clase 12 cantidad de movimiento angular - March DR

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Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Cantidad de movimiento angular de una partícula y de un sistema de partículas
Momento de rotación 
Energía de un sistema de partículas 
Expresión del trabajo y la energía para la rotación 
Expresiones del centro de masa 
Conservación de la cantidad de movimiento angular
UNIDAD 6 
Choque o Colisión 
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
MOMENTO DE ROTACIÓN
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
	
	La puerta gira cuando se aplica una fuerza sobre ella; es una fuerza de torque o momento.
Cuando se aplica una fuerza en algún punto de un cuerpo rígido, dicho cuerpo tiende a realizar un movimiento de rotación en torno a algún eje. 
Ahora bien, la propiedad de la fuerza aplicada para hacer girar al cuerpo se mide con una magnitud física que llamamos torque o momento de la fuerza.
Entonces, se llama torque o momento de una fuerza a la capacidad de dicha fuerza para producir un giro o rotación alrededor de un punto. 
DINAMICA ROTACIONAL
 B A  F
 b r
 
 O 
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MOMENTO DE ROTACION: 
La fuerza F actúa sobre una partícula situada en un punto A , cuya posición con respecto al origen O del marco referencial inercial está dado por el desplazamiento r por lo tanto el momento de rotación M o  que obra sobre la partícula 
se define como = . (1) (fuerza por brazo de palanca)
Como b = r sen  M = F . r .sen (2) que es el módulo del vector producto vectorial de F y r  = x o = x 
La magnitud o módulo del MOMENTO de ROTACIÓN esta dado por la ecuación [2] siendo la dirección perpendicular al plano definido por r y el sentido lo determina la aplicación de la mano derecha
 
DINAMICA ROTACIONAL
Utilizando coordenadas cartesianas
Vector r = x + y + z
Vector F = FX + FY + FZ
 M  
 O
 r F
 b
 A 
 
 
 
 
 
 
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Momento de Rotación en coordenadas Cartesianas
Definidos el vector posición y la fuerza como
r = i x + j y + k z y F = i Fx + jFy + kFz
 = r x F = i J K
 X y z
 Fx Fy Fz
  = i ( yFz – zFy) + j ( zFx – xFz) + k (xFy- yFx) 
 
 x y z 
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Cantidad de Movimiento Angular o Momento 
Cinético o Impulso Angular “ “
 L
 O
 r p = mv
 
 m
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Cantidad de Movimiento Angular o Momento Cinético o Impulso Angular
Definición de Momento Angular ( o Cinético) para una partícula:
 = x Módulo :  L  = r p sen
 Dirección: perpendicular al plano de r y p
 Sentido: regla mano derecha
Componentes cartesianas:
 
 = x = = Lx + Ly + Lz =
 = (y Z ) + (z  x ) + (X y )
Para el plano x-y es z=0 y Pz = 0
  Lz = (x Py  y Px )
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Teorema de Conservación del impulso Angular
A partir de la ecuación = x derivo respecto del tiempo
 = x + x 
 m 
 vectores paralelos  producto vectorial nulo
Entonces = x pero x = 
 = SI L y M se evalúan respecto al mismo punto 
Si M = 0  = 0  L = CONSTANTE
SI EL MOMENTO DE ROTACIÓN (TORQUE) SOBRE UNA PARTÍCULA ES NULO , EL IMPULSO ANGULAR DE LA MISMA ES CONSTANTE
El torque es nulo si: 1) F = 0 ENTONCES ES PARTÍCULA LIBRE
 2) F 
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Forma vectorial del momento Angular
Cuando los vectores y son perpendiculares (como el caso del movimiento circular uniforme ) entonces v =  r por lo tanto L = m r v = 
 L = m r2  cuando la dirección de L es la misma que  
Puede escribirse en FORMA VECTORIAL = m r2 
 
 
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ECUACION FUNDAMENTAL DE LA DINAMICA ROTACIONAL para una partícula
Partimos de la ecuación L = m r2  (recordar que es una ecuación vectorial)
Definimos Momento de Inercia o Inercia Rotacional, como I = m r2 
Si remplazamos L = I  ( es correcta si los vectores L y  son paralelos) 
Entonces como 
 M= = = I = I . 
 M = I .  analogía formal con F = m a
 I .  donde MOMENTO DE INERCIA es análogo
 a la masa m
DINAMICA ROTACIONAL
EXPRESION DE TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA en la ROTACIÓN
El trabajo elemental es dw = F . ds 
 dW= F ds cos 
 pero cos = sen 
 Ft F  dW= F ds sen 
 
 d  pero Ft = F sen 
 r ds  y ds = r d
 Ft .r = M dW= M . d (dW=  . d )
 
 Pero también dW = dEc 
 dW = m .v dv = m . ( .r) (r d) = m .  d 
 dW = I  d 
INTEGRANDO W =  
 
 
 
Momento angular de un conjunto de partículas puntuales
El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:
                                
La variación temporal es:
                               
