S16 s2-Repaso-solucionario

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Bienvenidos estimados y 
estimadas estudiantes.
En breve iniciamos la sesión.
Prof. Ulices Fernandez Apolinario
¿con qué tipo de las manzanas se 
identifican?
¿Hay preguntas acerca del tema de la clase pasada?
¿Qué recordamos de la clase anterior?
¿Cómo se transforma la energía del viento en eléctrica?
https://www.youtube.com/watch?v=XyZs1IGbk5s
Utilidad
Las palas hacen rodar un eje que hay dentro
de la góndola, que entra a una caja de
cambios. La caja de cambios incrementa la
velocidad de rotación del eje proveniente del
rotor e impulsa el generador que utiliza
campos magnéticos para convertir la energía
rotacional en energía eléctrica.
Movimiento de un sólido Rígido
Energía de Rodamiento
Semana 16 – Sesión 2
Cálculo aplicado a la física 1
✓Al finalizar la sesión el estudiante evalúa la 
energía cinética de rotación usando el 
principio de conservación de la energía.
Logros
Energía cinética de rotación y momento de inercia
Un cuerpo rígido (no deformable) rota con
velocidad angular ω alrededor del eje fijo en
z. Si consideramos que el cuerpo es un
conjunto de partículas, la energía cinética 𝐸 𝑐 𝑖
de una de estas
• El término entre paréntesis es el momento de
inercia I del cuerpo:
𝐸𝑐𝑖 =
1
2
𝑚𝑖 𝑟𝑖𝜔
2
𝐸𝑐 = Σ𝐸𝑐𝑖 =
1
2
Σ𝑚𝑖𝑟𝑖
2 𝜔2 
𝐼 = Σ𝑚𝑖𝑟𝑖
2
• El momento de inercia es la resistencia que
presenta un cuerpo a cambiar su estado de
giro.
• Si I tiene un valor alto, más difícil será ponerlo
a girar si está en reposo o más difícil será
detenerlo si ya está girando.
• Unidad SI del momento de inercia: kg·m2.
• La energía cinética rotacional de un cuerpo es:
𝐸𝑐 =
1
2
𝐼𝜔2
Cuatro partículas de 2,00 kg están situadas en los vértices de un rectángulo de lados
3,00 m y 2,00 m. Calcula el momento de inercia de este sistema alrededor de los ejes
X, Y e Z.
𝐼 = ෍
i=1
𝑛
𝑚i 𝑟i
2
Con respecto al eje X
𝐼𝑥 = 2 0
2 + 2 0 2 + 2 2 2 + 2 2 2
𝐼𝑥 = 16 𝑘𝑔𝑚
2
Con respecto al eje Y
𝐼𝑦 = 2 0
2 + 2 3 2 + 2 3 2 + 2 0 2
𝐼𝑦 = 36 𝑘𝑔𝑚
2
Con respecto al eje Z
𝐼𝑧 = 2 0
2 + 2 3 2 + 2 13
2
+ 2 2 2
𝐼𝑧 = 52 𝑘𝑔𝑚
2
𝐼 = 𝑚1𝑟1
2 + 𝑚2𝑟2
2 + 𝑚3𝑟3
2 + 𝑚4𝑟4
2
x
Ejemplo 1:
En la figura las partículas se una mediante una varilla muy ligera cuyo momento de inercia puede
despreciarse. Giran alrededor del eje y con una velocidad angular ω = 2rad/s.
Determine el momento de inercia alrededor del eje y calcule la energía cinética a partir de 𝐸𝑐=
1
2
𝐼ω2
𝑬𝑪 = 𝟏, 𝟏𝟐𝑱
Ejemplo 2:
Datos/Observaciones
Momento de inercia para diferentes
cuerpos
Practicando 1
Alternativas
B) 55 𝑘𝑔. 𝑚2
C) 58 𝑘𝑔. 𝑚2
A) 52 𝑘𝑔. 𝑚2
Cuatro partículas están en los vértices de un cuadrado
unidas por varillas sin masa, de modo que m1=m4=3 kg y
m2=m3=4 kg. La longitud del lado del cuadrado es L=2 m.
