Cuerpo rígido - Parte A

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Centro de Masa 
Cuerpo Rígido 
 FÍSICA I- CLASE TEÓRICO-PRÁCTICA 
Sistemas de partículas: 
 Centro de masa (CM) 
Sistema de dos partículas unidas por 
una barra de masa despreciable, cada 
partícula se mueve diferente en los tres 
casos presentados. 
 
Un punto, ubicado entre las partículas, 
se mueve igual en los tres casos, es el 
Centro de Masa del sistema. 
 
“El Centro de masa del sistema 
(CM) es un punto matemático, no 
material, que representa el 
movimiento de todo el sistema” 
 
Vector Posición del Centro 
de Masa del Sistema 
𝒓 𝑪𝑴 =
𝒎𝟏 ∙ 𝒓𝟏 +𝒎𝟐 ∙ 𝒓𝟐 +⋯+𝒎𝒊 ∙ 𝒓𝒊 +⋯
𝑴𝑻
= 
 𝒎𝒊 ∙ 𝒓𝒊𝒊
𝑴𝑻
 
 
 Donde 𝑀𝑇 = 𝑚1 +𝑚2 +⋯+𝑚𝑖 +⋯ (masa total del 
sistema) 
O, en el plano, por sus componentes: 𝑟 𝐶𝑀 = 𝑥𝐶𝑀 , 𝑦𝐶𝑀 
𝑟 𝐶𝑀 = 
 𝑚𝑖 ∙ 𝑟𝑖𝑖
𝑀𝑇
 ⇒ 
𝑥𝐶𝑀 =
𝑚1 ∙ 𝑥1 +𝑚2 ∙ 𝑥2 +⋯+𝑚𝑖 ∙ 𝑥𝑖 +⋯
𝑀𝑇
=
 𝑚𝑖 ∙ 𝑥𝑖𝑖
𝑀𝑇
𝑦𝐶𝑀 =
𝑚1 ∙ 𝑦1 +𝑚2 ∙ 𝑦2 +⋯+𝑚𝑖 ∙ 𝑦𝑖 +⋯
𝑀𝑇
=
 𝑚𝑖 ∙ 𝑦𝑖𝑖
𝑀𝑇
 
Centro de masa de un cuerpo sólido 
Considerando un sólido con volumen como formado por pequeñas 
masas ∆𝑚𝑖 una al lado de la otra, conformando una masa continua, 
entonces el centro de masa sería próximo a: 
𝑟 𝐶𝑀 ≈ 
∆𝑚1 ∙ 𝑟1 + ∆𝑚2 ∙ 𝑟2 +⋯+ ∆𝑚𝑖 ∙ 𝑟𝑖 +⋯
𝑀
= 
 ∆𝑚𝑖 ∙ 𝑟𝑖𝑖
𝑀
 
Haciendo cada vez mas pequeñas las masas: ∆𝑚𝑖 → 0 
𝒓 𝑪𝑴 = 𝐥𝐢𝐦
∆𝒎𝒊→𝟎
𝟏
𝑴
 ∆𝒎𝒊 ∙ 𝒓𝒊
𝒊
 ⇒ 𝒓 𝑪𝑴 =
𝟏
𝑴
 𝒓 𝒅𝒎 
CM de cuerpos sólidos homogéneos y simétricos 
El centro de masa de cuerpos homogéneos y simétricos coincide con 
el centro geométrico 
• Densidad volumétrica de masa: 𝜌 =
𝑚
𝑉𝑜𝑙
 (magnitud escalar) → Unidades en S. I.: 
𝑘𝑔
𝑚3
 
 
• Densidad superficial de masa: σ =
𝑚
𝐴
 (magnitud escalar) → Unidades en S. I.: 
𝑘𝑔
𝑚2
 
Objetos con distribución homogénea de masa: cualquier pequeño volumen del cuerpo tiene 
la misma densidad volumétrica o, para el caso de placas o láminas, cualquier pequeña 
superficie contiene la misma densidad superficial 
Ejercicio 1 : Centro de masa de un sistema de partículas 
Un sistema está compuesto por tres masas: 
𝑚1 , 𝑚2 𝑦 𝑚3 que están ubicadas como se 
indican en la figura. Si 𝑚2 = 2𝑚1 y 𝑚3 = 3𝑚1 
 
a) Determinar la posición del CM de este 
sistema. ¿La posición del CM coincide con la 
posición de alguna de las partículas? 
 