El término de derecha es la suma de todos los momentos producidos por todas las fuerzas que actúan sobre las partículas. Una parte de esas fuerzas puede ser de origen externo al conjunto de partículas. Otra parte puede ser fuerzas entre partículas. Pero cada fuerza entre partículas tiene su reacción que es igual pero de dirección opuesta y colineal. Eso quiere decir que los momentos producidos por cada una de las fuerzas de un par acción-reacción son iguales y de signo contrario y que su suma se anula. Es decir, la suma de todos los momentos de origen interno es cero y no puede hacer cambiar el valor del momento angular del conjunto. Solo quedan los momentos externos:
 
El momento angular de un sistema de partículas se conserva en ausencia de momentos externos. Esta afirmación es válida para cualquier conjunto de partículas: desde núcleos atómicos hasta grupos de galaxias.
L para un sistema de partículas
de acuerdo a la ecuación momento Mext =  ext
y si  ext =0 entonces dL/dt = 0  L = CONSTANTE
“El impulso Angular de un sistema aislado es constante en magnitud, dirección y sentido” 
 z y fuerzas externas
 
 
 
 
 
 y
 x = 
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Teorema del Trabajo y Energía para un sistema de Partículas
Si en la expresión = + 
Las fuerzas internas son conservativas, se puede asociar al trabajo a una variación por lo tanto = - debido a que y la 
 son opuestas al desplazamiento entonces W es negativo
Ese término vale para cada par de partículas.
El sistema tiene energía propia que consta de 2 términos: a) una Ec de cada partícula evaluada respecto a un sistema interno b) una Epi que es independiente de ese sistema.
 = + Expresión del teorema del T y Energía para el 
 Sistema de Partículas
La energía potencial U = + 
 = 
 
De donde si = 0 entonces = 0 y U = constante, si las fuerzas internas son conservativas
Si las velocidades de las partículas del sistema se miden respecto del centro de masas del mismo, la Energía Cinética de llama 
 por lo que = + que es independiente del sist. de Ref.
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Dinámica del Cuerpo Rígido
Definición: cuerpo rígido es un caso especial de sistema constituido por muchas partículas, en el cual las distancias entre estas permanecen constantes cuando al cuerpo se aplica una fuerza o un momento . Es decir, el cuerpo rígido conserva su forma durante el movimiento
Movimiento General del C.R.: 
 Mov. De Traslación:  M . = 
Mov. De Rotación:  Alrededor de un eje que pasa por un punto fijo en 
 un sistema de referencia inercial = 
  Alrededor de un eje que pasa a traves del centro de
 masa = 
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Consideramos un C.R. que rota alrededor de un eje z con velocidad angular 
Cada partícula describe trayectoria circular 
La partícula de velocidad tangencial = x está ubicada por su vector posición con respecto al origen O 
El punto O se escoge como un punto fijo en un marco de referencia inercial o en el mismo centro de masa del cuerpo rígido
El impulso angular o cantidad de movimiento angular de con respecto al origen O es : = x = x 
La proyección de sobre el eje z : = cos( - )
 = sen( )
 = sen( ) = x = x = x x 
 = es un producto vectorial pero ambos vectores 
 son perpendiculares, para todos los puntos del cuerpo
 y todos los están sobre el eje z, se puede operar algebraicamente
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La componente del impulso angular total sobre el eje de rotación “z” será:
 = =  ) 
 
 = Momento de Inercia del cuerpo Rígido, con
 respecto al eje Z
Por lo tanto = .
 
El impulso angular o cantidad de movimiento angular del Cuerpo Rígido es:
	 = 
 En general no es paralelo al eje de rotación pues los no lo son. 
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Se puede demostrar que para cada cuerpo, independientemente de su forma, hay tres direcciones (perpendiculares entre sí) para las cuales se cumple que el impulso angular es paralelo al eje de rotación o sea a .
En esas direcciones están los “Ejes principales de Inercia” ( , , ) que rotan con el cuerpo
Los momentos de inercia correspondientes a ésos ejes se llaman “ Momentos principales de Inercia” ( , , )
Si el cuerpo es simétrico, los ejes principales de inercia coinciden con los ejes de simetría del cuerpo
 
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Cuando el cuerpo rígido rota en torno de un eje principal de Inercia, entonces el impulso es paralelo a la velocidad angular  = .
Si el cuerpo rígido rota en torno a un eje arbitrario, no paralelo a un eje principal, entonces el se puede relacionar con los ejes principales y los momentos principales de Inercia, mediante la siguiente ecuación:
 = + + 
Cálculo de Momento de Inercia
Como el cuerpo rígido está compuesto por un gran número de partículas la sumatoria en la ecuación del momento de inercia, la reemplazamos por una integral, de modo que :
 = = dm
Si es la densidad del cuerpo =  dm = dv  = dv
y si el cuerpo es homogéneo = cte, entonces: = dv
La integral se reduce a un factor geométrico igual para todos los cuerpos con la misma forma y tamaño
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 Z
 