Hallar el momento de inercia respecto al eje z.
Datos/Observaciones
DINÁMICA DEL MOVIMIENTO ROTACIONAL
Analizaremos el movimiento circular de una partícula de masa m1 que forma 
parte de un sólido que gira alrededor de un eje fijo bajo la acción de una
fuerza tangencial 𝑭tan y una fuerza radial 𝑭rad.
α

FtanFrad
r1
ατ

11 I=
El torque neto sobre el sólido es
( )ατττ



++=++= 2121 II
Ԧ𝜏 = 𝐼 Ԧ𝛼
El torque neto sobre un sólido es igual al
momento de inercia alrededor de su eje de
rotación por su aceleración angular. Es similar
a la segunda ley de Newton.
El torque 𝝉𝟏 = 𝒓𝟏 × 𝑭𝒓𝒂𝒅 + 𝒓𝟏 × 𝑭𝒕𝒂𝒏
𝝉𝟏 = 𝒓𝟏 ∙ 𝑭𝒕𝒂𝒏
𝝉𝟏 = 𝒓𝟏 ∙ 𝒎𝒂𝟏
𝝉𝟏 = 𝒓𝟏 ∙ 𝒎𝒓𝟏𝜶
𝝉𝟏 = 𝒎𝒓𝟏
𝟐𝜶
𝝉𝟏 = 𝑰𝟏𝜶
𝒂𝒕 = 𝒓𝜶
𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰𝑶𝑵
Dos bloques, como se muestra en la figura, están conectados mediante una cuerda de masa
despreciable que pasa sobre una polea de 0,250 m de radio y momento de inercia I. El
bloque sobre el plano inclinado sin fricción se mueve hacia arriba con una aceleración
constante de 2,00 𝑚/𝑠2.
Determine:
a) las tensiones T1 y T2 en las dos partes de la cuerda,
b) el momento de inercia de la polea.
𝑻𝟏 − 𝑭𝟏𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒎𝟏𝒂
𝑻𝟏 = 𝒎𝟏𝒂 + 𝑭𝟏𝒔𝒆𝒏𝜽
𝑻𝟏 = 𝟑𝟎 + 𝟏𝟓𝟎𝒔𝒆𝒏𝜽
Para 𝒎𝟏:
a) Tensiones T1 y T2 
𝑻𝟏
𝑭𝟏
𝑭𝟐
𝑻𝟐
𝑻𝟏
𝑻𝟐
𝜽 = 𝟐𝟐°
𝑻𝟏 = 𝟖𝟔 𝐍
𝑭𝟐 − 𝑻𝟐 = 𝒎𝟐𝒂
Para 𝒎𝟐:
𝑻𝟐 = 𝑭𝟐 − 𝒎𝟐𝒂
𝑻𝟐 = 𝟐𝟎𝟎 − 𝟒𝟎
𝑻𝟐 = 𝟏𝟔𝟎 𝑵
b) Momento de inercia de la polea
෍ 𝝉 = 𝑰𝜶 
𝑻𝟐𝑹 − 𝑻𝟏𝑹 = 𝑰𝜶
𝑻𝟐𝑹 − 𝑻𝟏𝑹 = 𝑰
𝒂
𝑹
𝑰 =
൯𝑹𝟐(𝑻𝟐 − 𝑻𝟏
𝒂
𝑰 =
൯𝟎, 𝟐𝟓 𝟐(𝟏𝟔𝟎 − 𝟖𝟔
𝟐
𝑰 = 𝟐, 𝟑𝟏 𝒌𝒈. 𝒎𝟐
EJEMPLO 3
𝑰 =
𝟏
𝟐
𝒎𝑹𝟐
Practicando 2
Alternativas
𝑐) 15 𝑁. 𝑚
b) 13 𝑁. 𝑚
a) 10 𝑁. 𝑚
El volante de un motor tiene momento de inercia de
2,50 kg.m2 alrededor de su eje de rotación. ¿Qué
torque constante se requiere para que alcance una
rapidez angular de 400 rev/min en 8,00 s, partiendo del
reposo?