a) Si 𝑚2 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎 4 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 ¿Se mantiene la 
posición del CM obtenida en a)? Justifique 
su respuesta 
 
El movimiento de todo un sistema de partículas, de masa total M, se puede 
representar como el movimiento de una partícula de masa M cuya posición está 
dada por CM. Por lo tanto debe asociarse al CM una velocidad y una aceleración 
Velocidad del CM 
Derivando 𝒓 𝑪𝑴 se obtiene la velocidad del CM (cambio de la posición con el tiempo) 
𝒗 𝑪𝑴 =
𝒅𝒓 𝑪𝑴
𝒅𝒕
=
𝒅
𝒅𝒕
 𝒎𝒊 ∙ 𝒓𝒊𝒊
𝑴𝑻
=
 𝒎𝒊 ∙
𝒅𝒓𝒊
𝒅𝒕𝒊
𝑴𝑻
 ⇒ 𝒗 𝑪𝑴 =
 𝒎𝒊 ∙ 𝒗𝒊𝒊
𝑴𝑻
⇒ 
𝒗𝑪𝑴𝒙 =
 𝒎𝒊 ∙ 𝒗𝒊𝒙𝒊
𝑴𝑻
𝒗𝑪𝑴𝒚 =
 𝒎𝒊 ∙ 𝒗𝒊𝒚𝒊
𝑴𝑻
 
Dinámica de un Sistema de Partículas 
Aceleración del CM 
Derivando 𝒗 𝑪𝑴 se obtiene la aceleración del CM (cambio de la velocidad con el tiempo) 
𝒂 𝑪𝑴 =
𝒅𝒗 𝑪𝑴
𝒅𝒕
=
𝒅
𝒅𝒕
 𝒎𝒊 ∙ 𝒗𝒊𝒊
𝑴𝑻
=
 𝒎𝒊 ∙
𝒅𝒗𝒊
𝒅𝒕𝒊
𝑴𝑻
⇒ 𝒂 𝑪𝑴 =
 𝒎𝒊 ∙ 𝒂𝒊𝒊
𝑴𝑻
⇒ 
𝒂𝑪𝑴𝒙 =
 𝒎𝒊 ∙ 𝒂𝒊𝒙𝒊
𝑴𝑻
𝒂𝑪𝑴𝒚 =
 𝒎𝒊 ∙ 𝒂𝒊𝒚𝒊
𝑴𝑻
 
Dinámica de sistemas de partículas 
 
si 𝑎 𝐶𝑀 = 𝑐𝑡𝑒, entonces, análogamente a lo visto en movimiento 2D 
con aceleración constante, el movimiento del CM está dado por: 
 
• 𝒓 𝑪𝑴 𝒕 = 𝒓 𝑪𝑴𝒐 + 𝒗 𝑪𝑴𝒐 . 𝒕 +
𝟏
𝟐
𝒂 𝑪𝑴. 𝒕
𝟐 
 
 En tanto la velocidad del CM es gobernada por: 
 
• 𝒗 𝑪𝑴 𝒕 = 𝒗 𝑪𝑴𝒐 + 𝒂 𝑪𝑴. 𝒕 
 
El movimiento del pino está afectado por la aceleración de la gravedad: 
𝑎 𝐶𝑀 = 𝑔 = −9,8 𝒋 
𝑚
𝑠2
. Por eso el CM describe una parábola 
Dinámica de Sistemas de Partículas 
Si la fuerza externa resultante es cero, entonces se cumple que: 
𝑑𝑝 𝑇
𝑑𝑡
= 𝑀𝑇𝑎 𝐶𝑀 = 0 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑝 𝑇 = 𝑀𝑣 𝐶𝑀 = 𝑐𝑡𝑒 
Ejercicio 2 : La balsa flotante 
Lucía de masa “m” está parada en un extremo de una balsa flotante, de 
masa “M” y de longitud “L”, que está estacionaria respecto de la orilla. 
A continuación ella empieza a caminar desde un punto A situado a una 
distancia “a” de un extremo de la balsa hacia otro punto P situado a una 
distancia “a” del otro extremo de la balsa. Ignorando la fricción entre la 
balsa y el agua, ¿Se mueve la balsa? Analice la situación y encuentre la 
posición del extremo izquierdo de la canoa al finalizar este proceso 
Cuerpo Rígido 
El movimiento de un objeto extendido no se puede explicar al 
representarlo como una partícula, en cualquier momento diferentes 
partes del objeto tienen distintas velocidades y aceleraciones lineales. 
 
