅2)𝜔𝑖
2
𝑊 = Δ𝐸𝐶
𝑊 = 𝐸𝐶 𝑓 − 𝐸𝑐𝑖
𝜔𝑓 = 0 𝑠
−1
0
𝑊 = −
1
2
𝐼𝜔𝑖
2
𝑊 = −
10 0,5 2 6 2
5
𝑊 = −
𝑚𝑅2𝜔𝑖
2
5
𝑊 = −18 𝐽
Datos/Observaciones
Un cilindro de radio 30cm y de masa 12 kg rueda por un plano horizontal y al pasar por el punto A, inicio 
del ascenso a un plano inclinado rugoso, lleva una velocidad angular 12 rad/s. Encuentre la altura a la 
que llega el cilindro. 
Ejemplo
ℎ
𝜔𝑖 = 12 𝑠
−1
𝜔𝑓 = 0
ℎ =
3𝜔𝑖
2𝑅2
4𝑔
𝐶𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑀𝑒𝑐á𝑛𝑖𝑐𝑎
𝐸𝑀𝑖 = 𝐸𝑀𝑓
𝐸𝑡𝑟𝑎𝑠𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑖 + 𝐸𝑟𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑖 = 𝑈𝑔𝑓
ℎ =
3 12 2 0,3 2
4(9,81
ℎ = 0,99 𝑚
1
2
𝑚𝑣2 +
1
2
𝐼𝜔2 = 𝑚𝑔ℎ
1
2
𝑚(𝜔𝑖𝑅)
2+
1
2
(
1
2
𝑚𝑅2)𝜔𝑖
2 = 𝑚𝑔ℎ
Datos/Observaciones
EJEMPLO 
Una la lata tiene una masa de 215g, altura de 10.8cm y diámetro de 6.38 cm. Se 
coloca en reposo en la parte superior de una pendiente que mide 3m de largo y 25° 
con la horizontal. Con métodos de energía, calculé el momento de inercia de la lata 
si tarda 1.5 s en alcanzar el pie de la pendiente 
25°
ωo=0
Vo=0
ωf
Vf
Usamos MRUV para hallar la velocidad
con que llega al pie de la pendiente
𝑑 =
𝑣𝑓 + 𝑣𝑜
2
𝑡
3 =
𝑣𝑓 + 0
2
× 1,5
𝑣𝑓 = 4 𝑚/𝑠
Usamos la relación:
𝑣𝑓 = 𝜔𝑓𝑟
4 = 𝜔𝑓 × 0,0318
𝜔𝑓 = 125,79 𝑟𝑎𝑑/𝑠
2
Usamos relaciones de energía
ℎ = 3𝑚 𝑠𝑒𝑛25° = 1,27𝑚
N.R
1
2
𝑚𝑣𝑓
2 +
1
2
𝐼𝜔𝑓
2 = 𝑚𝑔ℎ
1
2
× 0,215 × 42 +
1
2
𝐼 × 125,792 = 0,215 × 9,81 × 1,27
𝐼 = 1,21 × 10−4𝑘𝑔. 𝑚2
Datos/Observaciones
EJEMPLO 
Se muestra una esfera sólida uniforme cuya velocidad 
sobre una superficie horizontal a 20 m/s y luego rueda 
hacia arriba sobre un plano inclinado. Si las pérdidas 
debidas a la fricción son despreciables, ¿cuál será el valor 
de h en el lugar donde se detiene la esfera?
ωf=0
Vf=0
Usamos relaciones de energía
N.R
Usamos la relación:
𝑣𝑜 = 𝜔𝑜𝑟
𝜔𝑜 =
𝑣𝑜
𝑟
1
2
𝑚𝑣𝑜
2 +
1
2
𝐼𝜔𝑜
2 = 𝑚𝑔ℎ
Momento de inercia de una esfera solida
1
2
𝑚𝑣𝑜
2 +
1
2
2
5
𝑚𝑟2
𝑣𝑜
𝑟
2
= 𝑚𝑔ℎ
1
2
𝑣𝑜
2 +
1
5
𝑣𝑜
2 = 𝑔ℎ
ℎ =
7𝑣𝑜
2
10𝑔
ℎ =
7 × 202
10 × 9,81
ℎ = 28,5 𝑚
Practicando
Respuesta:
𝑏) 
𝑐)
a)
Una persona de 68 kg viaja en una bicicleta de 8,1 kg. Cada rueda de la
bicicleta es un aro de radio 33 cm y masa 1,4 kg.
a) ¿Qué energía debe suministrar el ciclista para moverse a 7,2 m/s?
Incluye la energía cinética del ciclista, la energía cinética del cuadro de
la bicicleta y la energíacinética de las ruedas que giran.
b) ¿Qué porcentaje de la energía que gasta se destina a la rotación de las
ruedas?
c) ¿Qué porcentaje se destina a su propia energía cinética?
Solución:
Cierre
Un cuerpo rígido consta de un movimiento _____________ y
____________.
Se requiere una________ para que un objeto comience a rotar.
NO OLVIDAR!
✓ El momento de inercia depende de la distribución
de masa.
✓ El rodamiento sin deslizamiento implica tanto
rotación como traslación.
✓ Un objeto que gira mientras su centro de masa
(C.M) experimenta movimiento de traslación tendrá
energía cinética tanto de traslación como de
rotación.
BÁSICA
✓ Serway, R. y Jewett, J.W.(2015) Física para ciencias e ingeniería. Volumen I.
México. Ed. Thomson.
✓ Sears F., Zemansky M.W., Young H. D., Freedman R.A. (2016) Física 
Universitaria Volumen I, Undécima Edición. México. Pearson Educación.
COMPLEMENTARIA
✓ Tipler, P., Mosca, G. (2010) Física para la ciencia y la tecnología. Volumen I. 
México Ed. Reverté .
✓ Feynman, R.P. y otros. (2005) Física. Vol. I. Panamá. Fondo Educativo 
interamericano.
✓ Halliday, D., Resnick, R. y Krane, K.S.(2008) Física. Volumen I. México. Ed. 
Continental.
BIBLIOGRAFÍA
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