Datos/Observaciones
Dinámica de la traslación y la rotación combinadas
aCM
Datos/Observaciones
Traslación Rotación 
1º Condición de equilibrio 2º Condición de equilibrio 
Dinámica Rotacional
෍ Ԧ𝐹 = 0 ෍ 𝑀 = 0
෍ Ԧ𝐹 = 𝑚 Ԧ𝑎
Dinámica Traslacional
෍ 𝑀 = 𝐼 Ԧ𝛼
Datos/Observaciones
El cilindro de 100 kg rueda sin deslizarse sobre el plano horizontal. Determine la aceleración de su 
centro de masa y su aceleración angular.
Ejemplo 4
𝑭𝒓
𝒘
𝑵
𝐏 − 𝐅𝐫 = 𝐦𝐚 … (𝐈)
𝑭𝒓𝒓 = 𝑰𝜶 
𝐅𝐫𝐫 =
𝟏
𝟐
𝐦𝑹𝟐
𝐚
𝑹
 
𝐅𝐫 =
𝐦
𝟐
𝐚 … (𝐈𝐈)
𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐼𝐼 𝑒𝑛 𝐼
𝐏 −
𝐦
𝟐
𝐚 = 𝐦𝐚
Dinámica traslación:
Dinámica rotacional:
𝐚 =
𝟐𝐏
𝟑𝐦
𝐚 =
𝟐(𝟐𝟎𝟎)
𝟑(𝟏𝟎𝟎) 𝐚 = 𝟏, 𝟑𝟑 𝒎/𝒔
𝟐
𝜶 =
𝐚
𝑹
𝜶 =
𝟏, 𝟑𝟑
𝟎, 𝟑
𝜶 = 𝟒, 𝟒𝟑 𝒓𝒂𝒅/𝒔𝟐
Datos/Observaciones
Se enrolla un cordel varias veces en el borde de un aro pequeño de 0,08 m de radio y masa de 
0,18 kg. El extremo libre del cordel se sostiene fijo y el aro se suelta del reposo. Calcule la 
aceleración con la que desciende el aro.
Ejemplo 5
𝒘
𝑻
𝐰 − 𝐓 = 𝐦𝐚
𝑻𝑹 = 𝑰𝜶 
𝑻𝑹 = 𝐦𝐑𝟐
𝐚
𝐑
 
𝑻 = 𝐦𝐚 … (𝐈𝐈)
𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐼𝐼 𝑒𝑛 𝐼
𝐦𝐠 − 𝐦𝐚 = 𝐦𝐚
Dinámica traslación:
Dinámica rotacional:
𝐚 =
𝐠
𝟐
𝐚 =
𝟗, 𝟖𝟏
𝟐
𝐚 = 𝟒, 𝟗𝟎𝟓 𝒎/𝒔𝟐
𝐦𝐠 − 𝐓 = 𝐦𝐚 … (𝐈)
𝐠 = 𝟐𝐚
Traslación y rotación combinadas: Relaciones de energía
❑ El movimiento de un cuerpo rígido es una combinación de movimiento de 
traslación del centro de masa y de rotación alrededor del centro de masa.