Se considera al cuerpo rígido como un conjunto de partículas cuyas 
posiciones relativas no cambian con el tiempo, bajo la aplicación de 
una fuerza o momento. 
Tipos de Movimiento de un Cuerpo Rígido 
Movimiento de Rotación Movimiento de Traslación 
Todas las partículas 
describen trayectorias 
paralelas de modo que 
las líneas que unen dos 
puntos cualesquiera del 
cuerpo permanecen 
siempre paralelas a su 
posición inicial 
Todas las partículas 
describen trayectorias 
circulares alrededor de 
una línea denominada 
eje de rotación. El eje 
puede estar fijo o 
puede estar cambiando 
su dirección 
Movimiento de Traslación 
y Rotación 
El movimiento más 
general de un cuerpo 
rígido combina la 
traslación y la rotación 
ROTACIÓN DE CUERPOS RÍGIDOS 
Desplazamiento, Velocidad Angular y Aceleración angular 
Se considera un cuerpo rígido que gira en torno a un eje 
fijo, en reposo respecto a un marco de referencia inercial 
que no cambia de dirección relativa al marco, 
perpendicular al plano de la figura que pasa por O. 
 
Un punto P del cuerpo, modelado como partícula, se 
encuentra a una distancia fija r desde O y gira en sentido 
antihorario describiendo un círculo de radio r 
El desplazamiento angular del objeto rígido: θ = θ𝑓 - θ 𝑖 
La rapidez angular media : ω𝑚= 
∆θ
∆𝑡
 
La rapidez angular instantánea 
ω = lim
∆𝑡⇾0
∆θ
∆𝑡
=
𝑑θ 
𝑑𝑡
 
Para un intervalo de tiempo ∆t : 
El módulo de la aceleración angular media es : 
razón: 
α𝑚= 
∆ω 
∆𝑡
 
El módulo de la aceleración angular 
instantánea 
α = lim
 ∆𝑡⇾0
 
∆ω
∆𝑡
=
𝑑ω
𝑑𝑡
 
Al rotar alrededor de un eje fijo toda partícula de un objeto rígido 
tiene la misma velocidad angular y aceleración angular, esto 
significa que α y ω caracterizan el movimiento rotacional de todo 
cuerpo rígido 
Las ecuaciones cinemáticas para el movimiento rotacional de un 
cuerpo rígido bajo aceleración angular constante : 
ω = ω0 + α ∆t ∆θ=ω0 ∆𝑡 +
1
2
 α ∆𝑡2 ω2 = ω0
2 + 2α ∆θ 
Relación entre cantidades angulares y lineales 
𝑣𝑡 = ω𝑟 
La magnitud de la velocidad lineal de un punto 
P sobre un objeto rígido rotatorio es : 
La magnitud de la aceleración lineal de un punto 
P sobre un objeto rígido rotatorio es: 𝑎𝑡=α 𝑟 
Aunque todo punto en el objeto rígido tiene la 
misma velocidad y aceleración angular, no 
todos los puntos tienen la misma velocidad ni 
aceleración lineal 
Energía Rotacional- Momento de Inercia 
Se considera un objeto rígido como si 
fuera una colección de pequeñas 
partículas, que giran alrededor de un eje z 
fijo con una velocidad angular ω. 
Cada partícula tiene una energía cinética: 𝒌𝒊 =
𝟏
𝟐
𝒎𝒊𝒗𝒊
𝟐 
 𝑣𝑖 = ω 𝑟𝑖 
El módulo de la velocidad lineal de cada partícula 
depende de la distancia perpendicular 𝑟𝑖 medida 
desde el eje de rotación 
La energía cinética total del objeto rígido en rotación es la 
suma de las energías cinéticas de las partículas individuales: 
 𝑘𝑖 = 
1
2
𝑚𝑖 𝑣𝑖
2 =
1
2
 𝑚𝑖𝑟𝑖
2ω2 =
1
2
 𝑚𝑖𝑟𝑖
2 ω2 
La cantidad 𝒎𝒊 𝒓𝒊
𝟐 se denomina Momento de Inercia I 
del sistema de partículas 
𝐼 = 𝑚𝑖 𝑟𝑖
2Por lo que la energía rotacional del objeto rígido giratorio 
se expresa como: 
𝑬𝑪𝑹 =
𝟏
𝟐
𝑰 𝝎𝟐 
Unidades en SI : 
 𝑘𝑔.𝑚2 
El momento de Inercia depende 
de la ubicación y orientación del 
eje de rotación. 
Cuando mayor sea el momento de inercia I 
mayor será la energía cinética del cuerpo 
rígido que gira con una rapidez angular ω 
Momento de Inercia (Inercia Rotacional) (I) 
• Es una medida de la oposición que presenta 
todo cuerpo a cambiar su estado de rotación. 
 