 R = distancia al eje de rotación
 
 z dm
 0 y
 R Y
 x
 se observa en el diagrama que = + 
 X
Por lo tanto el momento de inercia respecto al eje z  = dv
Análogamente para los otros ejes se tiene  = dv = dv
Las unidades del momento de inercia en el Sistema Internacional es
 =  kg 
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Ejemplo: calcular el momento de Inercia de una varilla delgada:
Respecto a un eje perpendicular que pasa a través de un extremo.
 Y S =sección
 X
Se denomina L= longitud de la varilla S= sección recta
 dx= longitud de pequeño segmento de varilla
Volumen de pequeño segmento dv= S.dx
Distancia de cada elemento al eje “Y” es R= x
La ecuación de del momento de inercia es : = dv
 = = .S = .S 
Como el volumen de la varilla es S.L  masa = .S.L
Por lo tanto: = .S.L.
 = M.
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Ejemplo: calcular el momento de Inercia de una varilla delgada:
b) Respecto a un eje perpendicular que pasa a través del centro de masa.
 -L/2 Yc L/2
 0 x
 
Para calcular el momento de inercia con respecto al eje Yc que pasa a través del centro de masa se procede:
Suponemos que la varilla esta dividida en dos, cada una de masa M/2 y longitud L/2, con sus extremos tocándose y aplicamos el resultado anterior:
 c = 2 . . = M  c = M.
2. Se procede a la integración, pero tomamos los limites de integración - y 
 ecuación del momento de inercia = dv
 = = .S = .S . = .S  + 
 = .S . 2 . = .S . = .S .L. = M.  c = M.
Teorema de los ejes paralelos:
 Z Zc
 R 
 Rc
 P
 0 a C
 R y A
 Rc x Y Yc
 P’ 
X Xc
 
X eje cualquiera Xc eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa
“a” separación entre ejes
Se verifica la siguiente relación denominada teorema de Steiner:
 = + M. 
Donde y son los momentos de inercia del cuerpo respecto a Z y Zc
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Para probar esta relación se elige los ejes XcYcZc de modo que su origen está en el centro de masa; se escoge los ejes XYZ de manera que el eje Y coincide con Yc
Punto P arbitrario del cuerpo M
P’A es perpendicular a Yc y P’A = x CA= y OC= a
Donde: = + 
 = + 
 = + +2ay + 
 = +2ay + 
Se toma momento respecto a eje Z
 = = 
 = + 2a + 
El `primer termino es 
Por consiguiente = + 2a + 
Como el sistema XcYcZc Yc= 0 entonces 
 = + M 
Ecuación del Movimiento de Rotación de un cuerpo Rígido
Para un sistema de partículas con respecto a un punto en reposo en un sistema inercial se tiene:
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EJERCICIOS DE APLICACIÓN:
EJEMPLOS 10.4 , 10.5 y 10.6 del libro ALONSO FINN VOLUMEN 1
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Energía Cinética de Rotación 
Para un sistema de partículas la energía cinética se define por
 = pero = 
 = ( = 
 = de validez general para cualquier eje de rotación, aun sino fueran ejes principales
Si fuera la rotación sobre un eje principal se puede utilizar la ecuación:
 L = . por lo tanto si multiplico y divido por nos queda
 = . = = 
 = válido solo para giro sobre eje principal
 
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Caso general de un Cuerpo Rígido en Traslación y Rotación alrededor del centro de masa
 Cuando el cuerpo rígido gira
 alrededor de un eje, rodando
 sin deslizar, sobre una superficie
 horizontal, se desplaza 
 S = R . 
Condición de Rodadura
Velocidad del centro de masa = = R . = R .  
Aceleración del centro de masa = = R . = R. 
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Traslación y rotación combinadas
El rodamiento puede verse como la superposición de una rotación y traslación puras alrededor del centro de masa
Se observa que en el movimiento rotacional puro todos los puntos del borde presentan la misma rapidez tangencial R .  
Se observa que en el movimiento traslacional puro, todos los puntos se desplazan con una velocidad igual a la del centro de masa = R .  
La combinación de los movimientos muestra que en el punto de contacto con la superficie la velocidad es igual a cero. En el punto superior la velocidad es exactamente igual al doble de la velocidad del centro de masa
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Eje instantáneo de Rotación 
En este caso de rodadura se supone que el punto de contacto “O”es un eje instantáneo de rotación. En cada instante hay un nuevo punto de contacto “O” y por lo mismo un nuevo eje de rotación que aunque momentáneamente el movimiento es una rotación alrededor de “O”.
La velocidad angular de rotación so iguales 
Como la distancia entre P y O es el doble que la que existe con el centro de masa se concluye que la rapidez en lineal en P es el doble que la velocidad del centro de masas = 2 R  = 2 
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Energía Total del cuerpo Rígido:
La energía alrededor del eje instantáneo de rotación es:
 = 
Aplicando el Teorema de los ejes paralelos
	 = + M. como a = R
 = + M. 
Remplazando en la expresión de energía
 = ( + M. = + M. 
Por consiguiente
 = 	 + M. 
 = Energía cinética de rotación + Energía cinética de traslación
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