❑ La energía cinética de un cuerpo rígido en rotación y traslación es:
Datos/Observaciones
EJEMPLO 6: 
Una la lata tiene una masa de 215g, altura de 10.8cm y diámetro de 6.38 cm. Se 
coloca en reposo en la parte superior de una pendiente que mide 3m de largo y 25° 
con la horizontal. Con métodos de energía, calculé el momento de inercia de la lata 
si tarda 1.5 s en alcanzar el pie de la pendiente 
25°
ωo=0
Vo=0
ωf
Vf
Usamos MRUV para hallar la velocidad
con que llega al pie de la pendiente
𝑑 =
𝑣𝑓 + 𝑣𝑜
2
𝑡
3 =
𝑣𝑓 + 0
2
× 1,5
𝑣𝑓 = 4 𝑚/𝑠
Usamos la relación:
𝑣𝑓 = 𝜔𝑓𝑟
4 = 𝜔𝑓 × 0,0318
𝜔𝑓 = 125,79 𝑟𝑎𝑑/𝑠
2
Usamos relaciones de energía
ℎ = 3𝑚 𝑠𝑒𝑛25° = 1,27𝑚
N.R
1
2
𝑚𝑣𝑓
2 +
1
2
𝐼𝜔𝑓
2 = 𝑚𝑔ℎ
1
2
× 0,215 × 42 +
1
2
𝐼 × 125,792 = 0,215 × 9,81 × 1,27
𝐼 = 1,21 × 10−4𝑘𝑔. 𝑚2
Datos/Observaciones
EJEMPLO 7:
Se muestra una esfera sólida uniforme cuya velocidad 
sobre una superficie horizontal a 20 m/s y luego rueda 
hacia arriba sobre un plano inclinado. Si las pérdidas 
debidas a la fricción son despreciables, ¿cuál será el valor 
de h en el lugar donde se detiene la esfera?
ωf=0
Vf=0
Usamos relaciones de energía
N.R
Usamos la relación:
𝑣𝑜 = 𝜔𝑜𝑟
𝜔𝑜 =
𝑣𝑜
𝑟
1
2
𝑚𝑣𝑜
2 +
1
2
𝐼𝜔𝑜
2 = 𝑚𝑔ℎ
Momento de inercia de una esfera solida
1
2
𝑚𝑣𝑜
2 +
1
2
2
5
𝑚𝑟2
𝑣𝑜
𝑟
2
= 𝑚𝑔ℎ
1
2
𝑣𝑜
2 +
1
5
𝑣𝑜
2 = 𝑔ℎ
ℎ =
7𝑣𝑜
2
10𝑔
ℎ =
7 × 202
10 × 9,81
ℎ = 28,5 𝑚
Practicando 3
Respuesta:
𝑏) 
𝑐)
a)
Una persona de 68 kg viaja en una bicicleta de 8,1 kg. Cada rueda de la
bicicleta es un aro de radio 33 cm y masa 1,4 kg.
a) ¿Qué energíadebe suministrar el ciclista para moverse a 7,2 m/s?
Incluye la energía cinética del ciclista, la energía cinética del cuadro de
la bicicleta y la energía cinética de las ruedas que giran.
b) ¿Qué porcentaje de la energía que gasta se destina a la rotación de las
ruedas?
c) ¿Qué porcentaje se destina a su propia energía cinética?
Solución:
Cierre
Un cuerpo rígido consta de un movimiento _____________ y
____________.
Se requiere una________ para que un objeto comience a rotar.
NO OLVIDAR!
✓ El momento de inercia depende de la distribución
de masa.
✓ El rodamiento sin deslizamiento implica tanto
rotación como traslación.
✓ Un objeto que gira mientras su centro de masa
(C.M) experimenta movimiento de traslación tendrá
energía cinética tanto de traslación como de
rotación.
BÁSICA
✓ Serway, R. y Jewett, J.W.(2015) Física para ciencias e ingeniería. Volumen I.
México. Ed. Thomson.
✓ Sears F., Zemansky M.W., Young H. D., Freedman R.A. (2016) Física 
Universitaria Volumen I, Undécima Edición. México. Pearson Educación.
COMPLEMENTARIA
✓ Tipler, P., Mosca, G. (2010) Física para la ciencia y la tecnología. Volumen I. 
México Ed. Reverté .
✓ Feynman, R.P. y otros. (2005) Física. Vol. I. Panamá. Fondo Educativo 
interamericano.
✓ Halliday, D., Resnick, R. y Krane, K.S.(2008) Física. Volumen I. México. Ed. 
Continental.
BIBLIOGRAFÍA
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