• Depende de como está distribuida la masa 
del cuerpo respecto al eje de rotación. Mas 
alejada, mayor momento de inercia. 
 La bailarina y el saltador cambian 
su inercia rotacional al extender o 
contraer sus cuerpos respecto al 
eje de rotación 
Ejercicio 3 
Sistema de Partículas 
Cuatro esferas pequeñas se amarran a los extremos de dos barras con masa 
despreciable que se encuentran en plano xy, como muestran las figuras 
 
• Encuentre el momento de inercia y la energía cinética rotacional del sistema en 
torno al eje de rotación si: 
a) El sistema da vueltas en torno al eje “ y” con una rapidez angular 𝜔 
b) El sistema da vueltas en torno al eje “x” con una rapidez angular 𝜔 
c) El sistema gira con una rapidez angular 𝜔 en el plano xy en torno al eje “z” 
perpendicular al plano, que pasa por 0 
 
• Compare los resultados obtenidos para la Energía Cinética Rotacional en los 
casos a) b) y c) considerando que : 𝑚 < 𝑀 𝑦 𝑏 < 𝑎 
 
Momento de Inercia de un cuerpo 
Para un cuerpo que sea una distribución continua de masa, el 
momento de Inercia se obtiene aplicando cálculo integral. 
Se supone al cuerpo dividido en elementos infinitesimales de masa 
∆m, y ¨r¨ la distancia de uno cualquiera de ellos al eje de rotación, 
el momento de inercia se obtiene: 
𝐼 = lim
∆𝑚⇾0
 𝑟2 ∆𝑚 = 𝑟2𝑑𝑚 
Momento de Inercia de diversos cuerpos uniformes 
 Radio de Giro (k) 
Se considera un cuerpo rígido o sistema de partículas, que gira 
alrededor de un eje fijo respecto a un sistema inercial. 
El radio de giro es una distancia al eje dado, a la cual se puede 
considerar concentrada la masa del sistema, sin que varíe su momento 
de inercia respecto a dicho eje. 
El momento de inercia sería el de una masa puntual 𝑀𝑇 situada a la 
distancia k del eje; o sea : 
𝑀𝑇𝑘
2 = 𝐼 
𝑘 =
𝐼
𝑀𝑇
 Por lo tanto: 
𝑀𝑇: masa total 
K: radio de giro 
Teorema de los ejes paralelos o Teorema de Steiner 
El Teorema de los Ejes Paralelos relaciona el momento de inercia 
𝐼𝐶𝑀 de un cuerpo de masa M alrededor de un eje que pasa por el 
centro de masa y el momento de inercia 𝐼𝑃 alrededor de cualquier 
otro eje paralelo al original pero desplazado una distancia ¨d¨ . Esta 
relación se expresa: 
𝐼𝑃 = 𝐼𝐶𝑀 +𝑀𝑑
2 
P 
Se consideran dos ejes paralelos al eje z , 
uno pasa por el centro de masa y el otro 
por un punto P. Se toma una rebanada 
del cuerpo paralela al plano x y , y 
perpendicular al eje z. Se toma el origen 
de coordenadas coincidiendo con el 
centro de masa del cuerpo, por lo que 
𝑥𝐶𝑀 = 𝑦𝐶𝑀 = 𝑧𝐶𝑀=0 
El eje que pasa por el CM atraviesa esta rebanada en O y el eje que 
pasa por P tiene coordenadas (a, b) , donde 𝑑2= 𝑎2 + 𝑏2 
Tomando un elemento de masa 𝑚𝑖 de la rebanada : 
𝐼𝐶𝑀 = 𝑚𝑖 𝑥𝑖
2 + 𝑦𝑖
2 
El momento de inercia 𝐼𝐶𝑀 de la rebanada alrededor del eje que 
pasa por el centro de masa en O es: 
El momento de Inercia de la rebanada 
alrededor del eje que pasa por P es: 
𝐼𝑃 = 𝑚𝑖 𝑥𝑖 − 𝑎
2 + 𝑦𝑖 − 𝑏
2 
𝐼𝑃 = 𝑚𝑖 𝑥𝑖
2 + 𝑦𝑖
2 − 2𝑎 𝑚𝑖𝑥𝑖 − 2𝑏 𝑚𝑖𝑦𝑖 + 𝑎
2 + 𝑏2 𝑚𝑖 
𝐼𝑃 = 𝐼𝐶𝑀 +𝑀𝑑
2 
Reagrupando : 
El primer término es el momento de Inercia 𝐼𝐶𝑀 , el segundo y tercer 
término son nulos por ser proporcionales a 𝑥𝐶𝑀 y a 𝑦𝐶𝑀 que son cero 
por haber tomado el origen en el centro de masa, el cuarto término es 
𝑑2 multiplicado por la masa total 
𝐼𝑃 = 𝑚𝑖 𝑥𝑖
2 − 2𝑥𝑖𝑎 + 𝑎
2 + 𝑦𝑖
2 − 2𝑦𝑖𝑏 + 𝑏
2 
Momento de Torsión o Torca (τ) 
La tendencia de una fuerza a hacer girar 
un objeto alrededor de cierto eje se mide 
por medio de una cantidad llamada 
Momento de Torsión (τ) 
τ = 𝑟𝐹 sinϕ = F. 𝑑 
Donde r es la distancia entre el centro de rotación y el punto de 
aplicación de la fuerza F y d es la distancia perpendicular desde el 
centro de rotación hasta la línea de acción de F, llamada brazo de 
palanca o brazo de momento de F 
τ = 𝑟 x 𝐹 
(magnitud de la torca) 
La torca τ de la fuerza con respecto a O es : 
donde 𝐹 es la fuerza que actúa en un punto y 
𝑟 es el vector posición con respecto a O 
Relación entre Momento de Torsión y 
Aceleración angular 
Se considera al cuerpo rígido como un 
conjunto de partículas. Se elige el eje z 
como eje de rotación , 𝑚1 es la masa 
de una partícula que se encuentra a 
una distancia 𝑟1 del eje de rotación 
La fuerza total que actúa sobre la partícula, 𝐹1 , tiene como 
componentes: 𝐹1𝑡𝑎𝑛 , 𝐹1𝑟𝑎𝑑 , 𝐹1𝑧 
La segunda ley de Newton para la componente tangencial es : 
𝐹1𝑡𝑎𝑛𝑟1 = 𝑚1𝑎𝑖𝑡𝑎𝑛𝑟1 = 𝑚1𝑟1
2α𝑍 
𝐹1𝑡𝑎𝑛 = 𝑚1𝑎1𝑡𝑎𝑛 = 𝑚1𝑟1α𝑍 
Multiplicando por 𝑟1 los 
miembros: 
(1) 
 𝝉𝒛 = І𝜶𝒛 
Las componentes 𝐹1𝑟𝑎𝑑 y 𝐹1𝑧 no contribuyen a la torca alrededor del eje z, 
ninguna tiende a modificar la rotación de la partícula alrededor de ese eje. 
Por lo tanto en (1) : 
𝐹1𝑡𝑎𝑛𝑟1 es la torca de la fuerza total con respecto al eje de rotación 
τ1𝑧 = 𝑚1𝑟1
2α𝑍 
Considerando todas las partículas del cuerpo y sumando los torques: 
τ1𝑧 + τ2𝑧 +⋯ = 𝑚1𝑟1
2α𝑍 +𝑚2𝑟2
2α𝑍 + … 
Es decir: τ𝑖𝑧 = ( 𝑚𝑖𝑟𝑖
2) α𝑧 
Para el cuerpo rígido entero, se tiene el análogo 
rotacional de la segunda ley de Newton 
La Torca total que actúa sobre un cuerpo rígido es igual al momento de 
inercia del cuerpo alrededor del eje de rotación multiplicado por la 
aceleración angular 
(2) 
(Las torcas de las fuerzas internas suman cero por lo que 𝝉𝒛 de la ecuación 
(2) incluye solo torcas de las fuerzas externas) 
Ejercicio 4: La rueda homogénea 
Una masa m está fija a una cuerda que se 
enreda alrededor de una rueda homogénea, 
de radio R, masa M y momento de inercia 
I, que puede girar libremente con respecto 
a su eje horizontal. Encontrar, en función 
de m, R, I, g, la expresión de: 
 
a) La aceleración lineal de la masa m 
b) La tensión en la cuerda 
c) La aceleración angular de la polea